Статистически инвариантные множества управляемой системы Текст научной статьи по специальности «Математика»

Keywords: generally periodical solutions; distributed computing.

Пчелинцев Александр Николаевич аспирант

Тамбовский государственный технический университет Россия, Тамбов e-mail: [email protected]

Aleksander Pchelintsev post-graduate student Tambov State Technical University Russia, Tambov e-mail: [email protected]

УДК 517.911, 517.93

СТАТИСТИЧЕСКИ ИНВАРИАНТНЫЕ МНОЖЕСТВА УПРАВЛЯЕМОЙ СИСТЕМЫ 1

© Л. И. Родина, Е. Л. Тонкое

Ключевые слова: управляемые системы, динамические системы, дифференциальные включения, множество достижимости, инвариантность.

Аннотация: В терминах функций Ляпунова получены условия, позволяющие оценивать относительную частоту пребывания множества достижимости управляемой системы в заранее заданном множестве. Исследуются статистически инвариантные и статистически слабо инвариантные множества относительно управляемой системы.

В этом докладе сообщается о результатах исследования статистически инвариантных множеств, опубликованных в [1, 2], и рассмотрен ряд новых задач, связанных со свойствами статистических характеристик асимптотического поведения множеств достижимости управляемых систем.

Пусть задана топологическая динамическая система (£, Н1'). Это означает, что на полном метрическом пространстве £ задана однопараметрическая группа преобразований Н пространства £ в себя, непрерывная по (Ь, а) и удовлетворяющая начальному условию Нга\1=о = а. Для заданного множества и С Мт рассмотрим пространство с мерой (и, А,п), где А — борелевская сигма-алгебра подмножеств и, п — мера Радона, сосредоточенная на множестве и. Мерой Радона с носителем и называется конечная регулярная счетно-аддитивная функция п '■ А ^ М множеств А £ А.

Пусть задана непрерывная функция / (а, х, и) переменных (а,х,и) £ £ х М” х Мт. Мы рассматриваем управляемую систему

Х= /(На, х, и)щ(йи), (7)

■>и

1 Работа выполнена при финансовой поддержке программы фундаментальных исследований Президиума РАН №29 «Математическая теория управления».

порожденную динамической системой (Е, ht) и функцией f.

Допустимым процессом управляемой системы при каждом а Е Е называется всякая функция t ^ (ф, а), nt) такая, что управление t ^ является измеримой по Лебегу мерозначной функцией со значениями в пространстве вероятностных мер Радона с носителем U, функция t ^ t, а) является абсолютно непрерывным решением системы (7). fU

x Е F(Ьга,х), F(a,x)=co{y Е R™ : y = f (a,x,u),u Е U}, (8)

где co G — замыкание выпуклой оболочки множества G.

Для каждого X Е comp (R™) и момента времени t ^ 0 обозначим через A(t, а, X) множество достижимости системы (7) в момент t из начального множества X. Предположим, что задана непрерывная функция A : R х Q ^ comp(Rra) переменных (t, ш), где ш = (а, X), удовлетворяющая следующим условиям:

A(t, u)|t=0= X, A(t + s,u) = A(t,hsa, A(s,u)), t,s Е R+. (9)

Для фиксированного множества Xo Е comp(Rra) рассмотрим множество

a(V, ш) = {t Е [0, V] : A(t, ш) С A(t, ш0)}, ш0 = (а, X0).

V f( ) . v mes а($,ш)

Характеристику ireq(w) = lim --- будем называть относительной частотой поглощения множества достижимости A(t, ш) системы (7) заданным множеством A(t,U0). Если указан-

ный предел не существует, то рассматриваются характеристики freq*(w) и freq*(w) — верхняя и нижняя относительные частоты поглощения множества достижимости A(t, ш) системы (7) множеством A(t,U0). Обозначим

А(а) = {(t, х) Е R+ х R™ : х Е A(t, ш0^, ш0 = (а, X0),

Ar(а) = {(t, х) Е R+ х R™ : pRn (х, A(t, ш0)) ^ r(t, а)}, Br(а) = Ar(а) \ А(а),

где r(t, а) — неотрицательная непрерывная функция переменных (t, а) Е R+ х Е.

Скалярная функция V(t, а, х) называется функцией Ляпунова в области Ar(а), если она ло-(t, х) а Е а Е Е

условия: V(Ь,а,х) ^ 0 при всех (Ь,х) Е А(а), V(Ь,а,х) > 0 для всех (Ь,х) Е Br(а).

Обозначим через Vo(t, а, х; q) обобщенную производную функции V(t, а, х) в точке (t, х) по направлению вектора (1,q) Е R х R™, через V^^t^^) = maxqeF(№а,х^0^,а,х; q) — верхнюю

V

Теорема 1. Фиксируем множества X0 ,X Е comp(R™), X С X0, функцию A(t, ш0), где ш0 = = (а, X0), удовлетворяющую условиям (9) и множество достижимости A(t,u) системы (7), ш = (а, X). Пусть существуют непрерывные скалярные функции V(t, а, х) и w(а, z) переменных (t, а, х) Е R+ х Е х R™ и (а, z) Е Е х R такие, что:

1. Для каждого а верхнее решение z*(t,а) задачи

z = w(htа,z), z(0) = 0, t ^ 0,

определено при всех t ^ 0.

2. Для каждого а Е Е бесконечно большая функция V(Ь,а,х) является функцией Ляпунова,

в области A1+r(а), где r = г(Ь,а) = m&р{z*(t,а), 0}, и при всех (Ь,х) Е A1+r(а) выполнено

неравенство VO^t^^) ^ -т^'а^(t,а,х)).

Тогда, множество достижимости А(Ь, и) существует для всех Ь ^ 0 и для каждого а £ £ выполнены неравенства йэд*(и) ^ к*(а), freq*(и) ^ к*(а), где

*/ \ . ^— шевТЬ £ [0,$] : г*(Ь,а) ^ 0} , . . .. шевТЬ £ [0,$] : г*(Ь,а) ^ 0}

к*(а) = \1ш*^-±к*(а) = -1-1 ^ 1 7--.

Также получены условия, при которых множество А(а) является статистически слабо инвариантным относительно управляемой системы (7). Это означает, что для любой точки хо £ Хо найдется такое решение ^(Ь, а) включения (8), что ^(Ь, а) определено при всех Ь ^ 0, р(0,а) = = Хо и верхняя относительная частота попадания данного решения в множество А(Ь, ио) равна

6ДИНИЦ6.

ЛИТЕРАТУРА

1. Панасенко Е.А., Тонкое Е.Л. Инвариантные и устойчиво инвариантные множества дифференциальных включений // Труды Матем. ин-та им. В. А. Стеклова. 2008. Т. 262. С. 202-221.

2. Родина Л.И., Тонкое Е.Л. Статистические характеристики множества достижимости управляемой системы, неблуждаемость и минимальный центр притяжения // Нелинейная динамика. 2009. Т. 5. № 3.

Abstract: In the terms of Lyapunov functions we obtain the conditions that allow to estimate the relative frequency of occurrence of the attainable set of a controllable system in a given set. We investigate the statistically invariant and statistically weak invariant sets with respect to controllable system.

Keywords: controllable systems, dynamical systems, differential inclusions, attainable set, invariance.

Родина Людмила Ивановна к. ф.-м. н., доцент

Удмуртский государственный университет Россия, Ижевск e-mail: [email protected]

Ludmila Rodina

candidate of phys.-math. sciences, senior lecturer Udmurtian Stste University Russia, Izhevsk e-mail: [email protected]

Тонков Евгений Леонидович д. ф.-м. п., профессор

Удмуртский государственный университет Россия, Ижевск e-mail: [email protected]

Eugeniy Tonkov

doctor of phys.-math. sciences, professor Udmurtian Stste University Russia, Izhevsk e-mail: [email protected]