СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА ПОЛНОТЫ ЛЕТНЫХ ИСПЫТАНИЙ ЛЕТАТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

Электронный журнал «Труды МАИ». Выпуск № 49

www.mai.ru/science/trudy/

УДК 629.7

Статистические оценки полноты летных испытаний летательных аппаратов.

Балык В.М., Зенков Д.Н.

В статье рассматривается актуальная проблема, связанная с планированием летных испытаний беспилотного летательного аппарата (БЛА) проводимых в процессе отработки БЛА. Рассмотрен метод оценки полноты испытаний, позволяющий вполне формализовано обосновать необходимость проведения очередного испытания. Метод основывается на восстановлении полиномиальной модели по статистической выборке, представляющей собой данные телеметрии, и далее полиномиальная модель оценивается по статистическим критериям. Основная особенность статистических критериев состоит в том, что значения критериев известны для ситуаций, когда практически все закономерности, имеющиеся в статистической выборке, описываются данной полиномиальной моделью. Таким образом, такие критерии могут быть мерой полноты экспериментальной модели с одной стороны и условием продолжения испытаний с другой стороны.

Ключевые слова: статистический синтез; испытания ЛА; аэродинамические коэффициенты; статистические критерии; оптимизация; полиномиальная модель; статистическая выборка; планирование экспериментов.

Введение.

Качественная реализация проекта создания летательного аппарата во многом зависит от успешности проведения его испытаний. В целом процесс испытаний ЛА включает в себя лабораторные, стендовые, государственные, летные и приемочные испытания, среди которых летные испытания являются наиболее затратными. Основная цель испытаний состоит в определении соответствия обликовых характеристик и показателей ЛА заданным требованиям и, в целом, пока такое соответствие не достигнуто, летные испытания продолжаются. В то же время, современные условия сопровождающие процесс создания ЛА, выдвигают весьма жесткие условия финансирования всех этапов его разработки. В связи с этим актуальной представляется задача обоснованного сокращения числа летных испытаний ЛА, для чего необходимо методическое обеспечение

обработки результатов летных испытаний, позволяющее ответить на вопрос: все ли закономерности, представленные в телеметрии, отражены в математических моделях ЛА.

Такая задача может быть решена средствами статистического анализа экспериментальных данных, которые позволяют провести структурно-параметрический синтез проектно-функциональных связей. Здесь критерии статистического анализа подразделяются на две группы. К критериям первой группы относятся критерии по которым восстанавливается структура аппроксимирующего полинома (виды базисных функций, порядок полинома и т.п.), а по критериям второй группы устанавливается полнота восстановленных проектно-функциональных связей, т.е. по этим критериям устанавливается все ли закономерности присутствующие в данных телеметрии отражены в соответствующих проектно-функциональных связях. К критериям первой группы относятся:

- критерий регулярности

nb

Z ( Jt - J )i

А2 (В ) = ^--> min

'=* (1) где Nb - объем проверочной части статистической выборки, JTi - i-ое экспериментальное значение проектно функциональной

связи, Jm — i-ое модельное значение той же связи;

- критерий несмещённости, согласно которому требуется максимальное совпадение выходной величины двух моделей, полученных на двух различных частях статистической выборки.

Критерий минимума смещения имеет вид

Е( ^ - JB> )l

_N

ZJ2

nl = ——Гт--> min

m N

Т i

(2)

где А - точки выборки с большим значением дисперсии входной величины; В - точки выборки с меньшим значением дисперсии входной величины; N - общий объем статистической выборки.

Критерий минимума смещения позволяет выбрать модель, наименее чувствительную к изменению множества экспериментальных точек по которой она получена. Критерий требует, чтобы модель давала одинаковые результаты на последовательных опытных данных A и В. Этот критерий позволяет решить задачу

восстановления закона, скрытого в зашумлённых экспериментальных данных, а потому рекомендуется для решения задач идентификации.

К критериям второй группы относятся критерии, по которым оценивается полнота восстановления проектно-функциональных связей. К этим критериям относятся: - коэффициент детерминации — это доля объяснённой дисперсии отклонений зависимой переменной от её среднего значения. Зависимая переменная объясняется (прогнозируется) с помощью функции от объясняющих переменных.

Иногда показателям полноты связи можно дать качественную оценку используя шкалу Чеддока.

Значение коэффициента Оценка полноты связи

0,7 - 0,9 Высокая

0,9 - 0,99 Весьма высокая

Функциональная связь возникает при значении равном 1, а отсутствие связи — 0. При значениях показателей полноты связи меньше 0,7 величина коэффициента детерминации всегда будет ниже 50 %. Это означает, что на долю вариации факторных признаков приходится меньшая часть по сравнению с остальными неучтенными в модели факторами, влияющими на изменение результативного показателя. Построенные при таких условиях регрессионные модели имеют низкое практическое значение. - критерий Дарбина-Уотсона (или DW-критерий) — предназначен для проверки независимости регрессионных остатков. Значение статистики Дарбина-Уотсона изменяется в диапазоне от 0 до 4. При этом d = 2 указывает на отсутствие автокорреляции элементов полинома. Если d меньше двух, то имеет место положительная автокорреляции, а больше двух - отрицательная.

Дальнейшее изложение метода статистической обработки данных летного эксперимента приводится на примере восстановления аэродинамической модели БЛА.

1. Полиномиальное представление аэродинамических характеристик.

В общем случае функциональные зависимости аэродинамических коэффициентов от фазовых переменных могут быть представлены в виде:

Сх = Сх {31,32,33,3А,а, р, М, ^, ^, )

су = СУ (з^з^з^з^а р M, ^, , ^)

сг = С (31,32,3з,34,а, р, М, wx, Wy, Wz) (3)

тх = тх (8х,5г,5ъ,5А,а, р М, wx, ^, ^)

ту = ту (51,52,5з, 54,a, р M, wx, ^, ^)

т = т (51, 52, 5з, 54,О р, М, ^, ^, ^) Здесь:

51 - угол отклонения руля I;

52 - угол отклонения руля II;

53 - угол отклонения руля III;

54 - угол отклонения руля IV; а - угол атаки;

в - угол скольжения; М - число Маха;

wx - угловая скорость относительно оси Х1; wy - угловая скорость относительно оси Y1; wz - угловая скорость относительно оси Z1;

В достаточно полном виде расчет аэродинамических коэффициентов можно представить в виде модели учитывающей перекрестные связи между фазовыми переменными [1]:

Сх = Сх 0 + 1(а2 + р2) + 72(5,2 + 5^2) + гз52 + г4(0,5в + 5) + г5(а4 + р4) + г6ар2 Су = СО + С& + СО + Спор2 + Сио25в + СзР25в + СиоР5щ + Ср + С;^ С, = -с; р- С55- СюР3 - Ср - С22р25¥ - С2Ъо252 - С2оР5в - СО + С7Жу (4) тх = т55. + т°х&х + т;Р;р + тах5,2о5¥ + тРх5вР5в

ту = т; Р + т52 5Щ + Ътр3 + ЬпР;2 + Ъ12р252 + ¿1з025^ + Ъи;Р5¥ + +

т2 = т;о + т55в + Ъ2;ъ + Ъ21оР2 + Ъ22;25в + Ъ2ър25в + Ъ2;Р5¥ - Ъ25Р5Ф + Здесь

5в = 1(52 +54),52 = \(51 + 5)А = 1(5з -51 + 54 Г2 , Ъ, ^ Г5» Г6» С10» С11, С12» С1з> С14» С15»

С20, С21» С22» С2з» С24» С25» Ъ10» Ъ11» Ъ12» Ъ1з» Ъ14» Ъ15» Ъ20» Ъ21» Ъ22» Ъ2з» Ъ24» Ъ25 " линейные параметры

полиномов подлежащих определению, исходя из условия минимума критерия регуляции.

Таким образом, окончательно, аэродинамическая модель формируется по результатам решения следующих оптимизационных задач:

Е (3" - 3Т )2

3,,„ = ,......т'п -,У = 1,6 (5)

Г1,Г2,Гз,Г4,Г5,Г6 I т 2

I 010,011,012,013,014,020 I / ( / ).

| Ь10,Ь11,Ь12,Ь13,Ь14,Ь20 Г ° У1

| Схо,С" ,0* Л ,т* | 1=0

где при 7=1, задача решается для Сх, при 7=2, задача решается для Су, при 7=3, задача решается для С2, при/=4, задача решается для тх, 7=5 , задача решается для ту, при 7=6, задача решается для т2.

Здесь JjM - модельное значение аэродинамических коэффициентов рассчитываемое

т

по системе (4). Jj - экспериментальные значения аэродинамических коэффициентов полученные по данным телеметрии.

2. Статистический анализ экспериментальной аэродинамической модели.

В данном разделе приводятся результаты обработки статистических моделей отдельно для каждого аэродинамического коэффициента.

Для оценки качества полученных статистических аэродинамических моделей был проведен статистический анализ, с применением всех основных функций применяемых для статистического анализа, таких как регрессии и описательные статистики.

В данной работе, для восстановления зависимостей была использована линейная регрессия.

Для коэффициент Cx такая зависимость имеет вид:

О = 0,18 - 0,5(а2 + р2) + 0,1(*2 + - 0,00999934*2 + 0,00999942(а* + р8щ) -0,00999987(а4 + р4) - 0,00991338а2 р2

Параметр Значения коэффициентов Стандартная ошибка

0,18 0,0

(а2 + р2) -0,5 0,0

(5е2 + 5У2) 0,1 0,0

5э2 -0,00999934 0,0

(а 5е + в 5У) 0,00999942 0,0

(а4 + в4) -0,00999987 0,0

а2в2 0,00997338 0,0

Исходные Сумма Число степ. Средний

данные квадратов свободы квадрат

Модель 33,82 6 5,63666

Остатки 0,0 5794 0,0

Итог 33,82 5800

Число степеней свободы для факториальной дисперсии равно числу совокупностей без единицы, т.к. все группы связаны друг с другом лишь одним общим условием -значением средней арифметической всего дисперсионного комплекса.

Коэффициент детерминации = 100%.

Коэффициент детерминации это мера качества регрессионной модели, описывающей связь между зависимой и независимыми переменными модели. Коэффициент детерминации показывает, что соответствующая модель объясняет 100,0% изменчивости данных Сх. Скоррелированный коэффициент детерминации, более подходящий для сравнения моделей с различным числом независимых переменных, равен 100,0%.

Стандартная ошибка оценки = 0,0.

Стандартная ошибка оценки, оценивает меру рассеяния наблюдаемых значений относительно регрессионной прямой. При подборе модели необходимо стремится к ёё минимизации. Стандартная ошибка оценки показывает, что стандартное отклонение разностей (остатков) 0,0. Это значение может быть использовано, чтобы построить прогнозные границы (пределы) для новых наблюдений.

Средняя абсолютная ошибка вычисляется как среднее абсолютных ошибок. Если она равна 0, то модель описана в полной мере.

Средняя абсолютная ошибка = 0,00954815

Статистика Дарбина-Уотсона = 1,02811 (Р=0,0000). Поскольку Р - значение меньше 0,05, есть признаки последовательной автокорреляции в разностях.

Автокорреляция — это взаимосвязь последовательных элементов полинома. Если существует корреляция между последовательными значениями некоторой независимой переменной, то будет наблюдаться и корреляция последовательных значений остатков. Кроме того, наличие автокорреляции остатков может означать, что необходимо ввести в модель новую независимую переменную.

1 интервал остаточной автокорреляции = 0,4719

Добавочный дисперсионный анализ для переменных в соответствующем порядке

Исходные данные Сумма квадратов Число степ. свободы Средний квадрат

(а2 + р2) 33,7405 1 33,7405

(5е2 + 5У2) 0,0788017 1 0,0788017

5э2 0,000233783 1 0,000233783

(а 5е + в 5У) 0,000214285 1 0,000214285

(а4 + в4) 0,000187934 1 0,000187934

а2в2 0,00000741985 1 0,00000741985

Модель 33,82 6

Данная таблица показывает статистическое значение каждой переменной при ее добавлении у данной модели. Эти данные могут помочь определить, как данная модель может быть упрощена.

95,0% доверительные интервалы для оценки коэффициентов:

Параметр Оценка Стандартная ошибка Нижний предел Верхний предел

0,18 0,0 0,18 0,18

(а2 + в2) -0,5 0,0 -0,5 -0,5

(5е2 + 5У2) 0,1 0,0 0,1 0,1

5э2 -0,00999934 0,0 -0,00999934 -0,00999934

(а 5е + в 5У) 0,00999942 0,0 0,00999942 0,00999942

(а4 + в4) -0,00999987 0,0 -0,00999987 -0,00999987

а2в2 0,00997338 0,0 0,00997338 0,00997338

Эта таблица показывает 95,0% доверительные интервалы для коэффициентов в модели. Доверительные интервалы показывают, насколько точно коэффициенты могут оценивать имеющиеся данные.

Cx0 (а2 + ß2) (5e2 + 5V2) 5э2 (а 5e + ß 5V) (а4 + ß4) 2ß2 а ß

Cx0 1,0000 -0,6763 -0,2338 -0,3474 -0,2350 0,6521 0,3569

(а2 + ß2) -0,6763 1,0000 -0,0221 0,2914 0,6720 -0,8949 -0,4531

(5e2 + 5V2) -0,2338 -0,0221 1,0000 -0,1401 0,2380 0,0778 -0,1773

5э2 -0,3474 0,2914 -0,1401 1,0000 0,1761 -0,2092 -0,0684

(а 5e + ß 5V) -0,2350 0,6720 0,2380 0,1761 1,0000 -0,3326 -0,2136

(а4 + ß4) 0,6521 -0,8949 0,0778 -0,2092 -0,3326 1,0000 0,4566

a2ß2 0,3569 -0,4531 -0,1773 -0,0684 -0,2136 0,4566 1,0000

Эта таблица показывает подсчитанные корреляции между коэффициентами в соответствующей модели. Эти корреляции могут быть использованы, чтобы определить присутствие мультиколлинеарности, т.е. корреляцию среди указанных коэффициентов. К тому же здесь присутствуют 2 корреляции с абсолютным значением более 0,5 (не включая константу).

Вывод: Следуя полученным статистическим оценкам данная математическая модель адекватна экспериментальным данным по аэродинамическому коэффициенту Сх.

Коэффициент Cy представлен в виде: С, = -4,86367E -12 +19,9915а -1,0042^ - 55,0007а3 + 0,0052685 laß2 -0,00416123а25в - 0,00528031ß2Se - 0,00886978aߣ + 0,00802078ß^ - 4WZ ^

Параметр Оценка Стандартная ошибка

Const -4,86367E-12 0,0

а 19,9975 0,0

5e -1,0042 0,0

а3 -55,0007 0,0

аß2 0,00526851 0,0

а2 5e -0,00416123 0,0

ß2 5e -0,00528031 0,0

aß 5V -0,00886978 0,0

ß 5э 0,00802078 0,0

Wz -4,0 0,0

Исходные Сумма Число степ. Средний

данные квадратов свободы квадрат

Модель 2,14919Б6 9 238799,0

Остатки 0,0 5791 0,0

Итог 2,14919Б6 5800

Коэффициент детерминации = 100%.

Коэффициент детерминации показывает, что соответствующая модель объясняет 100,0% изменчивости данных Су. Скоррелированный коэффициент детерминации, более подходящий для сравнения моделей с различным числом независимых переменных, равен 100,0%.

Стандартная ошибка оценки = 0,0.

Стандартная ошибка оценки показывает, что стандартное отклонение разностей (остатков) 0,0. Это значение может быть использовано, чтобы построить прогнозные границы (пределы) для новых наблюдений.

Средняя абсолютная ошибка - 1,8512Ш-12.

Статистика Дарбина-Уотсона = 2,28608 (Р=0,0000). Поскольку Р - значение меньше 0,05, есть признаки последовательной автокорреляции в разностях.

1 интервал остаточной автокорреляции = -0,148009. Добавочный дисперсионный анализ для переменных в соответствующем порядке

Исходные данные Сумма квадратов Число степ. свободы Средний квадрат

а 5е 11053,4 1876,81 1 1 11053,4 1876,81

а3 48608,9 1 48608,9

ар2 53595,7 1 53595,7

а2 5е 49700,3 1 49700,3

в2 5е 188,506 1 188,506

ав 5У 756,006 1 756,006

в 5Э 7432,18 1 7432,18

Wz 1,97598E6 1 1,97598E6

Модель 2,149^6 9

Данная таблица показывает статистическое значение каждой переменной при ее добавлении у данной модели. Эти данные могут помочь определить, как данная модель может быть упрощена.

95,0% доверительные интервалы для оценки коэффициентов

Параметр Оценка Стандартная ошибка Нижний предел Верхний предел

СОПБ1 -4,86367Е-12 0,0 -4,86367Е-12 -4,86367Е-12

а 19,9975 0,0 19,9975 19,9975

5е -1,0042 0,0 -1,0042 -1,0042

а3 -55,0007 0,0 -55,0007 -55,0007

ар2 0,00526851 0,0 0,00526851 0,00526851

а2 5е -0,00416123 0,0 -0,00416123 -0,00416123

в2 5е -0,00528031 0,0 -0,00528031 -0,00528031

ав 5У -0,00886978 0,0 -0,00886978 -0,00886978

в 5э 0,00802078 0,0 0,00802078 0,00802078

Wz -4,0 0,0 -4,0 -4,0

Эта таблица показывает 95,0% доверительные интервалы для коэффициентов в модели. Доверительные интервалы показывают, насколько точно коэффициенты могут оценивать имеющиеся данные.

Матрица корреляций для оценок коэффициентов модели

СО^ а 5е а3 ав2

СО^ 1,0000 -0,7508 0,0646 0,2575 0,0576

а -0,7508 1,0000 0,3334 -0,5001 -0,1535

5е 0,0646 0,3334 1,0000 -0,5787 -0,2725

а3 0,2575 -0,5001 -0,5787 1,0000 0,2394

ав2 0,0576 -0,1535 -0,2725 0,2394 1,0000

а2 5е -0,0316 -0,1008 -0,6496 0,8738 0,2579

в2 5е 0,0668 -0,1682 -0,3998 0,2094 0,9102

ав 5У 0,0415 -0,0583 -0,0668 0,0221 0,0430

в 5э -0,6434 0,4080 -0,3168 0,0162 -0,1563

Wz 0,2277 -0,0640 -0,0861 0,1270 -0,0406

а2 5е в2 5е ав 5у в 5э Wz

СОПБ1 -0,0316 0,0668 0,0415 -0,6434 0,2277

а -0,1008 -0,1682 -0,0583 0,4080 -0,0640

5е -0,6496 -0,3998 -0,0668 -0,3168 -0,0861

а3 0,8738 0,2094 0,0221 0,0162 0,1270

ар2 0,2579 0,9102 0,0430 -0,1563 -0,0406

а2 5е 1,0000 0,2536 0,0169 0,2323 0,1345

в2 5е 0,2536 1,0000 0,0998 -0,1595 0,0204

ав 5у 0,0169 0,0998 1,0000 -0,3124 0,0376

в 5э 0,2323 -0,1595 -0,3124 1,0000 -0,0612

Wz 0,1345 0,0204 0,0376 -0,0612 1,0000

Эта таблица показывает подсчитанные корреляции между коэффициентами в соответствующей модели. Эти корреляции могут быть использованы, чтобы определить присутствие мультиколлинеарности, т.е. корреляцию среди указанных коэффициентов. К тому же здесь присутствуют 3 корреляции с абсолютным значением более 0,5 (не включая константу).

Вывод: Следуя полученным статистическим оценкам данная математическая модель адекватна экспериментальным данным по аэродинамическому коэффициенту Су.

Коэффициент представлен в виде: С, = 6,25875Е -11 -19,99751,00428 - 55,0007/Зъ + 0,00526855^а2 0,00416132Р28 - 0,00528033а28 - 0,00886966«8 + 0,008020818

Параметр Оценка Стандартная ошибка

Со^ 6,25875Е-11 4,75692Е-8

в 19,9975 0,0000014656

5у -1,0042 0,00000124899

в 3 -55,0007 0,00000545954

ва2 0,00526855 0,00000891648

в 2 5У -0,00416132 0,0000318428

а2 5у -0,00528033 0,0000085232

ав 5е -0,00886966 0,0000223507

а 5э 0,00802081 0,0000138525

Wy 4,0 6,83623Е-9

+ 4Ж„

(8)

Исходные Сумма Число степ. Средний

данные квадратов свободы квадрат

Модель 3,68026Е6 9 408918,0

Остатки 5,58794Е-8 5791 9,64934Е-12

Итог 3,68026Е6 5800

Коэффициент детерминации = 100%.

Коэффициент детерминации показывает, что соответствующая модель объясняет 100,0% изменчивости данных С2. Скоррелированный коэффициент детерминации, более подходящий для сравнения моделей с различным числом независимых переменных, равен 100,0%.

Стандартная ошибка = 0,00000310634.

Стандартная ошибка оценки показывает, что стандартное отклонение разностей (остатков) 0,00000310634. Это значение может быть использовано, чтобы построить прогнозные границы (пределы) для новых наблюдений.

Средняя абсолютная ошибка - 1,45669Е-9.

Статистика Дарбина-Уотсона = 2,0484 (Р=0,0326). Поскольку Р - значение меньше 0,05, есть признаки последовательной автокорреляции в разностях.

1 интервал остаточной автокорреляции = -0,0340774. Добавочный дисперсионный анализ для переменных в соответствующем порядке

Исходные Сумма Число степ. Средний

данные квадратов свободы квадрат

в 7371,51 1 7371,51

5у 97,9803 1 97,9803

в 3 28950,0 1 28950,0

ва2 6830,34 1 6830,34

в 2 4486,07 1 4486,07

а2 5У 1387,266 1 1387,266

ав 5е 77241,7 1 77241,7

а 5э 250318,0 1 250318,0

3,30358Е6 1 3,30358Е6

Модель 3,68026Е6 9

Данная таблица показывает статистическое значение каждой переменной при ее добавлении у данной модели. Эти данные могут помочь определить, как данная модель может быть упрощена.

95,0% доверительные интервалы для оценки коэффициентов

Параметр Оценка Стандартная ошибка Нижний предел Верхний предел

СОПБ1 6,25875Е-11 4,75692Е-8 -9,31715Е-8 9,32967Е-8

в 19,9975 0,0000014656 19,9975 19,9975

5у -1,0042 0,00000124899 -1,00421 -1,0042

в 3 -55,0007 0,00000545954 -55,0007 55,0006

ва2 0,00526855 0,00000891648 0,00525108 0,00528603

в 2 -0,00416132 0,0000318428 -0,00422373 -0,00409891

а2 5У -0,00528033 0,0000085232 -0,00529703 -0,00526362

ав 5е -0,00886966 0,0000223507 -0,00891347 -0,00882586

а 5э 0,00802081 0,0000138525 0,00799366 0,00804796

4,0 6,83623Е-9 4,0 4,0

Эта таблица показывает 95,0% доверительные интервалы для коэффициентов в модели. Доверительные интервалы показывают, насколько точно коэффициенты могут оценивать имеющиеся данные.

Матрица корреляций для оценок коэффициентов модели

СО^ в 5у в 3 ва2

СО^ 1,0000 0,2372 0,2790 -0,0858 0,1665

в 0,2372 1,0000 0,2597 -0,3393 0,4093

5у 0,2790 0,2597 1,0000 -0,0009 0,1085

в 3 -0,0858 -0,3393 -0,0009 1,0000 0,2667

ва2 0,1665 0,4093 0,1085 0,2667 1,0000

в 2 -0,0301 0,2519 -0,4149 -0,2938 0,0849

а2 5у -0,0561 -0,1575 -0,4614 0,0350 -0,1165

ав 5е 0,1636 0,7256 0,1891 0,2211 0,8596

а 5э 0,2938 0,5894 0,0588 -0,0414 0,2363

-0,1397 -0,3119 -0,0498 0,0431 -0,1594

в 2 а2 5у ав 5е а 5э Wy

СОПБ1 -0,0301 -0,0561 0,1636 0,2938 -0,1397

в 0,2519 -0,1575 0,7256 0,5894 -0,3119

5у -0,4149 -0,4614 0,1891 0,0588 -0,0498

в 3 -0,2938 0,0350 0,2211 -0,0414 0,0431

ва2 0,0849 -0,1165 0,8596 0,2363 -0,1594

в 2 5У 1,0000 0,0449 0,1325 -0,2369 -0,0084

а2 5у 0,0449 1,0000 -0,1348 0,0579 -0,0081

ав 5е 0,1325 -0,1348 1,0000 0,4586 -0,2467

а 5э -0,2369 0,0579 0,4586 1,0000 -0,2654

Wy -0,0084 -0,0081 -0,2467 -0,2654 1,0000

Эта таблица показывает подсчитанные корреляции между коэффициентами в соответствующей модели. Эти корреляции могут быть использованы, чтобы определить присутствие мультиколлинеарности, т.е. корреляцию среди указанных коэффициентов. К тому же здесь присутствует 3 корреляция с абсолютным значением более 0,5 (не включая константу).

Вывод: Следуя полученным статистическим оценкам данная математическая модель адекватна экспериментальным данным по аэродинамическому коэффициенту С2.

Коэффициент ту представлен в виде: т = 6,66267Е - 7 - 4,41704( - 6,245678, -17,6394(3 - 0,00299045(За1 +

* ¥ (9)

0,00573879(28 -0,00919119а28 - 0,00926376а(8 + 0,00794641а8 -0,301599Ж

Параметр Оценка Стандартная ошибка

СО^ 6,66Е-07 9,81Е-07

в2 -4,41704 2,71748Е-05

5у -6,24567 2,33416Е-05

в3 -17,6394 0,000100219

ва2 -0,0029904 0,000166179

в\ 0,00573879 0,000585021

а25у -0,0091911 0,000157535

авбу -0,0092637 0,000418962

абэ 0,007946 0,000257473

Wz -0,301599 1,72Е-07

Исходные Сумма Число степ. Средний

данные квадратов свободы квадрат

Модель 13465,2 9 1496,14

Остатки 0,000018862 5791 3,25724Е-9

Итог 13465,2 5800

Коэффициент детерминации = 92,0281 процентов.

Коэффициент детерминации показывает, что соответствующая модель объясняет 92,0281% изменчивости данных С2. Скоррелированный коэффициент детерминации, более подходящий для сравнения моделей с различным числом независимых переменных, равен 91,4149%.

Стандартная ошибка оценки = 0,0000570722.

Стандартная ошибка оценки показывает, что стандартное отклонение разностей (остатков) 0,0000570722. Это значение может быть использовано, чтобы построить прогнозные границы (пределы) для новых наблюдений.

Средняя абсолютная ошибка = 0,00000173103.

Статистика Дублина-Уотсона = 2,00048 (Р=0,4927). Поскольку Р - значение меньше 0,05, есть признаки последовательной автокорреляции в разностях.

1 интервал остаточной автокорреляции = -0,00023898. Добавочный дисперсионный анализ для переменных в соответствующем порядке

Исходные данные Сумма квадратов Число степ. свободы Средний квадрат

в2 1431,38 1 1431,38

5у 124,963 1 124,963

в3 2,60Е+02 1 259,71

ва2 1,71625 1 1,71625

в\ 11,5403 1 11,5403

а25у 83,0109 1 83,0109

авбу 467,34 1 467,34

а5э 1016,84 1 1016,84

Wz 10068,7 1 10068,7

Модель 13465,2 9

Данная таблица показывает статистическое значение каждой переменной при ее добавлении у данной модели. Эти данные могут помочь определить, как данная модель может быть упрощена.

95,0% доверительные интервалы для оценки коэффициентов:

Параметр Оценка Стандартная ошибка Нижний предел Верхний предел

СОПБ1 6,66Е-07 9,81Е-07 -1,25654Е-06 2,58908Е-06

в2 -4,41704 2,71748Е-05 -4,41709 -4,41699

5у -6,24567 2,33416Е-05 -6,24572 -6,24562

в3 -17,6394 0,000100219 -17,6396 -17,6392

ва2 -0,0029904 0,000166179 -0,00331615 -0,00266474

в\ 0,00573879 0,000585021 0,00459217 0,00688542

а25у -0,0091911 0,000157535 -0,00949995 -0,00888243

авбу -0,0092637 0,000418962 -0,0100849 -0,00844261

абэ 0,00794641 0,000257473 0,00744177 0,00845105

Wz -0,301599 1,72Е-07 -0,3016 -0,301599

Эта таблица показывает 95,0% доверительные интервалы для коэффициентов в модели. Доверительные интервалы показывают, насколько точно коэффициенты могут оценивать имеющиеся данные.

Матрица корреляций для оценок коэффициентов модели:

СО^ в2 5у в3 ва2

СО^ 1,0000 0,3297 0,3275 -0,0760 0,23490

в2 0,3297 1,0000 0,3018 -0,3266 0,42870

5у 0,3275 0,3018 1,0000 -0,0008 0,14110

в3 -0,0760 -0,3266 -0,0008 1,0000 0,26760

ва2 0,2349 0,4287 0,1411 0,2676 1,00000

в25у -0,0281 0,2468 -0,4084 -0,2937 0,08230

а25у -0,1022 -0,1945 -0,4720 0,0363 -0,14060

авбу 0,2601 0,7354 0,2296 0,2241 0,86450

а5э 0,3687 0,5983 0,1016 -0,0328 0,25860

Wz 0,4710 0,3372 0,1894 -0,0104 0,22990

в25у а25у авбу абэ Wz

СОПБ1 -0,02810 -0,10220 0,26010 0,36870 0,47100

в2 0,24680 -0,19450 0,73540 0,59830 0,33720

5у -0,40840 -0,47200 0,22960 0,10160 0,18940

в3 -0,29370 0,03630 0,22410 -0,03280 -0,01040

ва2 0,08230 -0,14060 0,86450 0,25860 0,22990

в25у 1,00000 0,04460 0,12760 -0,23660 -0,00070

а25у 0,04460 1,00000 -0,16750 0,02170 -0,10940

авбу 0,12760 -0,16750 1,00000 0,47560 0,31270

а5э -0,23660 0,02170 0,47560 1,00000 0,30280

Wz -0,00070 -0,10940 0,31270 0,30280 1,00000

Эта таблица показывает подсчитанные корреляции между коэффициентами в соответствующей модели. Эти корреляции могут быть использованы, чтобы определить присутствие мультиколлинеарности, т.е. корреляцию среди указанных коэффициентов. К тому же здесь присутствует 3 корреляция с абсолютным значением более 0,5 (не включая константу).

Вывод: Следуя полученным статистическим оценкам, данная математическая модель восстановлена не в полном объеме, так например, аэродинамическая производная 5(шу)/ д( вЛ)

имеет большую стандартную ошибку, что требует дополнительного исследования перекрестной связи р25у.

Выводы.

1. Статистический синтез экспериментальной аэродинамической модели показывает уровень взаимосвязи между отдельными кинематическими параметрами в модели, и исходя из этого уровня необходимо корректировать проектные параметры, фазовые координаты аппарата или режим его движения.

2. Условия продолжения испытаний БЛА должны вырабатываться комплексно, по всем подсистемам БЛА, здесь же проводился анализ только по аэродинамическому каналу.

3. Статистический синтез экспериментальной аэродинамической модели проводится по всем значимым факторам статистики: дисперсионному анализу, добавочному дисперсионному анализу, по доверительному интервалу, по матрице корреляций.

4. Рассмотренный метод оценки полноты испытаний может быть распространён и на другие сложные технические системы при их экспериментальной отработке.

Библиографический список.

1.Святодух В.К. «Динамика пространственного движения управляемых ракет» -М.: Машиностроение 1989. - 270с

2. Елисеева И.И. «Эконометрика» -М.: Финансы и статистика, 2004. - 344 с

3. Брандт З. «Статистические методы анализа наблюдений» - М.: "Мир", 1975. - 313 с.

Балык Владимир Митрофанович, профессор Московского авиационного института

(национального исследовательского университета), д.т.н.

МАИ, Волоколамское ш., 4, Москва, А-80, ГСП-3, 125993;

тел.: (499) 158-46-76, 8-915-339-64-71;

e-mail: k608@mai.ru

Зенков Денис Николаевич, аспирант Московского авиационного института (национального исследовательского университета). тел.: 8-905-531-77-85; e-mail: deviron@mail.ru