CC BY
7УДК 531.19, 004.94
Статистическая механика релятивистского газа в отрезке*
В. В. Васькин*, Н. Н. Ердакова**
Удмуртский государственный университет, г. Ижевск, ул. Университетская. 1 E-mail: vaskinQudsu.ru*, sernadyaQyandex.ru**
Получено 10 ноября 2009 г.
Данная работа является продолжением описанного ранее компьютерного эксперимента [1] над системой частиц одномерного газа в отрезке. В настоящей статье приведены результаты исследования статистических свойств релятивистского газа в отрезке. Показано, что данная система приходит в состояние термодинамического равновесия, функция распределения которого определяется релятивистской энергией частиц. Проведена аналогия системы частиц в отрезке с биллиардом в многоугольнике.
Ключевые слова: релятивистский газ, термодинамическое равновесие, одномерный газ в отрезке, биллиарды, распределение Больцмана
V. V. Vaskin N. N. Erdakova Statistical mechanics of relativistic gas in a one-dimensional tube
This study is the continuation of the computer experiment [1] with particles of gas in a one-dimensional tube, described earlier. In this paper we give investigation results for the statistical properties of a relativistic gas in a one-dimensional tube. It is shown that this system reaches the state of thermodynamical equilibrium whose distribution function is determined by the relativistic energy of particles. The system of particles in a one-dimensional tube is described by analogy with the billiards in a polygon.
Keywords: relativistic gas, thermodynamical equilibrium, gas in a one-dimensional tube, Boltzmann distribution
Mathematical Subject Classifications: 37A60, 68U20
*Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (гранты 09-01-00791-а, 09-0И2151-офи_м) и Го-
сударственного контракта (Л'! 02.740.11.0195) па выполнение научно-исследовательских работ по теме: «Научпо-образовательпый центр “Регулярная и хаотическая динамика”».
Введение
Механизм прихода динамических систем к состоянию термодинамического равновесия до сих нор остается не до конца понятым. Существует несколько теоретических предположений о механизмах релаксации систем. Одно из них связано с гипотезой эргодичности, утверждающей, что все состояния с одинаковой энергией равновероятны [8, 12], в связи с чем для подсистем выводится каноническое распределение Гиббса. Тем не менее, известно, что существуют не эргодичеекие системы [9], поэтому свойство эргодичности не является универсальным для динамических систем. Друх’ое предположение связано с гипотезой молекулярного хаоса, утверждающей, что приход системы к термодинамическому равновесию сопровождается потерей динамической памяти, необратимостью системы во времени [6]. Наиболее математически обоснованным является предположение, связанное с концепцией прихода систем в состояние статистического равновесия в некотором «слабом переделе» [3], но существуют примеры, в которых статистическое равновесие, установившееся в системах в «слабом пределе», не является термодинамическим.
Также но вопросам установления статистического и термодинамического равновесия в динамических системах см. [14,15].
Ясно, что значительную роль в процессе релаксации играет характер взаимодействия между частицами системы. Больцман попытался описать процесс прихода динамических систем в состояние термодинамического равновесия с помощью кинетического уравнения [10]. Но в связи с рядом допущений при выводе, как показал Цермело [16], уравнение утратило обратимость во времени, свойственную динамическим процессам.
Кроме то!'о, в связи с экспоненциальной зависимостью нормального распределения от квадрата скорости (распределение Гаусса) создается впечатление, что в процессе релаксации значительную роль ш'рает центральная предельная, теорем,а [2], заимствованная из теории вероятностей и применяемая в статистической физике из соображений большого числа частиц в рассматриваемых системах.
В предыдущей работе [1], где различные модели одномернох’о нерелятивистского идеального газа в отрезке рассматривались с точки зрения численного эксперимента, было показано, что система невзаимодействующих частиц, упруго отражающихся от концов отрезка, приходит только в статистическое, но не тепловое равновесие. Добавление к системе колеблющейся стенки, на первый взгляд являющейся моделью термостата для частиц, также не привело к установлению теплового равновесия. Однако, при введении в систему невзаимодействующих частиц одной частицы отличной массы, рассеивающейся с остальными частицами газа согласно законам сохранения энергии и импульса, компьютерный эксперимент показал, что газ в отрезке приходит к термодинамическому равновесию, о чем нам говорит вид одно частичной функции распределения но импульсам, совпадающий
с распределением Максвелла р = Се при соответствующем значении средней энергии (е) = Т, и нулевые значения высших неприводимых моментов системы (1.1).
Добавление к такой системе однородного гравитационного поля привело к уетановле-
шдН
нию распределения Больцмана по координатам р = Се Т , при условии, что почти все частицы участвуют в столкновениях с поршнем (в перераспределении энергии и импульса).
Кроме того, для этой системы был проведен эксперимент, связанный с вопросом обратимости системы во времени. Многие динамические системы, заведомо обратимые во времени, при численном интегрировании могут терять свойство обратимости за счет накапливания ошибок для хаотических траекторий. Компьютерный эксперимент показал, что
данная система обратима на достаточно больших временах, в том числе после установления тен.лово!'о равновесия.
В настоящей работе мы хотим обобщить результаты предыдущих) исследования на случай релятивистского газа и показать, что при сохранении обратимости система приходит в состояние термодинамического равновесия, определяемого релятивистской энергией частиц системы.
Отметим, что исследование достижения равновесия в релятивистском газе с точки зрения броуновского движения выполнено в работе [11] (см. также ссылки в этой работе).
1. Модель и статистическое описание одномерного газа
Рассмотрим систему многих частиц на отрезке, которые не сталкиваются между собой и упруго отражаются от концов отрезка (одномерный газ в отрезке). Дополним систему, разделив газ частицей (поршнем) конечной массы М, сравнимой по величине с массой т отдельной частицы, соударяющейся с остальными частицами согласно релятнвнстскнм законам сохранения энергии и импульса:
Р1 + Р2 = Р1 + р2,
\1'р\ + т2с2 + \1'Р2 + М2с2 = ^р'2 + т2с2 + ^р'.2 + М2с2,
где р1,р1,т — импульс (до и после рассеяния) и масса частицы, р2,р2,М — импульс (до и после рассеяния) и масса поршня.
Замечание 1. Впервые модель одномерного газа без поршня рассмотрел Пуанкаре [7]. в дальнейшем более полное исследование было проведено Козловым [4].
В любой момент времени состояние системы описывается координатами и импульсами ^¿(¿) Рг(^), г = 1,.., N которые рассчитываются на основании уравнений движения (без каких-либо дополнительных допущений) и упругого соударения частиц и поршня. Использование аналитических законов движения для частиц и поршня между соударениями позволяет проводить вычисления траекторий движения с произвольно заданной точностью.
Для статистического описания релятивистского газа мы используем подход Больцмана, основанный на построении одночастичной функции распределения и!1(х,р). Для этого вся плоскость переменных (х,р) разбивается на ячейки, в данном случае прямоугольники со сторонами Ах, Ар, так что величина
N (Ах, Ар) = Ж-ш4(х,р)АхАр
определяет число частиц, попавших в соответствующую ячейку в момент времени Ь. Кроме того, рассматриваются отдельно распределения по координатам и импульсам
й,(х) = / а,(х,р) ф, а,(р)=/ш,(х,р)
Во многих случаях для контроля за приходом системы к состоянию равновесия удобно использовать неприводимые моменты Кп системы, определяемые как:
К1 = М1 = (х), К2 = М2 - М2 = (х2) (х)2 ... (1.1)
и выражаемые через моменты координат и импульсов Мп = J хпШі(х) йх. Система достигает статистическоі'о равновесия, когда моменты перестают меняться со временем. В частности, для нормального распределения отличны от нуля только первые два неприводимых момента (Кп>2 = 0). Таким образом, вычисление неприводимых моментов равновесного состояния позволяет судить о близости распределения к нормальному.
Замечание 2. В теоретических исследованиях и аналитических оценках используется подход Гиббса, основанный на функции распределения по координатам и импульсам всех частиц
р) = рі(х1,р1... хм,рм);
существующие компьютеры не позволяют выполнить прямое моделирование динамики этого распределения с приемлемым числом частиц.
2. Результаты эксперимента
Проведя компьютерный эксперимент над системой частиц релятивистского газа, мы полу чили следующие результаты.
1. Данная динамическая система асимптотически (Ь ^ то) приходит, к состоянию термодинамического равновесия. Состояние равновесия характеризуется равномерным распределением частиц по координатам и релятивистской функцией распреде-()
\/!>- I т'-г-
Ыв(р) = св е Тв . (2.1)
( оо \/р2-\-пг2с2 \
Здесь С в = I (> Тв Лр нормировочная константа равновесного рае-
\-~ )
пределения, Тв — температура системы, найденная из равенства энергий начального и равновесного состояний:
ОО ОО -у///- І ці- с2
I ^ + т^ад,(р)<4. = сяу ^+#е- ^
—ж — ж
На рисунках (рис. 1 и рис. 2) приведены полученные одночастичные функции распределения и^р) при различных начальных условиях и соответствующие функции
р2 \/р2 +пг2 с2
Гаусса ис(р) = С с е 2Т° и Больцм ана ив (р) = Св е Тв , гд е С с и Тс — нор-
мировочная константа и температура системы, вычисленные из предположения, что равновесное распределение гауссово. Видно, что полученное в ходе моделирования одиочастичпое распределение и*(р)|^те совпадает с распределением Больцмана (2.1) и не совпадает с распределением Гаусса ис(р)-
2. Для системы частиц релятивистского газа был проведен компьютерный эксперимент, иллюстрирующий обратимость данной системы во времени с любой заданной точностью. В некоторый момент времени Ь эволюции системы (в том числе после установления теплового равновесия) скорости частиц системы заменялись на обратные Уі(Ь) = — —Уі(і). Эксперимент показал, что газ собирается в исходное (начальное) состояние.
Рис. 1. Полученное одночастичное распределение по импульсам и (р). Пунктиром изображены начальное распределение (р), равномерное на отрезке [—1,1], и функция Гаусса при соответствующем значении средней энергии (є) = Тс- Черным изображена функция Больцмана при соответ-
у/р2 +7П2 С2
ствующем значении средней энергии релятивистского газа ив (р) = С в е Тв
-12
12
Рис. 2. Полученное одночастичное распределение по импульсам ^(р). Пунктиром изображены начальное распределение (р), равномерное на отрезках [—5, —3] и [3, 5], и функция Гаусса при со-
ответствующем значении средней энергии (г) = Тс- Черным изображена функция Больцмана при
у/р2 +т2 с2
соответствующем значении энергии релятивистского газа ив (р) = Св е Тв
Таким образом, обратимость системы во времени не противоречит возможности достижения термодинамического равновесия.
3. Аналогия с биллиардом
Любопытно отмстить, что систему многих частиц с поршнем в отрезке можно рассматривать как многомерный биллиард с соответствующими условиями отражения от границ биллиарда. Например, система, состоящая из двух невзаимодействующих частиц, разделенных поршнем, эквивалентна трехмерному биллиарду с одной частицей внутри (рис. 3). Соответствующие проекции скорости этой воображаемой частицы равны скоростям соответствующих частиц в отрезке: первой частице соответствует проекция па ось ОХвторой — па ось ОХ2, поршню — проекция па ось ОХ3. В этом случае от двух граней (перпендикулярных осям ОХ1 и ОХ2) происходит обычное зеркальное отражение р/т = рт, р'п = —рп (где рт,рТ,рп,рП — тангенциальная и нормальная составляющая импульса до и после соударения), а от двух диагональных граней неупругое отражение согласно законам сохранения:
I I о М — т / гт
для нерелятивистского удара: р' = рт, р„ = —рп ~ *тт----Рт (см. о ),
I п м + т
для релятивистского удара: р| = рт, рП = У(рп,рт) гДе явный вид функции У определяется из решения уравнения
Для N частиц газа, разделенных поршнем, в отрезке имеем (Ж + 1)-мерный биллиард.
Заметим, что аналогия с многомерным биллиардом в многограннике в некоторой степени объясняет отсутствие экспоненциального разбегания траекторий в этой системе. Действительно, известно, что для биллиардов в многоугольниках не существует хаотических траекторий [13].
Рис. 3. Система трехмерного биллиарда с одной частицей, эквивалентная системе двух частиц, разделенных поршнем, в отрезке [0,1].
Авторы благодарят А. В. Борисова и И. С. Мамаева за полезные обсуждения.
Список литературы
[1] Васькин В. В.. Ердакова H.H.. Мамаев И. С. Статистическая механика нелинейных динамических систем // Нелинейная динамика. 2009. Т. 5. Л- 3. с. 385 402.
[2] Крамер Г. Колмогоров А. Н. Случайные величины и распределения вероятностей. М.: Гос. изд-во иностр. лит.. 1947.
[31 Козлов В. В. Ансамбли Гиббса и неравновесная статистическая механика. М. Ижевск: РХД, 2008.
[4] Козлов В. В. Тепловое равновесие по Гиббсу и Пуанкаре. М. Ижевск: ПКИ, 2002.
[5] Козлов В. В.. Трегцев Д. В. Биллиарды. Генетическое введение в динамику систем с ударами. М.: Изд-во Моск. ун-та. 1991.
[6] Пригожин И., Стенгерс II. Порядок из хаоса. М.: Прогресс. 1986.
[71 Пуанкаре А. Замечания о кинетической теории газов. В. кн.: Избранные труды. Т. III. М.:
Наука. 1974. 385-412.
[8] Хинчин А. Я. Математические основания статистической механики. М. Ижевск: РХД. 2003.
(Оригинальное издание: М. J1.: ОГИЗ-ГИТТЛ. 1943.)
[9] Berman G.P.. Izrailev F. М. The Fermi Pasta IJlarn problem: Fifty years of progress. CHAOS 15. 2005.
[10] Boltzmann L. Nature 51. 413. 1895.
[11] Dunkel J. Theory of relativistic Brownian motion: The (1 + 1)-dimensional case. // Phys. Rev.
E 71. 016124 ' 2005. 12 p.
[12] Ehrenfest P.. Ehrenfest T. Begriffliche Grundlagen der Statistischen Auffassung in der Mechanik. Enzyclopädie der Math. Wiss. Bd. IV. 1911.
[13] Ivatok A.. Hasselblatt B. Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems. Cambridge: Cambridge University Press. 1995.
[14] Kozlov V. V. Gibbs Ensembles. Equidistribution of the Energy of Sympathetic Oscillators and
Statistical Models of Thermostat //Regular and Chaotic Dynamics. 2008. 13(3). pp. 141
154.
[15] Kozlov V. V. Kinetics of collisionless gas: Equalization of temperature, growth of the coarse-grained
entropy and the Gibbs paradox // Regular and Chaotic Dynamics. 2009. 14(4 5). pp. 535
540.
[16] Zermelo E. Uber einen Satz der Dynamik und der mechanischen Warmetheorie. Wied. Arm. 57. 1896.
