CC BY
31
УДК 536.75, 538.93, 544.2
РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ДИНАМИКА МНОГОЧАСТИЧНЫХ СИСТЕМ И МИКРОСКОПИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ ТЕРМОДИНАМИКИ
А.Ю.Захаров
RELATIVISTIC DYNAMICS OF MANY-PARTICLE SYSTEMS AND MICROSCOPIC SUBSTANTIATION OF THERMODYNAMICS
A.Iu.Zakharov
Институт электронных и информационных систем НовГУ, anatoly.zakharov@novsu.ru
Выведено уравнение движения для микроскопической функции распределения классических (неквантовых) систем с учетом запаздывающих взаимодействий между идентичными частицами. Показано, что запаздывание взаимодействий между частицами является одним из механизмов, приводящих к необратимому поведению многочастичной системы. Ключевые слова: многочастичные системы, релятивистская динамика, запаздывающие взаимодействия, кинетические уравнения, необратимость
The equation of motion for the microscopic distribution function of classical (non-quantum) systems with account the retarded interactions between identical particles is derived. It is shown that retardation of interactions between particles is one of the mechanisms leading to irreversible behavior of many-particle system.
Keywords: many-body systems, relativistic dynamics, retarded interactions, kinetic equation, irreversibility
Введение
ческую (т.е. неквантовую и нерелятивистскую) механику. У Больцмана в качестве вероятностной концеп-Несмотря на грандиозные успехи статистиче- ции служит гипотеза молекулярного хаоса ской механики в описании равновесных свойств и (Stoßzahlansatz), у Гиббса — вероятностная мера в кинетических процессов в конденсированных и раз- фазовом пространстве механической системы (в ча-реженных систем, проблема ее непротиворечивого стности, принцип равной вероятности в микрокано-обоснования остается открытой. Существующее со ническом ансамбле).
времен Больцмана и Гиббса микроскопическое обос- Однако еще в конце XIX века Лошмидтом [1] и
нование термодинамики и кинетики представляет Цермело [2] показано, что вероятностные предполо-собой внедрение вероятностной концепции в класси- жения Больцмана противоречат точным теоремам
классической механики [3]: обратимости уравнений классической динамики и теореме Пуанкаре о возвращениях. Широкое распространение в пользу вероятностного подхода получил довод о том, что «оправданием» вероятностных методов является именно колоссальность числа степеней свободы в системах, состоящих из большого числа молекул. Однако применимость существующих предельных теорем теории вероятностей сильно ограничена случаем систем независимых случайных величин, к каковым характеристики взаимодействующих частиц (атомов и молекул) никак не могут быть отнесены.
В течение XX в. многократно предпринимались попытки найти источник противоречия в объединении классической механики с вероятностной концепцией. В этой связи уместно отметить дискретную динамическую кольцевую модель (ring model) Каца [5,6]. Эта модель допускает точное решение и к тому же обладает свойствами обратимости и возвра-щаемости [7-9]. Однако введение в эту модель весьма правдоподобных вероятностных гипотез приводит к качественному изменению свойств решений этой модели. При этом расхождение между точным детерминистским и вероятностным описаниями кольцевой модели ничтожно мало на начальных этапах эволюции системы и нарастает с течением времени.
Таким образом, современное состояние вероятностного обоснования термодинамики в рамках статистической механики может быть охарактеризовано следующим образом:
— именно классическая механическая модель многочастичной системы находится в противоречии с реально существующим необратимым термодинамическим ее поведением;
— введение вероятностного описания многочастичной системы позволяет описать (но не объяснить!) реальную необратимость систем;
— вероятностное описание находится в противоречии с точными теоремами классической механической моделью многочастичной системы.
Поэтому существующее микроскопическое обоснование термодинамики на основе классической механики трудно признать удовлетворительным. Более того, в силу указанных причин объяснение термодинамического поведения системы многих тел в рамках классической механики принципиально невозможно. Поэтому в уточнении нуждается описание механической системы на основе модели и аппарата классической механики. Другими словами, следует выполнить анализ существующих ограничений механической модели многочастичной системы, снятие которых может привести к возможности её термодинамического поведения.
Существует по меньшей мере два фактора, которые могут обусловить необратимое поведение механической системы.
• Динамическое происхождение межатомных взаимодействий. Дело в том, что выбор статических (т.е. не зависящих от времени) межатомных потенциалов в классической многочастичной динамике уже изначально является приближением, поскольку взаимодействия между (электронейтральными) атомами
обусловлены взаимной поляризацией атомов и зависят от их поляризуемостей [10-12]. Это означает, что «мгновенные» взаимодействия между атомами зависят от сравнительно подвижных электронных степеней свободы атомов. Поэтому имеется дополнительный зависящий от времени вклад в межатомные потенциалы, реализующийся через вакуумные флуктуации электромагнитного поля [12, с.263-286]. Таким образом, даже ничтожная в количественном отношении флуктуационная поправка к межатомным потенциалам может приводить к качественному изменению поведения классической системы в силу неустойчивости траекторий динамических систем [13]. В рамках такого подхода в работах [14-15] предложена новая форма уравнения движения системы идентичных классических частиц в терминах микроскопической плотности.
• Второй фактор — эффект запаздывания межатомных взаимодействий. Именно в классической механике полагается, что взаимодействие между частицами зависит только от мгновенных положений частиц, т.е. воздействие частиц друг на друга передается с бесконечной скоростью. Это противоречит теории относительности. Прямой учет эффекта на основе систем обыкновенных дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом, зависящим от самого решения, выходит за рамки возможностей современной математики [16]. В работе [17] предложено описание динамики многочастичной системы с запаздывающими взаимодействиями в терминах микроскопической плотности и исследованы качественные свойства решений полученных уравнений. Доказано, что учет запаздывания взаимодействий приводит к необратимому поведению системы частиц.
Запаздывание взаимодействий является релятивистским эффектом, поэтому построение динамики системы взаимодействующих частиц должно выполняться в рамках теории относительности. Попытки построения такой теории были начаты вскоре после создания специальной теории относительности [18-23] и до настоящего времени не завершены [24-32]. Исключительная сложность этой задачи заключается в том, что у каждой частицы имеется собственное время и движение описывается собственной мировой линией. Эволюция системы в целом определяется совокупностью мировых линий частиц. Если для свободных частиц мировые линии представляют собой независимые прямые линии, то наличие взаимодействий резко усложняет картину [33]. В частности, согласно «The No Interaction Theorem» Кюрье [34-36], гамильтоново описание системы взаимодействующих частиц в терминах их координат qs и импульсов ps несовместимо с принципом релятивистской инвариантности. Иными словами, гамильтоново релятивистское описание системы взаимодействующих частиц в указанных терминах невозможно.
Цель данной работы состоит в разработке релятивистского микроскопического описания эволюции системы идентичных частиц без использования каких бы то ни было вероятностных допущений и гипотез.
1. Вывод основного уравнения
Определим микроскопическую функцию распределения f (гV) системы N идентичных частиц
N
f(r, v,t) = Z S(r - Rs (t))5(v - Rs (t))=
JJ
s=1
dk dq gikr giqv
(2л)3 (2л)3
IX
. s=1
i kRs(t)e-' qRs(t)
(1)
Вычисление сумм типа Z^R (t), Rs(t)) где
s
y(Rs (t), Rs (t)) — произвольная «одно-частичная» функция, будем выполнять по правилу
Zv(Rs (t), Rs (t))=
Z JJdr dvy(r, v)5(r - Rs(t))5(v - Rs(t))=
s
= JJdr dv f (r, v, t)y(r, v).
(2)
Задача состоит в нахождении уравнения движения для микроскопической функции распределения (1). Для этого нужно найти производную этой функции по времени и использовать релятивистское уравнение движения для каждой из частиц с учетом запаздывающего воздействия всех остальных частиц.
Дифференцируя функцию распределения (2) по времени, найдем
д/ (г,у,0_ (д/ (г,у,0 Л (д/ (г, v,t)'N
где
JJ
dt
^f (r, v, t) j =
dk dq i kr i q
---—e e j
\3 x3
dt
dt
(3)
(2л)3 (2л)3
JJ
dk dq ikr (2л)3 (2л)3 g
>Ze-'kRs(t)e-'qRs(t)[-ikRs(t)] (4)
s
(df(r, v, t) 1 _
1 (5)
dt
Выразим оба члена
df (r,v,t)
Ze- kRs (t)g-i qR s(t)[- iqRs(t)]
s
df (r,v,ty
dt
dt
Использование тождества
J = \~i~~3 е'к) = <у •V)5(г) (7)
(2л)3
в этой формуле приводит к окончательному выражению для (д/ (г, у,/)/д/)1:
), = 4 (V /<-,'» = V 4 Л /(-,'> (8)
(д/ (г, V,/) Л
Для вычисления функции ^-—-J требуется вначале выразить Я,, (/) через микроскопическую функцию распределения /(г^,/). В соответствии со вторым законом Ньютона
Я (/)=- т уф( Я,/), (9)
где Ф(Я5,/) — потенциал поля, действующего на 5-ю частицу со стороны всех частиц
Ф(Я, /)=£ V(к - ЯА/ -т))=
= ^ёЯё^Ш(Я5 - Я')/(Я', V', / — х(Я5 - Я')),
тЯ - Я')=я - Я'|/с, (10)
V (Я5 - Я5) — потенциальная энергия взаимодействия двух покоящихся частиц, находящихся в точках Я5 и Я5', т( Я5 - Я5 ) — запаздывание взаимодействий между этими точками, с — скорость света. Подставим (9) и (10) в (5) и найдем
( = .V |>е- ^'/{гГ,/)х
^ д/ ^ (2л)3 J
9 •дг Цж^/(Я, V,/ -т(|г - Я))Г(г - Я)| (11)
Использование тождества (7) приводит к существенному упрощению этой формулы
'д/(г, V, /) Л _
dt
_ 1 (df(r,v,t) d
да l dv dr
JJf(R, V,t-x(|r - R ))W(r - R)dRdV 1. (12)
Объединяя соотношения (3), (8) и (12), получим искомое замкнутое уравнение движения для микроскопической функции распределения /(г^,/):
(df(r,v,ОWv df(r,v,0
dt
dr
через f (r,v,t), используя правило (2). 1 (df(r,v,t) d
Вначале преобразуем правую часть соотношения (4), используя правило (2) и представление Фурье для 5-функций. В итоге получим (д/ (г, V, /У
да
dv dr
JJf(R,V,t-x(|r - R)) W(r - R)dRdV j. (13)
SJJ;
l dt dk dq ikr
<3 zv, \3
В случае если система погружена во внешнее поле ф(г,/), данное уравнение имеет вид
(/(г,V,/)• д/(г,V,/)Л 1 (д/(г,V,/) дф(г,/)Л_
dt
dr
да l dv
dr
(2л)3 (2л)3
■ё"' e
' JJdRdVf(R, V,t)e-kRe-qV (-ikV) =
=1 fv) __5[
да l dv dr I
[JJf(R,V,t-x(| r - R)) W(r - R)dRdV]j.(14)
JdRf(R,v,ek(r-R)(-ikv)[. (6)
(2л)"
2. Необратимость основного уравнения
Рассмотрим качественные выводы, следующие из основного уравнения (13), с акцентом на про-
2
и
2
и
2
блему необратимости во времени его решений. Для этого выполним формальное разложение подынтегрального выражения в этом уравнении по степеням запаздывания т(|г - ). В итоге получим
(д/(г, V, г) л ( д/(г, V, г)|_ ^ дt А дг
1 ^
=1 £(-1)' т ¿—г
п=0
д/(г,V,г) _д_ дv дг
(г - ад г - я\ )]п\
! ^ (^, ^
dRdV I.
(15)
Рассмотрим, как изменяется каждый из членов этого уравнения при операции обращения времени
г ^-г, V V ^^. (16)
В соответствии с определением (1) имеем
/ (г, v,t) ^ / (г,-^-0 = / (г,^0;
д/(г^А ^ д/(г,-v,-t^ д/(г,v,t)
дг
дг
дг
д/(г,^) ^ д/(г,^,-г)^ д/(г, v,t)
дг
дг
дг
(17)
(18) (19)
д/(г, V, г) ^ д/(г^-г) = • (20)
дv
дv
дv
А**-)^Г^ЛД^ (21)
Заметим, что операция обращения времени приводит к изменению знака в левой части уравнения (15). В правой части этого уравнения изменение знака имеет место только для членов с четными значениями п .
Таким образом, уравнение (15) инвариантно по отношению к обращению времени тогда и только тогда, когда запаздывание взаимодействий равно нулю т(г) = 0. Другими словами, запаздывание взаимодействий приводит к необратимому поведению системы частиц.
Заметим, что в классической модели (т.е. при отсутствии запаздывания взаимодействий) уравнение (13) имеет известный вид [37]:
(д/ (г, V, г) у ^ д/ (г, V, г)
дг
дг
1 (д/ (г, V, г) д
т ^
дv дг
Ц/(яу,г) W(г - R)dRdV I = 0. (22)
Это уравнение движения для микроскопической (не вероятностной!) функции распределения инвариантно по отношению к обращению времени.
3. Физическая интерпретация первых членов разложения по запаздыванию
Уравнение (14) в первом неисчезающем приближении по запаздыванию взаимодействий имеет вид
/г^гл^» д/(гущ 1 (д/(гу,г) д<р(г,г)л = дг Аv' дг ) т { дг ' дг ) (23)
= 1 (д/(г^,г) д т I дv дг
[Ц/ (ЯУ ,t)W (г-Я^Я dV
+1 Шгу,г) д
т\ дv дг
JJ{W(г-R)'^(| г-Я)}\
+ (24)
\dRdV. (25)
Рассмотрим каждый из членов, содержащихся в этом уравнении.
• Выражение (23) в этом уравнении по форме в точности соответствует левой части уравнения Больцмана с учетом внешнего поля у(г,г).
• Выражение (24) по форме соответствует учету самосогласованного поля в уравнении Власова. Однако соответствующий член в уравнении Власова содержит вероятностную функцию распределения. Поэтому в уравнении Власова соответствующий член является приближением самосогласованного поля. Уравнение (24) содержит точную микроскопическую функцию распределения и этот вклад, в соответствии с его выводом, является точным.
• Выражение (25) является неким аналогом интеграла столкновений и обусловлено запаздывающей частью поля, создаваемого всеми частицами системы. Однако вместо вероятностей переходов в уравнении Больцмана в данном уравнении содержится «перенормированный потенциал» вида W(г)т(г).
Уравнение (13) (как и (14)) описывает эволюцию точной микроскопической функции распределения системы, которая состоит из идентичных (неквантовых) частиц, взаимодействующих через посредство произвольного двухчастичного потенциала W(г) с учетом запаздывания взаимодействий.
Помимо уравнения Больцмана существуют и другие методы описания кинетических процессов [38-47]. Однако все существующие в настоящее время методы основаны на вероятностных допущениях и гамильтоновом подходе к механике. Существенно, что использование вероятностной концепции как в уравнении Больцмана (через интеграл столкновений), так и в методе ансамблей Гиббса, а также и в последующем развитии кинетической теории имело целью рукотворное введение необратимости в систему частиц. Поскольку запаздывание взаимодействий само по себе приводит к необратимому поведению системы, использование каких бы то ни было вероятностных гипотез перестает быть необходимым.
Заключение
Равновесная и неравновесная статистическая механика основаны на статистическом подходе. Однако этот подход не приводит к пониманию природы необратимости и не является удовлетворительным решением проблемы обоснования термодинамики и кинетики.
Исследование свойств многочастичных систем на основе уравнения (13) радикально отличается как от задач, связанных с уравнением Больцмана, так и от задач равновесной статистической механики.
Обсудим эти вопросы чуть подробнее.
• Математическая постановка классической задачи Коши для уравнения Больцмана довольно тривиальна: к уравнению Больцмана следует добавить начальное условие для функции распределения / (г^1) г=0 .
х
• Постановка задачи Коши для уравнений типа (14), конечно, возможна, но явно недостаточна: эффект запаздывания приводит к тому, что для однозначного решения таких уравнений требуется знать состояние системы не только в начальный момент времени, но и всю предысторию системы. Это обусловлено тем, что эволюция микроскопической функции распределения в каждой точке пространства зависит от состояния системы во всех остальных точках во все предшествующие моменты времени. Поэтому задание начального условия /(г^,/)|(=0 не достаточно для единственности решения задачи Коши, а содержит бесконечный набор решений (пучок траекторий), соответствующих разным вариантам предыстории системы.
Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Министерства образования и науки РФ в рамках базовой части госзаказа (проект № 1755).
1. Loschmidt J. Über den Zustand des Wärmegleichgewichtes eines Systems von Körpern mit Rücksicht auf die Schwerkraft // Sitzungsber. Kais. Akad. Wiss. Wien, Math. Naturwiss. Classe. 1876. Abteilung II. Band 73. S.128-142.
2. Zermelo E. Ueber einen Satz der Dynamik und die mechanische Wärmetheorie // Ann. der Phys. 1896. Band 293. Heft 3. S.485-494.
3. van Strien M. The nineteenth century conflict between mechanism and irreversibility // Studies in History and Philosophy of Modern Physics. 2013. V.44. №3. Р.191-205.
4. Шварц Л. Анализ. Т.1. М.: Мир, 1972. С.39.
5. Kac М. Some remarks on the use of probability in classical statistical mechanics // Bull. Acad. Roy. Belg. Cl. Sci. 1956. V.42. №5. P.356-361.
6. Кац М. Вероятность и смежные вопросы в физике. М.: Мир, Москва, 1965. 408 с.
7. Gottwald G.A., Oliver M. Boltzmann's dilemma — an introduction to statistical mechanics via the Kac ring // SIAM Review. 2009. V.51. №3. P.613-635.
8. Козлов В.В. Статистическая необратимость в обратимой круговой модели Каца // Нелинейная динамика. 2011. Т.7. №1. С.101-117.
9. Козлов В.В. Тепловое равновесие по Гиббсу и Пуанкаре. Москва-Ижевск: РХД, 2002. 320 с.
10. Craig D.P., Thirunamachandran T. Molecular quantum electrodynamics. An Introduction to Radiation - Molecule Interactions. London: Academic Press, 1984. 328 p.
11. Buhmann S.Y. Dispersion Forces I. Microscopic Quantum Electrodynamics and Ground-State Casimir, Casimir-Polder and van der Waals Forces. Heidelberg: Springer, 2012. 330 p.
12. Buhmann S.Y. Dispersion Forces II. Many-body Effects, Excited Atoms, Finite Temperature and Quantum Friction. Heidelberg: Springer, 2012. 309 p.
13. Мартынов Г.А. Неравновесная статистическая механика, уравнения переноса и второе начало термодинамики // УФН. 1996. Т.166. №10. C.1105-1133.
14. Zakharov A.Yu. Exact equation for classical many-particle systems in closed form: from mechanics to statistical thermodynamics. arXiv:1407.4790v1 [cond-mat.stat-mech] (2014).
15. Zakharov A.Yu. Exact equation for classical many-body systems: passage from dynamics to equilibrium // Intern. J. Quant. Chem. 2016. V.116. № 3. P.247-251.
16. Gil' M.I. Stability of vector differential delay equations. Basel: Birkhäuser, 2013. 259 р.
17. Zakharov A.Yu., Zakharov M.A. Classical many-body theory with retarded interactions: Dynamical irreversibility and determinism without probabilities // Phys. Lett. A. 2016. V.380. № 3. P.365-369.
18. Jüttner F. Das Maxwellsche Gesetz der Geschwindigkeitsverteilung in der Relativtheorie // Ann. der Physik. 1911. Band 339. Heft 5. S.856-882.
19. Jüttner F. Die Dynamik eines bewegten Gases in der Relativtheorie // Ann. der Physik. 1911. Band 440. Heft 6. S.145-161.
20. Tetrode H. Über den Wirkungszusammenhang der Welt. Eine Erweiterung der klassischen Dynamik // Zeitschr. für Physik A. 1922. Band 10. Heft 1. S.317-328.
21. Fokker A.D. Ein invarianter Variationssatz für die Bewegung mehrerer elektrischer Massenteilchen // Zeitschr. für Physik A. 1929. Band 58. Heft 5-6. S.386-393.
22. van Dam H., Wigner E.P. Classical Relativistic Mechanics of Interacting Point Particles // Phys. Rev. 1965. V.138. №6B. P.1576-1582.
23. van Dam H., Wigner E.P. Instantaneous and Asymptotic Conservation Laws for Classical Relativistic Mechanics of Interacting Point Particles // Phys. Rev. 1966. V.142. №4. P.838-843.
24. Павлоцкий И.П. Начала слаборелятивистской статистической механики. М.: Высшая школа, 1983. 128 с.
25. Павлоцкий И.П. Цепочки Боголюбова и кинетические уравнения Власова и Вигнера в постгалилеевом приближении // Тр. МИАН СССР. 1989. Т.191.С.162-173.
26. Laserra E., Strianese M., Pavlotsky I.P. One model of singular relativistic Lagrangian // Int. J. Mod. Phys. B. 1995. V.9. № 4-5. P.563-583.
27. de Groot S.R., van Leeuwen W.A., van Weert Ch.G. Relativistic Kinetic Theory: Principles and Applications. Amsterdam: North-Holland, 1980. 417 p.
28. Trump M.A., Schieve W.C. Classical Relativistic Many-Body Dynamics. Dordrecht: Springer, 1999. 370 p.
29. Liboff R. Kinetic Theory: Classical Quantum and Relativistic Descriptions. New York: Springer, 2003. 572 p.
30. Hakim R. Introduction to Relativistic Statistical Mechanics: Classical and Quantum. New Jersey: World Scientific, 2011. 538 p.
31. Cercignani C., Kremer G.M. The Relativistic Boltzmann Equation: Theory and Applications. Basel: Birkhäuser, 2002. 384 p.
32. Gallavotti G. Nonequilibrium and Irreversibility. New York: Springer, 2014. 250 p.
33. Dirac P.A.M. Forms of Relativistic Dynamics // Rev. Mod. Phys. 1949. V.21. №3. P.392-399.
34. Currie D.G. Interaction contra Classical Relativistic Hamiltonian Particle Mechanics // J. Math. Phys. 1963. V.4. №12. P.1470-1488.
35. Cannon J.T., Jordan T.F. A No-Interaction Theorem in Classical Relativistic Hamiltonian Particle Dynamics // J. Math. Phys. 1964. V.5. №3. P.299-307.
36. Martin J., Sanz J.L. Slow motion approximation in predictive relativistic mechanics. II. A noninteraction theorem for interactions derived from the classical field theory // J. Math. Phys. 1979. V.20. №1. P.25-34.
37. Кадомцев Б.Б. О флуктуациях в газе // ЖЭТФ. 1957. Т.32. №4. С.943-944.
38. Боголюбов Н.Н. Кинетические уравнения // ЖЭТФ. 1946. Т.16. №8. С.691-702.
39. Born M., Green H.S. A General Kinetic Theory of Liquids I. The Molecular Distribution Functions // Proc. Roy. Soc. A. 1946. V.188. №1012. P.10-18.
40. Kirkwood J.G. The Statistical Mechanical Theory of Transport Processes I. General Theory // J. Chem. Phys. 1946. V.14. №3. P.180-201.
41. Yvon J. La théorie statistique des fluides et l'équation d'état // Actual. Sci. Indust. No.203. Hermann, Paris, 1935.
42. Боголюбов Н.Н. Проблемы динамической теории в статистической физике. М.-Л.: ГИТТЛ, 1946. 118 с.
43. Ахиезер А.И., Пелетминский С.В. Методы статистической физики. М.: Наука, 1977. 367 с.
44. Зубарев Д.Н. Неравновесная статистическая термодинамика. М.: Наука, 1971. 416 с.
45. Зубарев Д.Н., Морозов В.Г., Рёпке Г. Статистическая механика неравновесных процессов. Том 1-2. М.: ФМЛ, 2002.
46. Кайзер Дж. Статистическая термодинамика неравновесных процессов. М.: Мир, 1990. 608 с.
47. Cercignani C., Gerasimenko V.I., Petrina D.Ya. Many-Particle Dynamics and Kinetic Equations. Dordrecht: Springer, 1997. 252 с.
References
1. Loschmidt J. Über den Zustand des Wärmegleichgewichtes eines Systems von Körpern mit Rücksicht auf die Schwerkraft, Sitzungsber. Akademie der Wissenschaften in Wien. Mathematisch-Naturwissenschaftliche Klasse, Abteilung II, 1876, Band 73, S. 128-142.
2. Zermelo E. Ueber einen Satz der Dynamik und die mechanische Wärmetheorie. Annalen der Physik, 1896, Band 293, Heft 3, S.485-494.
3. van Strien M. The nineteenth century conflict between mechanism and irreversibility. Studies in History and Philosophy of Modern Physics, 2013, vol. 44, no. 3, pp. 191205.
4. Schwartz L. Analyse mathématique. 2 vols. Paris, Hermann, 1967. (Russ. ed.: Shvarts L. Analiz. Vol. 1. Moscow, "Mir" Publ., 1972, p. 39).
5. Kac M. Some remarks on the use of probability in classical statistical mechanics. Académie Royale de Belgique. Bulletin de la Classe des Sciences, 1956, vol. 42, no. 5, pp. 356-361.
6. Kac M. Probability and related topics in physical sciences. London, New York, Interscience, 1959. 266 p. (Russ. ed.: Kats M. Veroiatnost' i smezhnye voprosy v fizike. Moscow, "Mir" Publ., 1965. 405 p.).
7. Gottwald G.A., Oliver M. Boltzmann's dilemma - an introduction to statistical mechanics via the Kac ring. SIAM Review, 2009, vol. 51, no.3, pp. 613-635.
8. Kozlov V.V. Statisticheskaia neobratimost' v obratimoi krugovoi modeli Katsa [Statistical irreversibility of the Kac reversible circular model]. Nelineinaia dinamika - Russian Journal of Nonlinear Dynamics, 2011, vol. 7, no. 1, pp. 101117.
9. Kozlov V.V. Teplovoe ravnovesie po Gibbsu i Puankare [The heat equilibrium by Gibbs and Poincare]. Moscow-Izhevsk, ICS Publ., 2002. 320 p.
10. Craig D.P., Thirunamachandran T. Molecular quantum electrodynamics. An Introduction to Radiation - Molecule Interactions. London, Academic Press, 1984. 324 p.
11. Buhmann S.Y. Dispersion Forces I. Microscopic Quantum Electrodynamics and Ground-State Casimir, Casimir-Polder and van der Waals Forces. Heidelberg, Springer, 2012. 330 p.
12. Buhmann S.Y. Dispersion Forces II. Many-body Effects, Excited Atoms, Finite Temperature and Quantum Friction. Heidelberg, Springer, 2012. 309 p.
13. Martynov G.A. Neravnovesnaia statisticheskaia mekhanika, uravneniia perenosa i vtoroe nachalo termodinamiki [Non-equilibrium statistical mechanics, transport equations, and the second law of thermodynamics]. Uspekhi fizicheskikh nauk -Physics-Uspekhi (Advances in Physical Sciences), 1996, vol. 39, no. 10, pp. 1045-1070.
14. Zakharov A.Yu. Exact equation for classical many-particle systems in closed form: from mechanics to statistical thermodynamics. arXiv:1407.4790v1 [cond-mat.stat-mech] (2014).
15. Zakharov A.Yu. Exact equation for classical many-body systems: passage from dynamics to equilibrium. International Journal of Quantum Chemistry, 2016, vol. 116, no. 3, pp. 247-251.
16. Gil' M.I. Stability of vector differential delay equations. Basel, Birkhäuser, 2013.
17. Zakharov A.Yu., Zakharov M.A. Classical many-body theory with retarded interactions: dynamical irreversibility and determinism without probabilities. Physics Letters A, 2016, vol. 380, no. 3, pp. 365-369.
18. Jüttner F. Das Maxwellsche Gesetz der Geschwindigkeitsverteilung in der Relativtheorie. Annalen der Physik, 1911, Band 339, Heft 5, S. 856-882.
19. Jüttner F. Die Dynamik eines bewegten Gases in der Relativtheorie. Annalen der Physik, 1911, Band 440, Heft 6, S. 145161.
20. Tetrode H. Über den Wirkungszusammenhang der Welt. Eine Erweiterung der klassischen Dynamik. Zeitschrift für Physik A, 1922, Band 10, Heft 1, S. 317-328.
21. Fokker A.D. Ein invarianter Variationssatz für die Bewegung mehrerer elektrischer Massenteilchen. Zeitschrift für Physik A, 1929, Band 58, Heft 5-6, S. 386-393.
22. van Dam H., Wigner E.P. Classical relativistic mechanics of interacting point particles. Physical Review B, 1965, vol. 138, no. 6, pp. 1576-1582.
23. van Dam H., Wigner E.P. Instantaneous and Asymptotic Conservation Laws for Classical Relativistic Mechanics of Interacting Point Particles. Physical Review, 1966, vol. 142, no. 4, pp. 838-843.
24. Pavlotskii I.P. Nachala slaboreliativistskoi statisticheskoi mekhaniki [Elements of weakly relativistic statistical mechanics]. Moscow, "Vysshaia shkola" Publ., 1983. 128 p.
25. Pavlotskii I.P. Tsepochki Bogoliubova i kineticheskie urav-neniia Vlasova i Vignera v postgalileevom priblizhenii [The Bogolyubov chain of equations and kinetic Vlasov and Wigner equations in postgalilean approximation]. Trudy MIAN SSSR, 1989, vol. 191, pp. 162-173.
26. Laserra E., Strianese M., Pavlotsky I.P. One model of singular relativistic Lagrangian. International Journal of Modern Physics B, 1995, vol. 9, no. 4-5, pp. 563-583.
27. de Groot S.R., van Leeuwen W.A., van Weert Ch.G. Relativ-istic Kinetic Theory: Principles and Applications. Amsterdam, North-Holland, 1980. 417 p.
28. Trump M.A., Schieve W.C. Classical Relativistic Many-Body Dynamics. Dordrecht, Springer, 1999. 370 p.
29. Liboff R. Kinetic Theory: Classical Quantum and Relativistic Descriptions. New York, Springer, 2003. 572 p.
30. Hakim R. Introduction to Relativistic Statistical Mechanics: Classical and Quantum. New Jersey, World Scientific, 2011. 568 p.
31. Cercignani C., Kremer G.M. The Relativistic Boltzmann Equation: Theory and Applications. Basel, Birkhäuser, 2002. 384 p.
32. Gallavotti G. Nonequilibrium and Irreversibility. New York, Springer, 2014. 248 p.
33. Dirac P.A.M. Forms of relativistic dynamics. Reviews of Modern Physics, 1949, vol. 21, no. 3, pp. 392-399.
34. Currie D.G. Interaction contra classical relativistic Hamilto-nian particle mechanics. Journal of Mathematical Physics, 1963, vol. 4, no. 12, pp. 1470-1488.
35. Cannon J.T., Jordan T.F. A no-interaction theorem in classical relativistic Hamiltonian particle dynamics. Journal of Mathematical Physics, 1964, vol. 5, no. 3, pp. 299-307.
36. Martin J., Sanz J.L. Slow motion approximation in predictive relativistic mechanics. II. A noninteraction theorem for interactions derived from the classical field theory. Journal of Mathematical Physics, 1979, vol. 20, no. 1, pp. 25-34.
37. Kadomtsev B.B. O fluktuatsiiakh v gaze [On fluctuations in gas]. Zhurnal eksperimental'noi i teoreticheskoi fiziki (ZhETF) - Journal of Experimental and Theoretical Physics (JETP), 1957, vol. 32, no. 4, pp. 943-944.
38. Bogoliubov N.N. Kineticheskie uravneniia [Kinetic equations]. Zhurnal eksperimental'noi i teoreticheskoi fiziki (ZhETF) - Journal of Experimental and Theoretical Physics (JETP), 1946, vol. 16, no. 8, pp. 691-702.
39. Born M., Green H.S. A general kinetic theory of liquids I. The molecular distribution functions. Proceedings of the Royal Society A, 1946, vol. 188, no. 1012, pp.10-18.
40. Kirkwood J.G. The statistical mechanical theory of transport processes I. General Theory. Journal of Chemical Physics, vol. 14, no. 3, 1946, pp. 180-201.
41. Yvon J. La théorie statistique des fluides et l'équation d'état. Actual. Sci. et Indust., no. 203. Hermann, Paris, 1935.
42. Bogoliubov N.N. Problemy dinamicheskoi teorii v statis-ticheskoi fizike [Problems of dynamic theory in statistical physics]. Moscow-Leningrad, "Gosudarstvennoe izdatel'stvo tekhniko-teoreticheskoi literatury" Publ., 1946. 123 p.
43. Akhiezer A.I., Peletminskii S.V. Metody statisticheskoi fiziki [Methods of statistical physics]. Moscow, "Nauka" Publ., 1977. 367 p.
44. Zubarev D.N. Neravnovesnaia statisticheskaia termodi-namika [Nonequilibrium statistical thermodynamics]. Moscow, "Nauka" Publ., 1971. 416 p.
45. Zubarev D.N., Morozov V.G., Ropke G. Statisticheskaia mekhanika neravnovesnykh protsessov [Statistical mechanics of nonequilibrium processes]. Vols. 1 -2. Moscow, "Fizmat-lit" Publ., 2002.
46. Keizer J. Statistical thermodynamics of nonequilibrium processes. New York, Springer, 1987. 526 p. (Russ. ed.: Kaizer Dzh. Statisticheskaia termodinamika neravnovesnykh prot-sessov. Moscow, "Mir" Publ., 1990. 608 p.).
47. Cercignani C., Gerasimenko V.I., Petrina D.Ya. Many-Particle Dynamics and Kinetic Equations. Dordrecht, Springer, 1997. 252 p.
