CC BY
40
2066
Фундаментальные проблемы теоретической и прикладной механики Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (5), с. 2066-2068
УДК 532.22, 537.634
СТАТИЧЕСКИЕ ФОРМЫ ПОВЕРХНОСТИ МАГНИТНОЙ ЖИДКОСТИ В ПОЛЕ ПРОВОДНИКА С ТОКОМ
© 2011 г. А.С. Виноградова, Т.И. Волкова
НИИ механики Московского госуниверситета им. М.В. Ломоносова
Поступила в редакцию 24.08.2011
Решена задача о статической форме поверхности капли магнитной жидкости около линейного проводника с током, расположенного на оси осесимметричной поверхности переменного сечения. Показано, что гистерезис формы магнитной жидкости отсутствует. Также исследована форма поверхности намагничивающейся жидкости в поле горизонтального проводника с током с учетом силы тяжести и поверхностного натяжения среды. Показано, что при фиксированном токе существуют несколько односвязных решений, удовлетворяющих условиям смачивания на стенках сосуда.
Ключевые слова: магнитная жидкость, свободная поверхность, магнитное поле, линейный проводник.
Постановка и решение задачи о капле магнитной жидкости на проводнике переменного сечения
Пусть тяжелая, несжимаемая, однородная, изотермическая магнитная жидкость (МЖ) объемом V окружает линейный проводник радиуса г0 с током I. Проводник находится на оси осесимметричной поверхности, которая представляет собой две конические поверхности с углами раствора а1 и а2 (рис. 1). Вокруг МЖ находится немагнитная жидкость с той же плотностью. Поверхность МЖ есть поверхность вращения, т.е. г = к(г), г2 = х2 + у2 (ось г направлена по оси проводника), и магнитное поле проводника Н = = 21/(сг) не искажается на поверхности МЖ.
Рис. 1
Намагниченность МЖ M описывается формулой Ланжевена:
1
M& = MsL(%), L(%) = cthß) --,
5
5 =
mH
~kT'
MS
Здесь Т — температура, к — константа Больцмана, Ы5 — намагниченность насыщения МЖ, п — число ферромагнитных частиц в единице объема МЖ.
В случае несмачивания МЖ твердых стенок форма верхней поверхности контакта жидкостей Н1(г) и форма нижней поверхности контакта жидкостей к2(г) в безразмерной форме имеют вид [1]:
га о
* * г и, *
кЛГ ) = —{(1 — ^ + ^,
*
Gl (г*) = С= + Вг* + (—1)1 Р \г*Р*йт*, г г *
P (г ) = ln
'sh(5oH*)Л 5o H *
(2)
m = -
(1)
B2(г2, гй ) = —B\(г\, гй X 2~1 = ^ 1 = 1,2
где гй — максимальный радиус капли, г1 — расстояние от проводника до точки касания поверхности к.(г) твердой стенки. Здесь введены безразмерные параметры: г* = г/г0, к* = к/г0, Н = Н/Н0, Н0 = = 21/(сг0), ^0 = тН0/кТ, Р1 = пкТг0/с, Л= = Яс/г0, где
0 — коэффициент поверхностного натяжения. Далее звездочки опускаются. На линиях контакта трех сред выполняется условие Юнга, которое дает граничные условия: О (г = г) = —ео8(01 — а1),
1 = 1, 2, где 01, 02 — углы смачивания. Из граничных условий и уравнений О1(г^) = (— 1)1 определяются значения констант В и С.
г г
Ранее в [1] было показано, что для капли МЖ на линейном проводнике для некоторых значений тока ^0 зависимость V = V(гd) имеет неоднознач-
n
ный немонотонный вид, некоторым значениям V соответствуют три значения г и возможен гистерезис формы МЖ. На рис. 2 приведена зависимость V = У(г^ для фиксированных значений тока при 01 = 02 = 2п/3, а1 = а2 = п/360, P1 = 42.3 (г0 = 0.065 см, T = 300 К, п = 1.891017 см-3, о = = 12 дин/см). На рис. 2 кривая 1 соответствует ^0 = 0.8, кривая 2 - ^0 = 1, кривая 3 - ^0 = 1.3, кривая 4 - ^0 = 1.5, кривая 5 - ^0 = 1.6. При любых значениях ^0 эта зависимость имеет однозначный монотонный вид. Следовательно, для капель МЖ около проводника с током, расположенного на оси конических поверхностей с разными углами раствора, гистерезис формы МЖ при циклическом увеличении и уменьшении тока в проводнике отсутствует, в отличие от капель МЖ на линейном проводнике с током.
Рис. 3
Уравнение свободной поверхности z = h(x)
имеет вид
p0\ - p02 - (p1 -р2)g(h -є) +
+ nkT ln
'sh(mH /( kT ))Л
= ±2cK,
(3)
mH /(kT )
v /
где О — поверхностное натяжение, K — средняя кривизна поверхности. Знак +(—) выбирается в случае, если МЖ выше (ниже) ненамагничиваю-щейся среды. Вводя натуральную параметризацию кривой (угол 0 отсчитывается по часовой стрелке) и безразмерные параметры х* = x/d, h* = h/d,
l* = l/d, H0 = 2I/(ce), c0 = mHJ(kT), H = H/H0, из уравнения (3) получим систему дифференциальных уравнений:
C - Gg (h -г ) + P ln
Ґ * Л
f sh(^oH ) ^
*
^oH
dl
dh . . dx .
—- = - sin 0, —- = cos 0,
(4)
Рис. 2
Постановка и решение задачи
о магнитной жидкости между горизонтальными плоскостями в поле проводника с током
Рассмотрена МЖ, находящаяся между горизонтальными плоскостями в магнитном поле проводника с током. В [2] была численно рассчитана форма поверхности МЖ без учета поверхностного натяжения среды в случае малых магнитных полей. МЖ расположена в цилиндрическом сосуде прямоугольного сечения, ось которого горизонтальна. Параметры магнитной и немагнитной сред обозначены индексами 1 и 2 соответственно, р2 > р2. Рассмотрен случай смачивания. Магнитное поле создается прямолинейным проводником, расположенным в точке (0, е) параллельно поверхности жидкости в отсутствие тока (рис. 3). Намагниченность МЖ описывается формулой (1). Магнитное поле определяется формулой H = 27/0, г = (х2 + (г - е)2)05, причем изменением поля в намагничивающейся жидкости пренебрегается.
где С = Рт - р02, ° = (р1 - р2)&<я,2/о, Р = пкТШо. Параметр С определяет форму поверхности МЖ,
* У *
которая пересекает ось г в точке Л0 .
На рис. 4 приведена зависимость безразмерного объема МЖ V от точки Л при фиксированном токе I = 10 А и угле смачивания 0 = 40° (О = 4.7, Р = 267.4, Т = 300 К, о = 20.7 дин/см).
Рис. 4
Показано, что при I = const существуют несколько односвязных решений, удовлетворяющих условиям смачивания на стенках: 1) капля на нижней плоскости (+); 2) слой магнитной жидкости
на дне сосуда (° ); 3) капля под проводником (◊). При этом в каждом случае объем МЖ различен. Необходимое решение при заданном токе в проводнике выбирается из условия сохранения начального объема намагничивающейся среды и зависит от истории задачи.
Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант №10-01-90001).
Список литературы
1. Налетова В. А., Турков В. А., Виноградова А.С. // Современные проблемы электрофизики и электрогидродинамики жидкостей: Сб. IX Междунар. науч. конф. 2009. С. 360-364.
2. Налетова В.А., Волкова ТИ., Рекс А.Г, Тур -ков В. А. // Современные проблемы электрофизики и электрогидродинамики жидкостей: Сб. IX Междунар. науч. конф. 2009. С. 355-359.
STATIC SHAPES OF THE SURFACE OF A MAGNETIC FLUID IN THE FIELD OF A LINE CONDUCTOR
A.S. Vinogradova, T.I. Volkova
The problem of the static shape of the surface of a magnetic fluid drop in the vicinity of a line conductor located on the axis of an axisymmetric surface with a variable cross section is solved. It is shown that the hysteresis of the shape of the magnetic fluid is absent. The surface shape of a magnetized fluid in the field of a horizontal conductor is also investigated, taking into account the gravity force and the surface tension of the medium. It is shown that, for a fixed value of the current, there exist several simply connected solutions satisfying the wetting conditions on the walls of the vessel.
Keywords: magnetic fluid, free surface, magnetic field, line conductor.
