Статическая модель оптимизации финансового результата фирмы Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

УДК 330.44

СТАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ОПТИМИЗАЦИИ ФИНАНСОВОГО РЕЗУЛЬТАТА ФИРМЫ

С. А. ДЗЮБА,

кандидат технических наук, доцент кафедры экономической теории и финансов E-mail: dfirk@mail. ru Иркутский государственный технический университет

В представленной модели прибыль фирмы аналитически выражается через использование таких ресурсов, как запасы, дебиторская задолженность, численность персонала с учетом снижения их предельной эффективности. В качестве источника этих ресурсов выступают только денежные средства, получаемые как от операционной деятельности, так и за счет кредита, поэтому единственным ограничением модели стала величина абсолютной ликвидности.

Ключевые слова: производственная функция, оптимизация, финансовый результат.

Постановка задачи

Модель финансового результата фирмы должна решать задачу нахождения максимума прибыли компании при наличии ограничения на используемые ресурсы. В качестве таковых могут выступать как материальные ресурсы, непосредственно используемые для производства продукции, так и финансовые и организационные ресурсы, влияющие на финансовый результат. Это позволяет формализовать модель как задачу линейного или целочисленного программирования и использовать для ее решения доступные программные средства вплоть до электронных таблиц [2].

Теория и методология решения таких задач в общем виде хорошо разработана. Однако практические результаты нельзя назвать интересными, поскольку в получаемом решении из всего производимого предприятием ассортимента формируется предпочтение в пользу заведомо самых прибыльных видов продукции, производство которых в модели ограничивается только некоторым набором дефицитных ресурсов, а не внешним спросом. Получает-

ся, что если в качестве решения ожидалось получить структуру оптимального производственного плана, то он будет нереалистичным из-за преобладания дорогих видов продукции, что одновременно будет искажать и структуру потребляемых ресурсов. Корректировка решения путем введения искусственных ограничений приводит к тому, что исследователь, вместо того чтобы выявить искомую структуру, сам начинает диктовать, какой она должна быть, на его взгляд.

Другим распространенным и хорошо разработанным способом моделирования является представление производственной функции фирмы в рамках модели Кобба - Дугласа

*=вп ка, ха=1 (!)

/ /

где * - объем производства;

Р - коэффициент пропорциональности;

К. - величина 7-го фактора;

а. - доля фактора.

В некоторых случаях используется ее обобщение в виде CES-функции

* = Р^ха.к7^ , ха= 1, р > о. (2)

Она представляет собой обобщенное среднее набора факторов, в то время как функция Кобба -. Дугласа - среднегеометрическое как ее частный случай. Общим их свойством выступает то, что они объединяют набор факторов с постоянной эластичностью замещения. Это свойство является сильным упрощением действительности, значительно снижающим адекватность основанных на них экономических моделей, но существенно облегчающих их математическую конструкцию. Одновременно это не позволяет максимизировать функцию (2),

поскольку результат становится тривиальным. Введение в модели производственных функций с более общими свойствами эластичности замещения представляет собой пока еще очень молодую область исследований [3].

Другая важная особенность CES-функции заключается в том, что она представляет собой функцию эндогенных факторов производства, не используя экзогенных. В ней влияние внешних рыночных факторов если и может быть косвенно выражено, то через внутренние параметры. Например, величина используемого капитала должна порождать такой объем производства, который соответствует величине спроса.

В оптимизационной задаче, прямо или косвенно максимизирующей объем производства, использование эндогенных факторов как переменных величин породит проблемы неограниченности производственной функции. Так, увеличением капитала К в функциях (1) и (2) можно получить сколь угодно большое значение 5. Если же величина капитала будет ограничена, то в оптимальном решении его использование будет в точности соответствовать этому ограничению, т. е. ограничение по капиталу будет всегда активно. В таком случае в производственной функции, которую в последующем предполагается использовать в оптимизационной задаче, ключевой фактор производства не должен являться переменной, а должен быть константой модели, косвенно выражающей рыночные ограничения на объем производства.

Исходя из этого, зададим производственную функцию предприятия в виде

5 = а РАрР П й-, (3)

г

где 5 - объем продаж;

ар - коэффициент отдачи основного фактора (фондоотдача);

Арр - величина основного производственного фактора (для определенности - производственных фондов);

- набор вспомогательных факторов, каждый из которых отражает интенсивность использования тех или иных ресурсов предприятия. Каждый вспомогательный фактор представляет собой понижающий или повышающий безразмерный множитель, задаваемый в виде степенной функции вида

й (д) = bqа + с, (4)

где q - показатель интенсивности;

а, Ь и с - параметры степенной функции, посредством которых показатель интенсивности q преобразуется в значение вспомогательного фактора.

Такое преобразование всегда возможно, поскольку для функции (4), проходящей через точки (д, й) и ^', й'), такие что q < q' и й < й' < с или й > й' > с будет

(

a = ln

Q - c

ln

' q Л

Q'- c, (Q - c)

b =

(q У

(5)

(6)

Производственную функцию (3) удобно использовать в задачах с максимизацией финансового результата, поскольку представление вспомогательных факторов в виде (4) обеспечивает ее ограниченность сверху по переменным Q , которые выполняют роль штрафных функций.

Величина App может быть выражена в стоимостных или натуральных единицах. Тогда коэффициент отдачи ap должен иметь размерность такую, чтобы произведение ap4pp было выражено в стоимостных единицах.

Статическая модель финансового результата

В качестве статической модели финансового результата рассмотрим следующую задачу:

max p = s - e, (7)

Q ,L

M'(q) / Lc >X, (8)

где Q. - вспомогательные факторы производства

(4);

L - кредитные обязательства; p - прибыль;

s - продажи в соответствии с производственной функцией (3); e - затраты;

ц - остаток денежных средств; q - вектор нормативов интенсивности использования средств;

Lc - все краткосрочные обязательства; X - норматив мгновенной ликвидности. Величина затрат определяется как

e = ем + eh + e f + + ei,

(9)

где ем - прямые переменные затраты, определяемые из величины торговой наценки 5 как

вм = 5 /(1 + 5);

q

еъ - затраты на оплату труда основного персонала, определяемые из величины средней заработной платы р и фондовооруженности qAh как е = Р^, где \ = АРР / qAh - численность персонала;

е; - постоянные затраты, включая оплату труда работников, не относящихся к категории основных;

еА - амортизация, определяемая исходя из норматива 5 как еА = дАР . Если основные средства предприятие арендует, то эти затраты включаются в состав постоянных затрат е; е1 - финансовые издержки, определяемые исходя из норматива ставки процента . через величину кредитных обязательств Ь как

е=7Ь •

Чтобы избежать излишнего загромождения модели, налоговая компонента опущена, поскольку она принципиально не влияет на получаемые результаты. При желании она может быть добавлена в модель.

Наличие денежных средств определяется как

М = М* +Ь-Мм-М/ -e/, (10) где ц* - денежная выручка от продаж * в соответствии с нормативом периода оборота дебиторской задолженности qS = / * = I + * - ц*) / *, где 5 - дебиторская задолженность текущего отчетного периода, I - длительность отчетного периода в днях, а дебиторская задолженность предыдущего периода = 0, поскольку модель статическая. Отсюда следует, что ц* = *(1 - qS /1). Подобный прием выражения денежного потока через период оборота будет использоваться и далее; L - поступление кредитных средств; цм - оплата поставщикам за товар (материалы), поступившие в запас (производство) в соответствии с нормативом периода оборота кредиторской задолженности qp и периода оборота запасов чМ: Мм = ем (1 + qм /1) (1 - qp /1); цн - выплата заработной платы в соответствии с нормативом периода оборота задолженности перед персоналом qh: цн = eh (1 - qh /1); М;- оплата по расчетам с контрагентами, формирующими постоянные затраты, в соответствии с нормативом периода оборота задолженности перед ними q/; ц; = е; (1 - q; /1). В результате решения задачи (7) - (10) будут получены оптимальные значения периодов оборота q и объема привлеченных обязательств Ь. Потреб-

ность в последних может возникнуть в оптимальном решении, если окажется выгодным привлечение дополнительных ресурсов, вызывающее дефицит денежных средств как нарушение ограничения (8), покрываемое за счет кредитных ресурсов.

Верификация модели

Рассмотрим пример модели с тремя вспомогательными факторами Ч1, Ч2, Ч3, в котором Арр выражено в торговой площади, тогда фондоотдача ар -это продажи с 1 м2. Пусть Ч1 = чан = АРР / - это фондовооруженность (И^ - численность персонала), которая в таком случае будет отражать количество торговой площади на одного продавца. Чем меньше продавцов будет приходиться на 1 м2, тем хуже будет охват покупателей и, соответственно, ниже объем продаж. Предположим, что:

- на одного продавца приходится 130 м2 торговой площади, то это приводит к падению продаж на 10 % (Ч1 = 130, <21 = 0,9);

- на одного продавца приходится 100 м2 торговой площади, то это не изменяет объема продаж (Ч1' = 100,2' = 1);

- каким бы количеством продавцов мы ни располагали, это не может увеличить продаж более чем на 10 % (с1 = 1,1).

Тем самым мы задаем точки, требуемые для применения (5) - (6).

Выберем в качестве второго вспомогательного фактора величину периода оборота дебиторской задолженности ч2 = = 15 / *, где I - длительность отчетного периода в днях; 5 - величина дебиторской задолженности; * - объем продаж. Дебиторская задолженность образуется в результате рассрочки, предоставляемой покупателю, которая служит фактором, привлекающим покупателя и увеличивающим объем продаж. Тогда период оборота характеризует среднюю длительность рассрочки. Предположим, что:

- период оборота составляет 10 дней, тогда это приводит к падению продаж на 10 % (ч2 = 10,

22 = 0,9);

- период оборота составляет 30 дней, тогда это приводит к росту продаж на 10 % (Ч2' = 30, 22'=1,1);

- какой бы большой ни была рассрочка, это не может увеличить продаж более чем на 15 % (с2 = 1,15). 2 Третьим вспомогательным фактором возьмем

величину товарного запаса, т. е. Ч3 = Чм = 1М / ем -

период оборота запасов, где I - длительность отчетного периода в днях; М- стоимостная величина запаса; вм - себестоимость проданного товара. При недостаточных запасах объем продаж снижается из-за дефектуры товара (более подробно этот эффект и модель прогнозирования продаж рассмотрены в работе [1]). Тогда предположим, что:

- если период оборота запасов составляет 40 дней, то это приводит к падению продаж на 50 % из-за дефектуры запасов (д3 = 40, йз = 0,5);

- если период оборота запасов составляет 120 дней, то это приводит к росту продаж на 20 % (дъ' = 120, йз' = 1,2);

- какими бы большими ни были запасы, это не может увеличить продаж более чем на 30 % (с3 = 1,3). з Таким образом, формализованы три гипотезы о

влиянии фондовооруженности, дебиторской задолженности и запасов на величину объема продаж. Даже если изначально они окажутся неудачными, в процессе численных расчетов они могут быть скорректированы, если модель окажется недостаточно адекватной.

В качестве начальных значений модели зададим:

- величину торговой площади как основного производственного фактора равным Арр = 1 000 м2 с отдачей ар = 120 тыс. руб. с 1 м2 в год при торговой наценке 50 %;

- вспомогательные факторы д1, д2, д3 для наглядности подберем такими, чтобы й1 = й2 = й3 = 1. В соответствии с выражением (3) это обеспечит объем продаж 5 = 120 млн руб. в год при себестоимости товара 80 млн руб. и численность продавцов 10 чел;

- годовую оплату труда одного продавца с начислениями в размере 440 тыс. руб., что составит общую сумму затрат в 4,4 млн руб. в год;

- общие постоянные издержки, включая зарплату работников администрации, в сумме 16 млн руб. в год;

- основные средства в сумме 40 млн руб. с амортизацией 8 млн руб. в год, которым соответствуют собственные источники финансирования (нераспределенная прибыль). Представленный набор данных позволяет сформировать полную финансовую отчетность, состоящую из баланса, отчета о прибылях и убытках и отчета о движении денежных средств, что обеспечивает надежный контроль за корректностью расчетов.

Анализируя данные, представленные в табл. 1, можно убедиться, что финансовая отчетность соответствует заданным начальным данным. Ограничение (8) заведомо выполнено, поскольку денежных средств почти столько же, сколько краткосрочных обязательств. Это говорит о наличии ресурсов для увеличения запасов, рассрочки покупателям и найма дополнительного персонала, что в конечном итоге должно привести к увеличению прибыли.

Для моделирования мобилизации этих ресурсов следует воспользоваться инструментом «Поиск решения», входящим в состав надстроек электронных

Таблица 1

Финансовая отчетность по начальным данным, тыс. руб.

Показатель Значение

Баланс

Актив 58 574

Постоянные активы: 32 000

Оборотные активы, всего 26 574

В том числе:

- товарные запасы 14 924

- дебиторская задолженность 4 725

- денежные средства 6 925

Пассив 58 574

Собственные средства, всего 51 600

В том числе:

- нераспределенная прибыль 40 000

- прибыль текущего периода 11 600

Заемные средства, всего 6 974

В том числе:

- долгосрочные обязательства -

- краткосрочные обязательства, в том числе: 6 974

краткосрочные кредиты -

кредиторская задолженность 6 607

расчеты с персоналом 367

Отчет о прибылях и убытках

Продажи 120 000

Затраты, всего -108 400

В том числе:

- себестоимость товара -80 000

- материалы, услуги, накладные -16 000

- оплата труда -4 400

- амортизация -8 000

- проценты по кредитам -

Прибыль 11 600

Движение денежных средств

Поступления от продаж 115 275

Платежи поставщикам -104317

Выплата заработной платы -4 033

Расчеты по краткосрочным кредитам -

Исходящий остаток 6 925

Рентабельность капитала, % 22,5

Рентабельность продаж, % 9,7

таблиц MS Excel. В соответствии с задачей (7) - (8) в интерфейсе инструмента должно быть указано, что максимизируется значение ячейки, содержащей расчет прибыли, при ограничении на мгновенную ликвидность, путем изменения ячеек, содержащих значения вспомогательных факторов qp q2, q3. В первом варианте оптимального решения норматив мгновенной ликвидности зададим X = 0,2, а кредитные ресурсы использовать не будем. Полученное решение представлено в табл. 2.

В основном ресурсы были направлены на пополнение запасов, во вторую очередь - на предостав-

Таблица 2

Результат моделирования без кредитных ресурсов, тыс. руб.

ление рассрочки через дебиторскую задолженность, в последнюю очередь - на найм дополнительного персонала. Полученные оптимальные значения 21 = 1,046 (соответствует фондовооруженности 79 м2 на 1 чел. при численности персонала 12,6 чел.), 22 = 1,078 (соответствует периоду оборота дебиторской задолженности 23 дня) и 22 = 1,145 (соответствует периоду оборота запасов 95 дней).

Во втором варианте оптимального решения в качестве переменной модели добавим величину кредитных ресурсов Ь при ставке 7 = 15 % годовых. Полученное решение представлено в табл. 3.

Таблица 3

Результат моделирования с кредитными ресурсами, тыс. руб.

Показатель Значение

Баланс

Актив 71 101

Постоянные активы: 32 000

Оборотные активы, всего 39 101

В том числе:

- товарные запасы 27 276

- дебиторская задолженность 10 016

- денежные средства 1 809

Пассив 71 101

Собственные средства, всего 62 057

В том числе:

- нераспределенная прибыль 40 000

- прибыль текущего периода 22 057

Заемные средства, всего 9 044

В том числе:

- долгосрочные обязательства -

- краткосрочные обязательства, в том числе: 9 044

краткосрочные кредиты -

кредиторская задолженность 8 582

расчеты с персоналом 462

Отчет о прибылях и убытках

Продажи 154 804

Затраты, всего -132 748

В том числе:

- себестоимость товара -103 203

- материалы, услуги, накладные -16 000

- оплата труда -5 545

- амортизация -8 000

- проценты по кредитам -

Прибыль 22 057

Движение денежных средств

Поступления от продаж 144 788

Платежи поставщикам -137 897

Выплата заработной платы -5 083

Расчеты по краткосрочным кредитам -

Исходящий остаток 1 809

Рентабельность капитала, % 35,5

Рентабельность продаж, % 14,2

Показатель Значение

Баланс

Актив 91 302

Постоянные активы: 32 000

Оборотные активы, всего 59 302

В том числе:

- товарные запасы 38 721

- дебиторская задолженность 15 054

- денежные средства 5 527

Пассив 91 302

Собственные средства, всего 63 668

В том числе:

- нераспределенная прибыль 40 000

- прибыль текущего периода 23 668

Заемные средства, всего 27 634

В том числе:

- долгосрочные обязательства -

- краткосрочные обязательства, в том числе: 27 634

краткосрочные кредиты 17 435

кредиторская задолженность 9 716

расчеты с персоналом 483

Отчет о прибылях и убытках

Продажи 168 244

Затраты, всего -144 576

В том числе:

- себестоимость товара -112 163

- материалы, услуги, накладные -16 000

- оплата труда -5 798

- амортизация -8 000

- проценты по кредитам -2 615

Прибыль 23 668

Движение денежных средств

Поступления от продаж 153 190

Платежи поставщикам -157 168

Выплата заработной платы -5 315

Расчеты по краткосрочным кредитам 14 820

Исходящий остаток 5 527

Рентабельность капитала, % 37,2

Рентабельность продаж, % 14,1

Оптимальные значения й1 = 1,052 (соответствует фондовооруженности 76 м2 на 1 чел. при численности персонала 13,2 чел.), й2 = 1,105 (соответствует периоду оборота дебиторской задолженности 32 дня), й2 = 1,201 (соответствует периоду оборота запасов 124 дня) и Ь = 17 435 тыс. руб.

Использование кредитного плеча позволило увеличить рентабельность капитала при почти незаметном понижении рентабельности продаж, что типично для эффекта финансового рычага. Запретительной процентной ставкой, т. е. такой, при которой в оптимальное решение входит Ь = 0, стала величина = 26 % годовых, что говорит о снижении предельной эффективности используемых ресурсов, как это и было заложено в постановке задачи. Благодаря этому при очень низких процентных ставках модель не сможет неограниченно использовать кредитные ресурсы, но даже и при этом может быть получено решение с очень большим плечом, что будет очень рискованно с точки зрения финансовой устойчивости. В этом случае потребуется введение дополнительного ограничения на величину кредитного плеча.

Отражение в модели налогов в целом снизило бы величину прибыли, но не изменило бы полученного соотношения параметров оптимального решения, поэтому их отражение в модели может потребоваться лишь тогда, когда принципиально важным становится получение абсолютных значений величин. В имеющемся же виде модель позволяет производить анализ чувствительности,

т. е. испытать на прочность гипотезы о влиянии вспомогательных факторов. В частности, для придания модели большей адекватности потребуется усложнение первой гипотезы о фондовооруженности, поскольку увеличение продаж возможно не только путем найма дополнительного персонала, но и через повышение его квалификации.

Статическая модель финансового результата конструктивно носит операционный характер. Ее нельзя приспособить для решения задачи оптимального инвестиционного решения, поскольку ключевой предпосылкой модели является то, что основной производственный фактор, который и должен являться объектом инвестиций, не может быть в задаче переменной. К тому же любой инвестиционный проект представляет собой процесс, растянутый во времени, а рассматриваемая модель носит статический характер. Однако ее результаты могут быть использованы как исходные данные для динамической модели.

Список литературы

1. Дзюба С. А. Модель прогнозирования продаж на основе анализа запасов // Управленческий учет. 2010. № 2.

2. Титов В. В. Оптимизация управления промышленной корпорацией: вопросы методологии и моделирования. Новосибирск: ИЭиОПП СО РАН, 2007.

3. Zhelobodko E., Kokovin S., Thisse J.-F. Monopolistic Competition: Beyond the CES, CEPR Discussion Papers No 7947, 2010.