Стабилизация системы относительно подпространства Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 5І9.3

СТАБИЛИЗАЦИЯ СИСТЕМЫ ОТНОСИТЕЛЬНО ПОДПРОСТРАНСТВА В.И. Коробов, О.А. Тарасова

Белгородский государственный университет,

ул. Студенческая, 14, Белгород, 308007, Россия, e-mail: [email protected],

Tarasova [email protected]

Аннотация. В работе исследована стабилизация линейных автономных систем относительно подпространства и построены примеры стабилизирующих систем на основе критерия стабилизации систем относительно подпространства.

Ключевые слова: управляемая система, критерий Калмана, стабилизируемая система, критерий стабилизации.

1. Введение. За последние годы современная теория управления получила быстрое развитие, и теперь она по общему признанию является мощным практическим инструментом для решения задач в выборе управления объектами различной природы (движущимися объектами, химическими реакциями. В настоящее время основными чертами задач управления являются большая сложность объектов, а также высокие требования к точности и динамике управления. Так, например, развитие авиации и ракетнокосмической техники обусловило постановку и необходимость решения принципиально новых проблем: управление многосвязными объектами, построение оптимальных систем стабилизации, управление системами при неполной информации. Это привело к интенсивной разработке и широкому практическому применению таких разделов теории, как оптимальное управление. В этой области проводились многочисленные исследования российскими и зарубежными авторами. Я отмечу работы: Красовского Н.Н. [1], Благодатского В.И., Скляра Г.М., Коробова В.И.

Рассмотрим линейную управляемую систему

— = Ах + В и , (I)

аЬ

где А, В - постоянные вещественные матрицы с размерамми ихи и их т, соответственно; х - вектор и-мерного пространства Еп; и - вектор т-мерного пространства Ег [2]. Нам понадобятся следующие определения.

Система (1) называется полностью управляемой за время Т [3], если для любых точек хо, хт € Яп существует допустимое управление и(Ь) такое, что траектория системы

(1), начинающаяся в начальный момент времени Ь0 = 0 в точке х(0) = х0, оканчивается в момент времени в точке х(Т) = хт.

Критерий Калмана: Автономная управляемая линейная система (1) в Кп управляема тогда и только тогда, когда ранг (и х ит)-матрицы [В, АВ, А2В,Ап-1В] равен и [4].

Нулевое решение системы х = f(х),1 (0) = 0, называется устойчивым, если Уе > 0, 3^ > 0 : ||х0|| <8 ^ ||х(Ь)|| < е,Ь ^ 0.

Нулевое решение асимптотически устойчиво, если:

1) оно устойчиво,

2) х(Ь) ---> 0.

Управляемая система

Е = f (х,и), f (0, 0) = 0 (2)

называется стабилизируемой, если существует такое управление и = и(х), что его нулевое решение системы х = f (х,и(х)) асимптотически устойчиво.

Вопрос стабилизации в ноль хорошо изучен. Мы рассмотрим стабилизацию относительно подпространства.

Зададим подпространство О равенством О = {х : Нх = 0}, где Н - постоянная матрица. Систему (1) назовем стабилизируемой относительно подпространства О, если существует такое линейно зависящее от х управление и = Qx (ф - постоянная матрица размера т х и), что Нх(Ь) ----> 0, где х(Ь) - любое решение системы

ах

— = Ах + ВС^х.

аЬ

Пусть Ь - подпространство, натянутое на вектор-столбцы, составляющие матрицу (В,АВ,Ап-1В). При этом полагаем Ь = Яп, Яп = Ь + Ь±. Так как Ь инвариантно относительно А, то ортогональное дополнение Ь± инвариантно относительно А*. Введем в Ь± канонический базис из вещественных частей собственных и корневых векторов А*.

Корневым вектором линейного преобразования A, действующим в пространстве Ь над полем К, для данного собственного значения Л € К называется такой ненулевой вектор х € Ь, что для некоторого натурального числа т

(А - ЛЕ)тх = 0

Если число т является наименьшим из таких натуральных чисел (то есть (А — ЛЕ)т-1х = 0), то т называется высотой корневого вектора х. В частности, собственный вектор это корневой вектор высоты один. Тогда Ь± можно представить в виде Ь± = К- + К +, где К- - подпространство, определяемое вещественными частями корневых векторов матрицы А* из Ь±, отвечающих собственным значениям Л с И,еЛ < 0, а К + - подпространство, определяемое вещественными частями корневых векторов матрицы А* из Ь±, отвечающих собственным значениям Л с И,еЛ ^ 0.

2. Критерий стабилизации системы относительно подпространства.

Лемма 1: Для произвольных: вектора д- [5], управления и(х) и начального условия х0, решение х(Ь) системы (1) удовлетворяет соотношению

(д-,х(Ь)) -—> 0 .

Лемма 2: Если д+ = 0, то существует начальное условие х0 такое что, решение х(Ь) системы (1) с произвольным управлением и(х) удовлетворяет соотношению (д+,х(ь)) -—► °.

Лемма 3: Если система (1) стабилизируема относительно подпространства {х : (д, Ь) = 0} и если вектор д ортогонален всем столбцам матрицы (В, АВ,А^-1В), то любое решение системы (1) со стабилизирующим управлением и = Qx удовлетворяет соотношениям (А*гд,х(Ь))-----> 0 (г = 0,1,...,^).

Приведем критерий стабилизации системы относительно подпространства. Критерий изложен в теореме.

Теорема [5]: Для стабилизируемости системы

Ох .

— = Ах + Ви оЬ

относительно подпространства О = {х : Нх = 0} необходимо и достаточно, чтобы либо Н * С К-, либо существовали вектор с и неотрицательное число ] такие, что Н* С Ь {с, А*с,А*1 с} + К-, причем (с, АкЪ) = 0 (0 ^ к<]). (с, А>Ъ) = 0.

□ Необходимость. Предположим что, система (1) стабилизируема относительно подпространства О = {х : Нх = 0} управлением и = Qx. Если Н* С К-, то необходимость доказана.

Пусть теперь Н* С К-. Обозначим столбцы матрицы Н* через кг. Рассмотрим полученные в соответствии с обозначением д = д- + дм векторы км. Пусть д - максимальное число линейно независимых векторов системы {км}. Очевидно, д ^ 1. Не нарушая общности, будем считать, что векторы к\, ...,кд линейно независимы и обозначим Н *(1) = (кМ ,кМ ,-..,км).

Докажем, что существуют постоянные аг (1 ^ г ^ д), не равные нулю одновременно и такие, что для некоторого ] ^ д — 1 вектор с = ^д=1 агкм удовлетворяют следующим соотношениям:

(с, Ъ) = ^2 а (км, Ъ) = 0 ,

г=1

д

(с, АЪ) = аг (км,АЪ) = 0 , (3)

г=1

(с, Аэ Щ = ^ аг (км,Аэ 1Ъ) = 0

г=1

Действительно, при ] = д — 1 система (3) имеет нетривиальное решение, как однородная линейная система д — 1 уравнений с д неизвестными, т.е. существует ненулевой вектор с , удовлетворяющий системе (4). Если при данном ] удовлетворяется соотношение (4), то нужный вектор построен. В противном случае вектор с удовлетворяет системе (3) при ] = д. Если соотношение (4) удовлетворяется, то вектор с удовлетворяет нужным требованиям при ] = д. В противном случае снова увеличиваем ] на единицу и повторяем рассуждения.

Докажем, что при некотором ] ^ п вектор с удовлетворяет соотношению (4). Предположим противное, т. е. вектор С ортогонален Ь, АЬ,Ап-1Ь и, следовательно, с Е Ь±. При этом по построению с- = 0. Таким образом, с = с+ = 0. Поэтому по лемме 2 при

что докажет необходимость условия теоремы. Для доказательства этого включения, возьмем любой вектор кг. Тогда

я

(4)

г=1

произвольном управлении и(х) найдется х0 такое, что (с,х(Ь)) ---> 0.

Но

^агкг ,х(г)

г=1

я

И так как второе слагаемое по лемме 1 стремится к нулю, то

я

г=1

при любом управлении и(х), что противоречит стабилизируемости системы. Итак, требуемый вектор с построен. Возможны два случая:

1. И*(1) С Ь{см, (А*с)м,Ас)м}.

2.

(5)

В первом случае имеет место включение

(6)

кМ Е Ь{см , (А'с)м,Ас)м} ,

то есть

км = Е вк (А* с)м

к=0

Имеем

кг = км + Ы = £ вк (А*кс)м + Ы = к=0

3 3

= £ вк(А-кс) — £ вк(А-кс)- + к Е Ь{с, А-с, ...,А-3с} + К- .

к=0 к=0

Во втором случае рассмотрим матрицу И-(2) = (И-(1'>см, (А-с),..., (А-3с)м). Докажем, что ранг этой матрицы, который обозначим через д2, больше или равен д + 1. Для этого достаточно доказать, что ] + 1 векторов см,(А-3с) линейно независимы. Пусть

Е 5к (А-кс)м = 0. к=0

Умножим это равенство скалярно на вектор Ь:

3 3 3

5 к ((А с)м ,Ь) = У^' 5к (А-к с ,Ь) — ? Ок (

0 = 5] 5к((А-кс)м, Ь) = ^2 Ок(А-кс, Ь) — ^ 5к((А-кс)-,Ь). к=0 к=0 к=0

Так как ((А-к) с)- Е Ьх, а Ь Е Ь, то

Е 5к (А-кс,Ь) =0 .

к=0

Пользуясь (3), получаем 63 (А-3с,Ь) = 0, а, используя (4), получаем 63 = 0.

Умножим равенство

Е6к (А-кс)м = 0 к=0

на вектор АЬ. Как и выше, получим

3-1 3-1

0 = ^ 6к ((А-к с)м , АЬ) = ^(А-к с , АЬ)6к = 63-1(А-3 с, Ь), к=0 к=0

откуда 53-1 = 0. Продолжая этот процесс, получим, что все коэффициенты 6к равны нулю.

Таким образом, в силу (5) ранг И-(2) больше или равен ] + 2 ^ д +1.

Докажем, что для любого столбца к(2) матрицы И-(2) и любого решения х(Ь) системы

(2)

(1) со стабилизирующим управлением и = (^х(к\ ,х(Ь)) ---------^ 0. Для столбцов матрицы

И-(1) это следует из условия стабилизируемости и леммы 1:

(к(1],х(г)) = (км,х(г)) = (кг,х(г)) — (к'-,х(^)) -—>0.

1^-00

Таким образом, система (1) стабилизируема на подпространство {х : (с,х) = 0} тем же управлением и = Qx. Следовательно, согласно лемме 3, (Л*кс, х(і)) --► 0

(к = 0,1,і). Окончательно имеем

((А с)м,х(г)) = (А-кс)м,х(1)) — ((А с)-,х(г)) —► 0.

t^<x>

Повторяя все рассуждения, относящиеся к матрице И-(1 применительно к матрице И-(2'), получим, что либо при некотором векторе с2 и числе ]2 выполнено соотношение И-(2) С Ь{см, (А-с2)м,..., (А-32 с2)м }, т.е. И- С Ь{с2, А-с2,..., А-32 с2} + К-, либо можно построить матрицу И-(3), ранг которой не меньше д2 + 1 ^ д + 2 :

И-(3) = (И-(2),см, (А-с2)м,..., (А-32с2)м).

Этот процесс построения матриц И-(к) с увеличивающимся рангом должен обязательно оборваться на соотношении типа (6), так как ранг любой системы п-мерных векторов не превышает п.

Достаточность. Пусть существует вектор с и число ] такие, что

И- С Ь{с, А-с,..., А-3с} + К-, (с, АкЬ) = 0, (0 ^ к ^ ]), (с, А3Ь) = 0 .

Введем переменные ут (1 ^ т ^ і + 1) следующим образом: у„ (с, Лт-1х). Тогда

(Л*т-1с,х)

Уі

у2

У3

(с, х) = (с, Лх + Ьи) = (с, Лх) = у2,

(с, Лх) = (с, Л2х + ЛЬи) = (с, Л2х) = у ,

(с, Л3 1х) = (с, Л3х + Л3 1Ьи) = (с, Л3х) = У]+1

У3+1 = (с, Л3х) = (с, Л3+1х + Л3Ьи) = (с, Л3+1х) + (с, Л3Ь)и .

Выбирая

и

(с, Л3Ь)

3+1

-(с,Л3+1х) -^ 1ш(с, Лт 1х)

т=1

1

(с, Л3Ь)

3+1

(с, Л3+1х) -^ 1тУп

т=1

где положительные постоянные 'Ут подобраны так, чтобы система

у1 = У2, у2 = Уз, ..., У3 = У3+1,

имела только экспоненциально убывающие решения.

3+1

У3+1 ^ ] /Утут

т=1

1

По предположению для любого i существуют постоянные Ym и вектор q- Е K-такие, что hi = 0=1 втA*m-1 с+д-. Поэтому при управлении задаваемой формулой (7)

для любого решения системы (1) получим (hi,x(t)) = J2m=1 e%mym(f) + (g-,x(t)) ------> 0

при любом начальном условии x0. Действительно, первое слагаемое стремится к нулю по выбору управления u(x), а стремление к нулю второго слагаемого вытекает из леммы 1.

Если H* С K-, то стабилизируемость системы (1) относительно подпространства G = {x : Hx = 0} также следует из леммы 1. В

3. Алгоритм проверки возможности стабилизации системы. Приведем алгоритм, позволяющий проверить возможность стабилизации и, если стабилизация возможна, построить вектор с, найти число j и дать явный вид стабилизирующего управления u = Qx.

Пусть rank H = l. Напомним, что через hi обозначены столбцы матрицы H*, и, не нарушая общности, будем считать векторы h1,h2, ■■■,hi линейно независимыми [5]. В предлагаемый алгоритм состоит из ниже перечисленных шагов.

1. Находим базис K- .

2. Вычисляем число r = rank (Hb, HAb, ■ ■■, HAn-1b). Рассмотрим систему уравнений относительно ui (i = 1, 2, ■■■, l):

(£,b) = (£,Ab) = ■■■ = (£,An-1b) = 0,

где £ = ^2i=1 l^ihi. Обозначим через £1,£2, ■■■,£i-r линейно независимые решения этой системы. Если хоть один из этих векторов не принадлежит K- , то стабилизация относительно подпространства G невозможна.

3. Пусть все Е K- (если при этом r = 0, то H* С K- и возможна стабилизация

при любом выборе управления u(x), например при u(x) = 0).

Дополним систему £1,£2, ■■■,£l-r векторами hi1 ,hi2,■■■, hir до базиса в линейной оболочке L{h1, ■■■, hi}. Обозначим через H*) матрицу (hi1, hi2, ■■■, hir).

4. Рассмотрим систему уравнений относительно а1,а2, ■■■,ar;

(с, b) = (с, Ab) = ■■■ = (с, Aj-1b) = 0 , (8)

где

r

с ^ ^ ак К , к=1

а j таково, что ранг системы (8) равен r — 1, в то время как ранг системы, полученной из (8) заменой j на j + 1, равен г. При этом j ^ r — 1 и (с, Ajb) = 0.

5. Проверяем, выполнено ли включение

H*{1) С L{c, A*с, ■■■, A*jс} + K- ■ (9)

Если (9) имеет место, то стабилизация возможна. Для построения стабилизирующего управления выберем такие постоянные (i = 1, 2, ■■■,j + 1), чтобы уравнение относительно ^^j+1 + Y1^j + ■■■ + Yj+1 = 0 имело все корни ^ такие, что Re^ < 0.

Управление u(x) задаем формулой

u

(с, Ajb)

j+1

— (с, Aj+1x) — ^2 1т(с, Am-1x)

т=1

(10)

6. Если включение (9) не имеет места, то строим матрицу И*2) = (И*^, с, Л*с,Л*1 с). Если число г2 = гапк(И(2)Ь, И(2)ЛЬ,И(2)Лп-1Ь) равно г, то стабилизация возможна.

Если же г2 ^ г + 1, то, заменяя И на И(2), переходим к п.2 и повторяем по порядку все дальнейшие построения. В силу того, что Гк (если данный процесс дойдет до построения матрицы И(к)) не может неограниченно увеличиваться (г ^ п), то на некотором обращении к пунктам 2.-6. обнаружится невозможность стабилизации, или выполнится включение типа (9). В этом случае стабилизирующее управление определяется формулой (10).

Проиллюстрируем действие представленного алгоритма на примере. Рассмотрим линейную управляемую систему

x 1 = 2x1 — x2 + u , x2 = 3x1 — 2x2 + u

(11)

для которой

A

2 —1 32

b

Зададим матрицу H = (2,1). Тогда rank H = l = 1, h1 - столбец матрицы H *.

1. Собственные значения матрицы A* — XE равны ±1 и им соответствуют собственные векторы (-1,1) и (-3,3). Тогда базис пространства K- состоит из вектора (—1,1).

1

2. r = rank (Hb, HAb) = rank (3, 3) = 1■

Обозначим, £ = u1h1■ Система уравнений относительно ^ : (£, b) = (£, Ab) = 0 имеет вид 3ш1 = 0 , решение которой UJi = 0^

3. Матрица H*1) = h1 =

4. Обозначим с = a1h1■

Уравнение относительно а1 : (с,Ь) = 3а1 = 0 выберем в виде (с,Ь) = 3, откуда а1 = 1, с = h1, j = 0-

5. Так как H1 С L(с, A*o) + K- = R2, то стабилизация возможна.

Для построения стабилизирующего управления выберем постоянные y1 так, чтобы уравнение относительно ^ ^ + Y1 = 0 имело корни ^, подчинённые условию Re^ < 0^

Пусть Y\- = 1^ Тогда управление имеет вид:

и(х) = —'—- [-(с, Ах) - 7i(с, х)] = ^ (-9*1 + Зх2). (с, b) 3

Следовательно, матрица Q имеет вид Q = (-3,1).

Подставим полученное управление в систему (11). Тогда система X = (А + bQ)x принимает вид:

г Xі = —х1,

X 2 = -Х2,

общее решение которой:

О — t

xl = xOe

О — t

x2 = x'Oe b

где х1 = х^0), х0 = х2(0). Тогда Их = в-*(2x1 + х0) ^ 0 при Ь ^ <х>.

Литература

1. Красовский Н.Н. О стабилизации динамических систем дополнительными силами // Дифференциальные уравнения. - 1965. - 1;1. - С.5-6.

2. Коробов В.И. Критерии управляемости линейной системы на подпространство // Вестник Харьковского университета. - 1981. - 221 ;46. - С.3.

3. Благодатских В.И. Введение в оптимальное управление / В.И. Благодатских. -М: Высшая школа, 2001. - С. 104-105.

4. Ли Э.Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управления / Э.Б. Ли. - М: Наука, 1972. - С.91-93.

5. Коробов В.И., Луценко А.В., Подольский Е.Н. Стабилизация линейной автономной системы относительно подпространства / - 1975. - С. 117-122.

SYSTEM STABILIZATION RELATIVE TO SUBSPACE V.I. Korobov, O.A. Tarasova

Belgorod State University,

Studencheskaya St., 14, Belgorod, 308007, Russia, e-mail: [email protected],

Tarasova_OObsu.edu.ru

Abstract. Stabilization of linear autonomous systems relative to subspace are investigated and some examples of stabilizing systems connected with the criterion of system stabilization relative to subspace are constructed.

Key words: controlled system, Kalman’s criterion, stabilized system, stabilization criterion.