CC BY
19
СТАБИЛИЗАЦИЯ ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННЫХ СТАТИСТИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО
УРАВНЕНИЯ
Н. Е. Ратанов
1. Постановка задачи и формулировка результатов.
Эта работа примыкает к серии статей [1—6], посвященных изучению асимптотического поведения статистических решений задач Коши для некоторых классов уравнений с частными производными. В данной статье мы имеем дело с пространственно-временными статистическими решениями параболического уравнения с комплексными коэффициентами. При некоторых ограничениях на коэффициенты уравнения и при условии перемешивания для начальной меры показано, что пространственно-временные статистические решения сходятся к некоторому гауссовскому распределению. В работе [6] аналогичный результат получен для пространственного статистического решения параболического уравнения. Асимптотика пространственно-временных статистических решений волнового уравнения изучена в [5].
Перейдем к точным формулировкам. Рассмотрим следующую задачу Коши
л
С ^ (X, t) + L (t)u (х, t) = О, (X, t)eR"++1 = R" х (0, + со) (1) 1 u(x,0) = uo(x),xeR". (2)
Здесь L(t)=-Z;,k=1 a.,k(t)—- +=,+ с (t). Оператор
, L(t) предполагается эллиптическим, т. е. для любого Т > 0 существует сг>0 такое, что
ReE^=iaj,t(t)^cr|£|2 (3)
для всех te[0, Т] и Z = Об С".
Коэффициенты k(t), bfc(t), c(t) предполагаются непрерывными на полупрямой [0, + оо) и aк (t) = ak } (t)Yt ^ 0. Кроме того, мы предполагаем выполнение следущего условия осциллируемости: для некоторого а>0 (
|det (Im jaJt ¿(s) ds) | > а ■ t" Vt>0. (4)
о
Мы также предполагаем, что
00
J|Rea;. t(t)|dt<oo, j, k=l, 2,...,n, о
(5)
J" |Rec(t)|dt<oo.
о
Нас будут интересовать решения задачи (1) — (2), принадлежащие при любом t>0 пространству L2 ^(R") с нормой
М, =(ilv(x)l2|A(x)dx)1/2< оо, veL^R").
Весовая функция ф(х)>0 удовлетворяет следующим условиям
Шх)\^сф(х) (6)
fy(x)dx<oo, J^(x)_1exp( — у |x|2)dx<oo (7)
R" R" Vy>0
Здесь и ниже через с , с' и т. п. мы обозначаем различные положительные константы. Уместно заметить, что функции ф(х) такого вида существуют, например ^(х)*=(1 + |х|2)~м, М>п/2 или ф(х) = ехр( — <5|х|), <5>0.
Как показано в [6], при сформулированных выше ограничениях на коэффициенты оператора L(t) решение задачи (1) — (2) существует и единственно в классе функций Н—С(0,+ оо;
5 Зак 3154 65
L2 ,(R»)). Обозначим через V оператор, сопоставляющий начальной функции u0eL2 ^(R") решение u(x, t) задачи (1) — (2):
Vu0 = u(x, t)e#
По теореме 1.1. из [6] для Vu0gL2 ^(R") справедливо неравенство ||Vu0||H = sup|Vu0(„ t)|^c(T)|u0|„. (8)
O^t^T
Следовательно V — непрерывный линейный оператор, действующий из L2 ^(Rn) в Н.
Пусть р0 — борелевская мера на L2 ^(R"). Определим статистическое решение задачи (1) — (2), отвечающее начальной мере ц0.
Определение 1. Статистическим решением задачи (1) — (2), отвечающим начальной мере ц0, называется борелевская вероятностная мера Р на пространстве Н, заданная соотношением
P(B) = (Wo)(B) = ^o(V-1(B)) (9)
для любого борелевского множества В
Грубо говоря, если ß0 является распределением случайной функции u0eL2 то статистическим решением называется распределение Р случайной функции u = Vu0e Н — решения задачи (1) — (2).
Заметим, что так определенная мера Р сосредоточена на множестве решений уравнения (1). Обозначим через Рв, б>0 временной сдвиг меры Р, а именно:
Ре(В) = Ö*P(B) = Р0 ~1 В)
Здесь ö-1u(x, t) = u(x, t + 0), а В — борелевское множество в Н. Стабилизация пространственно-временного статистического решения Р означает слабую сходимость при в-> + со семейства мер Рв.
Сформулируем условия, которым должна удовлетворить начальная мера fj.Q, чтобы пространственно-временное решение стабилизировалось.
Предположим, что мера ц0 имеет нулевое среднее и конечный второй момент:
Ejuo(x)f(x)dx = 0, Ej|u0(x)|2f(x)dx^c||f||Li(RV feS(R"). (10)
Здесь и ниже символ Е обозначает математическое ожидание по соответствующей мере; вместо Е^о мы часто будем писать просто Е.
Кроме того, от меры ц0 требуется выполнение следующего условия сильного перемешивания (в смысле М. Розенблатта, ср. [7, 2]): существует г>0 такое, что
limhr-a(h, h1-r) = 0. (11)
h->oo
где
a(h, h') = sup sup J/i0(AnB)-/i0(A) • ц0(В)\.
yeR" AeM(I(y, h))' BeAf(cI(y, h + h'))
Здесь I(y, h) — куб в R" с центром в точке у, с гранями, параллельными координатным плоскостям, и длиной ребра h > 0; cQ = R"\Q — дополнение к QcR", M(Q) — <т — алгебра бо-релевских множеств пространства L2 ^(R"), «сосредоточенных» в области Q.
Введем еще несколько обозначений. Пусть yt, t > 0 — операторы сужения yt:#->L2 ^(R") вида
ytu = u(-, t)e L2 ДН"), ue H, t>0.
Введем операторы T( = ytV, сопоставляющие начальной функции u0eL2 ф решение задачи (1) — (2) в момент времени t. Рассмотрим семейство .мер
Mt = yt*P = T*u0. (12)
Кстати говоря, семейство мер fit обычно называют пространственным статистическим решением. В статье [6] доказано, что при t-+ + оо семейство мер ц, слабо сходится к гауссовой мере /х* на L2,*(R").
Определим теперь, следуя [6], корреляционные функции q°° и qO1 мер t^O. Грубо говоря, функции q00H q01 определяются соотношениями ' '
qi00(x, у) =A(u(x, t) • u(y, t) = E(Ttu0) (x) • (Ttu0) (y), (13)
Я101(х,у) = Е,1и(х, I) • и(у, 1) = Е(Т,и0)(х) • (Т>0)(у).
Если говорить более точно, то эти соотношения следует понимать в обобщенном смысле, а именно :У ^еСо^")
Яя°°(х, и)- ВД • Ш сЫу = ЕД( < и, ^ > • <иД2>,
Яя(01(х, и)• ^(х)• Г2(у)ёхёу = Е(4(<и, • <й, {2> (13)
5* 67
Как следует из условия (10) и оценки (8) функции q0!, /=0,1 существуют и q^e L^R" х R"), /=0,1 (ср. [8], лемма'3.1 дополнения 2).
Определение 2. Будем говорить, что корреляционные функции q и q01 стабилизируются при t-*oo, если пределы (в, D'(R" х R")) ''
lim (х, у) = (х, у), /=0,1 (14)
1-* 00 1 *
существуют и q°°, q®1 ¿0.
Определение 3. Статистическое решение Р задачи (1) . — (2) стабилизируется, если существует следущий предел (в смысле слабой сходимости в пространстве #_E = L2 , (0, + оо; H"*(R")),Vfi>0):
lim Pe = Р* (15)
Это означает, что для любого непрерывного линейного функционала f: С1
lim ЕДи) = ЕДи).
0—> со
Выбор топологии сходимости (15) связан с теоремой о компактности вложения соболевских пространств (ср. [9]), которая вместе с леммой 3.1 главы 5 монографии [8] влечет слабую компактность семейства мер Р0, 0^0 (см. доказательство теоремы 1в разделе 2).
Предположим дополнительно, что корреляционные функции q°', /=0,1, определенные в (13), удовлетворяют условиям
q°'(x, у) = 0(|х-уГ""Ч |х-у|->со (16)
для некоторого во>0.
Чтобы сформулировать еще одно условие-на начальную меру /¿0, рассмотрим произвольную измеримую по Борелю функцию g(u), ограниченную константой К. Аналогично определению корреляционных функций q°' можно определить моментные функции четвертого порядка m(4)(z1; z2, z3, z4) = Eg(u(Zi)) • g(u(z2)) • g(u(z3)) x xg(u(z4)), zx, z2, z3, z4eR". Предположим, что если \z1 -~z2\ — max(\zj—zk\, 1 <k^4), то выполнена следующая оценка
|m(4)(zl5 z2, z3, г^КсК^уОг^ггО + уОг^гз!) • y(|z2-z4|) + + y(|z1-z4|)-y(|z2-z3|)), (17)
где функция у удовлетворяет неравенству
у(Ъ)<с(1+Ь)-2п-Ч Ь>0
Соотношения (16) — (17) в частном случае трансляционно инвариантной меры ц0 следуют, например, из условий перемешивания типа (11) и существования моментов порядка 2+ <5 для некоторого ¿>0 (ср. с (10)). Это утверждение можно вывести с использованием теоремы 17.2.1 и 17.2.2 из [10]. В работе [2] содержится доказательство аналогичного утверждения.
Теорема 1. При сформулированных выше условиях статистическое решение Р стабилизируется, если и только если стабилизируются корреляционные функции q00 и q01 При этом предельная мера Р„. (см. (15)) является гауссовсКой мерой на Н сосредоточенной на решениях уравнения (1).
Замечание 1. При формулировке теоремы 1 можно использовать другие формы условий перемешивания. Например, результат остается справедливым и при выполнении вместо (11) условия равномерного сильного перемешивания Ибрагимова.
Замечание 2. Корреляционные функции q00 и q01 стабилизируются в смысле (14) при достаточно широких предположениях относительно начальных корреляционных функций q°0 и я®1. Можно, например, предположить, что для последних справедливы следующие соотношения
ч°'(х, у)={ч'(<х; х-у)РЧс1с7)
ы
Здесь V — борелевская мера на К" с положительным атомом в начале координат: у({0}) = уо>0, а q'(o■; •) — семейство функций, таких, что я(сг; -)е С1 Усе /=0,1. При этом
| вир |4'(сг; 0|у(с1ст)<оо, /=0,1.
Ы"
Примерами такого рода функций могут служить корреляционные функции трансляционно-инвариантных или периодических мер (см. [6] с 108).
2. Доказательство теоремы 1.
Необходимость. Предположим, что имеет место слабая сходимость Р^Р^в^оо. Проверка стабилизации корреляционных функций q00и q01 мер цс производится стандартным образом методом срезки (ср. [10], глава 18).
Достаточность. Доказательство достаточности естественным образом распадается на две части: 1) проверка слабой компактности семейства мер Р0 как мер на пространстве Н~е;
2) сходимость семейства характеристических функционалов
Ре(у) = Еехр![Уи, у] при 0->со. Здесь через [и, V] мы обозначаем интеграл
[и, у] = |и(х, 1)у(х, 1) + и(х, I) • у(х, 1))ёхс11, УбС-(К"++1)
Слабая компактность мер Ре, 0>О на Н~Е вытекает из сходимости корреляционных функций я0', /=0,1 так же, как в [5], п. 2, с. 174-178. '
Для доказательства сходимости характеристических функционалов отметим, что как показано в [6] характеристические функционалы пространственных статистических решений сходятся:
ДеО/О = Еехр 1 <у0Уио, ф> -4ДД|/г) = ехр^—^ (((^(х, у),
Здесь ' ^ (18)
<и, ФУ = | (и(х) • ф(х) + и(х) • ф(х) йх, «(^(х, у), ф(х)ф(у)» = Е^Ки, ^>|2TJ(q20 (X, у)ф(х)ф(у) + + (х, уЖхЖуН^1 (х, уЖ*)Ш+
Я^1 (х, у)ф(х)ф(уМхйу
Наряду с оператором V, разрешающим задачу (1) — (2), рассмотрим сопряженный оператор У.Он определяется тождеством
[Уи0, у] = <и0, У'у>, и0еН, УбС-(Кп + 1) (19)
Из явного вида фундаментального решения задачи (1) — (2) и соотношения (19) вытекает, что функция У'уе8(К"), если уе Сох (К"++1).
Заметим, что в силу (12) Рв = У*/и9 и поэтому
ВД = Д9(\/Ч УбС^В"4"1).
Отсюда и из соотношения (18) вытекает сходимость характеристических функционалов Рв(у) при 0-юо к Р#(у) = Теорема 1 доказана.
ЛИТЕРАТУРА
1. Ратанов Н. Е. Стабилизация статистических решений гиперболических уравнений второго порядка // Успехи матем. наук, т. 39, № 1 (1984). — С. 151-152.
2. Ратанов Н. Е. Об асимптотической нормальности статистического решения волнового уравнения //В. сб. Дифференциальные уравнения и их приложения — М., Изд-во Моск. ун-та, 1984. — С. 153 — 160.
3. Копы лова Е. А. Стабилизация статистических решений уравнения Клейна — Гордона. // Вестн. Моск. ун-та, сер. I (Матем., Мех.) № 2 (1986).— С. 92-95.
4. Комеч А. И., Копылова Е. А. О предельных теоремах для статистических решений уравнения Клейна—Гордона //I Всемирный конгресс об-ва Бернулли (Ташкент, 1986). Тезисы докладов, т. 2, — М., Наука.— С. 657.
5. Komech A. I., Ratanov N. Е. Stabilization of space—time stohastic solutiofs a wave equation //In Statistics and Control of Stohastic Processes, v. 2, Steclov seminar 1985 — 86.— Optimization Software Inc., Publication Division, New York - Los Angeles, 1989.- P. 171-187.
6. Ratanov N. E., Shuhov A. G., Suhov Yu. M. Stabilization of the statistical solution of the parabolic equation // Acta Applicandae Mathematicae, v. 22 (1991). - P. 103-115.
7. Rosenblatt M. A central limit theorem and a strond mixing condition // Proc. Nat. Acad. Sci. USA, v. 42 (1956). - P. 43-47.
8. Вишик M. И. Фурсиков А. В. Математические задачи статистической гидромеханики. // М., Наука, 1980.—442 с.
9.Лионе Ж. —Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. /I М., Мир, 1971. —371 с.
10. Ибрагимов И. А., Линник Ю. В. Независимые и стационарно .связанные величины. // М., Наука, 1965.— 524 с.
