CC BY
24
УДК 517.925.51 © В. А. Зайцев
СТАБИЛИЗАЦИЯ БИЛИНЕЙНЫХ НЕСТАЦИОНАРНЫХ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ1
Получены достаточные условия равномерной глобальной асимптотической стабилизации положения равновесия билинейной нестационарной управляемой системы, в частности, системы с периодическими коэффициентами.
Ключевые слова: равномерная глобальная асимптотическая устойчивость, билинейная управляемая система, периодические системы.
Рассмотрим билинейную управляемую систему
у = (г) + тОх (г) + ... + Пг От (г))у, у € Кп, г € К+ = [0, то) (1)
с непрерывными коэффициентами. Нулевое решение у (г) = 0, £ € К+ системы (1) будем называть равномерно глобально асимптотически стабилизируемым, если существует непрерывное управление и = и(г,у), и = (их,... ,иТ) € Кт, £ € К+, у € К”, такое что нулевое решение системы (1) с управлением и = и,(Ь,у) равномерно глобально асимптотически устойчиво (или, по-другому, равномерно асимптотически устойчиво в целом [1, §5]).
Здесь получены достаточные условия равномерной глобальной асимптотической стабилизации нулевого решения системы (1), в частности, в том случае, когда коэффициенты ^(£), О к (£), к = 1,..., г системы (1) — периодические функции.
Рассмотрим невозмущенную систему для системы (1) (то есть систему (1) с и = 0)
у = ^(%, у € Кп, г € К+. (2)
Обозначим через У(£,8) матрицу Коши системы (2), то есть решение матричной задачи Коши У = ^(£)У, У(з) = I; I € Мп — единичная матрица; здесь Мп,т — пространство вещественных п х т-матриц, Мп : = Мп,п. Построим по системе (1) линейную управляемую систему
г = К(Ь)х + Q(t)v, г € Км, V € Кт, г € К+. (3)
Здесь N = п2, Е(г) = ^(г) 0 I — I 0 ^Т(г) € МN, I € Мп; 0 — прямое (кронекерово) произведение матриц; Q(t) = [уее Ох (г),..., Уве От (г)] € MN,T , где уее : Мп ^ Кп — отображение, которое «разворачивает» матрицу Н = {Л-г/}, г,] = 1,п по строкам в вектор столбец
2
уее Н = ео1 (Нхх,..., Ьхп,..., Нпх,..., Нпп) € Кп . Систему (3), построенную по системе (1), будем называть большой системой.
Система (1) называется согласованной на отрезке \Ьа,гр] (см. [2]), если большая система (3) вполне управляема на \Ьа,гр].
Теорема 1. Предположим, что коэффициенты системы (1) и-периодические аналитические функции и выполнены следующие условия:
1) система (1) согласованна;
2) система (2) устойчивая.
Тогда нулевое решение системы (1) равномерно глобально асимптотически стабилизируемо с помощью управления
ик(г,у) = —уТБк(г)у, к = 1,..., г.
Здесь Б к (г) — периодическая аналитическая симметрическая матричная функция, которая строится по коэффициентам ^ (г), О к (г) системы (1).
хРабота поддержана РФФИ (грант № 12-01-00195).
Теорема 2. Предположим, что коэффициенты системы (1) и-периодические аналитические функции и выполнены следующие условия:
1) система (1) согласованна;
2) ^(г) = 0.
Тогда нулевое решение системы (1) равномерно глобально асимптотически стабилизируемо с помощью и-периодического управления
ик (г, у) = —ут (от (г) + Ок (г))у, к = 1,..., г.
Из теоремы 2 вытекает следующее утверждение.
Следствие 1. Предположим, что коэффициенты системы (1) и-периодические аналитические функции и выполнены следующие условия:
1) система (1) согласованна;
2) существует т € N и ти-периодическое преобразование Ляпунова х = Ь(г)у, которое приводит систему (2) к системе X = Ах с матрицей А = 0.
Тогда нулевое решение системы (1) равномерно глобально асимптотически стабилизируемо с помощью ти-периодического управления
ик (г,у) = —ут (от (г)УТ (0,г)У (0,г) + ут (0,г)У (0,г)Ок (г)) у, к = 1,... ,г.
Замечание 1. Условие 2) следствия 1 равносильно тому, что существует т € N такое что Ут (и, 0) = I, где У (и, 0) — матрица монодромии системы (2).
Предположим теперь, что коэффициенты системы (1) — произвольные нестационарные непериодические функции.
Теорема 3. Предположим, что коэффициенты системы (1) — аналитические функции и выполнены следующие условия:
1) существует преобразование Ляпунова х = Ь(г)у, которое приводит систему (1) к системе
х = (А + ихвх(г) +... + иТвт(г))х, х € кп, г € к+
с постоянной матрицей А и и-периодическими матрицами Вк(г);
2) система (1) согласованна на некотором отрезке \Ьа,г@\;
3) система (2) устойчивая.
Тогда управление
ик (г,у) = —уТ (от (г)ьТ (г^ь(г) + ьТ (г^ь(г)Ок (г))у, к = 1,... ,г
равномерно глобально асимптотически стабилизирует нулевое решение системы (1); здесь Q — произвольная матрица, такая что Q = QT > 0 и АТQ + QA ^ 0 в смысле квадратичных форм; матрица Q находится конструктивно по матрице А.
В частности, если условие 3) заменить на условие 3;) А = 0, то управление
ик (г,у) = —ут (от (г)ьТ (г)ь(г) + ьТ (г)ь(г)Ок (г)) у, к = 1,... ,г
равномерно глобально асимптотически стабилизирует нулевое решение системы (1).
Для стационарных систем имеет место следующее утверждение.
Теорема 4. Предположим, что коэффициенты системы (1) стационарны и выполнены следующие условия:
1) система (1) согласованна;
2) система (2) устойчива.
Тогда нулевое решение системы (1) равномерно глобально асимптотически стабилизируемо с помощью стационарного управления
Uk (y) = -yT (GT P + PGk )y, k =
Здесь P — произвольная матрица, удовлетворяющая условиям P = PT > 0, FTP + PF ^ 0 в смысле квадратичных форм; матрица P находится конструктивно по матрице F.
Теорема 4 дополняет результаты, полученные в работах [2-4].
Список литературы
1. Красовский Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Физматгиз, 1959. 550 с.
2. Зайцев В.А. Согласованные системы и управление спектром собственных значений. I // Дифференциальные уравнения. 2012. Т. 48. № 1. С. 117-131.
3. Зайцев В.А. Управление спектром в билинейных системах // Дифференциальные уравнения. 2010. Т. 46. № 7. С. 1061-1064.
4. Зайцев В.А. Необходимые и достаточные условия в задаче управления спектром // Дифференциальные уравнения. 2010. Т. 46. № 12. С. 1789-1793.
Поступила в редакцию 01.02.2012
V. A. Zaitsev
Stabilization of bilinear time-varying control systems
The sufficient conditions of uniform global asymptotic stabilization of the origin are obtained for bilinear time-varying control systems, including systems with periodic coefficients.
Keywords: uniform global asymptotic stability, bilinear control system, periodic systems.
Mathematical Subject Classifications: 34H15, 93D15
Зайцев Василий Александрович, к. ф.-м. н., доцент, Удмуртский государственный университет, 426034, Россия, г. Ижевск, ул. Университетская, 1. E-mail: verba@udm.ru
Zaitsev Vasilii Aleksandrovich, Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor, Udmurt State University, ul. Universitetskaya, 1, Izhevsk, 426034, Russia
