CC BY
59
УПРАВЛІННЯ У ТЕХНІЧНИХ СИСТЕМАХ
УПРАВЛЕНИЕ В ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ
mOTROL IN TECHNICAL SYSTEMS
УДК 621.11-32
Александрова Т. Е.1, Кононенко В. А.2, Лазаренко А. А.3, Зейн Али3
1Канд. техн. наук, доцент Национального технического университета «ХПИ» 2Канд. техн. наук, старший научный сотрудник Национального технического университета «ХПИ»
3 Аспирант Национального технического университета «ХПИ»
СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ЦИФРОВЫХ ПД-СТАБИЛИЗАТОРОВ ПОДВИЖНЫХ ОБЪЕКТОВ С НИЗКОЧАСТОТНЫМИ ФИЛЬТРАМИ БАТТЕРУОРТА И ЛАНЦОША
Рассматривается проблема построения цифровых ПД-стабилизаторов подвижных объектов с зашумленными высокочастотными помехами входными сигналами. Проведен сравнительный анализ стабилизаторов с фильтрами Баттеруорта и Ланцоша различных порядков.
Ключевые слова: цифровой ПД-стабилизатор, низкочастотный фильтр, дифференцирующий фильтр.
ПОСТАНОВКА ПРОБЛЕМЫ
В качестве чувствительных элементов систем стабилизации подвижных объектов, в частности, объектов военного назначения, обычно используется гироскопические платформы с нелинейной системой коррекции [1, 2]. В работе [3] показано, что оси таких гироплатформ совершают высокочастотные колебания, приводящие к зашумленности измеряемых параметров движения высокочастотными помехами. При разработке цифровых стабилизаторов подвижных объектов широкое распространение получили низкочастотные цифровые фильтры, подавляющие высокочастотные помехи. Среди большого разнообразия цифровых фильтров наиболее распространенными и эффективными являются низкочастотные фильтры Баттеруорта и Ланцоша [4]. В данной статье рассматривается проблема рационального использования цифровых фильтров различного порядка при построении ПД -стабилизаторов подвижных объектов.
АНАЛИЗ ПУБЛИКАЦИЙ ПО Т ЕМЕ ИССЛЕДОВАНИЙ
В работах [4, 5] приведены АЧХ и ФЧХ фильтров Баттеруорта и Ланцоша различного порядка. Показано, что фильтры Баттеруорта, имея практически идеальную АЧХ, в смысле подавления высокочастотных помех, вносят значительное фазовое запаздывание при прохождении дискретного сигнала. Фильтры же Ланцоша, наоборот, вносят значительное фазовое опережение, возрастающее с повышением порядка фильтра и с улучшением его фильтрующих свойств. В работах [6, 7] получены аналитические соотношения для АЧХ и ФЧХ фильтров Баттеруорта и Ланцоша различных порядков, позволяющие произвести оценку динамических свойств цифровых стабилизаторов с данными фильтрами.
ЦЕЛЬ РАБОТЫ
Целью настоящей статьи является сравнительный анализ динамических характеристик ПД - стабилизаторов подвижных объектов при использовании цифровых фильтров различного порядка.
© Александрова Т. Е., Кононенко В. А., Лазаренко А. А., Зейн Али, 2011
ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ
Рассмотрим цифровой ПД - стабилизатор, структурная схема которого приведена на рис. 1.
Для рассмотренного стабилизатора можно записать
2 { V [пТ ]} = {к^б (2) + кф Wл (2)}2{ф[пТ ]}, (1)
где 2 {. } - символ 2-преобразования. Тогда дискретная передаточная функция ПД-стабилизатора, выполненного по параллельной схеме, равна
^пд(2) = 2{[ПТ]}} = кф]¥б(2) + ^л(2). (2)
Передаточные функции фильтров Баттеруорта и Лан-цоша второго порядка записываются в виде [4]
^б (2) =
-1 -2 ао + + ао 2
Ь0 + Ь12 _1 + Ь2 2 “2
(3)
Wл(г) = с0 + с-р 1 -с-р 3 -с02 4. (4)
Подставляя (3) и (4) в формулу (2), получим передаточную функцию ПД- стабилизатора, представленного на рис. 1.
—1 —2
кф ($ 0 + $1% + $0 2 ) +
+кфС/о + А2 1 + /22 2 + /з2 3)-
^ПД (2) =
- А42 4 - А5 2 5
“6
1 + /12 + /12
—2
(5)
где соответствующие постоянные связаны с параметрами фильтров (3) и (4) соотношениями
$ а0 . $ а1 А = Ь0С1 + Ь1С0
$0 = V = V /0 = С0. Аі "
Ь
0
А Ь1С1 + Ь2С0 А С1(Ь2 + Ь0) А Ь0С0 + Ь1С1
А2 =---------;---------- /з =---------;--------- А 4 =---------;--------
Рис. 1. ПД-стабилизатор, выполненный по параллельной схеме: ^б(г) - фильтр Баттеруорта; ^(2) - фильтр Ланцоша
= Ь1С0 + Ь2С1 . / =
/ = Ь1 / = Ь2 /1 = Т“; /2 = _
Ь0
Ь0
К обеим частям соотношения (5) применим операцию обратного 2-преобразования, в результате чего получаем разностное уравнение рассматриваемого ПД-стабилизатора
и [пТ ] = &ф{й?оф[иТ ] + й?-ф[(п -1)Т ] +
+ 3 оф[(п - 2)Т ]}+ кф {/оФ[пТ ] +
+ Лф[(п - 1)Т ] + /2ф[(п - 2)Т ] +
+ /зф[(п - 3)Т ] - /4ф[(п - 4)Т ]-
- /5ф[(п - 5)Т ] - /6ф[(п - 6)Т ]}-
- 1и [(п -1)Т ]- /2 и [(п - 2)Т ]. (6)
В качестве примера рассмотрим фильтры (3) и (4) с параметрами: а0=0,08073; а1=0,16147; Ь0=1,48256; ^=-1,83854; Ь2=0,677890; с0=5; с1=2,5. Используя соотношение (6), построим АЧХ и ФЧХ рассматриваемого ПД-стабилизатора, приведенного на рис. 2, при различных значениях варьируемых параметров кф, кф. Для этого на входе линейного цифрового стабилизатора (6) сформируем синусоидальную решетчатую функцш
ф[пТ] = 4єіпюпТ .
(7)
При этом на выходе стабилизатора , в соответствии с алгоритмом (6), имеет место синусоидальная решетчатая функция
V [пТ ] = Б(юТ )єіп[ю(пТ) +ф(пТ)].
(8)
Для каждого текущего значения ю Т вычисляется значение АЧХ
М (юТ) =
Б(юТ)
4
и измеряется фазовый сдвиг ф(юТ) выходного сигнала (8) относительно входного (7).
Анализ АЧХ и ФЧХ позволяет сделать вывод, что стабилизатор (6) плохо подавляет высокочастотные помехи и вносит в систему при низких частотах значительное фазовое опережение. Объясняется это тем , что в схеме, представленной на рис. 1, на фильтр Ланцоша подается зашумленный высокочастотными помехами входной сигнал, а подавление фильтром Ланцоша высоких частот не всегда эффективно.
В связи с изложенным, предлагается использование последовательно-параллельной схемы ПД-стабилизато-ра, представленной на рис. 3. В этой схеме на фильтр Ланцоша подается уже отфильтрованный низкочастотным фильтром Баттеруорта сигнал ф(пТ)].
0
0
0
0
0
Рис. 2. АЧХ и ФЧХ ПД-стабилизатора, выполненного по параллельной схеме
Рис. 3. ПД-стабилизатор, выполненный по последовательнопараллельной схеме
В этом случае передаточная функция стабилизатора при использовании фильтров второго порядка записывается в виде
кф{$0 + $12 + $0 2 +
+ кф (А0 + А12 1 + А22 2 — — А22 4 — А12 5 — А02 6)}
^ПД (2) =
1 + /Х2 _1 + /2 г “2 где постоянные /0, /1 и /2 равны:
А = а0С0 А = а0С1 + а1С0 А = а0С0 + а1С1
А0 =~,—; л =------;-----; А 2 =---;-----
0
0
0
а соответствующее передаточной функции (9) разностное уравнение ПД-стабилизатора имеет вид
U [nT ] = k^, {doф\nT ] + d^[(n - 1)T ] +
+ ^ф[(п - 2)T ] + ktp(foФ[nT ] +
+ fM(n - 1)T] + f2ф[(n - 2)T]-- f2[(n - 4)T ] - flф[(n - 5)T ]-
- Ш(п - 6)T])}-lU[(n -1)T]-
- hU [(n - 2)T ].
(10)
На рис. 4 приведены АЧХ и ФЧХ стабилизатора (10). Подавление высоко-частотных помех стабилизатором
(10) значительно эффективнее, чем стабилизатором (6), а фазовое опережение, вносимое фильтром Ланцоша, значительно ниже, чем при использовании стабилизатора (6). Кроме того, выбором значения коэффициента кф при определенной частоте фазовый сдвиг может быть установлен равным нулю. Обычно это целесообразно при собственной частоте колебаний подвижного объекта. Так, для объектов бронетехники собственная частота колебаний подрессоренной массы обычно составляет 1,2 - 1,5 Гц.
Анализ цифрового ПД-стабилизатора, выполненного по последовательно- параллельной схеме, показывает, что его высокие динамические свойства обусловлены тем, что на вход дифференцирующего фильтра Ланцоша подается выходной сигнал фильтра Баттеруорта,
Рис. 4. АЧХ и ФЧХ ПД-стабилизатора выполненного но последовательно-параллельной схеме
1З1
который практически не содержит высокочастотных помех. Рассмотрим ПД-стабилизатор, представленный на рис. 3, с фильтром Баттеруорта третьего порядка с передаточной функцией
W6 (Z ) =-
ao (1 + 3z + 3z + z
1 + dio z + d 2o z + boo z
(11)
10
20^
и фильтром Ланцоша первого порядка с передаточной функцией
W (z) = c2(1 - z-2).
(12)
В результате получаем передаточную функцию ПД-стабилизатора в виде
kфao {1 +3z + 3z + z +
+ kфC2 (1 + 3z + 2z — 2z —
ГПД(z) =
-3z-4 -z-5)}
—1 —2 —3
1 + d1o z + d2o z + d3oz
(13)
Соответствующий передаточной функции (13) алгоритм стабилизации записывается в виде
V [пТ ] = кфаю{ф[пТ ] + 3ф[(п — 1)Т ] +
+3ф[(п — 2)Т ] + ф[(п — 3)Т ] +
+кф С2 (ф[пТ ] + 3ф[(п — 1)Т ] +
+2ф[(п — 2)Т ] — 2[(п — 3)Т ] —
—3ф[(п — 4)Т ] — ф[(п — 5)Т ])} —
[(п — 1)Т ] — $ 20 V [(п — 2)Т ] —
—$30 V [(п — 2)Т ]. (14)
Пусть параметры фильтров (11) и (12) составляют
а10=0,012045; $10=-1,93847; $20=1,37229; $30=-0,33745; с=12,5.
Расчет АЧХ и ФЧХ ПД-стабилизатора (14) позволяет сделать вывод о том, что динамические характеристики стабилизаторов (10) и (14) практически совпадают. Некоторое ухудшение фильтрующих свойств фильтра Лан-цоша первого порядка по сравнению с фильтром второго порядка компенсируется использованием фильтра Баттеруорта третьего порядка с практически идеальной АЧХ, который весьма эффективно фильтрует высокочастотные помехи.
Таким образом, цифровые ПД-стабилизаторы подвижных объектов целесообразно формировать по последовательно-параллельной схеме в соответствии с алгоритмами стабилизации (10) и (14).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Корнеев, В. В. Основы автоматики и танковые автоматические системы / В. В. Корнеев, Л. П. Кузьмин, К. И. Пав-личук, М. И. Кузнецов. - М. : Академия БТВ, 1976. -З4З с.
2. Аблесімов, О. К. Автоматичне керування рухомими об’єктами і технологічними процесами. т. 3. Автоматичне керування озброєнням танків / О. К. Аблесімов, Є. Є. Александров, І. Є. Александрова. - Харків : НТУ «ХПІ», 2008. - 444 с.
3. Александров, Е. Е. Оценка точности стабилизации ноля зрения прицела танковой пушки / Е. Е. Александров, Т. Е. Александрова, А. А. Лазаренко // Артиллерийское и стрелковое вооружение. - 2011. - № 3. - с. 40-44.
4. Хемминг, Р. В. Цифровые фильтры / Р.В. Хемминг. - М. : Недра, 1984. - 221 с.
З. Ивашко, А. В. Методы и алгоритмы цифровой обработки сигналов / А. В. Ивашко. - Харьков: НТУ «ХПИ», 2005. - 240 с.
6. Александров, Е. Е. Синтез цифровых нерекурсивных фильтров для информационно-управляющих систем / Е. Е. Александров, Т. Е. Александрова, В. А. Кононенко / / Техническая электродинамика. Специальный выпуск. Силовая электроника и энергоэффективность. - 2011 -т. 1. - с. 163-168.
7. Александров, Е. Е. Сравнительный анализ цифровых дифференцирующих фильтров / Е. Е. Александров, Т. Е. Александрова, В. А. Кононенко // В кн. : Автоматика / Automatics - 2011. XVIII Міжнародна конференція з автоматичного управління. Матеріали конференції. -Львів : Видавництво Львівської політехніки, 2011. -С. 303-304.
Стаття надійшла до редакцій 25.05.2011.
Александрова Т. Є., Кононенко В. О., Лазаренко А. О., Зейн Алі
ПОРІВНЯЛЬНИЙ АНАЛІЗ ЦИФРОВИХ ПД-СТАБІЛІ-ЗАТОРІВ РУХОМИХ ОБ’ЄКТІВ З НИЗЬКОЧАСТОТНИМИ ФІЛЬТРАМИ БАТТЕРУОРТА І ЛАНЦОША
Розглядається проблема побудови цифрових ПД-стабілі-заторів рухомих об’ єктів із спотвореними завадами вхідними сигналами. Проведено порівняльний аналіз стабілізаторів з фільтрами Баттеруорта і Ланцоша різних порядків.
Ключові слова: цифровий ПД-стабілізатор, низькочастотний фільтр, диференцуючий фільтр.
Alexandrova T. Ye.. Zein Ali
Kononenko V. A., Lazarenko A. A..
COMPARATIVE ANALYSIS OF DIGITAL PD-CTABILIZERS OF MOBILE OBJECTS WITH LOW-FREQUENCY BUTTERWORT AND LANCZOS FILTERS The problem of constructing a digital PD-stabilizers of mobile objects with noise input signals is discussed . The comparative analysis of the stabilizers with Butterwort and Lanczos filters of the various orders is considered.
Key words: digital PD-stabilizer, low-pass filter, differentiating filter.
3
