СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ПОВЕДЕНИЯ ВОЛН И ДЕФОРМАЦИЙ НА ГРАНИЦЕ РАЗДЕЛА УПРУГИХ ТЕЛ ПРИ УСЛОВИЯХ ИДЕАЛЬНОГО КОНТАКТА И СКОЛЬЖЕНИЯ Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539

Сравнительный анализ поведения волн и деформаций на границе раздела упругих тел при условиях идеального контакта и скольжения

Н.В. Чертова, Ю.В. Гриняев

Институт физики прочности и материаловедения СО РАН, Томск, 634055, Россия

В работе исследуются закономерности прохождения волн через границу раздела упругих тел при условиях идеального контакта и скольжения, которые реализуются в процессах трения, распространения поверхностных волн по границам раздела многофазных и структурно-неоднородных материалов. Рассчитываются зависимости коэффициентов Френеля и амплитуд деформаций на границе раздела от угла падения волны при условиях идеального контакта и скольжении. Полученные результаты позволяют проанализировать влияние граничных условий, свойств контактирующих тел и условий нагружения на волновые процессы и деформации на границе.

Ключевые слова: упругие волны, граница раздела, граничные условия, коэффициенты Френеля, деформированное состояние

DOI 10.55652/1683-805X_2022_25_2_87

Comparative analysis of wave and strain behavior at the interface of elastic bodies under ideal contact and slip conditions

N.V. Chertova and Yu.V. Grinyaev

Institute of Strength Physics and Materials Science SB RAS, Tomsk, 634055, Russia

Wave propagation through the interface of elastic bodies was studied under ideal contact and slip conditions occurring during friction and surface wave propagation along interfaces of multiphase and heterogeneous materials. The dependences of the Fresnel coefficients and strain amplitudes at the interface on the wave incidence angle were calculated for ideal contact and slip conditions. The results obtained can be used to analyze the effect of boundary conditions, properties of contacting bodies, and loading conditions on wave processes and strains at the interface.

Keywords: elastic waves, interface, boundary conditions, Fresnel coefficients, strain state

1. Введение

Реальные материалы и среды, представляющие композиты, поликристаллы, пористые и геологические среды, имеют иерархически организованную внутреннюю структуру, элементом которой являются границы раздела [1, 2]. Внутренние границы раздела, в качестве которых рассматриваются границы зерен, двойниковые и межфазные границы, интерфейсы между слоями в многослойных материалах, являются важной функцио-

нальной подсистемой в деформируемом твердом теле и существенно влияют на физические и эксплуатационные свойства материалов [3-7]. Поверхности раздела в виде межкристаллитных или межфазных границ особенно значимы для нано- и субмикрокристаллических материалов в связи с малым размером структурных элементов и большой объемной долей границ [8, 9]. Динамические деформации на границах раздела определяют ряд известных механизмов и наблюдаемых законо-

© Чертова Н.В., Гриняев Ю.В., 2022

мерностей деформирования [5, 6, 10]. При ограниченности экспериментальных методов исследования динамических деформаций на границе, связанной с разрешающей способностью применяемого оборудования и сложностью расшифровки результатов, теоретические подходы и методы численного моделирования приобретают особое значение при изучении этих задач.

Напряженно-деформированное состояние, определяющее поведение и разрушение твердых тел в процессе эксплуатации, является результатом распространения, взаимодействия и затухания упругих и упругопластических волн. При наличии границ раздела в деформируемом твердом теле могут распространяться специфические (отличные от объемных) поверхностные волны, к числу которых относятся волны Рэлея, Стоунли и скользящие волны [11, 12]. Амплитуды указанных волн экспоненциально затухают при удалении от границы раздела. Волны Рэлея наблюдаются на свободной поверхности твердого тела. Волны Стоунли распространяются по граничной поверхности твердых тел при условии идеального контакта, скользящие волны — при условии скольжения [13]. Граничные условия идеального контакта предполагают непрерывность компонент вектора смещений и тензора напряжений на границе. При условии идеального скольжения на границе раздела непрерывны нормальные компоненты вектора смещений и напряжений, компоненты касательных напряжений равны нулю [14]. Волны Стоунли и скользящие волны регистрируются и изучаются экспериментально. Это показывает, что соответствующие им формулировки граничных условий в рамках континуального описания деформируемого твердого тела физически обоснованы и реализуются в действительности.

Закономерности поведения волн и деформаций на границе раздела упругих тел при условиях идеального контакта и скольжении исследуются в настоящей работе на основе задачи прохождения плоской гармонической волны через границу. Эта классическая задача рассматривается во многих работах [15-18] для двух однородных, изотропных упругих полупространств, имеющих плоскую границу раздела. Современные исследователи изучают поведение волн на границах раздела твердого тела с жидкостью [19], слоистых твердотельных композитов [20, 21], анализируют распространение термоупругих и тепловых волн [22,

23]. При решении этих задач находятся коэффициенты отражения и преломления и определяются потоки энергии первичной и вторичных волн [16-20, 22, 23]. Коэффициенты Френеля позволяют также определить компоненты деформаций на границе [17, 24-26]. Результаты анализа деформаций на неподвижной свободной поверхности приведены в [24], в [25] изучены закономерности отражения волн на равномерно движущейся границе и соответствующие изменения деформаций. Поведение волн и напряженно-деформированное состояние на границе раздела упругих тел при условии идеального контакта рассмотрены в [26]. Результаты аналогичного исследования коэффициентов Френеля на границе при условии идеального скольжения ранее не публиковались. Эти коэффициенты являются целью настоящей работы, как и сравнительный анализ поведения волн и деформаций на границе раздела упругих тел при условии идеального контакта и скольжении.

2. Постановка задачи и ее решение

Аналогично [15-18] предположим, что на границу раздела двух однородных, изотропных упругих полупространств, определяемую нормалью п || г, в точке г = 0 падает плоская монохроматическая волна. Направление распространения волны образует некоторый угол с осью г в плоскости гу декартовой системы координат. Упругое тело 1, расположенное при г < 0, характеризуется коэффициентами Ламе ц-, А- и материальной плотностью р-, тело 2 при г > 0 задается параметрами А+, р+. Граничные условия на поверхности раздела, совпадающей с координатной плоскостью ху, в случае идеального контакта запишутся в виде

и1 = и2, ^ =о2,, / = х, у, г, (1)

и в случае скольжения примут вид

иг = и2, а^ = а^, а1^ = а% = 0, а^ = а2„ = 0. (2)

Сформулированная задача позволяет рассмотреть две независимые задачи для горизонтально и вертикально поляризованной волны. В первом случае, для сдвиговой горизонтально поляризованной 8И волны отличной от нуля является их компонента вектора смещений, перпендикулярная плоскости падения волны гу. Во втором случае рассматриваются иу, иг компоненты смещений, определяющие деформацию в плоскости падения продольной Р или поперечной вертикально поляризованной волны.

2.1. Падающая горизонтально поляризованная волна

В общем случае при падении волны на границу раздела существуют три типа волн [11, 15, 18], две из которых, падающая и отраженная, распространяются в первой среде, преломленная или прошедшая волна возбуждается во второй среде. В случае первичной 8Н-волны отличные от нуля их компоненты вектора смещений запишутся для каждой из трех волн в виде:

U0 = afexpOkV),

U- = at exp{ik; г;), u;= a; exp(ik; г/),

(3)

0 ± „ „ где at, at — амплитуды падающей, отраженной и

преломленной волн; k± = ю/C± , = k- — волновые числа; C± — скорости поперечных упругих волн в среде 1 и 2; 9°, 9± — углы падения, отражения и преломления; r¡°° = z cos 9° + y sin 9°, rf =±z cos 9± +y sin 9±. При записи (3), как и в дальнейшем, опущен множитель exp(-rát), где ю — частота, t — время. Дифференцируя (3) по пространственным координатам, можно получить выражения для компонент тензора упругой дис-торсии и найти компоненты деформаций и поворота для каждой из волн:

SL = = 2аХ" c0s9° ^pO'^VX

г°ух = = 2a<íikt sin 60 exP(ikí°rí0), 1

(4)

8¡X = ^¡X = ±2С0!3), 8±х = ^х = -2аРкГ ^ е± ехр(/!?±г±).

Граничные условия (1), (2) для падающей 8Н-волны при условии идеального контакта запишутся в виде

[Ux ] = U0 + u-x- u+ = 0,

zx ] = CTZ

"CTzx zx = 0,

(5)

при условии скольжения примут вид

О* + Ох = 0, < = о. (6)

Используя (3), (4) и закон Гука для определения напряжений, на основе (5), (6) можно получить системы уравнений для неизвестных амплитуд вторичных волн и найти коэффициенты отражения = Iа0 и преломления Г1Ь = аа°0 в

rsh =

и скольжения

Z -- Z+

, ^sh ='

2Z-

RSH = 1, ^SH = 0

(7)

(8)

при выполнении законов отражения и преломления

97 =60,sin6+ = C- sine-

f

C+

(9)

-í

В формуле (7) приняты обозначения для упругих импедансов в каждой из сред: Zf = Zf cos6f, Zf = Cfp±. Амплитуды деформаций на границе раздела Ein, определяющие компоненты деформаций sin=Einb с точностью до безразмерного множителя b = ik^af exp(ikí0y sin 60), при идеальном контакте будут равны

1Г„ „ . .0 c-

E =-

(1 - RSH)c0s 6í - C+ rsHcos 6

f

Exy = 2[(1 + Rh) - ?SH]sin 60 = 0

и при скольжении

Ezx = 0, Exy = Eyx = sin60 = 0.

(10)

(11)

2.2. Продольная вертикально поляризованная волна

Если на границу раздела падает P-волна, то вектор смещений имеет не равные 0 компоненты

U° = Л» cos 90exp(kV),

U° = A° sin9°exp(kV), ( )

где A° — амплитуда; 9° — угол падения; k° =

ю/ C° — волновое число падающей Р-волны, C° —

~ о

скорость продольной упругой волны, r = z х

cos 9° + y sin 9°. Дифференцируя (12) по координатам, получим выражения для компонент тензора упругой дисторсии, определяющей компоненты деформаций и поворота первичной волны: s°z = Uz°,z = ik°A° cos2 9° exp(k0r°),

s« = U°,y = kA° sin29°exp(kr°),

(13)

случае идеального контакта

U° + U°

s° = u z ,y ^uy, z s zy = 2

= ikf A cos 9° sin 9° exp(7'k/0r/0), U ° - U °

Qzv=Uy,z Uz,y = zy 2

Соответствующие компоненты тензора напряжений примут вид

o0zz = (2ц- cos2 00 + Г )ik0 AO expOkV), c0y sin(20°)ik° A0exp(k0 r°).

(14)

Компоненты смещений отраженной вертикально поляризованной волны имеют вид

U- = -Аг_ cos 0" exp(ikjr^)

- A- sin 0- exp(ik" r~), (15)

U- = A- sin 0- exp(ik-rt~) - A- cos 0- exp(ik"r~),

где A-)— амплитуды отраженной продольной, обозначаемой индексом l, и поперечной волны с индексом t; 0-(i) — углы отражения, k-) = C-t), k~- = ki — волновые числа; C-) — скорости упругих волн в среде 1; r-) = -z cos 0-(t) + y x sin 0-( t). На основе (15) можно найти деформационные моды отраженной волны, выражения которых приведены в [26]. Компоненты смещений преломленной волны определяются равенствами

U+ = A+ cos 0+ exp(ikl+ r+) - A+ sin 0+ exp(ikt+ rt+),

(16)

U+ = A+ sin 0+ exp(ikl+ r+) + A+ cos 0+ exp(ikt+ r+),

используя которые также можно получить формулы для деформаций [26], возникающих при распространении волны в среде 2. Здесь A+)— амплитуды преломленной продольной и поперечной волн; 0+(t) — углы преломления; r+t) = z x cos 0+(t) + y sin 0+(t). Волновые числа k+) = ю/C+ определяются скоростями упругих волн C+) в среде 2. При выполнении законов отражения

0-=00,sin0-= ^ sin0-

(17)

и преломления

C + C+

sin 0+= C- sin 0-, sin 0+= sin 0- (18)

компоненты суммарных смещений (12), (15), (16) в граничных точках удовлетворяют равенствам

Uz = (A0 - A- )cos 00 - A; sin 0- A+ cos 0+ + At+ sin 0+ = 0,

Uy = (A0 + AT )sin 00 - A- cos 0- A+ sin 0+ - A+ cos 0+ = 0

(19)

при условии идеального контакта, при условии скольжения выполняется только первое равенство иг = 0. В случае вертикально поляризованной Р

волны граничные условия для напряжений (1) запишутся в виде

а гу = М'" (еуг + е-г ) - Ц+е+г = 0

а22 = (2ц- +Г )(е°г +8" ) + Г (е^у +8"Уу ) (20)

- (2ц++Г )е+г-Ге+у = 0

0 - +

при идеальном контакте, где е^, е^, е ^ — компоненты деформаций падающей (13), отраженной и преломленной волн. Граничные условия скольжения (2) для нормальных напряжений огг запишутся в виде (20), для касательных примут вид

а-у = м-(е0у +е-у) = 0, а+у = ц+е+у = 0. (21)

Подставляя соответствующие выражения для компонент деформаций в (20), (21) и используя равенства (19) для смещений, получим систему уравнений относительно коэффициентов отражения Яп = А-1А° и преломления Ти = А+/А° продольных и поперечных Лй = А-1 А°, Гй = А+ /А° волн при падении Р-волны на границу раздела в случае идеального контакта:

, 4, (22)

(Цт)

DmXm = b,, i, m = 1

cos 0-sin 0-

sin 0- cos0-

cos 0

- sin 0

- sin 0+

- cos 0+

Zi a sin(20; ) -Zt cos(20- ) Z+a+ sin(20+) Z+ cos(20+) Z- cos(20-) Z- sin(20-) -Z+ cos(20+) Z+ sin(20+)

(Xm) =

(Rl ^ Ri Ti

V Ttl

(

(b) =

cos 0

Л

-sin 0

Z^a~ sin(200) -Zlocos(20-)

где — матрица коэффициентов уравнений; Хт, Ь, — векторы-столбцы неизвестных коэффициентов Френеля и свободных членов; ) = ОрзР1 — упругие импедансы граничащих сред; сг = (С1/ С[ )2. В принятых обозначениях коэффициентов Френеля первый нижний индекс показывает, какому типу волны соответствует данная величина, второй индекс указывает на характер падающей волны. Уравнения (22), определяющие связь коэффициентов отражения и преломления с упругими параметрами контактирующих сред и углом падения первичной волны, аналогичны приведенным в [27]. При условии идеального скольжения матрица коэффициентов уравнений 0,т и вектор-столбец свободных членов Ь, в (22) изменятся следующим образом:

г

(Dim)

os9- sin 9- cos 9+ - sin 9_

Z-a- sin(29°) -ZJ cos(29-) ° °

° ° Z+a+ sin(29+) Z+ cos(29+)

Z- cos(29-) Z- sin(29-) -Z+ cos(29+) Z+ sin(29+)

Л

(

(b) =

cos 9

Л

Z°a- sin(29°) °

V -Z¡ cos(29-),

(23)

2.3. Поперечная вертикально поляризованная волна

Если на границу раздела падает поперечная 8У-волна, то вектор смещения перпендикулярен направлению распространения волны и имеет не равные нулю компоненты

и0 =-40яп е?ехр(/£°г0),

U° = Aí0cos°exp(/'kt0r °),

(24)

где At — амплитуда; 9t — угол падения; kt — волновой вектор; r° = z cos 9° + y sin 9°. Выражения для компонент тензора упругих дисторсий, деформаций и поворота падающей волны имеют вид

s°z = U°zz = -1 ik°A sin(29°)exp(/'kt0r°), вУу = Uy0,y = 2ik°A sin(29°)exp(fkt0r°),

= -ik° A sin2 9° exp(ikt0r°), U°z = ik° A° cos2 9° exp(ikt0r°),

s°y = 2 ik° Aí0cos(29°)exp(ikt0 r °),

(25)

Qzy = ^ik^At exp(ikt0r°).

^0 1 0 Л о . 2

Компоненты напряжений в случае падающей волны сдвига будут равны

а02 = -рЛк0 А sin(2е0)exp(/kíoг0),

c°y = ^-ikt0 A cos(29°) exp(ikt0r °).

(26)

Компоненты смещений отраженной и преломленной волн (15), (16), как и формулы для деформаций, приведенные в [26], остаются без изменений в случае падающей 8У-волны. Согласно (24), (15), (16), при г = 0 и выполнении законов отражения и преломления

C -

9°° =9- ,sin 9- = —- sin 9-,

Ct

C

sin9+ = —— sin9,, sin9, = -L- sin9

C-

Cl

Ji

(27)

(28)

суммарные смещения на границе раздела равны Uz = [-(A- + A) sin 9°° - A- cos 9-

- A++ cos 9+ + A sin 9+ ] exp (ik°y sin 9°),

Uy = [(A° - A- )cos 9° + A- sin 9- A+ sin 9+ - A cos 9+]exp(ikt0 y sin 9°).

(29)

Подставляя выражения для компонент деформаций, определенных на основе (24), (15), (16), в граничные условия (2°) и полагая Uz = Uy = ° в (27), получим систему уравнений относительно коэффициентов отражения Rü = A- /A и преломления Tlt = A+1A продольной и поперечной волны Rtt = A-1A, Ttt = AIA в случае падающей волны сдвига при условии идеального контакта. Эта система уравнений, записанная в виде (22), определяется приведенной матрицей коэффициентов Dim и величинами

(Xm ) =(Rit Rtt Tit TttУ^

(bt) (3°)

= (- sin 9°° - cos 9° Z° cos(29°) Z° sin(29°0))T, где индекс Т обозначает транспонирование. В случае граничного условия скольжения на основе выражений (21) и условия непрерывности нормальных смещений Uz = ° (27) можно получить систему уравнений относительно неизвестных (Xm) = (Rit Rtt Tit Ttt)т с матрицей коэффициентов Dim (23) и свободными членами

(Ь) = (-sin9° Z° cos(29°0) ° Zt0sin(29°))T.(31)

3. Результаты и обсуждение

3.1. Коэффициенты Френеля

Довольно громоздкие, аналитические решения систем (22), (23), (3°), (31) позволяют построить зависимости коэффициентов Френеля от угла падения волны на границу раздела при условии идеального контакта и скольжения. На рис. 1, 2 приведены зависимости коэффициентов Френеля от угла падения продольной волны на границу раздела двух пар контактирующих сред при рассматриваемых граничных условиях. В качестве примера были рассмотрены границы раздела между алюминием и медью, титаном и никелем, которые

Рис. 1. Коэффициенты Френеля продольной (а) и поперечной (б) волны для падающей P-волны, обозначенные при идеальном контакте арабскими цифрами, при условии скольжения римскими цифрами. Сплошными линиями изображены коэффициенты отражения, пунктирными — коэффициенты преломления на границах Al/Cu (1, 1', I, I') и Ti/Ni (2, 2', II, II') (цветной в онлайн-версии)

Рис. 2. Коэффициенты Френеля продольной (а, б) и поперечной (в, г) волны в случае падающей P-волны, обозначенные при идеальном контакте арабскими цифрами, при условии скольжения римскими цифрами. Сплошными линиями изображены коэффициенты отражения, пунктирными — коэффициенты преломления на границах Cu/Al (1, 1', I, I') и Ni/Ti (2, 2', II, II') (цветной в онлайн-версии)

в рамках модели упругой среды можно характеризовать безразмерными отношениями скоростей V = С+/С, V = с;/С-, Уш = С-¡С- и плотностей р = р+/р . При вычислении этих отношений использовались данные, приведенные в [28]. Полученные результаты существенно зависят от направления распространения падающей волны или последовательности расположения сред. На гра-

ницах раздела Al/Cu, Ti/Ni, отношения упругих скоростей которых удовлетворяют неравенству V¡(t) < 1, зависимости коэффициентов Френеля от угла падения продольной волны действительны и непрерывны как при условии идеального контакта, так и скольжения (рис. 1). При условии идеального контакта коэффициенты отражения и преломления P-волны на рис. 1, а изменяются мо-

нотонно от максимальных значении при нормальном падении до минимальных значении при касательном падении волны (Rn = -1 и T¡¡ = 0). При нормальном и касательном падении продольнои волны коэффициенты Френеля совпадают при граничных условиях идеального контакта и скольжения. Отличие состоит в том, что в случае скольжения коэффициенты отражения R¡¡ изменяются немонотонно и имеют максимальные значения при углах падения 45°<9° < 90°. Коэффициенты Френеля поперечноИ волны Rt¡, Tt¡, изменяющиеся непрерывно во всем интервале углов падения рис. 1, б, отличаются знаком при условии идеального контакта и скольжения. В случае идеального контакта коэффициенты Rt¡, T¡t максимальны в окрестности 9° « 45°, при скольжении минимальны. При неизвестном типе граничных условии характер зависимостеи коэффициентов отражения продольной волны Rü (9°) (монотон-ныи или немонотонныи) позволяет установить, какое условие (1) или (2) реализуется в действительности на границах контактирующих тел, свойства которых удовлетворяют Ущ) < 1.

На рис. 2 приведены результаты для продольной волны, падающей на границы Cu/Al, Ni/Ti, отношения упругих скоростей которых удовлетворяют условию V¡(t) > 1 и имеются особые точки, соответствующие полному внутреннему отражению продольной волны. При углах падения 9° >9°* = arcsin(1/Vt), одинаковых в случае идеального контакта и скольжения, преломленная P-волна не распространяется во второй среде, а затухает вблизи границы раздела на расстоянии порядка длины волны. При угле 9° = 9°* коэффициенты D\3, D33 в уравнениях (22), (23) равны °, при углах 9° > 9°* эти коэффициенты становятся мнимыми величинами D\3 = D33 = °, d13 = -cos 9*, d33 = Z¡a+ • 2sin 9* d13 и уравнения (22), (23) принимают вид

DlkXk = b,

¿iA,

DA = -d,A, i, k = 1, ...,4,

(32)

где Xk, Yk, Dik, dik — действительные и мнимые части коэффициентов Френеля и коэффициентов уравнений. Критические углы (в радианах) на границах Cu/Al, Ni/Ti имеют значения 9° ~ 0.8385 (1, 1', I, I'), 1.1283 (2, 2', II, II') (рис. 2).

Анализ коэффициентов (22), (23) показывает, что в случае падающей P-волны полное внутреннее отражение может иметь место и для преломленной поперечной волны, если выполняется не-

равенство 9° >9°* = arcsin(Q~ ¡C*), при котором D24=D44 = °, d24 = cos 9*, d44 = Zt+ • 2sin9*d24. Это условие для рассматриваемых границ раздела Cu/ Al, Ni/Ti не выполняется.

На рис. 3, 4 показаны зависимости коэффициентов Френеля от угла падения SV-волны при условиях идеального контакта и скольжения на границы раздела рассматриваемых сред. Зависимости, полученные на основе решений систем (3°), (31), имеют две особые точки на границах контакта Al/Cu, Ti/Ni (рис. 3) и три при обратном распространении волны на границах Cu/Al, Ni/Ti (рис. 4). Каждая особая точка является следствием равенства нулю одного из коэффициентов матрицы Dim (22), (23). На границах раздела Al/Cu, Ti/Ni (рис. 3) первая особая точка определяется условием 9°*1 = arcsin(Ct" ¡CJ), следующим из равенства Dn = D3i = °, вторая особая точка 9°*2 = arcsin(C~/С) появляется, когда D13 = D33 = °. Критические углы на границе Al/Cu равны 9t°*1 = °.5181, 9°*2 = °.7288, на границе Ti/Ni 9°*х = °.5357, 9°*2 = °.6°°2, в обоих случаях значения углов приводятся в радианах. При углах падения 9° >9°*1, когда Du = D31 = °, d11 = cos9-, d31 = Z-a- • 2sin 9-dn, отраженная продольная волна на границах Al/Cu, Ti/Ni становится неоднородной и затухает вблизи границы раздела на расстоянии порядка длины волны. Если SV-волна падает на границу при 9° > 9°*2, то Di3 = D33 = °, d13 = cos9*, d33 = Z¡ a2sin9*d13 и прошедшая продольная волна не распространяется во второй среде, трансформируясь в отраженную поперечную волну.

При условии идеального контакта действительные части коэффициентов Френеля падающей P-волны на рис. 3, а монотонно уменьшаются от нуля до значений в точке перегиба 9° = 9°*1, затем возрастают до значений в критической точке 9° =9°*2, которые положительны для коэффициентов преломления Re(Tlt) и отрицательны для коэффициентов отражения Re(Rlt). В интервале 9°*2 <9° < 9°° Re(Rlt) возрастают, а Re(Tlt) уменьшаются до нуля. При условии скольжения зависимости Re(Rlt) монотонно увеличиваются от нуля при нормальном падении до значений в точке перегиба 9° =9°*1, в интервале 9°*1 <9° < 9°*2 уменьшаются до °. Несмотря на различный характер изменений Re(Rlt) на границах Al/Cu, Ti/Ni при углах 9° = 9°*2 обе зависимости достигают

Рис. 3. Коэффициенты Френеля продольной (а, б) и поперечной (в, г) волны, обозначенные арабскими цифрами при идеальном контакте, римскими цифрами — при условии скольжения для падающей SV-волны. Сплошными линиями изображены коэффициенты отражения, пунктирными — коэффициенты преломления на границах Al/Cu (1, 1', I, I') и Ti/Ni (2, 2', II, II') (цветной в онлайн-версии)

0f, рад

Рис. 4. Коэффициенты Френеля продольной (а, б) и поперечной (в, г) волны, обозначенные арабскими цифрами при идеальном контакте, римскими цифрами — при условии скольжения для падающей SV-волны. Сплошными линиями изображены коэффициенты отражения, пунктирными — коэффициенты преломления на границах Cu/Al (1, 1', I, I') и Ni/Ti (2, 2', II, II') (цветной в онлайн-версии)

локального минимума и увеличиваются до нуля в интервале 9°^ <9° < 9°°. Максимальные значения коэффициентов отражения Р-волны при граничном условии скольжения в точке перегиба при 9° =9°^ больше 1, что характерно для трансформированных волн, поскольку при трансформации изменяются плоскость колебаний частиц и скорость распространения волны. Законы сохранения импульса и энергии при этом не нарушаются. Действительные части коэффициентов преломления при условии скольжения изменяются немонотонно при углах ° <9° < 9°*1 и обращаются в ° на концах интервала. В интервале углов 9°1*1 < 9° < 9°*2 Re(Tit) уменьшаются до некоторых отрицательных значений и увеличиваются до ° в интервале 9°0*2 < 9°° < 9°°. Мнимые части коэффициентов Френеля Р-волны в случае идеального контакта монотонно увеличиваются до максимальных значений при углах 9°*1 < 9° < 9°*2 и уменьшаются до ° в интервале 9°*2 <9° < 9°° (рис. 3, б). При условии скольжения эти величины имеют экстремальные значения при углах 9t = 9°*1, которые положительны для коэффициентов отражения и отрицательны для коэффициентов преломления. При углах 9°)*1 <9° < 9°)*2 Im(Rti (9°)), Im(Tti (9°)) уменьшаются или увеличиваются до значений в точке 9° =9°*2, в интервале 9°*2 < 9°' < 9°° эти величины достигают локального максимума и уменьшаются до °.

На границах раздела Cu/Al, Ni/Ti (рис. 4) первая особая точка появляется при условии 9°*1 = arcsin(Ct"/C+), когда D13 = D33 = °. При углах падения 9° > 9°*1 d13 = cos 9+, d33 = Z+a + • 2sin 9+d13 и преломленная продольная волна не распространяется во второй среде, затухая вблизи границы раздела. Вторая особая точка определяется равенством 9°*2 = arcsin(Ct"/C-), при котором Du = D3i = °. В случае 9° > 9°*2 d11 = cos9-, d31 = Z- х a"• 2sin 9-d11, поэтому отраженная продольная волна становится неоднородной и затухает на расстоянии порядка длины волны. При углах 9° > 9°*2 энергия в обеих контактирующих средах переносится волнами сдвига. Третья особая точка 9°!!3 = arcsin(Ct"/C+) является следствием равенства D24=D44 = °. При углах 9° >9°^, когда d24 = cos 9+, d44 = Zt+ • 2sin 9+d24, D24=D44 = °, происходит трансформация преломленной поперечной волны в отраженную волну. На границе Cu/Al критические углы в радианах имеют следующие

значения: 00j = 0.3657, 90*2 = 0.5016, 0j*3 = 0.8068 на границе Ti/Ni 0°°*! = 0.4951, 0fo»2 = 0.5536, 0j*3 = 1.1966.

Действительные части коэффициентов отражения продольных Rlt (001) и поперечных Rtt (00) волн увеличиваются вне зависимости от вида граничного условия при углах 001 <00*1 (рис. 4, а, в). В случае поперечных отраженных волн синхронность изменений наблюдается также при 00 > 00*3, где поведение Re(Rlt (00)) зависит от свойств контактирующих сред. В интервале 0^ <001 < 00*2 зависимости Re(Rft (00)) уменьшаются при идеальном контакте и увеличиваются при скольжении, Re(Rtt (00)), наоборот, увеличиваются при идеальном контакте и уменьшаются при скольжении. Действительные части коэффициентов преломления Tlt (00) изменяются синхронно с Re(Rit (00)) при идеальном контакте и в противо-фазе при скольжении. Можно проследить аналогию зависимостей мнимых частей Rlt (001), Tlt (00) при условии идеального контакта и скольжении на рис. 4, б. Отличительной особенностью Im( Rlt (001)), Im(Tlt (001)) при условии скольжения является скачкообразное изменение этих величин

00

при критических углах 0Л, 0t*2 и различие Im(Tlt (00)) на границах Cu/Al и Ni/Ti при 00*3 < 00 < 90° в случае идеального контакта. Результаты рис. 4, г демонстрируют слабую зависимость Im( Rtt (001)), Im(Ttt (0^) от упругих свойств рассмотренных тел при условии скольжения, которая нарушается в случае идеального контакта при 00*3 < 00 < 90°.

В случае падающей SV-волны коэффициенты Френеля волн сдвига при нормальном падении позволяют идентифицировать граничные условия (1) и (2), поскольку не равны 0 при идеальном контакте и равны Re(Rtt) = -1, Re(Ttt) = 0 при скольжении.

3.2. Амплитуды деформаций

Суммарные смещения (12), (15), (16) в случае падающей продольной волны и в случае поперечной волны (24), (15), (16) позволяют получить выражения для компонент тензора дисторсии pik= djük=ВкА и вычислить компоненты деформаций и поворота, где Bik — амплитуды дисторсий; А — безразмерный множитель. В случае падающей P-волны A = Al = ikf A0 exp(7'kl°y sin 0^, амплитуды компонент деформаций sik=ЕкА и поворота ®ik= W¡кА имеют вид

Ez = (1 + R )cos2 е» + R ™ f

- tu cos2 е+ C-+t

sin(2e+) q

C

C+

Ey = (1 + R)sin2 e? - R ™f

C-

- Tu sin2 e+ C+ - tü -Ci 2

sin(2e+) C.

C+

E- " 2

C-

(1 - R )sin(2 e?) + ^i cos(2 e-) Cf

- Til sin(2e+)^ - Ti cos(2e+) %

C+

C+

W =

zy

Rtl Ttl

i C -Cl

c - с

V^1 W J

Для первичной волны сдвига амплитуды деформационных мод, определенные с точностью до безразмерного множителя A = At = ikf A? exp(i x

70 • o0x

kt y sin et), запишутся в виде

Ezz = (^ -1)^+R cos2 e^C-2Cl

c-

- tü cos2 e+ Ct-+Tt

C+

sin(2e+) q 2 C+

Eyy = (1 - ^)

sin(2e?)

C -

-Rlt sin2 e- -CCi

- tu sin2 e+C--Ttt sn!2e+) Ct"

C+

C+

(34)

Ezy = 2

Ct

- Rlt sin(2e-)-- + (1 + )cos(2e?)

Cl

- Tlt sin(2e+) C7-Ttt cos(2e+)C

C+

C+

Wzy =-zy 2

1 + Rtt Ttt +

Формулы для деформаций (33), (34), как и для смещений, полученные из геометрических рассмотрений, справедливы при любых граничных условиях. Выражения (33), (34) записаны относительно реальных значений коэффициентов Френеля и выполняются при углах падения волн меньше критических углов, имеющих одинаковые значения для граничных условий идеального контакта и скольжения. Как изменятся эти выра-

жения при углах падения Р- и 8У-волн больше критических на границы раздела рассматриваемых сред, показано в [26]. Согласно расчетам по формулам (33), (34), напряженно-деформированное состояние на границе раздела двух упругих тел при условии идеального контакта характеризуется ненулевыми компонентами тензора дис-торсии

í 0 0 0 >

(33) B = 0 0 0

v Bzx By Bzz J

' 0 0 E Л xz ' 0 0 -W 1 zx

= 0 0 E yz + 0 0 -W zy

v Ezx Ey Ezz J W V zx Wy 0 J

(35)

На границе раздела при условии скольжения тензор дисторсии для падающих вертикально поляризованных Р- и 8У-волн имеет вид

(

B =

0 0 0 1 í 0 0 0 ]

0 By 0 = 0 E 0

yy yy

0 0 Bzz J v 0 0 E zz J

(36)

Ненулевые компоненты тензоров (35), (36) можно определить также следующим образом. При идеальном контакте на основе условия непрерывности смещений на границе (1) и законов отражения и преломления (17), (18), (28), (29), предпол-гающих равенство фазовых множителей к

яп ег0(,) = к[{1 е^ ^

i (t) •

можно записать

Ux, y = Uy, y = Uz, y = 0.

(37)

Равенства (37) и (38), последние следуют из независимости компонент смещений от координаты х: их,х = иУхх = и2 х = о, (38)

определяют тензор дисторсии (35). При граничном условии скольжения выполняются равенства (38), последнее тождество (37) и условия для сдвиговых деформаций на границе

иг, у = о, Егу = Ех = о, (39)

из которых следует (36). С учетом решения для горизонтально поляризованной волны (11) тензор дисторсии на границе раздела упругих тел при условии скольжения запишется в виде

í 0 0 0 1

B = Byx Byy 0

v 0 0 Bzz J

í 0 E xy 0 1 í 0 -W yx 01

Eyx Eyy 0 + W yx 0 0

V 0 0 E zz J V 0 0 0 J

Рис. 5. Компоненты деформаций Ezz (1, 2, I, II), Ezy (1', 2 ', I ', II '), Ezx (I ' ' , II ' ') при условии идеального контакта (а, б), при условии скольжения Ezz (1, 2, I, II), Eyy (1', 2 ', I ', II ') (в, г), обозначенные арабскими цифрами для падающей P-волны, римскими цифрами в случае падающих SV- и SH-волн на границах Al/Cu (1, 1', I, I ' , I ' '), Ti/Ni (2, 2 ' , II, II ', II ' ') (а, в) и Cu/Al (1, 1' , I, I ', I ' '), Ni/Ti (2, 2 ' , II, II ', II ' ') (б, г) (цветной в онлайн-версии)

На рис. 5, а, б приведены результаты расчетов зависимостей амплитуд деформаций от угла падения продольных и поперечных волн на границы раздела при условии идеального контакта. В случае падения P- и SV-волн на границы Al/Cu, Ti/Ni (рис. 5, а) характер представленных зависимостей удлинений, направленных по нормали к границе Ezz (0J0), Ezz (0f°), качественно совпадает с зависимостями коэффициентов отражения продольных волн на рис. 1, а и 3, а. Кривые амплитуд деформаций сдвига Ezy (0/°) аналогичны изменениям коэффициентов Френеля поперечной волны на рис. 1, б, Е (0^ качественно совпадают с зависимостями Re(rtt(0t)) на рис. 3, в. Для обеих падающих P- и SV-волн деформации сдвига и повороты совпадают: Ezy = Wzy. При падении SH-волны амплитуды Ezx (0^ качественно совпадают с зависимостями RsH(00) и Ezz (0/°).

На границах раздела Cu/Al, Ni/Ti (рис. 5, б) качественная аналогия Ezz (0^ и коэффициентов Френеля продольной волны на рис. 2, а, деформаций сдвига E (07°) и Re(ttl) на рис. 2, в наблюда-

ется с точностью до знака. Связь компонент деформаций и коэффициентов Френеля более сложная при падении SV-волны на границы этих тел. При углах падения 0f < 0^*2 зависимости Ezz (0f) качественно совпадают с коэффициентами Френеля поперечных волн на рис. 4, в, а Ezy(00) имеют сходство с коэффициентами продольных волн на рис. 4, а. В противоположность этому при углах 0f0 >00*3 кривые Ezz (0f°) аналогичны Re(Rlt (0?)), а E (0f0) — Re(Rtt (00)). Компоненты деформаций Ezx (0t) на границах Cu/Al, Ni/Ti аналогичны зависимостям Ezy (0/°). Особые точки на кривых Ezx (00) соответствуют предельному углу отражения поперечной волны и определяются условием 0f°* = arcsin(ct"/C). Численные значения 0f°* совпадают со значениями 00*3.

На рис. 5, в, г показаны зависимости ненулевых компонент деформаций от углов падения вертикально поляризованных P- и SV-волн на границы раздела при условии скольжения. В случае падающей P-волны на границы Al/Cu, Ti/Ni (рис. 5, в) удлинения Ezz(07°), как и Rll(07°) на

0.0 0.4 0.8 1.2 1.6 0.0 0.4 0.8 1.2 1.6

Угол падения волны, рад Угол падения волны, рад

Рис. 6. Компоненты нормальных и объемных деформаций на границах Al/Cu (1, 1', 1'', I, I', I''), Ti/Ni (2, 2', 2'', II, II', II'') (а) и Cu/Al (1, 1' , 1' ' , I, I ', I ' '), Ni/Ti (2, 2 ', 2 ' ' , II, II ', II ' ') (б). Удлинения Ezz изображены сплошными линиями при идеальном контакте (1, I, 2, II) и пунктирными при скольжении (1', I ' , 2 ', II '), объемные изменения EV — штрих-пунктиром (1' ' , I ' ' , 2 ' ' , II ' '); арабскими цифрами показаны зависимости для падающих P-волн, римскими цифрами — для SV-волн (цветной в онлайн-версии)

рис. 1, а, изменяются немонотонно и имеют минимальные значения при углах 45° < 6/° < 90°, где Rll (6°) максимальны. Зависимости Eyy (6°) и Rtl (6°), Ttl (6°) на рис. 1, б с точностью до знака качественно совпадают. При падении SV-волны характер изменений Eyy (6°) и Re(Tlt (6°)) на рис. 3, а, за исключением окрестности критического угла 6°*1, с точностью до знака аналогичен. Зависимости Ezz (6°) при углах 6° <6°п качественно совпадают с изменениями - Re( Rlt (6°)). На границах раздела Cu/Al, Ni/Ti (рис. 5, г) наблюдается качественная аналогия зависимостей Ezz (6°) и коэффициентов Френеля продольной волны на рис. 2, а. Для удлинений Eyy(6°) и коэффициентов Френеля поперечной волны на рис. 2, в имеет место качественное совпадение с точностью до знака. При падении SV-волны существует качественная связь с точностью до знака зависимостей Eyy(6°) и Re(Tlt(6°)) на рис. 4, а, Ezz(6°) при углах 6° <6°*! качественно совпадают с Re(Tlt (6°)).

Компоненты нормальных удлинений, не равные ° при обоих рассматриваемых граничных условиях, представлены также на рис. 6. Здесь же показаны объемные изменения, определяемые суммой диагональных компонент EV=Ezz + Eyy при граничном условии скольжения и EV=Ezz при идеальном контакте, которые являются инвариантными величинами. При малых углах падения продольной волны амплитуды удлинений и объемных деформаций имеют близкие значения при обоих граничных условиях. В случае первичной продольной волны качественный вид рассматри-

ваемых деформационных зависимостей не зависит от упругих параметров контактирующих тел как на границах Al/Cu, Ti/Ni, так и на Cu/Al, Ni/Ti. При больших углах падения Р-волны EyylEzz « 2. В случае падающей поперечной волны качественный вид амплитуд деформаций на рис. 6 не зависит от упругих свойств контактирующих тел при углах падения волны меньше критического 6°*1. При углах 6° < 6°*1 для амплитуд удлинений, направленных по нормали и касательной к границе, выполняется соотношение EyyjE2^z « 2. При углах падения меньше критического на границах Al/Cu, Ti/Ni вогнутость кривых Ezz одинакова в случае идеального контакта и скольжения (рис. 6, а), на границах Cu/Al, Ni/Ti изменения кривых Ezz противоположно (рис. 6, б).

4. Заключение и выводы

Проведено теоретическое исследование поведения волн и деформаций на границах раздела упругих тел при граничных условиях идеального контакта и скольжения, которое имеет особое значение для понимания особенностей эксплуатации структурно-неоднородных и композиционных материалов. Для двух пар рассмотренных сред на основе результатов расчета коэффициентов отражения и преломления установлены закономерности прохождения волн через границы раздела, определяемые упругими свойствами контактирующих тел, типом падающей волны, углом ее падения и направлением распространения, при граничных условиях идеального контакта и скольжения.

Полученные зависимости коэффициентов Френеля от угла падения волны и их различия при условиях идеального контакта и скольжения могут быть использованы для идентификации реализуемых граничных условий при деформации структурно-неоднородных тел. При нормальном падении продольной волны коэффициенты Френеля совпадают при граничных условиях идеального контакта и скольжения. В случае нормального падения поперечной волны коэффициенты Френеля волны сдвига различны при анализируемых граничных условиях.

Для падающих Р-, 8У-, 8Н-волн при двух возможных направлениях распространения первичной волны найдены критические углы отражения и трансформации, которые не зависят от вида граничных условий и определяются упругими свойствами контактирующих тел.

На границе раздела упругих тел при условиях идеального контакта и скольжения определены ненулевые компоненты тензора дисторсии в декартовой системе координат, связанной с границей раздела. Деформированное состояние на границе раздела при идеальном контакте и скольжении различно. При идеальном контакте деформированное состояние на границе определяется тремя компонентами тензора дисторсии ргг, Р^, ргх. В случае скольжения на границе раздела не равны 0 компоненты вуу, вгг и Рух.

Характер деформированного состояния на границе определяется ненулевыми компонентами тензора дисторсии. В случае идеального контакта характер деформированного состояния следует из геометрической постановки задачи и граничных условий, поэтому не зависит от упругих параметров контактирующих тел, поляризации и направления распространения падающей волны. При скольжении таким образом можно определить ненулевые компоненты дисторсии для падающих вертикально поляризованных волн.

В отличие от характера деформированного состояния зависимости ненулевых компонент деформаций на границе от угла падения волны существенно изменяются при варьировании упругих параметров контактирующих тел, поляризации и направления распространения падающей волны. Проанализирована качественная связь зависимостей коэффициентов Френеля и деформационных мод от угла падения волн различных поляризаций и упругих параметров граничащих тел.

Работа выполнена в рамках государственного

задания ИФПМ СО РАН, тема номер FWRW-

2021-0002.

Литература

1. Поверхностные слои и внутренние границы раздела в гетерогенных материалах / Под ред. В.Е. Панина. - Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2006.

2. Структура и свойства внутренних поверхностей раздела в металлах / Под ред. Б.С. Бокштейна. -М.: Наука, 1988.

3. Gleiter H. On the structure of grain boundaries in metals // Mater. Sci. Eng. - 1982. - V. 52. - No. 2. -P. 91-131. - https://doi.org/10.1007/978-94-009-78 70-6_8

4. Deng L., Liu Z., Wang B., Han K., Xiang H. Effects of interface area density and solid solution on the micro-hardness of Cu-Nb microcomposite wires // Mater. Character. - 2019. - V. 150. - P. 62-66. - https://doi. org/10.1016/j .matchar.2019.02.002

5. Rollett A.D. Abnormal grain growth and texture development // Mater. Sci. Forum. - 2006. - V. 495-497. -P. 1171-1176. - https://doi.org/10.4028/www.scienti fic.net/MSF.495-497.1171

6. Дмитриев А.И., Никонов А.Ю., Шугуров А.Р., Панин А.В. Роль границ зерен в развитии поворотных мод деформации поликристаллического титана при скретч-тестировании // Физ. мезомех. -2019. - Т. 22. - № 3. - С. 25-35. - https://doi.org/10. 24411/1683-805X-2019-13003

7. Головнев И.Ф., Головнева Е.И., Фомин В.М. Моле-кулярно-динамическое исследование влияния границы раздела на разрушение гетероструктуры при одноосном растяжении // Физ. мезомех. - 2020. -Т. 23. - № 4. - С. 20-26. - https://doi.org/10.24411/ 1683-805X-2020-14003

8. Андриевский Р.А., Глезер А.М. Прочность наноструктур // УФН. - 2009. - Т. 179. - № 4. - С. 338358. - https://doi.org/10.3367/UFNr.0179.200904a. 0337

9. Гусев А.И. Эффекты нанокристаллического состояния в компактных металлах и соединениях // УФН. - 1998. - Т. 168. - № 1. - С. 55-68. - https:// doi.org/10.3367/UFNr.0168.199801c.0055

10. Карькина Л.Е., Карькина И.Н., Карькина А.Р., Гор-ностырев Ю.Н. Зернограничное проскальзывание и миграция специальных границ зерен в бикрис-таллах Al. Атомистическое моделирование // ФТТ. - 2018. - Т. 60. - № 10. - С. 1847-1881. -https://doi.org/10.21883/FTT.2018.10.46511.099

11. Achenbach J.D. Wave Propagation in Elastic Solids. -Amsterdam: North-Holland, 1975.

12. Stoneley R. Elastic waves at the surface of separation of two solids // Proc. Roy. Soc. Lond. A. - 1924. -V. 106. - P. 416-428. - https://doi.org/10.1098/rspa. 1924.0079

13. Schoenberg M. Elastic wave behavior across linear slip interface // J. Acoust. Soc. Am. - 1980. - V. 68. -No. 5. - P. 1516-1521. - https://doi.org/10.1121/1. 385077

14. Rokhlin S.I., Wang Y.J. Analysis of boundary conditions for elastic wave interaction with an interface between two solids // J. Acoust. Soc. Am. - 1991. -V. 89. - P. 503-515. - https://doi.org/10.1121/L400374

15. Ляв А. Математическая теория упругости. - Л.: ОНТИ, 1934.

16. Cooper H.F., Jr. Reflection and transmission of oblique plane waves at a plane interface between vis-coelastic media // J. Acoust. Soc. Am. - 1967. -V. 42. - No. 5. - P. 1064-1069. - https://doi.org/10. 1121/1.1910691

17. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория упругости. Т. VII. - M.: Наука, 1987.

18. Бреховский Л.М., Годин О.А. Акустика слоистых сред. - М.: Наука, 1989.

19. Kaushic A., Gupta A. Reflection of oblique incident acoustic waves at various fluid-solid interface for varying material properties // Appl. Acoustics. - 2021. -V. 174. - P. 107611-107630. - https://doi.org/10. 101j .apacoust.2020.107611

20. Zheng G., Xia W, Ma L., Sun W, Sun Ch., Xu Yi., Zhao X. An experimental method to measure the layer thickness and wave velocity of copper-steel composite board without interface echo // Measurement. -2016. - V. 91. - P. 77-83. - https://doi.org/10.1016/j. measuremen2016.05.044

21. Yu H., Wang X. Dispersion characteristics of wave propagation in layered piezoelectric structures // Wave

Motion. - 2020. - V. 96. - P. 102559-102572. -https://doi.org/10.1016/j.wavemoti.2020.102559

22. Li Yue., Wei P., Wang Ch. Propagation of thermoelas-tic waves across an interface with consideration of couple stress and second sound // Math. Mech. Solids. -2019. - V. 24. - P. 235-257. - https://doi.org/10. 1177/1081286517736999

23. Nie B.-D., Cao B.-Ya. Reflection and refraction of a thermal wave at an ideal interface // Int. J. Heat Mass. - 2018. - V. 116. - P. 314-328. - https://doi. org/10.1016/j.ijheatmasstransfer.2017.09.043

24. Чертова Н.В. О характере деформаций на свободной поверхности упругого тела // Письма в ЖТФ. -2015. - Т. 41. - № 22. - С. 15-24. - https://doi.org/ 10.1134/S1063785015110188

25. Чертова Н.В., Гриняев Ю.В. Деформационные изменения при эффекте Доплера на свободной поверхности упругого тела // Физ. мезомех. - 2019. -Т. 22. - № 2. - С. 77-85. - https://doi.org/10.24411/ 1683-805X-2019-12007

26. Чертова Н.В., Гриняев Ю.В. Закономерности напряженно-деформированного состояния на границе раздела упругих сред при идеальном контакте // Физ. мезомех. - 2018. - Т. 21. - № 2. - С. 56-67. -https://doi.org/10.24411/1683-805X-2018-12006

27. Карпук М.М., Костюк Д.А., Кузавко Ю.А., Шав-ров В.Г. Отражение и преломление акустических волн на границе диэлектрик-магнитоакустический материал // ЖТФ. - 2003. - Т. 73. - № 7. - С. 97104. - https://doi.org/10.1134/1.1593197

28. Балдев Радж, Раджендран В., Паланичами П. Применения ультразвука. - М.: Техносфера, 2006.

Поступила в редакцию 03.09.2021 г., после доработки 29.10.2021 г., принята к публикации 29.10.2021 г.

Сведения об авторах

Чертова Надежда Васильевна, д.ф.-м.н., снс ИФПМ СО РАН, chertova@ispms.ru Гриняев Юрий Васильевич, д.ф.-м.н., внс ИФПМ СО РАН, grn@ispms.ru