CC BY
34
2007 НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА №123
Серия Эксплуатация воздушного транспорта и ремонт авиационной техники
УДК 539.3
СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ МОДЕЛЕЙ НИЗКОЧАСТОТНЫХ И ВЫСОКОЧАСТОТНЫХ КОЛЕБАНИЙ БАЛОЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
АВИАЦИОННЫХ КОНСТРУКЦИЙ
Е.М. ЗВЕРЯЕВ, Д.М. ДОКИНА
Известно, что расчет высокочастотных колебаний, которым подвержены трубопроводы авиационных двигателей, лопатки турбин, подкрепляющие корпус самолета стержни и некоторые другие элементы авиационной конструкции, по классическому уравнению колебаний балки дает результаты, существенно расходящиеся с экспериментальными данными. В связи с этим для расчета подобных задач используется уравнение Тимошенко [1], которое, как считается, учитывает поправки на поперечный сдвиг и инерцию вращения элемента длины балки. Поскольку это уравнение, равно как и классическое, получено интуитивным путем, вывод аналогичных уравнений конструктивным путем из общих динамических уравнений теории упругости дает возможность определить все искомые неизвестные задачи и по новому оценить их вклад в напряженно-деформированное состояние балочного элемента авиационной конструкции.
1. Безразмерные уравнения движения
Длинную прямоугольную полосу отнесем к прямоугольной системе координат о*, г*, так что 0 < х* < I, —И < г* < И (I — длина полосы, И — половина ее высоты). Полоса изгибается под действием распределенной по верхнему краю и направленной вниз нагрузки q = q (х).
Введем безразмерные координаты х = х* /1, г = г* / И безразмерные перемещения и = и* / И,
* / 7 »_* Лк* * * / 7—1 * / 7—1
н = н / И вдоль осей о , г соответственно и безразмерные напряжения (Гх =ох / Е , =ог / Е ,
т = т* / Е (размерные перемещения, напряжения и нагрузки отмечаются звездочкой).
Уравнения плоской задачи теории упругости, описывающие динамическое напряженно-
деформированное состояние полосы единичной ширины, запишем в виде
Эи Эн дт 2.. ди
-----= —£ — + 2(1 + п)т, —- = — е— + рн, ех = е— (1)
Эг Эх Эг Эх Эх
/1 2ч Эн Эт Эст 2..
стх =ех + уст7, е7 = (1 — У)07 —пех, — = е7, — = — е—- + ри .
х х г 5 г \ у г х5 г 5 ~\ г
Эг Эг Эх
Здесь е = И /1 — малый параметр и введен безразмерный множитель р2 = рИ2 /ЕТ2, в котором р - удельная плотность материала полосы. Точкой обозначено дифференцирование по ^.
При этом размерное время ^ и безразмерное время ^ связаны соотношением ^ = { / Т, где Т — некоторый характерный период рассматриваемых колебаний балки единичной ширины, имеющей длину I и высоту И . Решение системы (1) будем искать следующим образом. Положив в первом и втором уравнениях
н = н0(х), т = т0 ( х) (2)
в качестве известных величин нулевого приближения, вычисляем и0 и 0. Затем вычисляем ех0 и через соотношения упругости находим ах0 и е20.
Подставляя их в два последних уравнения системы (1), получаем н1 и т1 в первом приближении. Процесс вычисления следующих приближений может быть продолжен.
Из соображений удобства анализа начальное приближение (2) разделим на три
н = н0 (х) , т = т0 = 0 (3)
щ = щ = О, т = т0 (X) (4)
щ = щ0 = О, т = т0 = О (5)
Процесс вычисления искомых неизвестных, исходя из (4), назовем щ -процессом, из (5) -
Т -процессом и из (6) - 0-процессом. В первом процессе все искомые неизвестные будут выра-
жены через величину начального приближения щ0 как частные решения задачи (1) при заданных величинах (3), во втором - аналогично, через Т0, а в третьем - через произвольные функции интегрирования однородной относительно величин начального приближения задачи.
Также как и в статической задаче [2] вычислим, задавая начальные приближения равенствами (3)-(5), остальные неизвестные в нулевом приближении, а ранее заданные в нулевом приближении щ и Т - в первом. Это дает: в щ-процессе
Щ = Щ0(^, Т0 = ^ и0 = -£Щ02 , £*0 = -£К2 , ^0 = Р2Щ02
0
^*0 = (-£щ0 + УР2щ0)2 , £ = [(1 -У ) Р2К + у£ щ0"] 2 (1 -у2 ) Р2М>0 + у£ щ ] 2V2, Т1 = [£ -(1 + у)ер2К ] 2V2
0
2\ _2,
щ =
(6)
в Т-процессе
щп
0, Т = Т(*), и0 = 2(1 + у)т02 , а20 =-£т02
£*0 = 2(1 + У)Т, а*0 = (2 + У)Т, £ =-(1 +^/£<2
2,
(7)
= -(1 + у)2£т0 272, Т = [-(2 + у)£2т'' + 2(1 + у)р2Т00 ]272
в 0-процессе
(*), а 0 = а 0(*), £ (-£ и0
щ0 = 0, Т0 = 0, и0 = и0 (*), а20 =а20 (*) , £*0 =£и0-
(8)
а*0 =£0 + УSo, £ =(1 -У )а20 -n£u0, Т
В этих и последующих формулах штрихом обозначено дифференцирование по X, а точкой - по ?.
Теперь можно записать выражения для напряжений Т и а, вычисленных в первом приближении, как сумму элементарных решений, полученных в щ, Т и 0-процессах.
Т = [£3щ;- (1 + у)щ2щ0 -(2 + уУТ + 2(1 + у)рТ] — +(- £и0 - У£о'м + Р2К )2 + Т
а = -[£4-(1 + У)£2Р2- (2 + у)£тТ + 2(1 + у)£РТ]
2
~6
(
.3_
£ и0 -У£ а20 +£Р и
и 0)
г
т
/ 2 ••
£Т02+р щ02+а
* 1 * * / * \
Пусть на верхнюю границу полосы 2 = п действует нагрузка q = q \Х , которая может быть как распределенной, так и локальной. Соответственно, в безразмерном виде в первом приближении надо выполнить условия:
Т = 0 при 2 = ±1, аг = -^(*, ?) при 2 = 1, <7г = 0 при 2 = -1
После подстановки записанных выше выражений для напряжений в эти условия получим следующие уравнения для определения искомых неизвестных и0, Ог0, Щ0, Т0.
и0 = -q|2, -£2и^ + ри = -ущ /2
£3щ0”-(1 + у)щр2щ0 -(2 + у)£2т0 + 2(1 + у)р2т0 + 2т0 = 0
(9)
2
-£4- (1 + уЩр2- (2 + у)£Т + 2(1 + уЩТ - 6£Т0 + 6р2Щ0 = -3q (10)
Вычислив из последних двух уравнений соотношение
£Т0 = % (2 р2 Щ0 + q) (11)
и подставив его в последнее, получим уравнение
2
3[£< -(4 + 2.5v)£2p2W0 + 3(1 + n)p4w0 ] + 2p2w0
pt = p
T =Tt , pi p
- q+2+n£2 q"-(l+v^p 2 q ’ (12)
совпадающее при q = 0 с известным уравнением Тимошенко [1]
3 [e4- (4 + 3v)£2p2y" + 3(1 + v)p4y] + 2p2y = 0, (y = y /h),
приведенным к безразмерному виду для случая прямоугольного сечения, (F = 2bh) при к' = 2/3. При наибольшем из рекомендуемых в статье [3] значений к' = 5/6 различие будет больше.
2. Низкочастотные колебания
Классические уравнения свободных поперечных и продольных колебаний балки прямоугольного поперечного сечения, имеющей ширину 1, длину l и высоту 2h, в безразмерном виде имеют вид 23£4ylV + 2pty = 0, £2u + 2p2u = 0 .
Здесь y - поперечный прогиб, u - продольное смещение сечения,
T=T , а Tt, T l — характерные периоды поперечных и продольных колебаний
балки. Предполагается, что поперечный прогиб y и продольное перемещение сечения u являются функциями нулевой изменяемости. Из этих уравнений следуют асимптотические оценки
2
pt~ e , pl~ e.
Введем в связи с этим обозначения
pt =ekt, К =rh2, pi =£~Х, К =rh^, (kt ,к1 ~ e°). (13)
ETt ETl
Первое выражение соответствует низкочастотным колебаниям, второе — высокочастотным.
Уравнение (9) для случая низкочастотных колебаний можно переписать так
— (2 + v)eX + 2(1 + v)£4kt% + 2t0 = -£3< + (1 + vYkt w0 (14)
и рассматривать его как уравнение относительно t0 при известной правой части.
На основании сказанного его решения, предполагая функцию w0 функцией нулевой изменяемости относительно координаты и времени, представим в виде суммы частного
2tp = — e ^0" +(1+v)ekt2 w0 и общего tg решений, что после подстановки в уравнение (10) приводит к уравнению
2[e4w^V —(1 + v)e6k2w0]+ 2e4k2w0 — 4eTg' =— q, (15)
которое назовем уравнением низкочастотных колебаний с выделенной сингулярной частью, соответствующей общему решению уравнения (14).
Если нагрузка q имеет нулевую изменяемость, быстро меняющаяся по х составляющая t0'
отсутствует. Оставляя в последнем уравнении главные слагаемые, получим классическое уравнение колебаний. Можно показать, что и условия на концах будут также совпадать с классическими.
Если нагрузка локальна и может быть использовано асимптотическое представление сосредоточенной силы, приложенной в точке х = С, как
Pk /J вк(х-С)/e при х < с , ч
q = —Q(t)1 _k(х-c)/e > dim q = pQS(x - c)), (16)
2i [в k(х c' при X > С i®0
где Q(t) — периодическая функция времени нулевой изменяемости, то для однородного уравнения (14) после отбрасывания второго члена, как меньшего на два порядка по сравнению с главными, получаем решение для t0 из
т, = 3PQ(t^(х—С)е при х < С 0 8i Q \e-k (‘—С)/e при х > с
В качестве примера рассмотрим случай приложения сосредоточенной низкочастотной нагрузки в точке с координатами х = С, z = 1. Нагрузку в уравнении (15) будем моделировать выражением (16), приняв Q(t)= sin Ot, (o~ i0).
Для выполнения концевых условий при х = 0, х = 1 и условий непрерывности на линии х = С, которым должны удовлетворять перемещения и, w и напряжения (Jx, t, составим с помощью элементарных решений (6) — (8) выражения в первом приближении для и, W,GX ,t
и = -iw'0 z + 2(1 + v)t0 z + u0 W = W0 + [(1 - v2)p2W0 + viw0]z2 / 2 - (1 + v)2it0z2 /2 +
+ [(1 -v2 S0 - V£U0 ]z S = (-i' w0 + vp2 w0) z + (2 + v)it0 z + iU0 + vsz 0 (17)
t = [i3w0” - (1 + v)e2 w0 ]z2 / 2 +10 + [- (2 + v)i2T0 + 2(1 + v) p 2t0 ]z2 /2 +
/ 2 N / 2 \
+ (-i U0-viSZ0 + p U0 )z .
Так как для рассматриваемого типа колебаний p2 ~ i4 динамические члены в (17) могут быть отброшены, они совпадут со статическими. Поэтому сохранится вся процедура расчленения концевых условий и условий сопряжения, описанная в [2]. Например, для случая жесткого защемления концов они имеют вид
w0 = 0 , w0 = 0 , и0 = 0 при х = 0,1 и
k í = 0 Kí =0, [w0 í =0, [wj2 =0
[w'ó j2 = 0, [i3 w07 2 + itg jj2 = 0 при х = c Индексы у фигурных скобок означают, что заключенное в них выражение надо написать для х < С и х > С и вычесть первое значение из второго на линии х = С .
Удовлетворяющее всем условиям решение уравнения (15) имеет вид
P \ a01 (cos кх - сккх) + a02 (sin кх - shto) при х < с
wn = — Sin cot
[ailV~^,v^ , ^12
Здесь X = х -1,
0 к3 [a11 (cosкX- chkX) + a12 (sin kX - shk£) при х > c
4 _ (sin kc - shkc)(chk - cos k) - (cos kc + chkc)(shk + sin k)
11 (chk - cos k)2 -(shk + sin k)2
(sin kc - shkc)(shk + sin k) - (coskc + chkc)(chk - cos k)
ai2
(shk + sin k)2 - (chk - cos k)2
a01 = anchk + a12shk + shkc, a02 = —anshk — a12chk — chkc.
Величины t0 и u0 за исключением дополнительного множителя sin Wt имеют тот же вид, что и в статике и здесь не выписываются.
3. Высокочастотные стационарные колебания
Пусть верхний край полосы z = 1 загружен медленно меняющейся вдоль него нагрузкой q = qx (x)sin Wt. Будем считать, что к защемленной на концах полосе приложена распределенная поперечная нагрузка, действующая с частотой, соизмеримой с некоторой собственной частотой продольных колебаний стержня. Уравнение (14) с учетом последних двух соотношений из (13) для случая высокочастотных колебаний можно переписать так, а уравнение (10) привести к следующему виду
2 4
- kwT — (1+nVk1 w0l+2e2kX—3-^' =—qxsinwt; (18)
— (2 + v)e2t0 + 2(1 + v)e2k2t0 + 2t0 = — e3 w0 + (1 + v)e3k2 w[. (19)
Рассматривая соответствующее однородное уравнение (при tg = qx = 0 )
e2 wf — (1 + v)e2 k2 w0 + 3k1 w 0 = 0 заключаем, что w0 имеет изменяемость равную У.
Частное решение уравнения (19) запишем в форме wg = wpx sin Wt,
где wP = qx /(2e'k>2). (20)
Здесь и далее дополнительный индекс x указывает на то, что речь идет об амплитудных значениях искомых величин.
12 9*
В однородном уравнении для w0x произведем замену x = 2 Q . Это дает
+ e>2 (1 + v) — g w0 x = 0, (g = 3k>2).
Отбросим второе слагаемое как малую величину. Общее решение запишем в форме
w0g = w0gx sin wt, где w0gx = Cj cos ge 4/2 + C2 cos g(1 — x)e_1/2 + C3 exp(— ge_1/2) + C4 exp[— g(1 — x)e_1/2].
Оно имеет две быстро осциллирующие и две быстро затухающие от концов компоненты. Примем, что на концах наложены условия отсутствия перемещений. Они при x = 0 и x = 1 запишутся так:
wp + wg +
0 x 0 x
/
,P
' 0 x
//
■ Z - W Z + 2(1 + n)t0xZ + U0x _ 0
(1 - v2 )є2 k4 (wpx + w0gx) + ve2 wp, + ve2 w*
0x 0x
(1 + v)2 et0 xZ 2 /2 + [(l - v' h 0 x - veu0 x ]Z _ 0
z 2/2-
//
Здесь произведена подстановка w0x = wpx + , где частное решение имеет нулевую из-
1/2
меняемость, а общее - 'А Поэтому второй член в первом уравнении имеет порядок £ , второй член во втором уравнении - £ 12, последний член в первой паре квадратных скобок имеет по-
/ //
рядок £ . В соответствии с этим заменим wgx на £ 12 dwgx / dv , wgx на £ ld2 wgx / dv2. Учитывая, что дифференцирование по V не меняет порядка дифференцируемых величин, отбросим второстепенные одноименные слагаемые по сравнению с главными. Кроме того, обратим внимание на то, что Тр = 0, так как сосредоточенная сила отсутствует. Получим условия следующего вида
£„2- г + 2(1 + к)0 + и, = 0, (21)
dg
d 2 у 2 г 2
Wp + w0; + У£-----2^-(1 + П)2£Т0р — + [(1 — У2 }г 0 -П£и0 ]г = 0.
0x 0x 7 2^^ ’ 0^ ^ ^ / г0x 0x J
dg 2 2
Установим относительные асимптотические оценки искомых величин. Из выражения (20)
Р >-» — 2
вытекает w0x ~ £ Цх.
В частном решении уравнения (18) Трх = — £ w0X + (1 + у)£3к4 w0 x ]/ 2 учтем, что диффе-
—1/2
ренцирование по x асимптотически увеличивает дифференцируемую функцию в £ раз, отбросим второе слагаемое как малую величину более высокого порядка по сравнению с первой. Отсюда следует оценка Трх ~ £32w0x . В силу того, что условия для и0, <7г0x и Т0x, w0x в (21) разделяются, получаем оценку wgx ~ wpx . Из формулы (17) получаем оценку основного напряжения С2х ~ £>x .
4. Заключение
Классическое уравнение колебаний балки достаточно хорошо описывает низкочастотные колебания. Однако при приложении сосредоточенной силы для нахождения решения надо раскладывать функцию типа 8 - функции в ряды по собственным формам колебаний. Уравнение типа Тимошенко с выделенной сингулярной частью, приведенное в настоящей работе, позволяет избежать подобных плохо сходящихся разложений.
В случае высокочастотных колебаний под действием медленно меняющейся по длине нагрузки частное решение следует форме этой нагрузки. При этом концевые условия провоциру-
- - ~1/2
ют наложение коротких волн с характерной длиной порядка £ на медленно меняющуюся форму. Если в силу каких-либо условий заданная форма нагрузки удовлетворяет наложенным на балку концевым условиям, коротковолновая форма не возникает. Можно показать, что процедура построения решения задачи высокочастотного возбуждения сосредоточенной силой похожа на ту, что имеет место для низкочастотных колебаний. При этом коротковолновая форма возникает всегда.
ЛИТЕРАТУРА
1. Тимошенко С.П., Янг Д.Х., Уивер У. Колебания в инженерном деле. - М.: Машиностроение, 1985.
2. Зверяев Е.М. Анализ гипотез, используемых при построении теории балок и плит, ПММ. Т. 67, Вып. 3,
2003.
COMPARATIVE ANALYSES OF LOW AND HEIGHT FREQUENCIES VIBRATION MODELS OF AVIATION CONSTRUCTION BEAM ELEMEMENTS
Zveriaev E.M., Dokina D.M.
A classic equation of the beam vibration describes relatively well the low frequency oscillations of the aviation constructions elements. But when the concentrated force is applied it is necessary to develop the delta-function type functions in the series of the eigenfunction of the oscillations. The given in the paper the Timoshenko type equation with the isolated singular part permits to avoid the similar badly convergent expansions.
In the case of the height frequencies vibrations when the slowly varying along the beam load is acting the particular solution follow the mode of this load. The end conditions provoke the superposition of the short waves. The character length of ones is a few height of the beam. If the mode of the given load verifies the end beam conditions the short mode waves are null. If the high frequencies concentrated force is acting the short wave modes are always.
Сведения об авторах
Зверяев Евгений Михайлович, 1944 г.р., окончил ЛПИ (1967), доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой прикладной математики и вычислительной техники МИКХиС и профессор кафедры машиноведения и деталей машин МГАИ, автор более 60 научных работ, область научных интересов — динамика и прочность конструкций, механика.
Докина Диана Леонидовна, окончила МГАИ (2004), инженер ООО "Прогресстех", аспирантка кафедры машиноведения и деталей машин МГАИ, область научных интересов — динамика и прочность двигателей летательных аппаратов.
