CC BY
257
Сравнительный анализ методов сверхразрешения в антенных решетках
ВЫПОЛНЕН СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ЭФФЕКТИВНОСТИ РАБОТЫ РЯДА БАЗОВЫХ МЕТОДОВ РАЗЛИЧЕНИЯ ИСТОЧНИКОВ СИГНАЛОВ, ОБЛАДАЮЩИХ СВОЙСТВОМ "СВЕРХРАЗРЕШЕНИЯ".
Чудопалов И.В.,
МТУСИ
Известен довольно обширный перечень методов пространственного различения гауссовских источников, которые в литературе получили общее название методов со "сверхразрешением". Все они предполагают реализацию на базе антенньх решеток (АР), однако их сравнительный анализ позволит определить область применения каждого.
Предположим, что прием сигналов осуществляется М-элементной АР, и наблюдению доступна выборка из К статистически независимых отсчетов комплексных амплитуд процессов, присутствующих на М выходах. То есть подлежащая анализу реализация представляет собой М*К матрицу У= {¥}=,, составленную из К > 1 М-мерных векторов- столбцов У = {у/'!}^] отсчетов комплексных амплитуд.
Будем полагать также, что эта матрица У порождена моделью (допускает представление) вида
У = ¥ш + С (в ) • Z, У = {У } К У, = ¥Ш1 + С (в ) • Z, =
= У,,
Х(вД I е1, К,
(1а)
(1б)
где Уш = {У }=, —М*К матрица комплексных амплитуд шумов М пространственных каналов приема в К моментов времени, Ъ = {2'}=] — п*Кматрица из К комплексных
п-мерных векторов
ъ. = и(;)}п 1,
' *■ V ■* У=1
Э(Р) = {Хр)}п^ — М*п матрица, состоящая из п < М комплексных М-мерных векторов Хр) = {х/Р^М^ зависящих от параметров V и п, однозначно связанных с угла-
ми прихода на АР анализируемых сигналов.
Рассмотрим случай приема излучений от п независимых точечных источников. При этом векторы Хр) описывают амплитуднофазовое распределение по элементам АР для колебания, создаваемого у-ым (ve 1, п) источником. Это распределение, в общем случае, зависит от геометрии расположения и диаграмм направленности элементов. Приводимые ниже количественные результаты от-
носятся к случаю линейной эквидистантной АР из М изотропных приемных элементов с расстоянием d между ними. В этом случае для источников сигналов, находящихся в дальней зоне и при выборе точки отсчета фазы в центре АР
Х(РУ) = {х;(&)}£ = {е*(,-(”+™} М, (2) Ру = 2п • С • 8т(ву)/Я, Vе 1, п,
где Я — средняя длина волны, 0 — отчитываемое от нормали к решетке угловое направления на v-й источник излучения.
В описанной модели вектор У' анализируемого процесса в '-ый (г е 1, К) дискретный момент времени представляет сумму вектора собственных шумов каналов приема Уш; и п составляющих (пространственных гармоник) Х(Ру) с комплексными амплитудами е1, п).
Шумы каналов приема будем считать взаимно независимыми гауссовскими случайными процессами с нулевым средним значением и одинаковыми (единичными) дисперсиями:
У* = 0, У* • У* = IМ,, е 1, К
(3)
здесь черта сверху и (*) — символы статистического усреднения и эрмитового сопряжения, М — единичная М*М матрица, выступающая как корреляционная матрица шумов каналов приема.
Векторы Ъ комплексных амплитуд сигнальных составляющих будем также считать случайными гауссовскими с нулевыми средними значениями и п*п корреляционной матрицей
------* (4)
Z,. ■ Z,. = Ь, г е 1, К, Ь = сИа® { Н} ^=2
Согласно (4) компоненты, порождаемые различными источниками, статистически независимы и имеют относительную (по отношению к шуму каналов приема) интенсивность Н, (V е 1, п).
Кроме этого, будем полагать, что собственные шумы и внешние сигналы взаимно не-
Т-Сотт #6-2008
41
зависимы и что временной интервал между соседними отсчетами в выборке превосходит интервал корреляции процессов в каждом из каналов приема. Последнее означает статистическую независимость М-мерных отсчетов выборки (1 е 1, К).
В общем случае для указанных условий широкую известность приобрела задача оценивания неизвестных параметров [1-10]: п — числа независимых источников сигналов, Рv и Н (V е 1, п) — пространственной "частоты", однозначно связанной с углом прихода и относительной интенсивностью ^го сигнала. При этом распространение получили различные полуэмпирические правила оценивания [1-10]. Во всех них оценка числа источников, углов прихода и интенсивности сигналов формируется на основе определения числа, положений и значений локальных максимумов некоторой спектральной функции (СФ). В каждом из этих методов СФ формируется на основе некоторого полуэмпирического правила обработки выборки наблюдений У. Приведем правила формирования СФ для ряда наиболее распространенных методов.
1) Метод "максимальной энтропии" Берга [1, 2,4]
S(а) - SM3(а) = em^ ф^е m/
em ^ф^а)
(5)
S (а) - SmïW = {XV) Y ф Y ВД}-1
л
ф>ф ^X^Y X^)}-1.
3) Метод "теплового шума" [3]
S (а) - S-j^^) = {XV^2 ф¥ X^)}-1
ф>ф >{XV)Y ^(а)}-1.
4) Метод "Борджотти-Лагунаса" [4]
S(а) - 5БЛ (а) - £тш(а)/ *^мп(а) ф>ф > X^Y X(а)/ X^Y 2X(а).
(6)
(7)
(8)
S (а) -
*^МАК(а) - *^МЭ(а) / *^МП(а)
Л I 12
ф>ф >Vmm X*^ X(а)/ X^) ,
(9)
где m = 1 или m = M.
6) "Степенной" метод [6]
S(а) = SCT (а) = {Х*(а)^г X(а)}-1, у > 2. (10)
7) Метод "MUSIC" [2, 4, 7-9]
S (а) = SM (а) = {X*(a)U ш U0 Х(а)}-1. (11)
8) Метод "основных компонент" Бартлетта [2, 7-9]
S (а) = SE (а) = {Х*(а) UCU*C Х(а)}-1. (12)
9) Традиционный метод "формирования луча" [4, 9]
S(а) - S^^) = X (а) ф ^а)
л
ф>ф > X*(а)Ф X^).
(13)
Во всех приведенных выше методах формирования СФ использовались следующие обозначения:
X(œ) = {х/а)}^ — M-мерный "вектор обзора (сканирования)" по а со структурой, определяемой согласно (2);
ф = — YY* — М*М матрица, являющаяся
оце їжой максимального правдоподобия корреляционной матрицы (КМ) процессов, наблюдаемых на выходах М-элементной АР
Л
ф = ф;
p q> p, q=
где m = 1 или m = M.
2) Метод "максимального правдоподобия" Кейпона [2]
5) "Модифицированный алгоритм Кейпона" [5]
ношения для потерь, присущих методу "формирования луча" в условиях приема сигнала (V = 1) и воздействия помехи (V = 2). Установлено, что по сравнению с потенциально достижимым уровнем отношение сигнал/помеха снижается в кэ раз, где
кэ = 1 + q - sinc (А)
(14)
q = —отнесенный к шуму уровень мощности помехи,
sin(n А)
sinc( А ) = -
п А
,А = M (ß !-ß 2)/2п-
■ М*М — матрица,
обратная к Ф;
œmm — элемент, находящийся на пересечении m-го столбца и m-й строки матрицы Y;
em — m-й (m є 1, M ) столбец единичной матрицы Im;
UmU^ — матрица проекционного оператора на подпространство, "свободное от компонент сигналов" КМ Ф;
UcU* — матрица проекционного оператора на "сигнальное" подпространство КМ Ф (U U* = L-U U*).
' c c M ш ш'
Правила формирования проекционных операторов на основе анализа собственных значений матрицы ф можно найти в [10].
Оценим потери, присущие методам (10-13).
Метод "формирования луча"
Согласно (13) в указанном методе формируется статистика
I (а) = R*(«) ф R1(«) =
= K_1 R*(œ ) YY * R 1(а) , в которой при а = ß, в качестве весового вектора r, (а) используется X(ßJ.
Для случая линейной М-элементной АР с эквидистантным расположением элементов были получены точные аналитические соот-
относительное фазовое рассогласование между компонентой полезного сигнала (v=1) и помехой (v = 2) на раскрыве АР. Из соотношения (14) следует, что метод "формирования луча" несет тем больше потери, чем выше уровень помехи.
Метод "MUSIC
Согласно (11) в нем формируется статистика
I (а) = |c (а)|2 X*(a) Y~ Ф Y~ Х(а) = (15) = R*(a) Ф Rj(a) ,
где c (а) = [Х*(а) Y~ Х(а)]-1, Y~ = Uши* = = IM - UCU*C матрицы UcUc* и ишиш* суть проекторы на "сигнальное" и "свободное от компонент сигналов" подпространства КМ Ф.
Докажем эквивалентность (29) и (11). Для этого заметим, что для КМ Ф справедливо представление Ф = UC Лс UC + U0Ü0, где Лс = diag(X 1, ... , X) —матрица собственных значений сигнального подпространства КМ Ф. Поэтому
Ф-У~ = [Uc Лс UC + U0U0]х
XÜ 0 U0 = U 0Ü *0 = Y ~.
Кроме того, Y2 = Y. Отсюда следует
I (а) = | c (а)|2 Х*(а) Y~ Х(а) =
= [Х*(а) Y~ Х(а)]-1 .
Таким образом, мы установили, что метод "MUSIC" использует вектор пространственной обработки R1(a ) = |c (а)| Y~ Х(а ).
Оценка потерь, присущих методу "MUSIC", в тестовой ситуации приема сигнала ( v =1) М-элементной линейной АР при воздействии одной помехи (v = 2) показала, что отношение сигнал/помеха снижается относительно максимально возможного Ц в кэ раз, где
П2
кэ « (1+3 q Л2)/(—(1 + q) А2) , (16)
6
л
2
42
T-Comm #6-2008
q = ^2~ относительная к шуму мощность помехи, А = М(Р, - в2)/2п — относительное фазовое рассогласование между компонентой полезного сигнала и помехой на раскры-ве АР. Соотношение (16) справедливо для больших уровней помехи, когда q^A2 >>1. В случае низких уровней (q^A2 <<1) потери не наблюдаются и кэ »1. Из (16) следует, что потери метода "MUSIC" невелики и в пределе могут достигать 3 дБ.
Метод ”Бартлетта"
Согласно (12) этот метод может рассматриваться, как получаемый на основе формирования статистики
I (а) = R^a) Ф Ri(a) , с Rj(a) = Uc Л^1/2 U*C X(a) ;
(17)
(18)
мя при у степенной метод переходит в метод "MUSIC". То есть, "степенной" метод в зависимости от используемого в нем значения у либо относится к методам, отвечающим принятому критерию оптимальности, либо нет.
На основе проведенного анализа можно сделать следующее заключение. Известные методы со сверхразрешением (10-12) и традиционный метод "формирования луча" (13), в общем случае, не обеспечивают максимального отношения сигнал/помеха при использовании их для организации пространственно-временной обработки в АР Наиболее существенные потери качества наблюдаются у традиционного метода "формирования луча" (13) и метода "основных компонент" Бартлетта (12). Их потери возрастают прямо пропорционально с увеличением мощности сигналов на входе АР.
где Лс = Сга®(Яь ... , Xп) — матрица собственных значений сигнального подпространства КМ Ф, исис—матрица проекционного оператора на "сигнальное" подпространство КМ Ф.
В тестовой ситуации приема сигнала (V=1) М-элементной линейной АР при воздействии одной помехи (V = 2) было найдено аналитическое соотношение, характеризующее снижение уровня сигнал/помеха, возникающее при использовании метода Бартлетта, кэ.
кэ
q-п‘ п 2
(1 + q (1 - sinc2(А))) , (19)
1 + q
где я = Ь, = ^ — отнесенные к шуму уровни мощности помехи и сигнала, которые в данном случае предполагаются равными;
. 81П(П А) . Л _
sinc(A) = -
п А
; А = M ■ (ß1 - ß2)/2n-
относительное фазовое рассогласование между компонентой полезного сигнала и помехой на раскрыве АР;
1+ягпс (Л) 1- ятс (Л)
п
yjl + q + q sinc (A) -Jl + q - q sinc ( A)
Для малых Л (Л << 1) и больших значений уровня мощности я (я^Л2 >> 1) формула (19) упрощается
п2
кэ ~ 1+Ч у Л2. (20)
Соотношение (20) показывает, что потери метода Бартлетта оказываются тем больше, чем выше уровень мощности помехи.
"Степенной" метод
Согласно (10) СФ "степенного" метода совпадает при у =1 и у = 2 с СФ метода "максимального правдоподобия" Кэйпона (6) и "теплового шума" (7), соответственно. То есть в этих случаях "степенной" метод отвечает предложенному критерию оптимальности. В то же вре-
Литература
1. Burd I.P. A New Analysis Technique for Time Series Data. NATO Advanced Study Institute on Signal Processing with Emphasis on Underwater Acoustics, August, 1968.
2. Марпл мл. СЛ. Цифровой спектральный анализ и его приложения/Пер. с англ. — М.: 1990. — С. 584.
3. Гейбриэл УФ. Спектральный анализ и методы сверхразрешения с использованием адаптивных решеток. — ТИИЭР, 1981. — Т.69. — №11. — С.5.
4. Мюнье Ж., Делиль Ж.Ю. Пространственный анализ в пассивных локационных системах с помощью адаптивных методов. —ТИИЭР, 1987. — Т.75. — №11. — С. 21-37.
5. Леховицкий Д.И., Милованов С.Б., Раков ИД, Свердлов Б.Г. Универсальные адаптивные решетчатые фильтры. Адаптация при заданном корне из оценочной корреляционной матрицы. — М. : Радиофизика, 1992. — Т.35. — №1112. — С. 969-991.
6. Гершман А. Б., Ермолаев В. Т., Флаксман А. Г. Анализ сверхразрешения некоррелированных источников излучения в адаптивных антенных решетках. // Изв. ВУЗов. Радиофизика, 1988. —Т. ХХХ1. — №11. — С.1374-1379.
7. Караваев В.В., Сазонов В.В. Статистическая теория пассивной локации. — М. : Радио и связь, 1987. — 240 с.
8. Сверхбольшие интегральные схемы и современная обработка сигналов: Пер. с англ./ Под ред. С. Гуна, Х. Уайтхауза, Т. Кайлатца. — М.: Радио и связь, 1989. — 472 с.
9. Джонсон ДХ. Применение методов спектрального оценивания к задачам определения угловых координат источников излучения. — ТИИЭР, 1987. —Т.70. — №9. — С. 126-138.
10. Kailath T. Decentralized Processing in Sensor Arrays. IEEE Trans. on ASSP-33, No. 4, October 1985. — РР. 1123-1129.
11. Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники//Изд. 3-е. — М.: Радио и связь, 1989.
12. Воеводин В.В., Кузнецов Ю. А. Матрицы и вычисления. — М.: Наука, 1984.
X юбилейный конгресс "Менеджмент и качество третьего тысячелетия"
Завершил работу X юбилейный Международный конгресс "Менеджмент и качество третьего тысячелетия" (18-19 марта 2008 г., Москва, Президент-Отель). В этом году Конгресс проводился совместно с Временной комиссией Совета Федерации Федерального Собрания РФ по международному техническому и гуманитарному сотрудничеству при поддержке Совета Федерации Федерального Собрания РФ и Государственной Думы РФ. Организаторами Конгресса выступили Федеральное агентство по техническому регулированию и метрологии, Международный институт качества бизнеса, Европейская организация качества, Ассоциация "Международный конгресс качества телекоммуникаций", НИИ "Интерэкомс".
Конгресс собрал представителей передовых телекоммуникационных компаний — операторов фиксированной и мобильной телефонной связи ("АСВТ", "Волгателеком", "Голден Лайн", "Евразия Телеком", "Компания ТрансТелеком", "КОМСТАР-ОТС", "Межрегиональный ТранзитТелеком", "РТКомм.РУ1, "Ростелеком", "Уралсвязьинформ", "Центртелеком", "Сибирьтелеком" и др.), системных интеграторов, проектировщиков и строителей сетей связи, российских и зарубежных производителей и поставщиков телекоммуникационного и медицинского оборудования, технологий и услуг, оптоэлектроники, кабельных и электротехнических изделий, пищевой продукции, а также представителей научных и проектных институтов, вузов и других организаций. Около 70% участников составляли высшие топ-менеджеры.
Были рассмотрены: важнейшие аспекты реализации приоритетных национальных проектов; новые подходы к развитию менеджмента и оценке деятельности компаний, организаций, в том числе практические аспекты управления качеством и человеческими ресурсами; актуальные проблемы в области образования и вопросы совершенствования законодательной базы в сфере образования; направления совершенствования систем менеджмента качества и другие актуальные вопросы. Программа Конгресса включала 2 пленарных заседания, прошедших в Президент-Отеле, и 2 практических семинара, состоявшихся в НИИ "Интерэкомс".
По мнению участников, работа конгресса вносит существенный вклад в повышение конкурентоспособности российских компаний и экономики России в целом, способствует появлению новых экономических и социальных проектов, направленных на развитие страны и повышение качества жизни.
T-Comm #6-2008
43
