CC BY
149Исследования и разработки в области эффективности, надежности и боевого использования вооружения и военной техники
УДК 355/359.351.814.331.3(11)
Вязников С.М.
Viaznikov S.M.
Анализ и оценка эффективности перспективных способов сверхразрешения воздушных
объектов в радиолокаторах
Analysis and evaluation of effectiveness of promising methods of air objects super-definition in radars
Аннотация.
Статья представляет собой аналитическое исследование известных способов сверхрелеевского разрешения (сверхразрешения) с целью нахождения среди них наиболее эффективного в интересах прикрытия объектов военной инфраструктуры от ударов с воздуха. В статье дана классификация способов сверхразрешения, их краткий анализ, достоинства и недостатки каждого из них. В результате исследования выявлено, что сверхразрешение, основанное на проекционном методе, обладает сравнительно высокой разрешающей способностью.
Abstract.
The article is an analytical study of the known methods of super-rayleigh definition (super-definition) in order to find the most effective among them in the interests of covering military infrastructure from air strikes. The article gives a classification of super-definition methods, their brief analysis, advantages and disadvantages of each of them. The study revealed that super-definition based on projection method has a relatively high-definition ability.
Ключевые слова: объектовая противовоздушная оборона (ПВО), сверхрэлеевское разрешение, функция правдоподобия, корреляция, когерентность, проекционный метод, сигнальное пространство.
Key words: object air defense, super-rayleigh definition, likelihood function, correlation, coherence, projection method, signal space.
Как показал опыт локальных войн, проводимых вооружёнными силами НАТО, - в первую
очередь поражаются наиболее важные объекты военной инфраструктуры. Для обеспечения
безопасности их жизненного цикла необходимо прикрытие средствами объектовой ПВО (ВКС) от
14
ударов с воздуха. В данном случае возможны ситуации высоких по эффективности ударов групповых сосредоточенных целей. Однако для существующего парка радиолокационных средств (РЛС) эти цели являются неразрешаемыми, что затрудняет разведку и своевременное оповещение о грозящем ударе. Из анализа объективных противоречий между предъявляемыми практикой требованиями к характеристикам РЛС и существующими способами извлечения радиолокационной информации [1] следует, что целесообразно и необходимо изменять подходы к разрешению радиолокационных объектов.
Пусть эхосигнал каждого одиночного (/-го) объекта характеризуется вектором параметров а1
(в типовом случае а =[в8гхг^]Т, где Р,, в,,т,,Fi - азимут, угол места направления прихода, время запаздывания, частота Доплера эхосигнала), а также комплексной амплитудой Е. При наличии п
одиночных объектов в интересуемой области наблюдаемого пространства описание функции правдоподобия базируется на модели принимаемого на интервале наблюдения [0, Т] при наличии аддитивных гауссовских шумов V с произвольной корреляцией некогерентного сигнала х с когерентными составляющими
^(г) = х(г) + V(г) = 5(а,г)Е + V(г),г е [0,Т], (1)
где у(1) - комплексная огибающая (КО) наблюдаемого сигнала, принятого да-канальной антенной решеткой радиолокатора (комплексная вектор-функция размерности да); 5(а,г) = (оц,г(а2,г)...5(аи,г)] - матрица размера тх п нормированных КО эхосигналов
одиночных целей 5 (а., г); I - текущее время; Е = [Е Е2... Еи ]Т и а = [аТаТ ...аТ ] - постоянные на
интервале наблюдения неизвестные векторы.
Все известные методы сверхрэлеевского разрешения можно классифицировать (рисунок 1) на спектральные и когерентные (неспектральные) [2]. Хотя данное разграничение достаточно условное, к неспектральным можно отнести те, которые осуществляют согласованную обработку, полностью учитывая когерентную структуру эхосигналов отдельных целей. Напротив, как только обработке подлежат несколько реализаций эхосигналов отдельных целей, можно говорить о спектральном оценивании.
Методы сверхрэлеевского разрешения
Методы байесовского оценивания (когерентные)
Спектральные методы (анализ свойств корреляционных матриц)
Рисунок 1 - Методы сверхрэлеевского разрешения
Вначале рассмотрим спектральные методы. К первой анализируемой группе относятся методы: линейного предсказания, Берга, авторегрессии, основанные на решении уравнения Юла -Уолкера [3]
(Яуу, V1) = 0, (2)
где Ryy - корреляционная матрица данных наблюдения; V1 - вектор, ортогональный сигнальному пространству, при этом постановочная часть задачи, на решение которой направлены эти методы, прямо увязывает решение V1 уравнения (2) с искомыми параметрами.
Наблюдение у для данной группы методов представляет собой вектор, составленный из отсчетов сигнала на выходе формирующего авторегрессионного фильтра, на вход которого подан дискретный белый гауссовский шум.
Если в (1) вектор E составить из отсчетов такого шума, векторы Si в матрице £ принять равными первым отсчетам импульсной характеристики формирующего фильтра, сдвинутой на г отсчетов, то модель наблюдения (1) будет соответствовать выходу дискретного фильтра с
импульсной характеристикой 5 = [ 50 5 s2 .. ,]Т
Уо ¿0 0 0 0 ..." " Е0"
У1 ¿1 ¿0 0 0 ... Е1
У 2 = ¿2 ¿1 ¿0 0 Е2 + V . (3)
.Уз ... Е3
В данном случае параметр ап соответствует известному временному сдвигу ^ на один отсчет, при этом сама импульсная характеристика фильтра ^ является неизвестной величиной, подлежащей оцениванию.
Естественно, что для формирующего фильтра с бесконечной импульсной характеристикой задача ее оценки, как правило, требует стремящегося к бесконечности наблюдения и, судя по всему, неразрешима. Однако для известного класса фильтров, описывающихся конечными разностными уравнениями
ау = -"^а у + ^ЬЕ
00У п / , г^ п г / , г п
(4)
г=1
г=0
решение упрощают. Задаваясь некоторым порядком р авторегрессионной части формирующего фильтра, можно заметить, что вектор V1, составленный из авторегрессионных параметров а1 модели формирующего фильтра, удовлетворяет условию
у,У 1= 0.
(5)
Обнуление входного сигнала допустимо, т. к. (4) справедливо для любого входного сигнала, в т. ч. и равного нулю на некотором временном интервале. При этом выполнение (5) для любого у гарантирует принадлежность V1 шумовому подпространству, а в случае, если размерность корреляционной матрицы выбрана соответствующей порядку авторегрессионной части фильтра, то решение базового для рассматриваемых методов уравнения Юла - Уолкера (2) гарантирует его единственность.
Для трансверсального формирующего фильтра, когда в (4) авторегрессионные параметры
равны нулю (а = а = — = а = 0), импульсная характеристика £ = ^Ь0 Ьх ... Ьд ^ конечна и
задача ее нахождения в существенно большей степени соответствует задаче разрешения групповой цели. Признаком для оценивания такой импульсной характеристики является ее принадлежность сигнальному пространству.
Одним из наиболее известных методов оценки коэффициентов формирующего
трансверсального фильтра при дополнительных ограничениях является метод высокого разрешения
Дж. Кейпона (называемый также методом максимального правдоподобия) [4, 5]. Ограничениями
является то, что коэффициенты фильтра при этом оптимизируют так, чтобы фильтр не ослаблял
сигнал с заданными параметрами (в качестве которого часто принимают экспоненту) и
17
минимизировал выходной шум. Такие ограничения несколько не соответствуют задаче разрешения, и многие исследователи отмечают относительно низкую разрешающую способность данного метода
[3, 6].
К одним из наиболее эффективных представителей спектрального оценивания относят широко известные методы, опирающиеся на разложение
= Vs (Л"v у1 (Vs )Н + Vv (Vv )Н / Г, (6)
где Vs ,Vv - матрицы, составленные из сигнальных и шумовых собственных векторов ; As+V -диагональная матрица с элементами AS + Av ; Av - собственные числа, соответствующие шумовым собственным векторам; A* - составляющая i-го собственного числа, обусловленная наличием сигнала.
Это группа методов MUSIC (multiple signal classification), ROOT-MUSIC, EV (eigenvector) и т. п. [6, 3]. В этих методах псевдоспектр строится обратно пропорционально взвешенной сумме квадратов
(S оп ,V ^ = 0 (7)
для всех собственных векторов шумового подпространства, если опорный вектор Sоп принадлежит сигнальному подпространству. Причем если для метода MUSIC все веса равны (единице), то для метода EV они обратно пропорциональны своим собственным числам, что, по мнению ряда авторов, способствует снижению «ложных спектральных пиков» [3].
В случае если размерность пространства наблюдения, лишь на единицу превышает размерность сигнального подпространства (размерность шумового подпространства равна единице), можно говорить о группе методов, типичным представителем которых является метод Прони [3]. В рассматриваемом случае существует только один вектор шумового подпространства, который в зависимости от модификации метода находят либо из нескольких (5), либо из (2). Для оценки параметров разрешаемых сигналов находят решение (7). Уравнение (7) при этом в ряде случаев (например, когда наблюдаются экспоненты) имеет аналитическое решение.
К последней группе методов вплотную примыкает метод гармонического разложения В. Ф. Писаренко [7], а также современные методы теории многоканального анализа: так называемый метод нормирования сигнала к амплитудам его компонент, предложенный профессором В. В. Абраменковым [8], в более общем виде изложенный Ю. И. Савиновым как обобщенный метод Прони, или метод фиктивного источника [9].
Особенностью методов теории многоканального анализа является то, что в модели наблюдения матрица S состоит не из нормированных комплексных огибающих эхосигналов целей, а из значений функций отклика многоканального анализатора, например системы согласованной или
18
когерентной обработки, что не меняет модель наблюдения (1). В остальном схема оценивания совпадает с вышеописанной схемой, характерной для методов Прони.
Принимаемая в различных методах спектрального оценивания размерность сигнального пространства (порядка модели) может не совпадать с истинной ее размерностью, что требует отдельных критериев уточнения порядка моделей. Среди них можно выделить критерии: Акаике -окончательной ошибки предсказания, Риссанена - длины минимального описания, Парзена, Кеттела - каменистой осыпи и др. В [3] отмечено, что на практике данные критерии по эффективности не отличаются друг от друга и не обладают приемлемой разрешающей способностью.
Как показали проведенные исследования [10, 12], одним из практически эффективных подходов к определению размерности сигнального пространства является рассматриваемый ниже, так называемый компенсационный метод, предложенный в рамках теории многоканального анализа В. В. Абраменковым.
Отличительной особенностью теории многоканального анализа, заложенной В. А. Варюхиным [12], является то, что в модели наблюдения (1) матрица £, как правило, состоит не из нормированных комплексных огибающих эхосигналов целей, а из значений функций отклика многоканального анализатора. Такой подход позволяет использовать методы спектрального оценивания «по выходу» стандартной когерентной обработки. При этом сигнальное подпространство оказывается натянутым не на векторы ¿(а) ¿(а2)..^(аи), соответствующие нормированным
комплексным огибающим эхосигналов отдельных целей, а на векторы /(а) /(а2) — /(а„), соответствующие откликам этих сигналов в многоканальном анализаторе (которым могут быть, например, многоканальный коррелятор, алгоритм БПФ или выход пространственной многоканальной обработки). Чтобы подчеркнуть принадлежность описанных ниже подходов к
теории многоканального анализа, следует переобозначить Я (а) = [ ¿(ах) ¿(а2 )..л(ап)] на
Методы теории многоканального анализа так же, как и методы теории спектрального оценивания, используют свойства (2), (5) и (7) рассматриваемой модели наблюдения.
Так, метод нормирования сигнала к амплитудам его компонент и метод фиктивного источника основаны на поиске ортогонального сигнальному подпространству V1, для чего используется система линейных уравнений, составленных из (5) для разных реализаций наблюдения у, что в отдельных случаях соответствует уравнению Юла - Уолкера (2). После чего, используя (7), осуществляется оценка параметров а^.
Самим В. А. Варюхиным в [12] также рассматривался несколько иной метод определения принадлежности ^оп (или в новых обозначениях /оп) сигнальному подпространству -
р ( а) = [ / (а1) / (а2 ).■■! (ап)] в модели (1)
(8)
работоспособный - однако, только при точно известной размерности сигнального подпространства. Так, если n - известная размерность сигнального пространства, то при дискретном наблюдении
определитель (n +1) x (n +1) -матрицы, составленной из n наблюдаемых сигналов и одного т. н.
фиктивного источникаравен с точностью до шумов наблюдения нулю только при попадании fш в сигнальное подпространство. Такой подход имеет в основе известное свойство, что в n-мерном пространстве существует только n линейно независимых векторов. При «хороших» f это означало равенство аоп параметров эхосигналов одиночных целей ai.
При непрерывном наблюдении это условие преобразуется в равенство нулю определителя матрицы Грама системы n наблюдаемых сигналов и одного фиктивного источника
Основной проблемой, как и для методов спектрального оценивания, в теории многоканального анализа являлась проблема определения размерности сигнального пространства. В. В. Абраменковым был предложен подход, называемый далее компенсационным, позволяющий достаточно эффективно решить эту проблему. Компенсационный метод, центральным выражением для которого является формула (5), основан на том, что если размерность сигнального пространства равна n, то для достижения строгого равенства в (5) достаточно того, чтобы размерность пространства наблюдения равнялась n+7. При этом обеспечивается наличие вектора V1, ортогонального сигнальному пространству. Принципиальным достоинством компенсационного метода является его устойчивость к характерным для практических задач искажениям / «формы» базисных векторов f Эта устойчивость обусловлена тем, что оценка V1 ортогональна подпространству, натянутому на искаженные /(ах)/(а2).../(аи), и выражение (5) верно при любых
искажениях базисных векторов.
Важным достоинством компенсационного метода также является то, что при малом количестве отдельных целей в составе групповой он вырождается в достаточно простые в вычислительном отношении процедуры.
Параллельно с теориями спектрального оценивания и многоканального анализа широкое развитие получили когерентные методы, основанные на байесовском оценивании, в рамках которых целесообразно выделить метод «оптимального разрешения» целей, или обнаружения целей на фоне мешающих сигналов [13].
Рассматриваемая теория была разработана Я. Д. Ширманом в 1958 г. и опубликована в [14]. В [15] утверждается, что оказалось возможным достичь тех же статистических показателей качества обнаружения, что и в отсутствие мешающих сигналов. Достаточным для этого является увеличение энергии полезного сигнала в 1/ раз, где ки - коэффициент использования энергии полезного сигнала.
На фоне только одного мешающего сигнала = 1 - |р|2 Эм / (Эм + N ), где р - комплексный коэффициент корреляции напряжений полезного и мешающего сигналов; Эм - энергия мешающего сигнала; N0 - спектральная плотность мощности шума. При Эм / N ^^ потенциальный
коэффициент использования энергии равен = 1 - |р|2. При ортогональных сигналах, когда р=0, их
взаимное мешающее действие потенциально устраняется и коэффициент использования энергии достигает единицы.
При этом задача разрешения по аналогии с задачей обнаружения цели на фоне маскирующих пассивных помех формулируется как задача обнаружения когерентного сигнала х (а0, t) одиночной
цели на фоне гауссовского белого шума и п мешающих сигналов Ь.х (а., t) ехр (jфi) с
равновероятными независимыми начальными фазами ф1 и распределенными по Рэлеевскому закону
амплитудными множителями Ъ1 [13]. То есть все присутствующие сигналы, кроме х (а0, t),
предлагается отнести к помеховому воздействию. При этом сумму сигналов, отраженных от «мешающих» целей, можно рассматривать как выборочную функцию гауссова шумового процесса. А результирующая - корреляционная матрица шума и мешающих сигналов - характеризуется суммой соответствующих корреляционных матриц. При этом в задаче обнаружения цели на фоне маскирующих пассивных помех корреляционная функция помехи считается известной. Лишь в этом случае процедуры определения весового вектора и вычисления отношения правдоподобия имеют смысл. В рассматриваемом случае о помехе неизвестно ничего, даже ее наличие. Таким образом, рассмотренная процедура работоспособна при известных коэффициентах корреляции мешающих сигналов, однако в практических задачах разрешения целей такая информация отсутствует.
Следующим, рассматриваемым здесь и выделенным многими исследователями, методом сверхрэлеевского разрешения является предложенный А. А. Курикшей в [16] подход к оптимизации процедуры оценки количественного состава групповой цели по критерию минимума среднего риска при несимметричной функции потерь (штрафы за ошибки оценивания количественного состава групповой сосредоточенной цели (ГСЦ) в большую сторону больше, чем в меньшую).
Идеология такого подхода - снизить риск принятия решений о количестве рассеивателей, превышающем истинное их количество [16]. Предлагается ограничиться проверкой условий по критерию минимума среднего риска последовательно для состава ГСЦ п=1, 2, ... и принимать в качестве оценки первое же п для которого условия выполняются. К сожалению, в этой работе отсутствуют рекомендации по выбору вида функции и параметра оценки, а также результаты исследований влияния различных факторов на эффективность предлагаемого подхода. Поэтому судить о работоспособности этого метода проблематично. Вместе с тем, так как в качестве критической статистики в данном методе используются значения функционала правдоподобия (ФП)
для гипотез различной размерности, то косвенно об эффективности такого подхода можно судить по результатам, представленным Ю. С. Шинаковым и В. С. Сперанским в [17].
Предложенный в [17] метод сверхразрешения также предполагает для принятия решения о количественном составе групповой сосредоточенной цели использование значений ФП (точнее, интегралов от них по некоторым областям) для гипотез с различной размерностью модели эхосигнала. Кроме того, в работе [17] приведены оценки эффективности такого подхода, полученные методом имитационного математического моделирования. Полученные оценки зависимостей вероятности принятия правильного решения о количественном составе группы от относительного углового расстояния между одиночными целями для разных отношений сигнал-шум приведены на рис. 2.
осш
---23 дЕ
---27 дЕ
-30 дЕ
0,2 0,3 0.4 0,5 0Г6
Относите иьное угловое расстояние между целями
Рис. 2. Зависимости вероятности принятия правильного решения о количественном составе парной цели от относительного углового расстояния для разных отношений сигнал-шум
Из рисунка 2 следует, что с помощью предлагаемого подхода потенциально возможно достигнуть превышения рэлеевского предела в 2-2,5 раза при отношении сигнал-шум (ОСШ) 23-30 дБ для вероятности правильного разрешения порядка 0,8. Таким образом, рассматриваемый подход требует достаточно высоких ОСШ (превышающих 23 дБ) для примерно двукратного превышения рэлеевского предела.
Несколько позже вышерассмотренных публикаций вышли работы Л. Н. Коновалова [18], М.
И. Сычёва [19] и А. Г. Аганина [20] которые, сочетают в себе как проверку гипотез о количественном
составе группы с критической статистикой, связанной функционально со значением ФП, так и
спектральный подход к оценке параметров эхосигналов.
Замыкает анализируемую группу проекционный метод решения обратной задачи группового
рассеяния, разработанный на кафедре радиолокационного вооружения ВА ВПВО ВС РФ им.
Маршала Советского Союза А. М. Василевского [21]. По сравнению с известными рассматриваемый
22
о а
I е
О
II
о,а
0,6
0,4
0.2
^ у ✓ ►
✓ ✓ г /
/ ✓ / Л
✓ * * /
метод более детально оценивает многомерную структуру эхосигнала сложной цели, принятого на фоне коррелированных шумовых помех. Он позволяет получать многомерные изображения со сверхрэлеевским разрешением по результатам обработки эхосигнала когерентного зондирования. Метод не требует существенных вычислительных затрат по отношению к стандартной обработке, работоспособен при типовых ОСШ и может быть реализован по выходу стандартных корреляционных, фильтровых или корреляционно-фильтровых схем обработки сигналов [22].
В целях проведения сравнительной оценки эффективности проекционного метода (ПМ) сверхрэлеевского разрешения было проведено имитационное математическое моделирование. Оценка эффективности современных методов сверхрэлеевского разрешения проводилась на примере метода MUSIC, компенсационного метода (КМ), метода Прони, а также стандартной обработки сигналов на основе алгоритма БПФ [23]. В качестве показателя для сравнения была выбрана потенциальная оценка относительного интервала разрешения (ПОИР), полученная по обобщенной методике Хэлстрома [24].
Моделировалась двухцелевая ситуация на фоне шумовых помех типа «белый шум». При этом рассматривался диапазон ОСШ 13-30 дБ.
На рис. 3 представлены зависимости, характеризующие эффективность одномерного разрешения парного рассеивателя указанными методами при функции рассогласования вида
р (А) = sincA. Относительные интервалы разрешения приведены для типовых вероятностей
правильной оценки количества рассеивателей Р22=0,5 и Р22=0,8 при уровне ложных тревог F=0,05.
Рис. 3. Относительные интервалы разрешения парного рассеивателя для функции рассогласования вида р (А) = smcД, заданных вероятностях
правильной оценки Р22 и вероятности ложной тревоги Е
23
Анализ рисунка 3 позволяет сделать вывод о сравнительно высокой, приближающейся к потенциально возможной эффективности проекционного метода разрешения в рассматриваемом случае. По разрешающей способности к проекционному методу приближается лишь компенсационный метод.
Таким образом, полученные результаты позволили предположить, что способы сверхрэлеевского разрешения, основанные на проекционном методе решения обратной задачи группового рассеяния, будут обладать сравнительно высокой разрешающей способностью. Учитывая, что в ходе военного конфликта в первую очередь поражаются жизненно важные объекты военной инфраструктуры, а также приоритетное использование групповых сосредоточенных воздушных ударов, мы приходим к выводу, что применение проекционного метода в радиолокационных средствах объектовой ПВО позволит существенно повысить эффективность физической защиты объектов военной инфраструктуры от ударов с воздуха.
Список литературы:
1. Отчет о НИР на тему. Шифр «Перец-С». Этап 2. Смоленск, ВА ВПВО ВС РФ, 2008.
2. Чижов А. А. Сверхрэлеевское разрешение. Т. 1. Классический взгляд на проблему. М., КРАСАНД, 2010. 96 с.
3. Марпл-мл. С. Л. Цифровой спектральный анализ и его приложения/ Пер. с англ. М., Мир, 1990. 584 с.
4. Кейпон Дж. Пространственно-временной спектральный анализ с высоким разрешением // ТИИЭР, 1969. Т. 57. № 8. С. 69-75.
5. Кейпон Дж., Гринфилд Р. Дж., Колкер Р. Дж. Обработка данных большой сейсмической группы способом многомерного максимального правдоподобия// ТИИЭР, 1967. Т. 55. № 2. С. 66-83.
6. Защита радиолокационных систем от помех. Состояние и тенденции развития / Под ред. А. И. Канащенкова и В. И. Меркулова. М., Радиотехника, 2003. 416 с.
7. Pisarenko V. F. The Retrieval of Harmonic from a Covariance Function. Geophys. J. R. Astron. Soc., 1973. V. 33. PP. 347-366
8. Абраменков В. В. Измерение угловых координат М источников излучения методом нормирования сигнала к амплитудам образовавших его источников// Авионика 2002-2004. Сб. статей / Под ред. А. И. Канащенкова. М., Радиотехника, 2005. С. 218-221.
9. Савинов Ю. И. Метод Прони. Смоленск, ВА ВПВО ВС РФ, 2008. 87 с.
10. Абраменков В. В. Метод Прони в задаче измерения координат источников излучения с близкими параметрами// Радиотехника. 2002. № 3. С. 37-41.
11. Чижов А. А., Тараканов А. В. Оценка разрешающей способности классических и современных методов спектрального оценивания// Вопросы радиоэлектроники. Сер. Радиолокационная техника. 2009. Вып. 1. С. 153-158
12. Варюхин В. А. Основы теории многоканального анализа. Киев, ВА ПВО СВ, 1993. 171 с
13. Радиоэлектронные системы. Основы построения и теория: Справочник. Изд. 2-е, пер. и доп. / Под ред. Я. Д. Ширмана. М., Радиотехника, 2007. 512 с.
14. Ширман Я. Д. Теория обнаружения полезного сигнала на фоне гауссовых шумов и произвольного числа мешающих сигналов// Радиотехника и электроника. 1959. Т. 4, № 12.
15. Ширман Я. Д., Манжос В. Н. Теория и техника обработки радиолокационной информации на фоне помех. М., Радио и связь, 1981. 416 с.
16. Курикша А. А. Оценка числа и параметров компонент сигнала при наличии шума// Радиотехника и электроника. 1984. № 9. С. 1740-1744
17. Шинаков Ю. С. Совместное обнаружение и разрешение неизвестного числа сигналов// Радиотехника и электроника. 1985. № 6. С. 1131-1138.
18. Коновалов Л. Н. Определение числа сигналов методом проверки сложных гипотез по критерию отношения правдоподобия// Изв. вузов. Радиоэлектроника. 1988. Т. 31, № 7. С. 18-25.
19. Сычев М. И. Оценивание угловых координат близко расположенных источников излучения по пространственно-временной выборке// Изв. вузов. Радиоэлектроника, 1992. № 5. С. 33-39.
20. Аганин А. Г. Разрешение сигналов по доплеровской частоте на основе проверки статистических гипотез// Радиотехника. 2001. № 1. С. 24-29.
21. Чижов А. А. Сверхрэлеевское разрешение. Т. 2. Преодоление фактора некорректности обратной задачи рассеяния и проекционная радиолокация. М., КРАСАНД, 2010. 104 с.
22. Чижов А. А. Метод разрешения ГСЦ как пример преодоления фактора некорректности обратных задач// Информационно-управляющие системы. 2009. № 2(39). С. 2-10.
23. Чижов А. А., Тараканов А. В. Оценка разрешающей способности классических и «современных» методов спектрального оценивания // Материалы межвуз. науч.-техн. семинара «Проблемы повышения эффективности стрельбы зенитных ракетных комплексов». Смоленск, ВА ВПВО ВС РФ, 2007 С. 190-194.
24. Хэлстром К. Статистическая теория обнаружения сигналов. М., ИЛ, 1963.
