CC BY
8Сравнительный анализ математических моделей улитки внутреннего уха человека
Магомедов Магомед Алиасхабович,
аспирант, Дагестанский государственный технический университет
E-mail: [email protected]
Темирова Джамиля Алибулатовна,
аспирант Санкт-Петербургского государственного педиатрического медицинского университета E-mail: [email protected]
Математическое и вычислительное моделирование периферической слуховой системы человека имеет долгую историю. Учеными и экспертами был создан ряд различных моделей улитки внутреннего уха человека, использующих метод конечных элементов. Некоторые из этих моделей были успешно использованы в клинических испытаниях. Современные экспериментальные подходы к макромеханике улитки включают различные аспекты, связанные с бегущей волной, например, измерения движения базилярной мембраны in vivo, давление жидкости в чешуйках, частотно-локационные соотношения, механические свойства тканей и т.д. Между тем, теоретический анализ, основанный на 1D и 2D математических и механических моделях улитки, помогает раскрыть механизм бегущей волны. В этих моделях спиральная улитка обычно развернута, ее геометрия упрощена и представляет собой две длинные камеры, заполненные жидкостью. В рамках проводимого исследования осуществлен сравнительного анализ 1D и 2D математических моделей улитки внутреннего уха человека. Выявлены достоинства и недостатки этих моделей, возможности и ограничения их применения. Установлено, что использование двумерной модели является выгодным из-за ее высокой точности, по сравнению с одномерной, и простоты вычислений, по сравнению с трехмерной моделью. При этом применение одномерной модели оправдано при необходимости проведения быстрых оценочных расчетов.
Ключевые слова: модель, улитка, ухо, человек, мембрана, ткань, волна.
в и
Введение
Слух - чрезвычайно сложное явление, включающее большое количество взаимосвязанных переменных, которые трудно измерить в естественной среде. Для того чтобы исследовать такой процесс в упрощенных и хорошо контролируемых условиях, в течение многих десятилетий учеными разрабатывались различные модели передачи звука. Ценность моделирования слуховой системы заключается не только в объяснении ее нормального функционирования и в учете экспериментальных и клинических наблюдений, но и в имитации различных патологических состояний, приводящих к повреждению и потере слуха, а также в разработке слуховых имплантатов, обосновании эффективных средств защиты уха и противодействия угрозам слуховому аппарату [1].
Особую сложность вызывает моделирование внутреннего уха человека (улитки), поскольку оно является удивительным устройством, которое превосходит все созданные человеком системы. Внутреннее ухо имеет около 8000 волосковых клеток со стереоцилиями. В вытянутом состоянии улитка имеет длину 30 мм и содержит 0,2 мл улитковой жидкости. Внутреннее ухо чувствительно к смещениям на субатомных масштабах длины, меньших, чем фоновый шум, может различать сигналы, разделенные микросекундами, способно обрабатывать звуки в миллионном диапазоне интенсивности (от 0 дБ до 120 дБ), работает в частотном диапазоне более десяти октав (от 20 Гц до 20 кГц), может различать частоты с разницей всего в 0,2% и изменения интенсивности в 1 дБ [2].
По большому счету, все млекопитающие используют схожую систему для восприятия звуков, и их уши обладают такими же уникальными характеристиками. Хотя физиологи могут описать многие явления, лежащие в основе этих процессов, между ними нет согласия относительно ключевых компонентов, которые приводят в действие весь механизм. И в данном случае важным дополнением к клиническим наблюдениям и исследованиям является разработка аналитических и числовых моделей слуховой системы. Моделирование необходимо для изучения тех аспектов слуха, которые трудно выявить экспериментально.
Значительные достижения в области аналитических, физических и численных моделей слуховой системы позволили лучше понять механизмы, лежащие в основе нормального слуха, а в некоторых случаях полученные зависимости также использовались для объяснения потери слуха при раз-
личных патологических состояниях и воздействии звука высокой интенсивности [3]. Однако, несмотря на имеющиеся труды, работы в направлении создания одно-, двух- и трехмерных моделей улитки продолжаются, поскольку объяснение нелинейных эффектов слуха вызывает еще массу вопросов и дискуссий.
Таким образом, обозначенные обстоятельства предопределили выбор темы данной статьи, а также являются свидетельством ее практической и теоретической значимости.
ных моментов, которые требуют более детального анализа. В частности, в уточнении нуждаются методы расчета передаточной функции среднего уха и вибрационного смещения базилярной мембраны. Также особого внимания заслуживают нелинейные модели, используемые для описания влияния подвижности наружных волосковых клеток в кортие-вом органе.
Цель статьи - провести сравнительный анализ математических моделей улитки внутреннего уха человека.
Анализ публикаций по теме исследования
Результаты
Над разработкой аналитических моделей для объяснения гидродинамики улитки и механики вибрации базилярной мембраны трудятся такие авторы как: Жиляков Е.Г., Белов С.П., Прохоренко Е.И., Baumgartner, D.; Charpiot, A.; Lamy, M.
Созданию подробной трехмерной модели гидродинамики улитки человека на основе микро-КТ посвятили свои труды такие ученые как Ефлов В.Б., Евсеева О.К., Галин Р.Р., Мамченко М.В., Groot, Simon C.; Sliedregt, Karen.
Нерешенные части общей проблемы
Позитивно оценивая сформированный на сегодняшний день научный фундамент в исследуемом предметном поле, следует отметить, ряд проблем-
Теоретический анализ, основанный на одномерных, двухмерных и трехмерных математических и механических моделях улитки, помогает раскрыть механизм бегущей волны. Несмотря на разнообразие размеров, геометрии и материальных допущений, большинство этих моделей представляют собой так называемые «коробчатые модели» (см. рис. 1а). Спиральная улитка обычно развернута, а ее геометрия упрощена до двух длинных камер, заполненных жидкостью, называемых scala vestibu-1а и scala tympani [4]. На рис. 1Ь показана геометрия прямой модели улитки в декартовых координатах. Предполагается, что эса1а уеэйЬЫа и эса1а tympani симметричны, поэтому моделируется только одна заполненная жидкостью эса1а с прямоугольным поперечным сечением [5].
круглое окно
Рис. 1. Модель улитки
Ю и 2D модели являются аналогами простейшей 3D модели, когда Базилярная мембрана (БМ) не имеет продольной связи (|0| < ), D - изгибающая жесткость основного вещества (которая является изотропной), й1: - изгибающая жесткость
волокон. В таком случае уравнение пластины принимает следующий вид:
где рр - постоянная плотность структуры, Н - толщина
пластины, У(х, у) - скорость БМ, Р - давление жидкости ■ ширина перегородки.
в канале, b ■
Сделанное предположение
превра-
Df (х -РР*2Н (x (* У ) =
= jrnP(x,y,0),b1 < y < b2
(1)
C3
о
о Л о
о сз о в
щает вязко-гибкую пластину в систему параллельных вязко-гибких балок. Уравнение (1) описывает представление БМ серией параллельных вязкоу-пругих балок. Предельные условия для величин, содержащихся в уравнении (1), имеют следующий вид:
в u
V (x, y ) = ТУк (x)sin
y - bi) ß
(2)
к=1
хЬ1 < у < Ь2.
Уравнения (2), которые монотонно сходятся по скорости и коэффициенты Vk получаются из выражения:
Vk (x) =2 Jv (x, y) sin {kn (y - bi) / ß} dy (3)
Разность давлений P(x, y,0) «растянем» по всей ширине БМ:
P (x, y,0) = Yfk (x) sin {kп (y - bi) / ß}
k=1
xb1 < y < b2
Pk (x) = 2 J2p (x, y,0) sin {kn(y - bi) / ß} dy
(4)
(5)
Подставим выражения (2) и (4) в уравнение (1) и получим:
jtPk
Vk (x ) = ■
(kn/ ß)4 Df - pp(o2H Уравнения (2) и (6) дают решение для V(x, y).
(6)
dP | { 2 2
"Г" lz=0 = {-2Р® dz
Z
Pk (x)sin {kn(y - bi) / ß}
0:
(7)
к=1 (кп/ р)4 Df -ррШ2Н 0 < у < Ь1,Ь2 < у < Ь
Теперь БМ представлена системой параллельных вязко-гибких балок, колебания которых описываются следующими выражениями:
Ö2P?D + 52P2D 0 dP2D -+-Т~ = 0; "^Т" lx=0 =
dx2
dz2
dx
= 2japAst. dPzo. i = 0. dpD I = 0
bh ' dx lx=l ' dz lx=h
(8)
dP
2D
dx
lz=0-
i6pro2ßP2D
n2b
x
Z
i
k=i,3,5^. k2 {(kп / ß)4 Df -Pp®2Hl
Л - Рр® н}
где ^ - площадь основной пластины стремечка, р -ширина БМ.
Используя следующее уравнение:
PiD (x, z) = h~ijp2D (x, z)d
z можно получить одномер-
ную модель:
dP[d _ i6p«2ßPiD
dx2
n2bh
Z _i_
=U5,... k2 {(kп / ß)4 Df -Pp«2H}
(9)
dP
iD l _ 2jtPAst dPiD lx=0" '
lx=l
=0
dx 1Л~0 bh dx
Импеданс БМ может быть получен из модели параллельных балок [6]. Сходимость ряда (2) по скорости V(x, y) очень хорошая. Тогда получим:
V (x, y) = Vi (x) sin {п(y - bi) / ß} (10)
Этот результат означает, что любое распределение давления по ширине приводит к полусинусоидальной форме распределения скорости.
В дальнейшем, характеризуя поведение БМ функцией точечного импеданса [7], необходимо заменить истинное давление P(x, y,0) на полусинусоидальное распределение, что обеспечит такую же скорость. Это первая составляющая преобразования Фурье в уравнении (4). Таким образом акустический импеданс БМ имеет следующий вид:
■( x) = =
1 ! Vi (x)
ßVi
"2
Jp (x, y,0) sin {п (y - bi)} dy
bi
(11)
Отношения между Z(x) и параметрами балки могут быть найдены из уравнения (6) для к=1:
4
п I Df
1=Ы т®+уюррн
Импедансы для 2D и 1й аналогов модели параллельных балок становятся следующими:
5р2о | = 16УюррР2р ;
lz=0-
n2bZ
dz
d2Pw _ i6jt»pßPiD
dx2
n2bhZ
Рисунок 2 показывает 2й и 1й аналоги модели параллельных балок в терминах импеданса БМ. 2й модель является самой выгодной, так как имеет высокую точность по сравнению с 1 й моделью и гораздо проще для числовых методов учета (3й модель в этом смысле значительно сложнее). Использование 1 й модели может быть полезно для быстрых оценочных подсчетов.
Отклик от двумерной модели с реалистичными значениями параметров может значительно отклоняться от трехмерного отклика. Таким образом, размерность кохлеарной модели зависит от того, какой результат ожидается получить от моделирования. Если задача стоит изучить только макромеханику улитки, то 1й подход часто является удовлетворительным. Однако, если необходима информация о взаимодействии внутри кортиева органа, микромеханики улитки, требуется более детальная модель, 2й, иногда 3й.
Выводы
Таким образом, подводя итоги, отметим, что аналитические модели улитки внутреннего уха человека в одномерном или двумерном режиме имеют ряд
х
упрощений для некоторых используемых парамет- одномерной модели целесообразно при необходи-ров, но в целом эффективны для описания общего мости быстрых оценочных расчетов. поведения изучаемого процесса. Использование
дх я'Ьк
Рис. 2 (а) Двухмерная модель БМ без продольных связей, (б) одномерная модель БМ без продольных связей
Литература
1. Кац Л.К., Митрофанова Т.В. Некоторые аспекты морфометрии внутреннего уха человека // Forcipe. 2022. Т. 5. № 3. С. 33-44.
2. Sotomayor, Marcos Towards an atomistic model of the vertebrate inner-ear transduction apparatus // Biophysical journal. 2023. Number S1; pp 440-445.
3. Moeinvaziri, Farideh Inner ear organoids: progress and outlook, with a focus on the vascularization // FEBS journal. 2022. Number 23; pp 7368-7384.
4. Madahana, Milka C.I. A Human Inner Ear Model for assessment of Noise Induced Hearing Loss via energy methods // IFAC-PapersOnLine. 2020. Volume 53: Issue 2; pp 16424-16429.
5. Ефлов В.Б., Евсеева О.К. Создание 3D моделей слуховых костей // Цифровые технологии в образовании, науке, обществе. Материалы XV Всероссийской научно-практической конференции. Петрозаводск, 2021. С. 50-52.
6. Stenfelt, Stefan Model predictions for bone conduction perception in the human // Hearing research. 2016. Volume 340; pp 135-143.
7. Liang, Junfeng A comprehensive finite element model for studying Cochlear-Vestibular interaction // Computer methods in biomechanics and biomedical engineering. 2022. Volume 25: Number 2; pp 204-214.
COMPARATIVE ANALYSIS OF MATHEMATICAL
MODELS OF THE COCHLEA OF THE HUMAN INNER
EAR
Magomedov M.A., Temirova Ja.A.
Dagestan State Technical University; St. Petersburg State Pediatric Medical University
Mathematical and computational modeling of the human peripheral
auditory system has a long history. Scientists and experts have de-
veloped a number of different models of the human cochlea using the finite element method. Some of these models have been used successfully in clinical applications. Current experimental approaches to cochlear macromechanics include many aspects related to traveling wave, such as in vivo measurements of basilar membrane motion, fluid pressure in scales, frequency-location relationships, mechanical properties of tissues (especially the basilar membrane), etc. Meanwhile, theoretical analysis based on 1D and 2D mathematical and mechanical models of the cochlea helps to reveal the mechanism of the traveling wave. In these models, the spiral cochlea is usually unfolded, its geometry simplified and presented as two long chambers filled with fluid. A comparative analysis of 1D and 2D mathematical models of the cochlea in the human inner ear was performed in this study. Advantages and disadvantages of these models, opportunities and limitations of their application are revealed. It is found out that the 2D model is profitable due to its high accuracy in comparison with the 1D model and simplicity of calculations in comparison with the 3D model. At the same time, the use of one-dimensional model is justified if there is a need for quick estimation calculations.
Keywords: model, cochlea, ear, human, membrane, tissue, wave. References
1. Kats L.K., Mitrofanova T.V. Some aspects of morphometry of the human inner ear // Forcipe. 2022. V. 5. No. 3. pp. 33-44.
2. Sotomayor, Marcos Towards an atomistic model of the vertebrate inner-ear transduction apparatus // Biophysical journal. 2023. Number S1; pp 440-445.
3. Moeinvaziri, Farideh Inner ear organoids: progress and outlook, with a focus on the vascularization // FEBS journal. 2022. Number 23; pp 7368-7384.
4. Madahana, Milka C.I. A Human Inner Ear Model for assessment of Noise In-duced Hearing Loss via energy methods // IFAC-Pa-persOnLine. 2020. Volume 53: Issue 2; pp 16424-16429.
5. Eflov V.B., Evseeva O.K. Creation of 3D models of auditory bones // Digital technologies in education, science, society. Materials of the XV All-Russian Scientific and Practical Conference. Petrozavodsk, 2021, pp. 50-52.
6. Stenfelt, Stefan Model predictions for bone conduction perception in the hu-man // Hearing research. 2016. Volume 340; pp 135-143.
7. Liang, Junfeng A comprehensive finite element model for studying Cochlear-Vestibular interaction // Computer methods in biomechanics and biomedical engineering. 2022. Volume 25: Number 2; pp 204-214.
C3
о
о Л о
о сз о в
