Сравнительный анализ конечно-элементных формулировок при плоском нагружении упругого тела Текст научной статьи по специальности «Физика»

2020. 16(2). 139-145 Строительная механика инженерных конструкций и сооружений Structural Mechanics of Engineering Constructions and Buildings

HTTP://JOURNALS.RUDN.RU/STRUCTURAL-MECHANICS

Численные методы расчета конструкций Numerical methods of analysis of structures

DOI 10.22363/1815-5235-2020-16-2-139-145 научная статья

УДК 539.3

Сравнительный анализ конечно-элементных формулировок при плоском нагружении упругого тела

Н.А. Гуреева1, А.П. Николаев2, В.Н. Юшкин2*

Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации, Российская Федерация, 125993, Москва, ГСП-3, Ленинградский пр., 49 2Волгоградский государственный аграрный университет, Российская Федерация, 400002, Волгоград, Университетский пр., 26 *aup-volgau@yandex.ru

История статьи:

Поступила в редакцию: 13 декабря 2019 г. Доработана: 12 февраля 2020 г. Принята к публикации: 25 февраля 2020 г.

Благодарности

Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ и Администрации Волгоградской области в рамках научного проекта № 19-41-340004 р_а.

Для цитирования

Гуреева Н.А., Николаев А.П., Юшкин В.Н. Сравнительный анализ конечно-элементных формулировок при плоском нагру-жении упругого тела // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. 2020. Т. 16. № 2. С. 139-145. http://dxdoi.org/10.22363/1815-5235-2020-16-2-139-145

Аннотация

Цель исследования - сравнение результатов определения параметров напряженно-деформированного состояния плосконагруженных упругих тел на основе метода конечных элементов в формулировке метода перемещений и в смешанной формулировке. Методы. Разработаны и применены алгоритмы метода конечных элементов в различных формулировках. Результатыи В декартовой системе координат для определения напряженно-деформированного состояния упругого тела при плоском нагружении использован конечный элемент четырехугольной формы в двух формулировках: в формулировке метода перемещений с узловыми неизвестными в виде перемещений и их производных и в смешанной формулировке с узловыми неизвестными в виде перемещений и напряжений. Аппроксимация перемещений через узловые неизвестные при получении матрицы жесткости конечного элемента выполнялась с использованием функции формы, элементами которой принимались полиномы Эрмита третьей степени. При получении матрицы деформирования перемещения и напряжения внутренней точки конечного элемента аппроксимировались через узловые неизвестные с использованием билинейных функций. Матрица жесткости четырехугольного конечного элемента в формулировке метода перемещений получена на основе функционала, основанного на разности действительных работ внешних и внутренних сил при нагружении твердого тела. Матрица деформирования конечного элемента формировалась на основе смешанного функционала, полученного из предложенного функционала путем замены действительной работы внутренних сил разностью полной и дополнительной работ внутренних сил при нагружении тела. На примере расчета показано существенное преимущество использования конечного элемента в смешанной формулировке.

Ключевые слова: матрица жесткости, матрица деформирования, четырехугольный конечный элемент, смешанный функционал

Введение

При достаточно полном развитии теории деформирования нагруженных твердых тел [1-2] анали-

Гуреева Наталья Анатольевна, доктор физико-математических наук, доцент, доцент департамента анализа данных, принятия решений и финансовых технологий; ORCID iD: https://orcid.org/0000-0003-3496-2008, eLIBRARY SPIN-код: 8393-5900.

Николаев Анатолий Петрович, доктор технических наук, профессор, профессор кафедры прикладной геодезии, природообустройства и водопользования; ORCID iD: https://orcid.org/0000-0002-7098-5998, eLIBRARY SPIN-код: 2653-5484.

Юшкин Владислав Николаевич, кандидат технических наук, доцент, доцент кафедры прикладной геодезии, природообустройства и водопользования; ORCID iD: https://orcid.org/0000-0003-3965-4397, eLIBRARY SPIN-код: 4833-4701.

© Гуреева Н.А., Николаев А.П., Юшкин В.Н., 2020

г————. This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 (ccJ^Ci^l International License

https://creativec0mm0ns.0rg/licenses/by/4.Q/

тическое получение конкретных результатов возможно только в некоторых, далеких от практики инженерных расчетов, случаях. Для получения результатов расчетов при определении напряженно-деформированного состояния (НДС) практических инженерных конструкций необходимо использование численных методов. Среди численных методов широкое распространение получил метод конечных элементов в формулировке метода перемещений [3-13]. К существенным недостаткам этого метода относится отсутствие непрерывности производных перемещений на контурах и гранях конечных элементов при сохранении непрерывности в узловых точках. Использование конечных элемен-

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА КОНСТРУКЦИЙ

139

тов в смешанной формулировке [14-17] приводит к выполнению условий непрерывности напряжений и деформаций не только в узловых точках, но и на контурах и гранях конечных элементов.

В настоящей работе для четырехугольного элемента представлены конечно-элементные алгоритмы в формулировке метода перемещений и в смешанной формулировке для определения НДС плоско нагруженных упругих тел. На примере расчета напряженного состояния консольной балки показано преимущество использования конечного элемента в смешанной формулировке.

1. Используемые соотношения теории упругости

При плоском нагружении упругого тела в плоскости х0 г деформации и перемещения связаны зависимостями Коши [1]

_ ди _ дм _дм ди

8 хх ~ ; 8 гг ~ ; 8 хг ~ ~ '

дх дг дх дг

или в матричной формулировке

М_[ №}.

3x1 3x2 2x1

Г

1x3

(1)

где {в} _{вхх ,8гг , 2вхг} - строка деформаций;

{V} _ {и, м} - строка перемещений точки; [х] -1x2 3x2

матрица дифференциальных операторов.

При упругом деформировании напряжения и деформации связаны законом Гука

М_[С ]{8} (2)

3x1 3x3 3x1

где {о} _ {охх, огг, охг} - строка напряжений.

1x3

2. Четырехугольный конечный элемент

В декартовой системе координат 0 хг принимается четырехугольник с узлами к, I. Для выполнения численного интегрирования по площади элемента он отображается на локальный квадрат в системе координат п , которые изменяются в пределах от -1 до 1. Декартовы координаты внутренней точки четырехугольника определяются через их узловые значения с использованием билинейных функций:

X = {ф ten ) {X ;}.

(3)

где символ А, означает координату х или г; {ф ( п)) - строка билинейных функций формы;

1x4 \T

} - строка узловых значений координаты X.

1x4

Дифференцированием (3) определяются производные декартовых координат в локальной системе (х^, хп, г^, гп) и локальных координат в

декартовой системе ( х, г, п,х, П,г).

2.1. Матрица жесткости четырехугольного конечного элемента в формулировке метода перемещений

В качестве узловых неизвестных принимаются перемещения и их первые производные по координатам х, г. Каждая координата и, м вектора перемещения внутренней точки конечного элемента аппроксимируется через узловые неизвестные выражениями

X-{v ten )}T {X ;}.

(4)

1x12 \T

где

{X;} -{X5 X5 Xç' ^ ХЛ' ^П' ^П' Xn}

строка узловых неизвестных в локальной системе координат; {у (£,, п)} - аппроксимирующая функ-

1x12

ция, элементами которой являются произведения полиномов Эрмита от координат п в третьей степени.

Производные от перемещений по декартовым координатам определяются выражениями

X.. -

X. -

Ь}T ъ+КГ п.. {ХУ};

12x1

Ь}T Ç., +k}T n., {ХУ}.

1x12

1x12

(5)

12x1

На основе (5) формируется матричное выражение

v}- м Vy}.

2x1 2x24 24x1

{ Г4? Г. { ГГ

(6)

1x24

1x12 1x12

12x1

С учетом (5) и (6) матричное выражение для деформаций (1) может быть представлено в виде

{} = [l M{v } = [в ]{v}.

3x1 3x2 2x24 24x1 3x24 24x1

(7)

Для формирования матрицы жесткости конечного элемента используется функционал, отражающий равенство действительных работ внешних и внутренних сил:

Пг = — Г (о 8 + о 8 + 2о 8 )) -

Ь ^ ! V XX XX Х^ Х2 /

2 Е

- — \(Чххи + ), (8)

2 I

где Е - площадь конечного элемента; I - длина контура элемента.

Принимая во внимание соотношения (2) и (7), функционал (8) можно представить в матричном виде

П = V Г М [с ][в ]аг}-

1x24 F 24x3 3x3 3x24 24x1

-2К} \ [Af {q}dl.

2 л , 94x9 9x1

(9)

1x24 I 24x2 2x1

Производные от перемещений в локальной системе координат определяются через производные в глобальной системе соотношениями

^ = КхА + \

К = М.Ч + Мж (10)

На основании (10) выполняется преобразование вектора узловых неизвестных в локальной системе через вектор узловых неизвестных в декартовой системе в матричном виде:

{ }= [Т] { } (11)

24x1 24x24 24x1

После минимизации преобразованного функционала (9) на основании (11) по узловым неиз-

вестным { } получается матрица жесткости конечного элемента:

24x24 24x1 24x1

(12)

где [K ] = [T] T J [B]T [C] [b] dF [T] - мат-

24x24 24x24 f24x3 3x33x24 24x24

рица жесткости конечного элемента

; {fy}

= [Т]Т |[^]Г {ч}^1 - вектор узловых усилий ко-

24x24 I 24x2 2x1

нечного элемента.

При минимизации функционала (9) принято во внимание, что нагрузка и перемещения связаны линейной зависимостью, поэтому при дифференцировании координатной функции сократился коэффициент 1/2 перед вектором сил.

2.2 Матрица деформирования конечного элемента в смешанной формулировке

В качестве узловых неизвестных четырехугольного конечного элемента принимаются перемещения и напряжения.

Перемещения внутренней точки конечного элемента и, ^ аппроксимируются через узловые неизвестные выражениями (4).

Матричное выражение для деформаций запишется в виде

{8} = [Z]{V } = [Z ][A]{vy } = [B ]{vy }

(13)

3x1

где

3x2 2x1

3x2 2x

1x8

Каждая компонента тензора напряжений аппроксимируется через узловые неизвестные также билинейными выражениями:

oaß ={ф)}T {oaßy}; (a,ß = 1,2). (М)

1x4 4x1

где (Gaßу } } - строка Узло-

4x1

}

вых неизвестных напряжений.

На основе (14) формируется матричное соотношение

М = [^ ]{у }

3x1 3x12 12x1

(15)

24x1

где {<0 У Г=Н0 XX, }, {0 }, {0Х2у }[ •

1x12 I 1x4 1x4 1x4 J

Для формирования матрицы деформирования конечного элемента выполняется преобразование функционала (8) путем замены действительной работы внутренних сил разностью полной и дополнительной работ при нагружении деформируемого тела:

2оа|38а|3 ={о}Т [Ь]{У}-2{о}Т [с]-1 {о}. (16)

2 1x3 3x2 2x1 2 1x3 3x3 3x1

С учетом (16) функционал (8) запишется матричным выражением

п = {уГ ¡Igf ]dF{v„}-

1x12 F 12x3 3x8 8x1

-1 {уГ ¡[GГ [C][G]dF{ау}-

1x12 F 12x3 3x3 3x12

-2 {v у г ¡wT m.

12x1

2

(17)

1x8 l8x2 2x1

После выполнения варьирования функционала (17) по узловым неизвестным {оу | и {уу ^ конечного элемента получается система уравнений дП

д{,}

дП

-[H ]{а у }+[ß ]{, } = 0;

12x12 12x1 12x8 8x1

'[ß Г {а у }{f, } = 0,

8x12 12x1 8x1

(18)

где [б] = {[в[Б]<Ш ; [Я] = | [в[С][в]с& ;

12x8 ^12x3 3x8 12x12 ^12x3 3x33x12

{у }=| МТ № -

8x1 I 8x2 2x1

Системы уравнений (18) представляются в традиционной для метода конечных элементов форме:

[к2]{у }={у }

20x20 20x1 20x1

где [к2 ] =

20x20

- [н] [ß]

12x12 12x8

[ß]T

8x12

[0]

8x8

(19)

- матрица деформиро-

вания конечного элемента;

Г =]ЯГ. {{у Г

1x12 1x8

У>

1x20

вектор узловых усилий конечного элемента; {у | - \ {сгу | , {у | I - вектор узловых неиз-

1x20 I 1x12 1x8 ]

вестных конечного элемента.

3. Результаты исследований и их анализ

Пример. Рассматривалась консольная балка, загруженная равномерно распределенной нагрузкой, при следующих исходных данных: длина Ь = 0,5 м, высота поперечного сечения к = 0,05 м, ширина ^ = 0,01 м, модуль упругости материала

Е = 2,0х105 МПа, коэффициент Пуассона v = 0,3, интенсивность давления q = 10,0 кН/м2.

Результаты вычислительного процесса показаны в табл. 1 (на основе функционала, базирующегося на разности действительных работ внешних и внутренних сил) и 2 (на основе смешанного функционала), где приведены значения нормальных напряжений в крайних волокнах поперечного сечения заделки (так называемая точка a) и сечения, расположенного на расстоянии 5 см от заделки (так называемая точка b), в зависимости от числа конечных элементов при дискретизации консольной балки. В последних колонках таблиц представлены перемещения на свободном конце балки (так называемая точка с) в зависимости от числа конечных элементов.

Количество конечных элементов по толщине балки принимались равными 1, 2, 3, 4 и 5. По длине балки число конечных элементов в каждом случае было равным 10, 20, 30, 50 и 100.

Таблица 1

Численные значения параметров напряженно-деформированного состояния при использовании элементов в формулировке метода перемещений [Table 1. Numerical values of stress-strain state parameters when using elements in the formulation of the displacement method]

Дискретизация

Элемент [Element] 24x24

[Sampling] Напряжение Напряжение Перемеще-

axx, кПа axx, кПа ние w, см

(точка a) (точка b) (точка с)

[Stress [Stress [Displace-

axx, kPa axx, kPa ment w, cm

(point a)] (point b)] (point c)]

10x1 2330 2013 0,377

20x1 2454 2019 0,378

30x1 2478 2023 0,378

50x1 2487 2024 0,378

100x1 2490 2024 0,378

10x2 2735 2248 0,376

20x2 2802 2282 0,377

30x2 2815 2290 0,377

50x2 2821 2294 0,377

100x2 2823 2295 0,378

10x3 2805 2278 0,376

20x3 2886 2319 0,377

30x3 2904 2327 0,378

50x3 2913 2331 0,378

100x3 2914 2332 0,378

10x4 2839 2293 0,376

20x4 2935 2340 0,377

30x4 2957 2350 0,378

50x4 2969 2355 0,378

100x4 2973 2357 0,378

Таблица 2

Численные значения параметров напряженно-деформированного состояния при использовании элементов в смешанной формулировке [Table 2. The numerical values of the parameters of the stress-strain state when using elements in a mixed formulation]

Дискретизация Элемент [Element] 20x20

[Sampling] Напряжение Напряжение Перемеще-

Ол, кПа Oxx, кПа ние w, см

(точка a) (точка b) (точка c)

[Stress [Stress [Displace-

Oxx, kPa Oxx, kPa ment w, cm

(point a)] (point b)] (point c)]

10x1 2820 2554 0,377

20x1 2952 2395 0,377

30x1 2978 2444 0,378

50x1 2992 2435 0,378

100x1 2998 2428 0,378

10x2 2836 2554 0,377

20x2 2955 2395 0,377

30x2 2978 2444 0,378

50x2 2989 2435 0,378

100x2 2994 2428 0,378

10x3 2863 2562 0,376

20x3 3007 2386 0,377

30x3 3045 2445 0,378

50x3 3070 2434 0,378

100x3 3082 2426 0,378

10x4 2862 2561 0,377

20x4 3009 2384 0,378

30x4 3050 2445 0,378

50x4 3080 2434 0,378

100x4 3096 2426 0,378

Анализ результатов показывает, что сходимость вычислительного процесса при использовании конечного элемента в смешанной формулировке происходит значительно быстрее. Для сравнения принимались приближенные результата расчета балки по технической теории (с учетом гипотезы прямой нормали): охх = 3000 кПа (точка а), охх = 2430 кПа

(точка Ь), ^ = 0,375 см (точка с).

В точке Ь, отстоящей на расстоянии к от заделки, сходимость вычислительного процесса по нормальным напряжениям охх (в табл. 2 отмечены жирным шрифтом) гораздо лучше в варианте расчета смешанным методом конечных элементов.

В точке а на сходимость вычислительного процесса воздействуют граничные условия в виде линейных связей. Поэтому сравнение методов по численным значениям нормальных напряжений целесообразнее выполнять в точке, находящейся на расстоянии к от заделки.

При каждой дискретизации балки конечными элементами перемещения оказались практически одинаковыми в обеих формулировках метода конечных элементов.

Заключение

Для конечного элемента в формулировке метода перемещений выполняются условия совместности по перемещениям и их производным только в узловых точках, на контурах смежных конечных элементов такие условия отсутствуют. В конечном элементе в варианте смешанной формулировки условия совместности по напряжениям выполняются не только в узловых точках, но и на контурах элемента. Поэтому сходимость вычислительного процесса при вычислении параметров напряженного состояния существенно лучше.

Список литературы

1. Галимов К.З., Паймушин В.Н. Теория оболочек сложной геометрии. Казань: Изд-во Казанского университета, 1985. 164 с.

2. Петров В. В. Нелинейная инкреметальная строительная механика. Вологда: Инфра-Инженерия, 2014. 479 с.

3. Бате К.-Ю. Методы конечных элементов / под ред. Л.И. Турчака. М.: Физматлит, 2010. 1024 с.

4. Голованов А.И., Тюленева О.Н., Шигабутдинов А.Ф. Метод конечных элементов в статике и динамике тонкостенных конструкций. М.: Физматлит, 2006. 392 с.

5. Киселев А.П., Гуреева Н.А., Киселева Р.З. Расчет многослойной оболочки с использованием объемного конечного элемента // Известия ВолгГТУ. 2010. Т. 4. № 4. С. 125-128.

6. Каюмов Р.А. К решению задач неоднородной теории упругости методом конечных элементов // Труды Второй Всероссийской научной конференции (1-3 июня 2005 г.). Ч. 1. Математические модели механики, прочность и надежность конструкций. Самара: СамГТУ, 2005. С. 143-145. (Серия «Математическое моделирование и краевые задачи»).

7. Киселев А.П., Киселева Р.З., Николаев А.П. Учет смещения как жесткого целого осесимметрично нагруженной оболочки вращения на основе МКЭ // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. 2014. № 6. С. 59-64.

8. Клочков Ю.В., Николаев А.П., Ищанов Т.Р. Конечно-элементный анализ НДС оболочек вращения с учетом деформаций поперечного сдвига // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. 2016. № 5. С. 48-56.

9. Клочков Ю.В., Николаев А.П., Соболевская Т.А., Клочков М.Ю. Сравнительный анализ эффективности использования конечных элементов различной мерности при анализе НДС тонких оболочек // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. 2018. Т. 14. № 6. С. 459-466.

10. Гуреева Н.А., Арьков Д.П. Решение плоской задачи теории пластичности на основе МКЭ в смешанной формулировке // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. 2010. № 4. С. 32-36.

11. Beirao da Veiga L., Lovadina C., Mora D. A virtual element method for elastic and inelastic problems on polytope meshes // Computer methods in applied mechanics and engineering. 2015. Vol. 295. Pp. 327-346.

12. Klochkov Y.V., Nikolaev A.P., Vakhnina O.V., Ki-seleva T.A. Stress-strain analysis of a thin-shell part of fuselage using a triangular finite element with Lagrange multipliers // Russian Aeronautics. 2016. Vol. 59. No. 3. Pp. 316-323.

13. Klochkov Y.V., NikolaevA.P., Vakhnina O.V. Calculation of rotation shells using finite triangular elements with Lagrange multipliers in variative approximation of displacements // Journal of Machinery Manufacture and Reliability. 2016. Vol. 45. No. 1. Pp. 51-58.

14. Magisano D., Liabg K., Garcea G., Leonetti L., Ruess M. An efficient mixed variational reduced order model

formulation for nonlinear analyses of elastic shells // International Journal for Numerical Methods in Engineering. 2018. Vol. 113. Issue 4. Pp. 634-655.

15. Гуреева Н.А., Клочков Ю.В., Николаев А.П. Расчет осесимметрично нагруженной оболочки вращения с учетом геометрической нелинейности на основе смешанного МКЭ // Изв. вузов. Авиационная техника. 2014. № 4. С. 14-19.

16. Бандурин Н.Г., Гуреева Н.А. Определение плоского напряженного состояния оболочек на основе смешанной формулировки метода конечных элементов с учетом геометрической нелинейности // Космонавтика и ракетостроение. 2013. Т. 1. № 70. С. 69-75.

17. Игнатьев В.А., Игнатьев А.В. Решение плоской задачи теории упругости по методу конечных элементов в форме классического смешанного метода // Вестник Волгоградского государственного архитектурно-строительного университета. Серия: Строительство и архитектура. 2013. Вып. 31-2 (50). С. 337-343.

RESEARCH PAPER

Comparative analysis of finite element formulations at plane loading of an elastic body

Natalia A. Gureeva1, Anatoly P. Nikolaev2, Vladislav N. Yushkin2*

'Financial University under the Government of the Russian Federation, 49 Leningradsky Ave, GSP-3, Moscow, 125993, Russian Federation

2Volgograd State Agrarian University, 26 Universitetskii Ave, Volgograd, 400002, Russian Federation

*aup-volgau@yandex.ru

Article history: Received: December 13, 2019 Revised: February 12, 2020 Accepted: February 25, 2020

Acknowledgements:

The investigation was carried out with the financial support of the Russian Foundation for Basic Research and the Administration of the Volgograd Region as part of the research project No. 19-41-340004 p_a.

For citation

Gureeva N.A., Nikolaev A.P., Yushkin V.N. Comparative analysis of finite element formulations at plane loading of an elastic body. Structural Mechanics of Engineering Constructions and Buildings. 2020;16(2):139-145. http://dx.doi.org/10.22363/1815-5235-2020-16-2-139-145. (In Russ.)

Abstract

The aim of the work - comparison of the results of determining the parameters of the stress-strain state of plane-loaded elastic bodies based on the finite element method in the formulation of the displacement method and in the mixed formulation. Methods. Algorithms of the finite element method in various formulations have been developed and applied. Results. In the Cartesian coordinate system, to determine the stress-strain state of an elastic body under plane loading, a finite element of a quadrangular shape is used in two formulations: in the formulation of the method of displacements with nodal unknowns in the form of displacements and their derivatives, and in a mixed formulation with nodal unknowns in the form of displacements and stresses. The approximation of displacements through the nodal unknowns when obtaining the stiffness matrix of the finite element was carried out using the form function, whose elements were adopted Hermite polynomials of the third degree. Upon receipt of the deformation matrix, the displacements and stresses of the internal points of the finite element were approximated through nodal unknowns using bilinear functions. The stiffness matrix of the quadrangular finite element in the formulation of the displacement method is obtained on the basis of a functional based on the difference between the actual workings of external and internal forces under loading of a solid. The matrix of deformation of the finite element was formed on the basis of a mixed functional obtained from the proposed functional by replacing the actual work of internal forces with the difference between the total and additional work of internal forces when loading the body. The calculation example shows a significant advantage of using a finite element in a mixed formulation.

Keywords: stiffness matrix, deformation matrix, quadrangular finite element, mixed functional

Natalia A. Gureeva, Doctor of Physics and Mathematics, Associate Professor, Associate Professor of the Department of Data Analysis, Decision Making and Financial Technologies; ORCID iD: https://orcid.org/0000-0003-3496-2008, eLIBRARY SPIN-code: 8393-5900.

Anatoly P. Nikolaev, Doctor Of Technical Sciences, Professor, Professor of the Applied Geodesy, Environmental Engineering and Water Use Department; ORCID iD: https://orcid.org/0000-0002-7098-5998, eLIBRARY SPIN-code: 2653-5484.

Vladislav N. Yushkin, Candidate Of Technical Sciences, Associate Professor, Associate Professor of the Applied Geodesy, Environmental Engineering and Water Use Department; ORCID iD: https://orcid.org/0000-0003-3965-4397, eLIBRARY SPIN-code: 4833-4701.

References

1. Galimov K.Z., Paimushin V.N. Teoriya obolochek slozhnoj geometrii [The theory of shells of complex geometry]. Kazan, Kazan University Publ.; 1985. (In Russ.)

2. Petrov V.V. Nelinejnaya inkremetal'naya stroitel'naya mekhanika [Nonlinear incremental structural mechanics]. Vologda, Infra-Inzheneriya Publ.; 2014. (In Russ.)

3. Bate K.-U. Metody konechnyh elementov [Finite Element Methods]. Moscow, Fizmatlit Publ.; 2010. (In Russ.)

4. Golovanov A.I., Tyuleneva O.N., Shigabutdinov A.F. Metod konechnyh elementov v statike i dinamike tonkostennyh konstrukcij [Finite element method in the statics and dynamics of thin-walled structures]. Moscow, Fizmatlit Publ.; 2006. (In Russ.)

5. Kiselev A.P., Gureeva N.A., Kiseleva R.Z. Raschet mnogoslojnoj obolochki s ispol'zovaniem ob"emnogo ko-nechnogo elementa [Calculation of a multilayer shell using a volumetric finite element]. Izvestia VSTU [Bulletin of the Volgograd State Technical University]. 2010;4(4):125-128. (In Russ.)

6. Kayumov R.A. K resheniyu zadach neodnorodnoi teorii uprugosti metodom konechnykh elementov [To the solution of problems of the heterogeneous theory of elasticity by the finite element method]. Trudy Vtoroi Vserossiis-koi nauchnoi konferentsii (1-3 iyunya 2005 g.). Ch. 1. Ma-tematicheskie modeli mekhaniki, prochnost' i nadezhnost' konstruktsii [Proceedings of the Second All-Russian Scientific Conference (1-3 June 2005). Part 1. Mathematical models of mechanics, strength and reliability of structures]. Samara, SamGTU Publ.; 2005. p. 143-145. (In Russ.)

7. Kiselev A.P., Kiseleva R.Z., Nikolaev A.P. Account of the shift as rigid body of shell of revolution axially symmetric loaded on the base of FEM. Structural Mechanics of Engineering Constructions and Buildings. 2014;(6):59-64. (In Russ.)

8. Klochkov Yu.V., Nikolaev A.P., Ischanov T.R. Finite element analysis of stress-strain state of shells of revolution with taking into account the strain of transversal shearing. Structural Mechanics of Engineering Constructions and Buildings. 2016;(5):48-56. (In Russ.)

9. Klochkov Yu.V., Nikolaev A.P., Sobolevskaya T.A., Klochkov M.Yu. Comparative analysis of efficiency of use

of finite elements of different dimensionality in the analysis of the stress-strain state of thin shells. Structural Mechanics of Engineering Constructions and Buildings. 2018;14(6): 459-466. (In Russ.)

10. Gureeva N.A., Arkov D.P. Flat problem of theory of jump in base method of final elements in mixed understanding in account physical nonlinearity. Structural Mechanics of Engineering Constructions and Buildings. 2010;(4): 32-36. (In Russ.)

11. Beirao da Veiga L., Lovadina C., Mora D. A virtual element method for elastic and inelastic problems on polytope meshes. Computer methods in applied mechanics and engineering. 2015;(295):327-346.

12. Klochkov Y.V., Nikolaev A.P., Vakhnina O.V., Kiseleva T.A. Stress-strain analysis of a thin-shell part of fuselage using a triangular finite element with Lagrange multipliers. Russian Aeronautics. 2016;59(3):316-323.

13. Klochkov Y.V., Nikolaev A.P., Vakhnina O.V. Calculation of rotation shells using finite triangular elements with Lagrange multipliers in variative approximation of displacements. Journal of Machinery Manufacture and Reliability. 2016;45(1):51-58.

14. Magisano D., Liabg K., Garcea G., Leonetti L., Ruess M. An efficient mixed variational reduced order model formulation for nonlinear analyses of elastic shells. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 2018;113(4):634-655.

15. Gureeva N.A., Klochkov Yu.V., Nikolaev A.P. Analysis of a shell of revolution subjected to axisymmetric loading taking into account geometric nonlinearity on the basis of the mixed finite element method. Russian Aeronautics. 2014;57(3):232-239.

16. Bandurin N.G., Gureeva N.A. Determination of plain stress condition of shells applying mixed formulation of finite-element method in terms of geometrical nonlinearity. Cosmonautics and rocket engineering. 2013;(1):69-75. (In Russ.)

17. Ignatiev V.A., Ignatiev A.V. Plane problem solution of elasticity theory by the finite element method in the form of classical mixed method. Bulletin of the Volgograd State University of Architecture and Civil Engineering. Series: Construction and Architecture. 2013;31-2(50):337-343. (In Russ.)