Сравнительный анализ двумерной математической модели отбора идеального и реального газов Текст научной статьи по специальности «Науки о Земле и смежные экологические науки»

УДК 532.546+536.24

СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ДВУМЕРНОЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ОТБОРА ИДЕАЛЬНОГО И РЕАЛЬНОГО ГАЗОВ

Э, А. Бондарев, В, Е, Николаев, Г, И, Иванов

С целью выявить влияние реальных свойств газа на динамику изменения полей давления и температуры последнего проведен сравнительный анализ результатов вычислительного эксперимента двумерной математической модели отбора идеального и реального газов через одиночную скважину при условии теплообмена с окружающими горными породами. Эксперимент выполнен в рамках модифицированной математической модели неизотермической фильтрации газа, которая выводится из законов сохранения массы и энергии, а также из закона Дар-си. В качестве замыкающих соотношений использованы физическое и калорическое уравнения состояния, а также закон Ньютона — Рихма-на, описывающий теплообмен газоносного пласта с окружающими горными породами. Показано, что учет реальных свойств газа приводит лишь к малым количественным изменениям давления, но несмотря на это влечет за собой существенное перераспределение температурного поля отбираемого газа.

1. Постановка задачи

Для математического описания процесса отбора газа через одиночную скважину в случае теплообмена с окружающими вмещающими породами предложенную ранее систему нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных [1,2] дополним слагаемым, описывающим теплопроводность пласта в направлении, перпендикулярном

© 2013 Бондарев Э. А., Николаев В. Е., Иванов Г. И.

вектору скорости фильтрации газа к скважине, расположенной в центре кругового пласта:

гж<г<гкЛ> 0, (1) дь\гт) гдг\гтг у ' ' х '

дТ _ д2Т ( Тдг\др ср р дТ др ТдгГдр\2

~т ~ Щ? + ~т + ~к~ёт~д¥д¥ ~ гдт '

ь, -

< г < гк, 0 <г < 4 > О, - _ Р_ - _г_ - - _ Ц т _ V; т- СгГ

Р — I Г — ,1 — 7 ; — , ; I — ,9 1 -1 — I

Ра I I I И тро

к Лг /гро — % — к

где

(5— , к— , «р— , г — т, Ь — кр сг т^ I I

В дальнейшем черта над безразмерными переменными для удобства опускается. Здесь приняты обозначения: ер — удельная теплоемкость газа, Н — мощность пласта, к — коэффициент проницаемости пласта, I — характерный размер, т — пористость, р — давление, К — газовая постоянная, г — радиальная координата, Т — температура, £ — время, 2 — коэффициент несовершенства газа, г — координата по высоте; /К ^ ККр ^ С]™ ^ Лг — температуропроводность, пьезопроводность, объемная теплоемкость и теплопроводность насыщенного газом пласта соответственно, ^ — динамическая вязкость газа; нижние индексы означают: О — начальное состояние, к — на контуре питания, № — на стенке скважины. В уравнении (2) теплопроводность по радиальной координате считается пренебрежимо малой по сравнению с конвективным теплопереносом.

Рассматривается режим отбора газа с постоянным забойным давлением:

Р = Р«, г = гу,. (3)

Внешняя граница пласта считается непроницаемой и теплоизолированной:

— «

Ввиду малой мощности газоносного пласта по сравнению с его радиальной протяженностью интенсивность теплообмена через его кровлю и подошву можно считать одинаковой. Тогда если поместить начало координаты на кровлю пласта, то линия г = Н/ 2 будет осью симметрии. В этом случае условия теплообмена с окружающими породами можно записать в виде

дТ

— = а(Т-Т0), г = 0; (5)

дТ п Н <к\

где о. = — число Био, Лг — коэффициент теплопроводности окружающих пород.

В начальный момент времени давление и температура считаются постоянными:

р(т,г, 0) = 1, Т(т,г,0) = То, гж < г < гк, г < Н/2. (7)

В качестве уравнения состояния принимается уравнение Латонова — Гуревича [3]:

г=(0.173761п ( ^т] + 0,73^) " Р + 0.1— р, (8)

V чс-Т / / Рс

где Тс, рс — критические температура и давление природного газа, зависящие от его состава.

Для решения начально-краевой задачи (1)-(8) использовалась чисто неявная абсолютно устойчивая разностная схема, аналогичная схеме, выведенной для плоскорадиальной задачи в работе [4]. При этом уравнение (2) расщепляется по пространственным переменным методом слабой аппроксимации, предложенным П. П. Яненко [5]. Разностные аналоги первого граничного условия (4), условий (5) и (6) записывались со вторым порядком аппроксимации. Для численной реализации разностной задачи использовался метод простых итераций.

2. Вычислительный эксперимент

Расчеты проводились для природного газа Средне-Вплюйского месторождения Республики Саха (Якутия) при следующих входных данных: а = 2 и 10Вт/(м2 - К), Аг = 2.326Вт/(м - К), тж = 0.1м, тк = 100.1м, Н = 10м, I = 1м, Т0 = 323К, р0 = 240атм, ср = 2300Дж/(кг -К), Д = 449.4 Дж/(кг -К), м = 2^0-5Па-с, ег = 6- 106Дж/(м3 - К), т = 0.2, к = м2, = 140 и 230 атм. Критические парамет-

ры Тс = 205.022 К и рс = 46.596 атм были определены по методике, представленной в работе [8], при известном составе газа (об. %): СН4 - 90.34, СН - 4.98, С3Я8 - 1.74, 1С4Я10 - 0.22, пСНО - 0.41, С5Н2+ -1 -55, СО - 0.28, N - 0.48. Продолжительность эксперимента составляла в безразмерных величинах I = 1.6 - 10е, что соответствует .

3. Сравнительный анализ

Сравнительный анализ проведен с целью выявить влияние реаль-

ных свойств газа на динамику изменения полей давления и темпера-

туры последнего. Предварительные результаты показывают, что наиболее существенные изменения давления и температуры газа наблюдаются при высоких темпах отбора, а также что теплообмен с окружающими горными породами оказывает одинаковое влияние на поля давления и температуры для обоих типов газа. Поэтому здесь представлены результаты, полученные для давления отбора рт = 140 атм и коэффициента теплообмена а = 10Вт/(м2 - К). Эти результаты показывают, что поле давления для обоих типов газа не зависит от вертикальной координаты г, так что ниже графики давления приведены лишь для кровли пласта. Результаты вычислительного эксперимента представлены на рис. 1-8. Из графиков на рис. 1 и рис. 2 видно, что учет реальных свойств газа приводит лишь к малым количественным изменениям давления: для идеального газа оно за все время наблюдения больше чем для реального. Но эта разница, как отмечалось выше, ничтожно мала по сравнению с изменением давления от первоначального значения.

Рис. 1. Динамика изменения давления идеального (кривые 1, 2) и реального (кривые 3, 4) газов на кровле пласта. Нечетные номера соответствуют г = 10.1 м, четные — г = 100.1 м.

Р. агм

240,--

215 190

165

г1

140[-к «

0.1 25.1 50.1 75.1 100.1

Рис. '2. Распределение давления идеального (кривые 1, 2) и реального (кривые 3, 4) газов но радиусу на кровле пласта. Нечетные номера соответствуют 1 = 4 ■ 103, четные — I = 4 ■ 104.

Р. агм

1 ... .........

2

/

10. Г

614:1 -

Г,М 2.1

- 322.6

О

0-1 1.6x10

ь

Рис. 3. Динамика ноля температур на кровле пласта (поверхность 1) и на оси симметрии (поверхность 2): а — идеальный газ, Ь — реальный

Т: К

322.9 322.8 322.7

О 4х104 8х104 1.2x105 1.6x105

a)

1

v +

v— —

ь

Рис. 4. Динамика изменения температуры на кровле пласта (кривые 1, 2) и на оси симметрии (кривые 3, 4): а — идеальный газ, Ь — реальный газ. Нечетные номера соответствуют г = 0.1 м, четные — г = 10.1 м.

О 4x105 0x105 1.2x106 1.6x106

Ь

Рис. о. То же, что и на рис. 4.

О 4x105 8x105 1.2x106 1.6x106

а)

322.8

322.7

Т.К

б)

Рис. 6. Распределение температуры ио радиальной координате: а идеальный газ, б — реальный газ (кривые 1, 2 — г = Ом; кривые 3, 4 — х = 5 м). Нечетные номера соответствуют I = 4-103, четные — I = 1.6-105.

Т. К

Т. к

а)

322

' 3

320

318

316

0.1

25.1

50.1

75.1

_г. м

100.1

Ь

Рис. 7. Распределение температуры ио радиальной координате на оси

аЬ ствует I = 4 ■ 103, кривая 2 — I = 4 ■ 104, кривая 3 — Ь= 1.6 ■ 105.

б)

Рис. 8. Динамика безразмерного расхода идеального (кривая 1) и реаль-аЬ

Из результатов на рис. 3-7 нетрудно заметить, что учет реальных свойств газа приводит к существенному перераспределению температурного поля. Для обоих типов газа температура на верхней границе пласта за счет теплообмена почти всюду больше чем на нижней (сравни соответствующие поверхности и кривые на рис. 3-5), и с истечением некоторого времени температура на нижней границе становится практически неизменной по времени, тогда как на верхней границе температура представляет собой возрастающую функцию времени, т. е. теплообмен с окружающими горными породами оказывает одинаковое влияние на течение обоих типов газа. В начальный момент времени вблизи скважины наблюдается резкое падение температуры реального газа (рис. 36, кривые 1 и 3 на рис. 46, рис. 56); но со временем происходит выравнивание температурной волны. В призабойной зоне, для идеального газа, также наблюдается скачок температуры в начальное время (рис. За кривые 1 и 3 па рис 4а), но данный скачок настолько малый, что если не брать в учет теплообмен с окружающими породами, то можно считать, что температура идеального газа всюду падает

а

Важно отметить, что изменение температуры реального газа на порядок больше, чем идеального. Также следует заметить следующие различия между распределениями температур идеального и реального газов: за все время наблюдения температура реального газа представляет собой возрастающую функцию по радиальной координа-66

аа

В заключение отметим влияние реальных свойств газа на такой немаловажный параметр, как безразмерный массовый расход. Из графиков на рис. 8 видно, что безразмерный моментальный массовый расход идеального газа за все время наблюдения не превосходит моментального расхода реального газа, вследствие чего накопленный расход реального газа всегда больше накопленного расхода идеального.

ЛИТЕРАТУРА

1. Термогидродинамика систем добычи и транспорта, газа / Э. А. Бондарев, В. И. Васильев, А. Ф. Воеводин и др. — Новосибирск: Наука, 1988.

2. Бондарев Э. А., Рожин И. И., Аргунова К. К. Влияние неизотермических эффектов на добычу газа в северных регионах // Сиб. журн. вычисл. математики 2011. Т. 14, № 1. С. 19-28.

3. Латонов В. В., Гуревич Г. Р. Расчет коэффициента сжимаемости природного газа // Газовая промышленность. 1969. № 2. С. 7-9.

4. Бондарев Э. А., Аргунова К. К., Рожин И. И. Плоскопараллельная неизотермическая фильтрация газа: роль теплопереноса // Инженерно-физический журнал. 2009. Т. 82, № 6. С. 1059-1065.

5. Яненко Н. Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. Новосибирск: Наука, 1967.

г. Якутск

12 сентября 2012 г.