СРАВНИТЕЛЬНО-ОПИСАТЕЛЬНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ФИЛЬТРОВ НИЖНИХ ЧАСТОТ, ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ПРОГРАММНЫМ ПАКЕТОМ LABVIEW Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

2014

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Математика. Механика. Информатика

Вып. 4(27)

УДК 621.391.83

Сравнительно-описательная характеристика фильтров нижних частот, используемых программным пакетом LABVIEW

А. А. Маслов, Т. А. Лепихин

Санкт-Петербургский государственный университет

Россия, 198504, Санкт-Петербург, Петергоф, Университетский пр., 35

alexej. maslov@gmail .com, LepikhinTA@gmail. com

Описаны и проанализированы фильтры нижних частот. Здесь рассмотрены 5 видов фильтров, представленные в LabVIEW в виде так называемых "Виртуальных приборов" (VI): фильтр Баттерворта, фильтр Чебышева I и II рода, Эллиптический фильтр (или фильтр Кау-эра) и фильтр Бесселя. Приведен пример применения вышеназванных фильтров.

Ключевые слова: фильтры с бесконечной импульсной характеристикой; фильтры нижних частот; фильтр Баттерворта; фильтр Чебышева; фильтр Кауэра; фильтр Бесселя.

Введение

Обработка сигналов - одно из наиболее часто используемых средств для решения различных задач. Ситуация, когда данные искажены различными помехами, вызванными теми или иными причинами, вполне естественна. Так, например, в робототехнике показания различных датчиков или управляющие сигналы бывают искажены, что может привести к ошибочному решению поставленной задачи. В целях избавления от подобных искажающих шумов и применяется фильтрация сигналов [6, 7].

Фильтрация сигналов - один из методов цифровой обработки сигналов, который используется с целью получения полезной составляющей из зашумленного сигнала. Рассматриваемые фильтры являются БИХ-фильтрами (фильтрами с бесконечной импульсной характеристикой), - фильтрами, которые производят вычисления, основываясь на предыдущих потоках входных и выходных отсчетов. Общее разностное уравнение имеет вид:

1 Nb-1 т-1

У, = — ( Е Ъ1Хг -1 "Е акУг -к ) '

a,

0 1=0

k=1

© Маслов А. А., Лепихин Т. А., 2014

где {Ъ^ - набор прямых коэффициентов, N -число прямых коэффициентов, {а!} - набор обратных коэффициентов, N - число обратных коэффициентов. Во всех БИХ-фильтрах в LаbVIEW коэффициент а0=1 [4].

Передаточная функция БИХ-фильтра имеет вид

Nъ

1

Н (г ) = г=0

N„

1 + 1

akZ

к=1

Подставив в нее z=exp(s), мы получим передаточную характеристику фильтра по Лапласу, из которой можно получить комплексный коэффициент передачи дискретного фильтра путем подстановки s=j*ю. Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) цифрового фильтра может быть получена как модуль: \Н(®)| = \Н(в]*()\ [2].

1. Общие характеристики ФНЧ

Рассматриваем фильтры нижних частот - фильтры, пропускающие все частоты ниже заданной частоты (0 и подавляющие частоты выше (дп.

k

На рис. 1 представлены на одном графике АЧХ идеального фильтра (черная) и реального (серая). Полоса частот от 0 до с0 называется полосой пропускания, полоса от с1 и выше - полоса заграждения (подавления), полоса от с0 до с1 - переходная полоса.

Параметр Gp = , =■ определяет

V1+

максимальное допустимое искажение сигнала в полосе пропускания, а Gs = , = задает

>

+ е

требуемое в конкретной задаче подавление в полосе заграждения.

Также используются параметры

, со , ер

к = — и к1 = —, которые определяют се-

с

лективные свойства фильтра и степень подавления соответственно. Порядок фильтра определяется как максимальное количество нулей и полюсов передаточной функции фильтра и рассчитывается из уравнения при заданных к и к1, определяемых способом, показанным

выше: FN (—) = — . Чем выше порядок фильт-

к к—

ра - тем меньше неравномерность АЧХ, но увеличение порядка сказывается на сложности фильтра и увеличении чувствительности его к разбросу номиналов его компонент [4].

Рис. 1

Теперь вкратце опишем основные особенности каждого из пяти рассматриваемых фильтров.

2. Описание рассматриваемых ФНЧ

Фильтры Баттерворта характеризуются гладкостью частотной характеристики на всех частотах. Они имеют наиболее плоскую ха-

рактеристику в полосе пропускания и ноль в полосе заграждения. АЧХ фильтра задается выражением

И(' *с)| = 1

1 I „22N

1 + ерс

LabVIEW устанавливает крутизну перехода АЧХ, пропорциональную порядку фильтра. Повышение порядка приближает частотную характеристику к идеальной. Но фильтры Баттерворта не всегда обеспечивают хорошее приближение из-за медленного спада в переходной полосе. Фильтры Чебышева имеют малую амплитуду ошибки в полосе пропускания, большую крутизну спада в переходной полосе (по сравнению с фильтрами Баттерворта), плоскую характеристику в полосе заграждения, а также характеризуются наличием выброса перед переходной полосой. АЧХ фильтра задается выражением

и а =, 2 2 ,

л/1 + еЖ(с)

где ^ (с) - многочлен Чебышева порядка N. Инверсные фильтры Чебышева (фильтры Че-бышева второго рода или фильтры Чебышева II) имеют малую амплитуду ошибки в полосе заграждения и наиболее плоскую характеристику в полосе пропускания. Следует также отметить, что, в отличие от обычных фильтров Чебышева, в инверсных фильтрах отсутствует выброс перед переходной полосой. Крутизна характеристики в переходной области такого фильтра значительно превышает крутизну фильтра Баттерворта (при одинаковых порядках). АЧХ фильтра задается выражением

И (' *®)1 = 1

1

тгС)

с

Максимальная допустимая ошибка ограничивает неизменную по частоте пульсацию частотной характеристики в полосе задержания. Кроме того, проявляется гладкий монотонный спад АЧХ к полосе задержания. Эллиптические фильтры (фильтры Кауэра) характеризуются самой высокой крутизной в переходной полосе, минимизацией пиковой ошибки и неизменными по величине пульсациями в полосе пропускания и полосе задержания. АЧХ фильтра задается выражением

А. А. Маслов, Т. А. Лепихин

\H(J *с)| =

1

1 + sp R2N(c, kx)

где Rn (ю) представляет собой эллиптическую функцию, зависящую от параметра к1. По сравнению с фильтрами Баттерворта или Чебышева эллиптические фильтры обеспечивают самый крутой переход между полосой пропускания и полосой задержания, который объясняет их широкое распространение в практике. Фильтры Бесселя отличаются тем, что обладают максимально гладкой групповой задержкой (линейной фазо-частотной характеристикой). АЧХ определяется как квадрат модуля передаточной функции, т.е.

\И( j * ю)|2 = —к°—, где к° - константа нор-1 1 B,, ( s) ° н

принимающая значение а B (s) - функция Бесселя по-

мирования,

(2п)! 2 nn!

k 0 =

рядка n. В отличие от, например, фильтров Баттерворта, частота среза фильтров Бесселя зависит от порядка самого фильтра, из-за чего работать с ними несколько сложнее [1, 3, 5].

3. Практическая реализация

Перейдем к непосредственному практическому сравнению фильтров. Для этого рассмотрим сигнал, представляющий собой сумму четырех синусоид с различными амплитудами и частотами.

s(t ) = sin 3.14t + °.9sin 4.396t +

+ °.8sin 6.28t + +°.6 sin 8.164t.

Наложим на него белый Гауссовый шум со значением стандартного отклонения, равным °,6 и применим к получившемуся за-шумленному сигналу каждый из четырех фильтров, описанных выше. Блок-диаграмма программы LabVIEW, реализующая данное сравнение представлена на рис. 2. Сигнал, зашумленный сигнал и их АЧХ представлены на рис. 3, 4, 5 и 6 соответственно.

-ъ

О 0,25 Q5 0,75 1 1,25 1,5 1,75 2 2,25 2,5 2,75 3 3,25 3,5 Time

Рис. 3. Исходный сигнал

АЧХ исходного

10

0 50 1 00 150 200 250 300 350 400 450 500 Frequency

Рис. 4. АЧХ исходного сигнала

nWHUrW ШГ.......ШШТАШ

rT^Wiàwif

IHlilLh .lílllHIIJH IHM . JM i

ГГТ_Ц

0 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5 1,75 2 2,25 2,5 2,75 3 3,25 3,5 Time

Рис. 5. Зашумленный сигнал

АЧХ сигнала с шумом

10-

-V

0 50 100 1 50 200 250 300 350 400 450 500 Frequency

Рис. 6. АЧХзашумленного сигнала

Данная программа позволяет сравнить сигналы и их АЧХ, полученные при фильтрации исходного сигнала с помощью каждого из рассмотренных фильтров при фиксированном порядке фильтров (задается вручную в блок-диаграмме с помощью изменения параметра ВП Filter для каждого из фильтров) и оценить качество фильтрации для каждого случая. На рис. 7 представлены результирующие АЧХ, которые и показывают описанную выше разницу между различными методами фильтрации.

а) »

i и б) «

1ЛЛ ■злп qnñ ЛЛЛ

1ПП ™ ТЛЛ ЛЛЛ Wi

Рис. 2. Блок-диаграмма программы LabVIEW

Frequency Frequency

Рис. 7.1. Сравнение АЧХ отфильтрованного сигнала. (а - фильтр Баттерворта, б -фильтр Чебышева I)

Рис. 7.2. Сравнение АЧХ отфильтрованного сигнала. (в - фильтр Чебышева II, г - эллиптический фильтр, д - фильтр Бесселя)

На графиках заметна разница между фильтрами, о которой говорилось ранее, т.е. ширина переходной полосы, колебания в полосах задержания и пропускания. При подстановке различных порядков фильтров и различных частот среза можно добиться более или менее четкой разницы между результатами фильтрации.

Заключение

В данной работе проанализировано 5 БИХ-фильтров. В различных ситуациях предполагается выбор конкретного способа фильтрации в зависимости от поставленной задачи. Фильтр Баттерворта обладает самой широкой переходной полосой, но максимально гладкой АЧХ. Внесение в АЧХ фильтра Баттерворта колебаний приводит к фильтрам

Чебышева, у которых переходная полоса уже, либо к эллиптическим фильтрам.

С практической же точки зрения, сужение переходной полосы и уменьшение неравномерности в полосе пропускания приводит к резкому повышению требуемого порядка фильтра, и в этой связи именно эллиптический фильтр наиболее удобен в использовании.

Список литературы

1. Федосов В.П., Нестеренко А.К. Цифровая обработка сигналов в LabVIEW. М.: ДМК, 2007. 256 с.

2. Веремей Е.И. Линейные системы с обратной связью. СПб: Лань, 2013. 448 с.

3. Тревис Дж. LabVIEW для всех / под ред. В.В.Шаркова, В.А.Гурьева. М.: ДМК Пресс; ПриборКомплект, 2005. 544 с.

4.Борисов А.П. Электротехника: учеб. пособие. Барнаул: Изд-во АлтГТУ, 2012. 75 с.

5. Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы. М.: Радио и связь, 1986. 512 с.

6.Алферов Г.В., Кулаков Ф.М., Нечаев А.И. и др. Информационные системы виртуальной реальности в мехатронике и робототехнике: учеб. пособие. СПб.: Изд-во С.-Петербург. ун-та, 2009. 168 с.

7. Кулаков Ф.М., Алферов Г.В., Смирнов Е.Н. Управление роботами, очуствленными по усилиям // Проблемы механики и управления. Нелинейные динамические системы. Пермь, 1996. Вып. № 30. С. 113-119.

Comparative and descriptive characteristics of the low-pass filters, used by LABVIEW software package

A. A. Maslov, T. A. Lepikhin

Saint-Petersburg State University, Russia, 198504, Saint-Petersburg, Peterhof, Universitetsky pr., 35 alexej. maslov@gmail .com, LepikhinTA@gmail. com

This paper describes and analyzes low-pass filters. Here we consider five types of filters provided in LabVIEW as a so-called "virtual instruments" (VI): Butterworth filter, Chebyshev types I and II, elliptic filter (or Cauer filter) and Bessel filter. The example of filtration for some signals is presented.

Key words: IIR Filters; Lowpass Filtes; Butterworth filter; Chebyshev filter; Cauer filter; Bessel filter.