CC BY
151
Том X L
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ 2009
№ 5
УДК 533.6.011.35:629.7.025.73
СРАВНЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ЧИСЛЕННЫХ РАСЧЕТОВ МЕТОДОМ, ОСНОВАННЫМ НА РАЗНОСТНОЙ СХЕМЕ ГОДУНОВА — КОЛГАНА — РОДИОНОВА,
С ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫМИ ДАННЫМИ ДЛЯ СЛУЧАЯ ТРАНСЗВУКОВОГО ОБТЕКАНИЯ ПРОФИЛЯ RAE 2822
Н. В. ГОЛОВИНА
Приведены результаты численного расчета трансзвукового обтекания сверхкритиче-ского профиля RAE 2822 вязким потоком. Численное моделирование проводилось на основе решения уравнений Навье — Стокса, осредненных по Рейнольдсу и замкнутых с помощью двухпараметрической дифференциальной модели турбулентности Коукли [1]. Для численного решения использован метод, основанный на явной разностной схеме Годунова — Колгана —
Родионова [2 — 4], и пакет прикладных программ EWT-ЦАГИ [5]. Расчетные исследования профиля проведены для оценки точности численного метода. Представлены коэффициенты аэродинамических сил, эпюры давления, распределения коэффициента сопротивления трения, профили скоростей и толщины вытеснения. Рассматривается влияние характерной величины пульсаций скорости q, характерной частоты турбулентных пульсаций ю и количества ячеек в расчетной сетке. Расчеты проведены при нескольких числах Маха и сопоставляются с классическими экспериментальными результатами [6] и расчетными данными [7 — 11].
Ключевые слова: численное моделирование, осредненные по Рейнольдсу уравнения Навье — Стокса, модель турбулентности Коукли, разностная схема Годунова — Колгана —
Родионова, анализ точности расчетного метода, вязкое трансзвуковое обтекание профиля.
Трансзвуковое обтекание крыла летательного аппарата характеризуется такими физическими явлениями, как переход ламинарного пограничного слоя в турбулентный, местная сверхзвуковая зона, замыкающий скачок уплотнения и возможный отрыв потока из-под скачка. Необходимо верно моделировать указанные явления, чтобы рассчитать течение возле крыла и, в целом, возле летательного аппарата с приемлемой точностью. В связи с этим понятна важность тестирования методов вычислительной аэродинамики на задачах об обтекании профиля.
В настоящее время методы решения задач газовой динамики, предназначенные для практических численных расчетов, в основном базируются на решении осредненных по Рейнольдсу уравнений Навье — Стокса, замкнутых с помощью той или иной модели турбулентности. Такой подход носит название RANS (RANS — осредненные по Рейнольдсу или Фавру уравнения Навье — Стокса, замкнутые с помощью алгебраических или дифференциальных моделей турбулентности). Он характерен и для метода, реализованного в пакете прикладных программ (ППП) EWT-ЦАГИ [5].
Метод тестирован на нескольких аэродинамических задачах. Результаты тестирования содержатся в сборнике [5]. Однако желательно дополнить имеющиеся сведения результатами расчета (и в том числе результатами расчета локальных характеристик) обтекания классического профиля RAE 2822 в том случае, когда возле него существует местная сверхзвуковая зона с замыкающим скачком уплотнения и возможен отрыв потока, а ламинарный пограничный слой претерпевает переход в турбулентное состояние.
Программа и метод расчета. Исходной системой уравнений является система уравнений Навье — Стокса, осредненная по Рейнольдсу. Система замкнута с помощью двухпараметриче-
ской (д-ю)-модели турбулентности Коукли [1]. Для численного решения использована явная численная схема Годунова — Колгана — Родионова [2 — 4] второго порядка аппроксимации, которая обладает свойством монотонности. Решение получается путем установления по времени. Детальное описание численного метода можно найти в сборнике [5].
Геометрия и расчетная сетка. Геометрия профиля RAE 2822 и схема расчетной сетки около него представлены на рис. 1. Профиль RAE 2822 — сверхркритический, т. е. профиль, предназначенный для увеличения критического числа Маха, с достаточно плоской верхней образующей и значительной вогнутостью нижней поверхности возле задней кромки. Профиль задан в [6] координатами 129 точек. Максимальная толщина профиля составляет 12.1%, профиль имеет острую заднюю кромку. Он подробно экспериментально [6] изучен и часто используется [7 — 11 и др.] для тестирования расчетных программ. Именно поэтому профиль RAE 2822 выбран для анализа в данном случае: такой расчет позволяет провести сопоставление с подробными экспериментальными результатами и классическими численными исследованиями.
Рис. 1. Профиль RAE 2822 и структура расчетной сетки возле него
В данной работе использовано несколько расчетных сеток. Расстояние от поверхности профиля до внешней границы расчетной области у всех сеток равно 50 хордам. Одна из расчетных сеток имеет 800 ячеек вокруг профиля и 320 ячеек по нормали к нему. Сетка сгущена возле носка и задней кромки профиля и по нормали к поверхности профиля. Размер ячеек вдоль оси X возле носка профиля равен ДХ/С =0.0003, в центре профиля — 0.0035, возле задней кромки — 0.00025 (здесь и далее С обозначает длину хорды профиля). На основании предварительных расчетов в пограничный слой, начиная, по крайней мере, с середины хорды, помещено не менее 120 ячеек,
и на середине профиля размер у+ ячейки возле поверхности по нормали к ней составляет 0.14.
В области следа вдоль оси X использовано 328 ячеек.
Расчетные сетки 400 х 160 и 200 х 80 ячеек получены «прореживанием» сетки 800 х 320 как по оси X, так и по оси Y в 2 и, соответственно, в 4 раза.
Для определения координат точек на поверхности профиля использовались B-сплайны, используемые в программе AutoCAD 2002. Отличия координат y исходной поверхности, построенной по 129 точкам, и координат поверхности, построенной по 200 расчетным точкам, не превышали 1/100 000 доли хорды профиля. Эти отличия ниже, чем погрешности при изготовлении модели для экспериментальных исследований [6].
Расчетная эффективность. Расчеты проведены на ПЭВМ c процессором AMD Athlon 64 X2 4600+. Расчетная эффективность программы оценена временем CPU (Central Processor Unit), потребным для достижения стационарного состояния или, в случае нестационарного решения, временем, потребным для достижения состояния, близкого к периодическому. Для безотрывного обтекания при М = 0.725 нужно примерно 150 000 итераций, чтобы четыре значащие цифры коэффициентов сх и су перестали изменяться при расчетной сетке 200 х 80 ячеек. Такой расчет занимает примерно 10 часов машинного времени. Расчет при М = 0.725 на сетке 400 х 160 ячеек потребовал примерно 36 часов машинного времени, на сетке 800 х 320 — 168 часов. Времена счета при М = 0.75 примерно такие же.
Результаты. Численные расчеты обтекания профиля RAE проведены при числах М = 0.725 и 0.75. Условия, при которых проведены расчеты, соответствуют условиям экспериментов № 6 и № 10 исследования [6] и приведены в нижеследующей таблице:
Источник Количество узлов a Сх Дсх, % Су > %
расчетной сетки
M = 0.725, Re = 6 500 000
Эксперимент № 6 [6] — 2.92° 0.0127 — 0.743 —
Данная работа 400 х160 2.595° 0.0128 0.7 0.734 -1.2
[11], модель Спаларта — Аллмараса Неструктурированная сетка 31 102 узла 2.52° 0.0125 -1.4 0.736 -0.9
[11], модель Ментера 0.0123 -2.9 0.740 -0.4
Данная работа 200 х 80 0.0122 -3.9 0.703 -5.4
[9], д-ю-модель турбулентности [1] 2. 4 О 0.0125 -1.4 0.773 4.0
[9], Себеси — Смит 180 х 60 0.0119 -6.3 0.768 3.4
[9], Болдуин — Ломакс 0.0124 -2.4 0.788 6.1
[9], Джонсон — Кинг 0.0113 -11 0.717 -3.5
M = 0.75, Re = 6 200 000
Эксперимент № 10 [6] 3.19° 0.0242 — 0.743 —
Данная работа 400 х160 2.9° 0.0243 0.4 0.734 -1.2
Данная работа 200 х 80 0.0246 1.6 0.729 -1.8
[9], модель д-а [1] 0.0284 17.3 0.836 12.5
[9], Себеси — Смит 180 х 60 2.8° 0.0269 11.2 0.815 9.7
[9], Болдуин — Ломакс 0.0298 23.1 0.859 15.6
[9], Джонсон — Кинг 0.0243 0.4 0.745 0.3
В таблице: М — число Маха невозмущенного потока; Re — число Рейнольдса, рассчитанное по параметрам на бесконечности; а — угол атаки профиля. Поскольку эксперимент проведен в аэродинамической трубе, а расчет — в условиях безграничного потока, угол атаки в расчете необходимо корректировать, чтобы учесть влияние стенок аэродинамической трубы. Ниже угол атаки в эксперименте обозначается aexp, при расчете — ac0mp. Рекомендации по коррекции угла атаки при расчете представлены в [6]. Авторы численных исследований обычно выбирают угол атаки близким к этим рекомендациям. В данной работе, чтобы провести сравнение с расчетными результатами Аллмараса [8] и Коукли [9], скорректированный угол выбирался равным соответствующему значению из [8] или [9]. Для сравнения с экспериментом скорректированный угол выбирался из условия примерно одинаковой подъемной силы. Коэффициенты аэродинамических сил, приведенные в таблице, будут рассмотрены ниже.
Характерная скорость турбулентных пульсаций q и характерная частота турбулентных пульсаций ю в невозмущенном потоке, которые нужны как входные данные для расчета, отсутствуют в работе [6]. Поэтому при выборе параметров турбулентности невозмущенного потока использован опыт предыдущих исследований. Так, в работе [12] задано Tu — отношение характерной величины пульсаций скорости к скорости набегающего потока — равным 0.5%, а отношение Factor турбулентной к ламинарной вязкости задано равным 10. Из этих условий получаем, что q = 1.44 м/с, а ю = 250 Гц. Результаты такого расчета при М = 0.725 и a = 2.7 представлены на рис. 2 и 3. Как показывает распределение коэффициента Cf вдоль хорды профиля (рис. 2), параметры, рекомендуемые для пользователей программы «Fluent», дают турбулентный по всей верхней поверхности профиля пограничный слой. Моделируемое же течение, эксперимент № 6
Рис. 2. Влияние параметров турбулентности на распределение коэффициента су по верхней (вверху)
и нижней (внизу) поверхностям профиля:
М = 0.725; Яе = 6 500 000; аСОтР = 2.7°; расчетная сетка 296 х 140 ячеек; Cf отнесено к динамическому напору
невозмущенного потока
№ д, м/с а, Гц Ты, % ГасОг Су сх
1 1.44 25 0.5 100 0.7861 0.0236
2 1.44 250 0.5 10 0.7807 0.0164
3 1.44 2500 0.5 1 0.7561 0.0143
4 1.44 7250 0.5 0.345 0.7396 0.0137
5 1.44 12500 0.5 0.2 0.7347 0.0133
6 0.025 25 0.009 0.1 0.7373 0.0136
Рис. 3. Влияние параметров турбулентности на эпюры давления:
М = 0.725, Яе = 6 500 000, аехр = 2.40°, аСотр = 2.70°, сетка 296 х 140
работы [6], содержит ламинарно-турбулентный переход. В эксперименте точка ламинарнотурбулентного перехода на поверхности профиля была зафиксирована на расстоянии 3% длины хорды от передней кромки профиля с помощью турбулизатора. В расчете ламинарнотурбулентный переход происходит естественным образом. Чтобы найти соответствующие параметры турбулентности невозмущенного потока, которые обеспечивают точку перехода при X/C = 0.03, проведено два варианта расчетов: 1) при неизменном значении параметра q = 1.44 м/с и нескольких значениях параметра ю в диапазоне от 25 до 25 000 Гц; 2) при неизменном значении параметра ю = 25 Гц и нескольких значениях q (рис. 2).
Получено, что при q = 1.44 м/с и ю = 25 000 Гц коэффициент сх испытывает колебания с амплитудой, которая составляет 1% от его среднего значения; амплитуда колебаний Су составляет 0.5%. Численной неустойчивости при ю = 25 000 Гц не наблюдалось, течение было безотрывным, как и в эксперименте. Однако из-за полученных колебаний результаты с ю = 25 000 Гц не приведены и дальнейшее увеличение ю не рассматривалось.
Результаты исследований (рис. 2) показывают, что при q = 1.44 м/с и ю = 2500 Гц и выше возле носка профиля на верхней и нижней поверхности существует зона ламинарнотурбулентного перехода (коэффициент Cf возрастает по длине хорды на небольшом участке возле носка профиля). Область естественного перехода расположена на расстоянии 3% хорды при q = 1.44 м/с и ю = 7250 Гц, что соответствует значениям Tu = 0.005 и Factor = 0.345.
Кроме того, течение с переходом ламинарного пограничного слоя в турбулентный на 3% хорды получено при q = 0.025 м/с и ю = 25 Гц, что соответствует Tu = 0.009 и Factor = 0.1. Таким образом, подобраны параметры турбулентности невозмущенного потока, при которых течение в расчете соответствует экспериментальным условиям. Дальнейшие расчеты при М = 0.725 проведены при полученных параметрах турбулентности невозмущенного потока q = 0.025 м/с и ю = 25 Гц.
Результаты расчетов показывают сильное влияние параметров q и ю на обтекание профиля, что согласуется со всеми имеющимися данными. Так, варьирование параметра ю от 12 500 до 25 приводит к изменению коэффициента сх в 1.7 раза. Что касается влияния параметров q и ю на Ср, то соответствующие данные представлены на рис. 3. На нем приведены эпюры давления по верхней поверхности профиля при тех же параметрах турбулентности невозмущенного потока, что и на рис. 2. Рис. 3 показывает, что в рассмотренном диапазоне параметров низкая вязкость (т. е. низкое значение q или высокое значение ю) обеспечивает более острый «пик» разрежения возле носика профиля.
Рассмотрим зависимость результатов от шага расчетной сетки (рис. 4). Отличия в эпюрах давления для сеток с различным количеством ячеек можно заметить лишь в области расположения скачка уплотнения: на грубой сетке скачок уплотнения «размазывается» на большее расстояние вдоль хорды профиля (см. рис. 4, вверху). Расчетные эпюры Ср на нижней поверхности удовлетворительно согласуются с экспериментом и слабо отличаются друг от друга, поэтому в последующем основное внимание уделяется обтеканию верхней поверхности.
Графики зависимости Сх и Су от размеров расчетной сетки приведены внизу на рис. 4. Результаты представлены в зависимости от параметра S = S1/Smax = 180 х 60/(M х N), где М и N — размеры использованной расчетной сетки. Например, для сетки 800 X 320 ячеек вокруг профиля S = 0.0169. Числа 180 х 60 — это размеры расчетной сетки из [9]. С результатами, полученными на сетке [9], в дальнейшем проводится сопоставление.
Проведены численные исследования на сетках 200 X 80, 400 X 160 и 800 X 320 ячеек вокруг профиля и экстраполяция коэффициентов аэродинамических сил на нулевой шаг расчетной сетки (рис. 4). Результаты исследований показывают (рис. 4, внизу), что расчет на средней сетке 400 X 160 дает коэффициент сх, который на 0.7% отличается от значения для нулевого шага расчетной сетки, и коэффициент Су, который отличается от соответствующего значения на 0.1%.
Расчет на сетке 200 X 80 ячеек дает коэффициент сх, который на 4.5% отличается от величин, соответствующих нулевому шагу расчетной сетки, и коэффициент Су, который отличается от соответствующего значения на 1%.
Рис. 4. Влияние шага расчетной сетки:
М = 0.725; Яе = 6 500 000; аСотр = 2.4°; аехр = 2.92°
Количество ячеек сетки сх су
200 х 80 0.01219 0.7052
400 х 160 0.01176 0.7007
800 х320 0.01168 0.6997
Рис. 5. Сравнение эпюр давления с расчетными данными и экспериментом: М = 0.725, Яе = 6 500 000, аехр = 2.92°
Сопоставим результаты проведенных расчетов с расчетными данными других авторов для эксперимента № 6 [6].
На рис. 5 распределение ср по верхней поверхности, полученное в данной работе, сравнивается с полученным Аллмарасом [8] распределением коэффициента давления. Расчеты проведены на сопоставимых сетках и при одном и том же откорректированном угле атаки. Видно, что наибольшие отличия Ср между расчетами имеются в области возле носка профиля (однако они не превышают 0.08), а также возле скачка уплотнения. Положения скачка уплотнения отличаются примерно на АХ/С = 0.03. Сопоставить коэффициенты сх и Су с результатами [8] не представляется возможным, поскольку они в работе [8] не приведены.
Аналогичные результаты получены (см. рис. 5) при сопоставлении проведенных в данной работе расчетов (на сопоставимых сетках и при одном и том же откорректированном угле атаки) и расчетов Коукли [9] с использованием модели турбулентности [1].
Сопоставление результатов расчета и эксперимента [6] при М = 0.725 представлено на рис. 6. Сравнение с экспериментом проводится при откорректированном угле атаки ttcomp = 2.595°. Наибольшие отличия расчетных и экспериментальных коэффициентов Ср сосредоточены возле носка профиля и возле скачка уплотнения. Заметно, что положение скачка уплотнения в эксперименте дальше от передней кромки, чем в расчете. Отличия от эксперимента могут быть обусловлены не только влиянием стенок аэродинамической трубы, но и не вполне адекватным моделированием принудительного ламинарно-турбулентного перехода, как отмечается, например, в [11].
На рис. 6 приведено также сопоставление расчетного и экспериментального распределений скорости по высоте в пограничном слое. Распределения получены на верхней поверхности возле задней кромки, при Х/С = 0.95. Видно, что при одной и той же координате Y/С отличия в скорости не превышают 10% от скорости на границе пограничного слоя Up, что считается в [7] удовлетворительным.
Наибольшее отличие толщин вытеснения (рис. 6) наблюдается в окрестности задней кромки.
Коэффициент Cf на верхней поверхности профиля, представленный на рис. 6, согласуется с экспериментом в области возле передней кромки несколько хуже, чем на остальной части профиля. В целом рассогласование расчетного коэффициента Cf с экспериментом не превышает 10%.
Полученные коэффициенты аэродинамических сил представлены в таблице, приведенной выше. В ней указаны также данные эксперимента [6] и, для сравнения, результаты расчетов [7, 9] по моделям турбулентности Джонсона — Кинга [13], Себеси — Смита [14], Болдуина — Ломакса [15] и по модели Коукли [1] (обозначение g-ю). Кроме того, приведены лучшие результаты из работы [11], в которой используются известные дифференциальные модели турбулентности Спа-ларта — Аллмараса [16] и Ментера [17].
Видно, что расчетный коэффициент сопротивления при М = 0.725 и acomp = 2.595° (см. таблицу) отличается от экспериментального на 0.7%, если сопоставление проводится, как это принято в ряде исследований, при примерно одинаковых коэффициентах подъемной силы.
Если же не использовать то, что коэффициент подъемной силы известен из эксперимента, и взять поправку на влияние стенок аэродинамической трубы, как в [9], то точность расчета составит 4 — 5% (см. таблицу). Численные расчеты [9] для этого случая дают точность 4 — 11% в зависимости от использованной модели турбулентности.
Таким образом, точность расчета интегральных характеристик методом [5] на сверхкрити-ческом безотрывном режиме обтекания профиля удовлетворительная и находится на уровне точности других программ, которые используют RANS.
Численные расчеты обтекания профиля были проведены также при М = 0.75. Результаты расчета приведены на рис. 7 и в таблице, здесь же представлены экспериментальные данные и результаты расчета Коукли [9] с моделью турбулентности [1].
Режим обтекания профиля при М = 0.75, Re = 6 200 000 и угле атаки 3.19° (эксперимент № 10 [6]) — сверхкритический и отрывной, c присоединением пограничного слоя к поверхности профиля возле задней кромки (см. на рис. 7 профили скорости в пограничном слое, полученные экспериментально). Ламинарно-турбулентный переход фиксирован при Х/С = 0.03.
Рис. 6. Сравнение локальных характеристик с экспериментальными данными:
М = 0.725; Re = 6 500 000; aexp = 2.92°; acomp = 2.595°; сетка 400 х 160; Up — скорость на границе пограничного слоя;
Cf отнесено к локальному динамическому напору
Путем варьирования параметров турбулентности невозмущенного потока получены те значения параметров, которые обеспечивают естественный ламинарно-турбулентный переход при X/C = 0.03. Они равны q = 1.48 м/с и ю = 6000 Гц, что соответствует значениям Tu = 0.005 и Factor = 2. При q = 1.48 м/с и ю = 12 000 Гц возникали слабые колебания решения, хотя течение было безотрывным. Из-за колебаний результаты с ю = 12 000 Гц не приведены. Дальнейшие расчеты при М = 0.75 проведены при параметрах турбулентности невозмущенного потока q = 1.48 и ю = 6000 Гц.
В расчете получено безотрывное обтекание, как показывают коэффициенты Cf и профили скорости на рис. 7. Согласование профилей скорости с экспериментом не очень хорошее. Толщина вытеснения также несколько отличается от эксперимента. Аналогичный результат — безотрывное обтекание — получен и в работе Коукли [9] при использовании q-ю-модели турбулентности [1] (рис. 7).
Положение скачка уплотнения по результатам данной работы достаточно хорошо согласуется с экспериментом, в пределах ЬХ/C = 0.05. Возле задней кромки расчет дает более высокое восстановление давления, чем в эксперименте. Расчетное распределение давления в целом верное, и как
5*/С
эксперимент [6]
— 4 = 1.48 со =6000 —~д — со [9]
0.5
Х/С
х/с
Рис. 7. Локальные характеристики течения и их сравнение с расчетом [9] и экспериментом:
М = 0.75; Ие = 6 200 000; аехр = 3.19°; асотр = 2.8°; сетка 400 х 160; су отнесено к локальному динамическому напору
результат, коэффициенты сил близки к экспериментальным значениям [6] (см. таблицу). Рассогласование с экспериментом не превышает 1.2%. Отличия полученных расчетных данных от эксперимента при М = 0.75 могут быть обусловлены влиянием стенок аэродинамической трубы, не вполне адекватным моделированием ламинарно-турбулентного перехода, а также пространственным и нестационарным характером отрывного течения. Заметим, что для данного случая численные исследования [9] дают расхождение от 0.4 до 23%, в зависимости от модели турбулентности.
Рассматривая интегральные характеристики, полученные на сетке 400 х 160 ячеек (см. таблицу), и результаты экстраполяции на нулевой шаг расчетной сетки (см. рис. 4), получаем следующую оценку: рассогласование расчетных коэффициентов аэродинамических сил, экстраполированных на нулевой шаг расчетной сетки, и экспериментальных аэродинамических коэффициентов составляет 1 — 1.5%.
Выводы. Проведено тестирование метода [5] на задаче о трансзвуковом обтекании профиля RAE 2822 вязким потоком.
Задание параметров турбулентности невозмущенного потока q и ю согласно [12] (из условий Tu = 0.5% и Factor = 10) привело к тому, что режим обтекания профиля оказался полностью турбулентным как для условий эксперимента № 6, так и для условий эксперимента № 10 [6]. Путем варьирования были подобраны те значения параметров q и ю, которые обеспечивают положение ламинарно-турбулентного перехода в той же точке профиля, что и в эксперименте [6].
Проведенные численные исследования на расчетных сетках 200 х 80, 400 х 160 и 800 х 320 ячеек и их экстраполяция показали, что сетка 400 х 160 дает коэффициенты сх и су, которые отличаются на 0.7 и 0.1% от соответствующих значений для нулевого шага расчетной сетки. Расчет на сетке 200 х 80 ячеек дает коэффициенты сх и Су, которые на 4.5 и 1% отличаются от величин, соответствующих нулевому шагу расчетной сетки.
Рассматриваемый метод позволяет вести расчеты обтекания профилей трансзвуковым вязким потоком на стадии предварительного проектирования и с точностью 1 — 1.5% относительно эксперимента получать их интегральные характеристики.
Использование q-ю-модели турбулентности [1] не всегда позволяет предсказать наличие отрывного течения у поверхности профиля. Это подтверждено как расчетами автора, так и расчетами автора модели [1].
В заключение автор благодарит Боснякова С. М. и Власенко В. В. за конструктивное внимание к работе.
ЛИТЕРАТУРА
1. Coakley T. J. Turbulence modeling method for the compressible Navier — Stokes equations // AIAA Paper 83-1693, 1983.
2. Годунов С. К., Забродин А. В., Иванов М. Я., Крайко А. Н., Прокопов Г. П. Численное решение многомерных задач газовой динамики. — М.: Наука, 1976.
3. Колган В. П. Применение принципа минимальных значений производной к построению конечно-разностных схем для расчета разрывных решений газовой динамики //
Ученые записки ЦАГИ. 1972. Т. III, № 6.
4. Родионов А. В. Монотонная схема второго порядка аппроксимации для маршевых расчетов неравновесных потоков // ЖВМ и МФ. 1987. Т. 27, № 4.
5. Практические аспекты решения задач внешней аэродинамики двигателей летательных аппаратов в рамках осредненных по времени уравнений Навье — Стокса // Труды ЦАГИ. 2007, вып. 2671.
6. C o o k P. H., McDonald M. A., F ir m i n M. C. P. Aerofoil RAE 2822 — pressure distributions, and boundary layer and wake measurements // AGARD Advisory Report № 138, 1979.
7. Holst T. L. Viscous transonic airfoil workshop : compendium of results // AIAA-87-1460, 1987.
8. Allmaras S. R. Multigrid for the 2-D compressible Navier — Stokes equations // AIAA-99-3336, 1999.
9. Coakley T. J. Numerical simulation of viscous transonic airfoil flows // AIAA-87-0416, 1987.
10. W o lko v A. W., L y apuno v S. V. Numerical prediction of transonic viscous separated flow past an airfoil // Theoret. Comput. Fluid Dynamics. 1994. N 6.
11. Кудинов П. И. Сравнительное тестирование моделей турбулентности Спаларта —
Аллмараса и Ментера на задаче о трансзвуковом обтекании одиночного профиля RAE 2822. —
Днепропетр. нац. ун-т, 2004.
12. Бабулин А. А, Босняков С. М., Матяш С. В., Михайлов С. В. Оценка точности результатов расчетов с применением EWT. — В сб.: Практические аспекты решения задач внешней аэродинамики двигателей летательных аппаратов в рамках осредненных по времени уравнений Навье — Стокса // Труды ЦАГИ. 2007, вып. 2671.
13.King L. A. andJohnson D. A. Separated transonic airfoil flow calculations with a non-equilibrium turbulence model // NASA TM 86830, 1985.
14. C e b e c i T. and Smith A. M. O. Analysis of turbulent boundary layers // Academic Press, 1974.
15. Baldwin B. S. and Lomax H. Thin layer approximation and algebraic model for separated turbulent flows // AIAA Paper 78-257, 1978.
16. S p a l art P. R., Allmaras S. R. A one-equation turbulence model for aerodynamic flows // AIAA-92-0439, 1992.
17. M e n t e r F. R. Two-equation eddy viscosity turbulence models for engineering applications // AIAA J. 1994. V. 32, N 11.
Рукопись поступила 3/IV 2008 г.
