CC BY
73
Том XXXIV
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ 20 0 3
№ 1—2
УДК 533.6.011.35:629.7.025.73 629.735.33.015.3.025.73
ТРАНСЗВУКОВОЕ ОБТЕКАНИЕ РОМБОВИДНОГО ПРОФИЛЯ ПРИ ЧИСЛЕ РЕЙНОЛЬДСА Яе=106
В. А. БАШКИН, И. В. ЕГОРОВ, Д. В. ИВАНОВ, Д. М. ОРЛОВ
На основе численного решения уравнений Рейнольдса с использованием гипотезы Буссинеска относительно напряжений Рейнольдса и дифференциальной д-т модели турбулентности исследовано обтекание тонкого ромбовидного профиля с теплоизолированной поверхностью трансзвуковым потоком совершенного газа. Расчеты выполнены при нулевом угле атаки и числе Рейнольдса Re = 106 в диапазоне чисел Маха М,
= 0,6 + 1,5. Показано влияние числа Маха на структуру поля течения и поведение местных и суммарных аэродинамических характеристик.
Исследование трансзвукового обтекания тел представляет большой научный и практический интерес, поскольку большинство современных самолетов совершают свои крейсерские полеты при околозвуковых скоростях, а все сверх- и гиперзвуковые летательные аппараты проходят трансзвуковой режим. На этом режиме полета, как правило, возникают наибольшие аэродинамические нагрузки.
В рамках теории идеального газа методом сращиваемых асимптотических разложений были получены интересные результаты применительно к тонким телам, обтекаемым трансзвуковым потоком совершенного газа при малых углах атаки. В частности, были установлены законы трансзвукового подобия, выполнение которых подтверждено результатами экспериментальных исследований. Результаты этих обширных исследований обобщены в ряде монографий (например, [1], [2]).
На поле течения около тела, помещенного в трансзвуковой поток, существенное влияние может оказывать вязкость газа. Для ее учета применяются различные подходы к решению задачи.
В классическом подходе поле течения разбивается на две области — внешнюю и внутреннюю. Внешняя область соответствует течению невязкого газа, которое описывается уравнениями Эйлера, а внутренняя область — течению вязкого газа, которое описывается уравнениями пограничного слоя. Эти течения не взаимодействуют между собой. Основные преимущества этого подхода заключаются в упрощении математического описания задачи и расщеплении ее на две самостоятельные последовательно решаемые задачи. Основной недостаток — ограниченность применения областью безотрывного течения.
Если при обтекании тела возникают локальные замкнутые зоны отрывного течения (стелющийся отрыв), то приемлемые результаты получаются в рамках теории взаимодействующего пограничного слоя. В этом подходе, как и в предыдущем, используются уравнения Эйлера и Прандтля; для решения задачи с учетом взаимного влияния внешнего и внутреннего течений применяется специальная итерационная процедура, что приводит к заметному увеличению объема вычислений.
Однако наиболее достоверная и полная информация о поле течения следует в результате интегрирования уравнений Навье — Стокса (ламинарный режим течения) или уравнений Рейнольдса, получаемых из уравнений Навье — Стокса путем осреднения по Рейнольдсу или
Фавру (ламинарный, переходный и турбулентный режимы течения). Поэтому в последние годы все большее внимание уделяется численному интегрированию этих уравнений.
В [3], [4] разработана методика численного расчета двумерных уравнений Навье-Стокса применительно к сверхзвуковым течениям совершенного газа. В последующих работах [5], [6] она распространена на интегрирование уравнений Рейнольдса с использованием гипотезы Буссинеска для рейнольдсовых напряжений и дифференциальной д-т модели турбулентности [7]. Здесь д = \[к и т = в/к, к — кинетическая энергия турбулентных пульсаций, в — скорость диссипации энергии турбулентных пульсаций.
В настоящей работе указанный подход применен к расчету обтекания тел трансзвуковым потоком газа при больших числах Яе (двумерная задача). В качестве предмета исследования выбран тонкий ромбовидный профиль. Отметим, что в рамках теории идеального газа этот профиль является оптимальным с точки зрения волнового сопротивления. Кроме того, в 1950 — 1960 гг. его аэродинамические характеристики изучались многими исследователями как теоретически, так и экспериментально.
При проведении расчетов, кроме отработки методики численного анализа, ставилась цель исследовать особенности перехода от дозвукового к сверхзвуковому обтеканию профиля. Расчеты выполнены при нулевом угле атаки и числе Рейнольдса, вычисленном по параметрам невозмущенного потока и хорде профиля Ь, Яе = 106 в диапазоне числа М, = 0,6 г 1,5.
1. Рассматривается задача об обтекании тонкого ромбовидного профиля с относительной толщиной т = т*/Ь = 2Н однородным потоком совершенного вязкого газа под нулевым углом атаки (рис. 1). Поле течения около него описывается нестационарными двумерными уравнениями Рейнольдса, записанными в ортогональной криволинейной системе координат ^, п (х = х(%, П),
у = у(^, п) — декартовы координаты).
1=1
Рис. 1. Схема ромбовидного профиля
Стационарное решение задачи определялось численно методом установления по времени на основе интегро-интерполяционного метода (метода конечного объема). Его применение к уравнениям Рейнольдса, записанным в дивергентном виде, позволяет получить разностные аналоги законов сохранения.
При аппроксимации конвективной составляющей вектора потоков в полуцелых узлах использована монотонная схема типа Годунова [8] и приближенный метод Роу [9] решения задачи Римана о распаде произвольного разрыва. Для повышения порядка аппроксимации (до второго) при интерполяции зависимых переменных на грань элементарной ячейки использован принцип минимальных производных (MUSCL) [10]. При аппроксимации диффузионной составляющей вектора потоков на грани элементарной ячейки применена разностная схема типа центральных разностей второго порядка точности.
При численном анализе системы дифференциальных уравнений полностью неявным методом на искомое решение накладывались следующие граничные условия.
На входной границе значения зависимых переменных задачи задавались равными их величинам в невозмущенном набегающем потоке.
На границе, противоположной оси симметрии, использовались условия излучения, записанные в инвариантах Римана и соответствующие расходящейся волне
2с дЕ дЕ р
A =-------------и — - V—, A2 — —,
1 у — 1 дх ду 2 pY
дЕ дЕ
A3 — v---------и—,
дх ду
A4 =
2c дЕ дЕ
------+ и — + V—
у — 1 дх ду
Здесь с — скорость звука; у — показатель адиабаты; и, V — проекции вектора скорости на оси декартовой системы координат; р — давление; р — плотность.
При решении задачи в каждой точке анализировались знаки собственных чисел
дЕ, дЕ,
А, = и----------------+ V------------с.
дх ду
, _ дЕ, дЕ,
Аз — и------+ V—,
дх
ГдЕ' I2, 1 ( д^1
\дх. 1ду
дЕ, дЕ,
А2 — и---------+ V—,
дх ду
ду'
, дЕ дЕ .. _
А4 — и------------+ V--------+ с II —
дх ду
Г дЕ I2, 1 ( д^Т
1дх, 1ду J
определяющих направление распространения возмущений относительно Е, = const. При А > 0 соответствующий инвариант вычислялся по значениям газодинамических переменных в набегающем потоке. При А < 0 применялась линейная экстраполяция Ai по значениям газодинамических переменных, отвечающих внутренним точкам расчетной области.
На выходной границе использование «мягких» условий экстраполяции вектора искомых газодинамических переменных F =(и, v, p, T)T с аппроксимацией вида 3F - 4Fi-1 + Fi-2 = 0 вместо экстраполяции инвариантов Римана повысило устойчивость итерационного процесса решения разностной задачи.
На твердой поверхности использовались условия прилипания и непротекания (и = v = 0), условие теплоизолированности (дТ/дп = 0), экстраполяция давления вдоль нормали п к стенке с постоянной производной (др/дп = 0).
Для решения нелинейных сеточных уравнений использован модифицированный метод Ньютона [3]. Формирование матрицы Якоби осуществлялось при помощи конечных приращений вектора невязки по вектору искомых сеточных переменных. При аппроксимации уравнений Рейнольдса линейный оператор имеет разреженную блочную структуру, а элементарный блок — плотная матрица размером 6x6.
Решение системы линейных алгебраических уравнений, получаемых на итерации по нелинейности, осуществлялось при помощи итерационного метода GMRES [4].
Расчеты проведены на неравномерной сетке 151x101 с учетом симметрии течения относительно продольной оси (рис. 2). Для разрешения пограничных слоев вблизи твердой поверхности выбирались три зоны толщиной 1/Re, 2/Re12, 1,5/Re1/5, в каждой из которых после сгущения содержалось 6, 20 и 25% от общего числа узлов в поперечном направлении соответственно.
Численный анализ выполнен при нулевом угле атаки и числе Re = 106 в диапазоне числа Mo = 0,6 г 1,5; поверхность профиля предполагалась теплоизолированной. В набегающем потоке задавались значения безразмерных параметров турбулентности: qo = qJ/Vo = 0,03 и = rajL/Vo = 40.
По найденным полям газодинамических переменных вычислялись местные аэродинамические характеристики профиля: коэффициент давления ср = (р — po)/qo и
коэффициент трения Cf = = Tw/qo, где qo — скоростной напор невозмущенного потока, Tw — местное напряжение трения. Точки отрыва х5 и присоединения хк потока на обтекаемой поверхности тела (стелющийся отрыв) определялись как точки, в которых местное напряжение трения обращается в нуль. При наличии глобального отрыва зона возвратного течения заканчивается в ближнем следе за задней кромкой профиля. В этом случае положение точки присоединения хк потока на оси следа устанавливалось по распределению продольного компонента скорости как точка, в которой скорость принимает нулевое значение. По полученным данным вычислялась длина отрывной зоны А=хк — х5 .
При решении задачи в рамках теории идеального газа определяются распределения газодинамических переменных на поверхности обтекаемого тела, в частности числа Маха. По этим параметрам часто проводится сопоставление расчетных и экспериментальных данных.
В случае обтекания тела вязким потоком на обтекаемой поверхности выполняется условие прилипания и на ней формируется пограничный слой. В рамках теории пограничного слоя давление постоянно поперек слоя и, следовательно, распределение давления на поверхности тела в вязком потоке совпадает с соответствующим распределением в невязком потоке. Иначе обстоит дело с распределением числа Маха по обтекаемой поверхности, для определения которого существуют две возможности. Первая из них — по известному распределению статического давления на поверхности тела вычисляется местное число Маха в предположении, что внешнее течение является изоэнтропическим. Этот подход обычно используется при обработке экспериментального материала. Вторая возможность — построить по расчетным данным профиль числа Маха и его максимальное значение принимать за число Маха на внешней границе пограничного слоя.
2. Влияние толщины профиля на поведение местных и суммарных аэродинамических характеристик исследовано при числе Mo = 1; расчеты выполнены для трех значений относительной толщины т = 2h = 0,16; 0,2 и 0,24.
Анализ картин линий тока и изолиний различного рода, в частности изолинии M = const, показал, что на рассматриваемом режиме обтекание профилей происходит без отрыва пограничного слоя, а увеличение толщины профиля приводит к повышению максимального числа Маха
в поле течения, не меняя в качественном отношении его общей структуры.
Увеличение относительной толщины профиля приводит к возрастанию коэффициента давления (рис. 3, а) и уменьшению местного числа Маха на лобовой части его поверхности, в кормовой части наблюдается противоположная картина: коэффициент давления уменьшается, а число Маха возрастает. Изменение относительной толщины слабо влияет на распределение местного коэффициента сопротивления трения (рис. 3, б), при этом в окрестности задней кромки профиля напряжение трения обращается в нуль, указывая на возможность существования очень слабого локального отрыва. Распределения коэффициента сопротивления трения указывают также на то, что вплоть до точки отрыва течение в пограничном слое является ламинарным.
Расчетные распределения числа Маха на поверхности профиля с т = 0,24 на рис. 4 сопоставлены с экспериментальными данными [11], полученными интерферометрическим
0.2 0.4 0.6 0.3
0.2 0.4 0.6 0.3
0.2 0.4 0.6 0.3
Рис. 3. Распределение коэффициента давления ср (а), величины С0 = с^ Тяё (б)
и параметра подобия Ср (в) вдоль хорды профиля при числе М= 1:
--------т = 0,16;...- т = 0,2;----т = 0,24
методом.
В целом можно считать, что расчетные и экспериментальные данные согласуются между собой; некоторое рассогласование результатов в окрестности задней кромки профиля обусловлено, по-видимому, различием в значениях числа Яе.
Поведение местных аэродинамических характеристик подтверждает, что обтекание профилей разной толщины при числе Мда = 1 происходит практически безотрывно. Это обстоятельство позволяет представить результаты расчетов в параметрах трансзвукового подобия.
В рамках теории идеального газа для тонкого профиля Т. Карманом установлены законы трансзвукового подобия аэродинамических характеристик [1]. В частности, для распределения коэффициента давления на поверхности профиля имеем
ср = ср
= /(х,К), К =
М2 -1
[(У + 1)М2 Т]2/3
(2.1)
где К — параметр подобия Кармана. Обработка распределений коэффициента давления в указанных параметрах подобия показана на рис. 3, в и в целом подтверждает закон подобия — распределения для профилей с разной толщиной практически ложатся на единую зависимость.
Рис. 4. Распределение числа Маха на поверхности профиля с толщиной т = 0,24 при
числе Мю = 1:
- эксперимент [11];..— по распределению давления,-------— по профилям числа Маха (данная работа)
По распределениям местных аэродинамических характеристик вычислялись суммарные: коэффициенты сопротивления давления Ср и трения схР
Хг
Схр =
0,5р^2 Ь
= 2{[С+ - Ср Му,
х„
и коэффициент аэродинамического сопротивления
Сх = Схр + СхЕ .
(2.2)
(2.3)
(2.4)
Здесь с+ и ср — коэффициенты давления на лобовой и кормовой частях профиля соответственно.
Отметим, что поведение коэффициента схР по т очень близко к линейной зависимости; аппроксимация методом наименьших квадратов приводит к результату
СхР = - 0,000439167 + 0,204725й = - 0,000439167 + 0,102363т
с максимальной погрешностью менее 0,36%. Можно видеть, что при х^0 коэффициент сопротивления трения стремится к отрицательному значению. Это указывает на то, что аппроксимация справедлива при тех значениях т, при которых около профиля наблюдается достаточно обширная область сверхзвукового течения. Кроме того, при малых относительных толщинах выход на решение для плоской пластины с нулевым градиентом давления осуществляется по нелинейному закону; для установления этой закономерности необходимы дополнительные расчетные исследования.
Аэродинамические коэффициенты, вычисленные по формулам (2.2) — (2.4), представляют собой безразмерные величины суммарных аэродинамических характеристик, когда в качестве характерного размера используется длина хорды профиля. Для коэффициентов сопротивления характерным размером является толщина миделевого сечения. В соответствии с этим введем коэффициенты сопротивления
с
хр
с.
с
с
х
(2.5)
т
хрт
т
хт
т
Коэффициент схРт практически не зависит от толщины профиля — отклонение от среднего значения схРт = 0,0998, менее 0,5% (рис. 5, а); это вновь подтверждает отмеченный выше факт, что выход на решение для плоской пластины при т^0 происходит нелинейным образом. Коэффициенты сопротивления давления и аэродинамического сопротивления зависят от толщины профиля, увеличиваясь с ростом т почти по линейному закону (рис. 5, б).
Для коэффициента сопротивления давления схрт Т. Карманом установлен закон трансзвукового подобия
„ схрт [(у + 1)М2 ]1/3
Схрт = Р 5/3 = /(К) . (2.6)
т
Рис. 5. Суммарные аэродинамические характеристики профиля в зависимости от относительной толщины при числе М^ = 1:
а — коэффициент сопротивления трения; б — коэффициенты сопротивления давления Схрт и аэродинамического сопротивления схт‘, в — параметры подобия
хрт хт
Обработка коэффициентов сопротивления давления схр и аэродинамического сопротивления сх для профилей с разными толщинами в параметрах подобия Кармана показана на рис. 5, в. Оба параметра подобия cxpm и cxm слабо зависят от толщины профиля и близки к постоянным
величинам — отклонение от среднего значения менее 3% для коэффициента сопротивления давления и менее 3,5% для коэффициента аэродинамического сопротивления. Вместе с тем отметим, что наблюдается монотонное уменьшение значений аэродинамических коэффициентов с ростом толщины профиля почти по линейному закону; так, например, для параметра подобия cxm методом наименьших квадратов получена аппроксимация
сх =147,16-221,37/?=147,16- 110,69т
с максимальной погрешностью менее 0,3%.
3. Влияние числа Маха на структуру поля течения и аэродинамические характеристики изучено на примере обтекания ромбовидного профиля с относительной толщиной т = 0,2.
Общее представление о структуре поля течения и влиянии на нее числа Мш дают картины линий тока и изолиний газодинамических переменных; в качестве примера на рис. 6 приведены картины изолиний М = const для некоторых характерных режимов обтекания. Поля параметров турбулентности позволяют судить о развитии турбулентного течения около обтекаемых тел; в этом смысле наиболее показательным является поведение параметра турбулентности q, непосредственно связанного
с кинетической энергией турбулентности.
Анализ показал, что на всех рассмотренных режимах носовая часть профиля обтекается безотрывно, включая угловую точку: отрыв потока всегда
происходит за угловой точкой (хЛ- > 0,5, рис. 7). При этом в зависимости от числа Мш может реализоваться как глобальный, так и локальный отрыв потока. Согласно приведенным данным при числах М,<0.9 имеет место ламинарный отрыв и турбулентное присоединение потока и, как следствие этого, реализуется схема течения с глобальным отрывом потока. При числах М ,>0,9 происходит турбулентный отрыв и присоединение потока и реализуется схема течения с малой замкнутой отрывной зоной, расположенной в окрестности задней кромки профиля.
Рис. б. Картины изолиний M = const для профиля с относительной толщиной т = Q,2Q:
а —Мад = Q,8; б — Мад = Q,9; в — Мад = 1,Q; г — Мад = 1,5
Рис. 7. Положения точек отрыва х$ и присоединения хк в зависимости от числа М
для профиля с т = 0,2
При числе M<ю=0,8 в окрестности миделевого сечения профиля формируется небольшая зона сверхзвукового течения (максимальное число Mmax « 1,27) с размерами, меньшими длины хорды, а в кормовой части — обширная зона отрывного течения (рис. 6, а). Максимальные значения параметра турбулентности q наблюдаются в слое смешения и ядре отрывной зоны (дтах « « 0,201); при этом область с наибольшими значениями q простирается далеко вниз по потоку, и за телом образуется развитый турбулентный ближний след, толщина которого имеет порядок максимальной толщины профиля. Следовательно, в данном случае имеет место отрыв ламинарного потока и турбулизация течения происходит ниже по течению за точкой отрыва.
При числе Mш = 0,85 общая картина течения в целом сохраняется, но происходят количественные изменения: заметно увеличивается зона сверхзвукового течения « 1,34),
размеры которой имеют порядок длины хорды, несколько возрастают протяженность области с наибольшими значениями q и толщина ближнего следа. При этом максимальные значения параметра турбулентности q остаются на том же уровне ^тах « 0,203).
При числе Mш = 0,9 картина течения резко изменяется (рис. 6, б): существенно
увеличивается зона сверхзвукового течения « 1,7), максимальный размер которой много
больше характерного линейного масштаба; значительно сокращается зона отрывного течения, которая располагается в окрестности задней кромки профиля и незаметна на рис. 6, б, и уменьшается толщина турбулентного ближнего следа, которая теперь стала много меньше толщины профиля. При этом возрастает максимальная кинетическая энергия турбулентности — значение параметра
qmax « 0,290. Все это говорит о том, что в рассматриваемом случае турбулизация течения имеет место в окрестности точки отрыва.
При числах Mш > 0,9 сохраняется практически безотрывное обтекание профиля — турбулентный отрыв потока и тонкий турбулентный ближний след, в котором максимальное значение параметра турбулентности медленно и монотонно уменьшается при возрастании числа Маха набегающего потока.
По мере увеличения числа Mш происходит эволюция зоны сверхзвукового течения около профиля. В силу квазибезотрывного обтекания профиля эта эволюция протекает аналогично тому, как это имеет место в рамках теории идеального газа.
При изменении числа Маха от 0,9 до 1,0 положение передней звуковой линии остается практически неизменным и наблюдается расширение зоны сверхзвукового течения вниз по потоку (рис. 6, б и в). При этом максимальное значение числа Маха сохраняется на одном и том же уровне. В сверхзвуковом набегающем потоке с увеличением числа Mш происходит эволюция картины течения с отошедшей головной волной к картине течения с присоединенной головной волной (рис. 6, г).
4. Рассмотрим теперь влияние числа Маха на поведение аэродинамических характеристик профиля.
с
а)
б)
в)
Рис. S. Местные аэродинамические характеристики профиля с т = 0,2 в зависимости от числа М» :
= cf4Re ; t
а — коэффициент давления cp ; б — величина C = c^y Re; в — параметр подобия с
p
Влияние числа M» на распределение давления вдоль обтекаемой поверхности показано на рис. 8, а в виде зависимости cp = cp(x) при M» = const; те же результаты, обработанные для
общности в параметрах подобия Кармана, представлены на рис. 8, в. Можно видеть, что имеется целое семейство однотипных распределений, характеризуемых параметрами Мш и К. Из них выпадают зависимости, соответствующие числам Мш = 0,8 и 0,85 с глобальным отрывом потока. Также выпадают зависимости, соответствующие числам Мш = 1,4 и 1,5: первая из них является переходной формой к сверхзвуковому режиму обтекания, а вторая — типичная зависимость для сверхзвукового режима обтекания тонкого профиля с присоединенной головной ударной волной.
Почти безотрывное обтекание профиля при числах Мш > 0,9 позволяет надеяться на согласование настоящих расчетов с расчетными данными, полученными в рамках теории идеального газа. Такое сопоставление с расчетами [11], [12] проведено на рис. 9 и указывает в целом на хорошее согласование расчетных данных между собой.
(VI (^4 0,6 1,2
Рис. 9. Сопоставление расчетных данных для вязкого и невязкого газа
Влияние числа Мш на распределение местного коэффициента трения показано на рис. 8, б,
где приведены распределения величины С0 = с^Re . Благодаря этому рассматриваемые
величины имеют порядок единицы и более четко выявляется область ламинарно-турбулентного перехода.
На лобовой поверхности тел зависимости С0 = С0 (х) при всех числах Маха имеют
однотипный характер поведения, что указывает на ламинарный режим течения в пограничном слое.
В кормовой части при числах Мш < 0,875 течение в пограничном слое является ламинарным и наблюдается ламинарный отрыв потока с образованием развитой зоны отрывного течения, т.е.
имеем глобальный отрыв. При числах Мш > 0,875 однотипность зависимостей С0 = С0 (х)
указывает на ламинарный режим течения в пограничном слое вплоть до точки его отрыва; турбулизация течения в малой окрестности точки отрыва приводит к заметному смещению ее вниз по потоку и значительному сдвигу точки присоединения вверх по потоку. Из-за этого размеры отрывной зоны существенно сокращаются, что говорит практически о безотрывном обтекании профиля.
Расчеты распределения числа Маха по обтекаемой поверхности профиля, проведенные двумя указанными выше способами, дают одинаковую качественную картину влияния числа Мш , но отличаются количественно. Они показали, что в диапазоне чисел Мш = 0,9^1,05, когда
кормовая часть профиля обтекается почти безотрывно, распределения местного числа Маха фактически не зависят от числа Мш , иными словами, для распределения местного числа Маха имеет место закон стабилизации (рис. 10).
Результаты расчетов коэффициентов сх и схр приведены на рис. 11, разность между этими зависимостями определяет коэффициент сопротивления трения. При всех числах Мш коэффициент сопротивления трения вносит малый вклад в коэффициент аэродинамического сопротивления обтекаемого тела.
Согласно результатам расчетов максимум коэффициента аэродинамического сопротивления наблюдается при числе Мш = 0,9, при котором впервые происходит турбулентный отрыв потока в кормовой части профиля. Приведенные зависимости позволяют также выделить характерные для рассматриваемого числа Рейнольдса интервалы числа Мш с однотипными режимами обтекания:
Рис. 11. Коэффициенты сопротивления давления схр (•••■*■•••) и аэродинамического сопротивления сх (-о-) ромбовидного профиля с т = 0,2 в зависимости от числа М„
дозвуковой (Мш < 0,8); околозвуковой с глобальным отрывом (0,8< Мш < 0,9); трансзвуковой с локальным отрывом (0,9 < Мш < 1,1); сверхзвуковой (Мш > 1,1).
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 99-01-00845 и 00-15-96070).
ЛИТЕРАТУРА
1. К о у л Дж., К у к Л. Трансзвуковая аэродинамика.—М.: Мир.—1989.
2. D v o г a k R. Transsonicke Proudeni. - Academia.—1986.
3. Б а ш к и н В. А., Е г о р о в И. В., И в а н о в Д. В. Применение метода Ньютона к расчету внутренних сверхзвуковых течений//ПМТФ.—1997. Т. 38, № 1.
4. Б а б а е в И. Ю., Б а ш к и н В. А., Е г о р о в И. В. Численное решение уравнений Навье-Стокса с использованием итерационных методов вариационного типа//Журн. вычисл. математики и мат. физики. - 1994. Т. 34, № 11.
5. Б а ш к и н В. А., Е г о р о в И. В., Е г о р о в а М. В., И в а н о в Д. В. Ламинарнотурбулентное обтекание кругового цилиндра сверхзвуковым потоком газа//Изв. РАН, МЖГ. — 2000, № 4.
6. Б а ш к и н В. А., Е г о р о в И. В., Е г о р о в а М. В., И в а н о в Д. В. Развитие структуры поля течения около кругового цилиндра при наличии ламинарно-турбулентного перехода//ТВТ. - 2000, № 4.
7. C o a k l e y T. J. and H u a n g P. G. Turbulence modeling for high speed flows//AIAA Paper.— 1993, № 92-0436.
8. Г о д у н о в С. К. Разностный метод численного расчета разрывных решений уравнений гидродинамики//Мат. сб.—1959. Т. 47, № 3.
9. R o e P. L. Approximate Riemann solvers, parameter vectors, and difference scheme// J. Comput. Phys.— 1981. Vol. 43.
10. К о л г а н В. П. Применение принципа минимальных значений производной к построению конечно-разностных схем для расчета разрывных решений газовой динамики // Ученые записки ЦАгИ. — 1972. Т. III, № 6.
11. G i r e r d H. Quelques resultats experimentaux en transsonique//Recherche Aeronauti-que.—1953. IX—X, № 35.
12. V i n c e n t i, Walter G., W a g o n e r, Cleo B. Transonic flow past a wedge profile with detached bow wave//NACA Rep.— 1952, № 1095.
13. G u d e r l e y G., Y o s h i h a r a H. The flow over a wedge profile at Mach number 1// J. Aero. Sci.— 1950. Vol. 17, № 11.
Рукопись поступила 11/X 2001 г.
