CC BY
15Сравнение моделей трения в динамике шара на плоскости
А. П. Иванов
Московский физико-технический институт (государственный университет)
141700, Россия, Московская обл., г. Долгопрудный, Институтский переулок, 9
apivanov@orc.ru
Получено 22 декабря 2010 г.
Проводится сравнительный анализ динамики однородного шара на плоскости с сухим трением для двух гипотез: 1) контакт точечный (неголономная постановка); 2) нормальная нагрузка распределена в круговом пятне контакта радиуса е. Предполагается, что при данных активных силах и коэффициенте трения в первой постановке возможно движение без проскальзывания. Вид функции распределения нормальной нагрузки ф в пятне контакта (вторая постановка) произволен, на нее накладываются лишь общие ограничения, обусловленные требованиями корректности предельного перехода. Показано, что при е ^ 0 траектория шара с пятном контакта приближается к траектории шара с точечным контактом.
Ранее аналогичный результат был получен Фуфаевым [1] в предположении ф = const. Доказана возможность аппроксимации реакций неголономных связей силами вязкого трения [2,3], а также силами сухого трения с неограниченно большим коэффициентом [4].
Ключевые слова: системы с качением, сухое трение
A. P. Ivanov
Comparative analysis of friction models in dynamics of a ball on a plane
Comparative analysis of the dynamics of a homogeneous ball on a plane with dry friction is conducted for two conjectures: 1) single contact point (non-holonomic statement); 2) the normal load is distributed in the circle spot of contact with radius e. It is assumed that for given active forces and coefficient of friction the non-slip motion is possible. The expression for load distribution function ф at the contact spot (second statement) is arbitrary, with general mild restrictions, which ensure correctness of the passage to the limit. It is shown that for e ^ 0 the trajectory of the ball with contact spot approaches the trajectory of the ball with single contact point.
Previously similar result was obtained by Fufaev [1] in the case ф = const. The possibility of approximation of reactions of non-holonomic constraints by means of forces of viscous friction was proved [2,3], as well as by means of forces of dry friction with infinitely large coefficient of friction [4].
Keywords: systems with rolling motion, dry friction MSC 2010: 70Е18
1. Введение
Динамика тяжелого твердого тела, опирающегося одной из точек на горизонтальную плоскость (волчок) — известная классическая проблема механики, восходящая к Эйлеру, Даламберу и Пуассону. Ключевую роль в решении этой проблемы играет предположение о характере контактного взаимодействия (трения), заложенное в уравнения движения. При выборе модели трения возникает конфликт между ее реалистичностью и возможностью качественного исследования динамики волчка. В частности, наименее правдоподобное допущение об отсутствии трения (абсолютно гладкая опора) компенсируется наиболее существенным упрощением уравнений движения, позволяющим применить современные аналитические и качественные методы. Напротив, использование моделей, учитывающих размеры области контакта и взаимодействие различных видов трения, неизбежно приводит к численным расчетам, и возникает проблема обоснования качественных выводов, основанных на изучении некоторого (порой небольшого) числа интегральных кривых.
Удачным компромиссом можно считать гипотезу абсолютной шероховатости, исключающей возможность относительного скольжения в точке контакта. С одной стороны, отсутствие скольжения можно обосновать силами сухого трения (закон Кулона для трения покоя); с другой стороны, данный тип контакта описывается парой идеальных дифференциальных связей, что позволяет применить к анализу развитый аппарат неголономной механики [5]. На этом пути Бобылеву, Чаплыгину и другим ученым удалось построить аналитическое решение обсуждаемой задачи для некоторых частных случаев (см. [6]).
Серьезным аргументом против гипотезы абсолютной шероховатости стали выводы Контенсу [7], полученные при расчете сил сухого трения с учетом ненулевого диаметра области контакта тела с опорой. Если угловая скорость тела велика настолько, что в точках области контакта направления скорости скольжения существенно различаются, то при суммировании локальные силы трения частично взаимно компенсируются. Вследствие этого обращение скорости скольжения в точке контакта (центральной точке области контакта) при наличии верчения возможно лишь в исключительных ситуациях (например, верчение «спящего» волчка на месте). В такой ситуации может показаться целесообразным повторное исследование известных проблем на основе усложненных моделей трения (см. [8-12]). При этом следует иметь в виду, что усложнение моделей должно компенсироваться приобретаемой при этом выгодой в виде открытия новых эффектов либо получения рекомендаций для практического использования (например, стабилизация стационарных движений).
Данная работа посвящена сравнению моделей трения при точечном и распределенном контакте однородного шара с шероховатой плоскостью.
2. Уравнения движения шара с учетом пятна фрикционного контакта
Считая распределение масс сферически симметричным, обозначим массу, радиус и радиус инерции шара как т, г и р соответственно. Свяжем с неподвижной опорной плоскостью систему координат OXYZ, направляя ось OZ вертикально вверх. Изменение координат х, у центра шара и проекций его угловой скорости и описываются уравнениями
тХ = Гх + Тх, ту = Гу + Ту, тр2и = М + МТ (2.1)
где Ех, Еу и М — проекции главного вектора и главный момент активных сил относительно центра шара, Тх, Ту и Мт — аналогичные характеристики сил трения. Последние приложены в точках круга Оє радиуса є ^ К, что позволяет при вычислении проекций вектора Мт на оси ОХ и ОУ считать вектор Т приложенным в точке С, совпадающей с центром Оє [1,8], т. е.
где р(А) — нормальное напряжение в точке А. Неравенство в формулах (2.2) описывает трение покоя. Будем далее считать, что шг = 0, тогда в каждый момент времени скорость скольжения ь(А) может обращаться в нуль не более чем в одной точке. Следовательно, суммарную силу и момент трения можно корректно определить как интегралы
где к — орт оси OZ.
Обозначим (£, п) координаты вектора СА, тогда формулу (2.3) можно переписать в виде
где Е — вертикальная составляющая главного вектора активных сил. Аналогично можно преобразовать вторую формулу (2.3).
Функцию фє(£,ц), описывающую распределение нормальных напряжений в области контакта, можно выбирать по-разному. К примеру, распределения
описывают статические законы: равномерный [1] и Герца [7]. При учете качения полагают [12]
и т.д. (см. [13]). Универсальной формулы для функции фе(£,ц) не существует, а ее вывод в конкретных случаях составляет самостоятельную сложную проблему.
В данной работе будем считать фе(£,ц) произвольной непрерывной в замкнутом круге Ое функцией, удовлетворяющей условию нормировки (2.4), а также условию
Т{А) = -т){А)^~ А є Вє; \Т(А)\ < »р(А), М(А)1
(2.2)
------------------------------------ (],£ (І,Ї1
у/(х(С)-и2гіГ + (у(С)+ш202
(х(С) - п,у(С)+шхІ)
(2.4)
V V V , „ Ч* V ,
х(С) = х — Кшу, у(С) = у + Ких,
ФІН, V) = соп^' = (^2) 1, ФШ, П) = ■^з '/є2 - С2 - V2
2пє
ф3(С,п) = (і + ЮфШ,,п)
ііш тах є2фє(Ё,п) < ж є^0 (Є,п)ЄПє
(2.5)
ограничивающему рост функций фе(£,п) при е ^ 0 (очевидно, эти функции бесконечно велики, так как их пределом в смысле распределений является ¿-функция Дирака). Заметим, что для вышеприведенных распределений ф1(£,п) (равномерное) и ф1(^,п) (Герца) величина максимума в формуле (2.5) не зависит от е, поэтому условие выполнено. Что касается распределения ф^(£,п), то оно также удовлетворяет условию (2.5) при естественном ограничении Не < 1, выражающем неотрицательность нормальных напряжений в области контакта.
Коль скоро величина е и распределение фе(£,п) заданы, система (2.1), (2.4) замыкается. Тем не менее, использовать ее как для качественного, так и для численного анализа весьма неудобно ввиду необходимости расчета двойных интегралов. Поэтому целесообразно изучить асимптотическое поведение этой системы при е ^ 0. С физической точки зрения такой предельный переход соответствует переходу к классической модели точечного контакта, неизмеримо более простой и детально изученной в применении к обсуждаемой задаче.
3. Теорема о предельном переходе
Введем новые переменные и, V по формулам
еи = х(С), еv
и сделаем в интеграле (2.4) замену переменных £ следующее выражение:
гр „ [[ 2 , / с -ч {и-Ш2Г},У+и}20 -
Т = ^2 £ ф£(£%, £Г]) == (% ЛГ], (3.1)
Ох (и - и2г?)2 + (V + ш2£)'-2
где 0\ — единичный круг. В новых переменных система (2.1) примет вид
теи = Гх — 7Му + кТх, те? = Гу + 7Мх + кТу, тр2ш = М + Мт, (3.2)
к = 1 + Я2/р2, 7 = Я/р2,
где трение Т(и,,и,е) определено формулой (3.1).
Система (3.1), (3.2) содержит малый параметр при производных и, V, что позволяет применить теорию Тихонова [14]. Допустим, что на некотором интервале времени Ь £ [¿о, ¿о + + Т] выполнено условие
(Рх — 1Му)2 + (Ру + 1Мх)2 < , (3.3)
которое означает: шар, касающийся плоскости в единственной точке С, может двигаться без скольжения, так как при этом выполнено неравенство (2.2) (где вместо А подставлено С, а вместо р(А) — суммарная нормальная нагрузка —Е2).
Сформулируем основной результат.
Теорема. Пусть на некотором интервале времени Ь £ [¿о, ¿о + Т] решение задачи о качении шара с точечным контактом (неголономная постановка) согласуется с законом трения покоя (2.2), т. е. выполнено строгое неравенство (3.3), а распределение фе(£,п) непрерывно и удовлетворяет условию (2.5).
= У(С)
= Г] = ег}. Для силы трения получим
Тогда найдется значение ео > 07 такое что при всех е < ео решение системы (3.1), (3.2) с начальными условиями u(to) = 0, v(to) = 0, ü(to) = üo существует и единственно на заданном интервале, причем в каждой точке t этого интервала имеем
lim u(t) = lim v(t) = 0, lim ü(t) = C3*(t), (3.4)
S——0 S——0 S——0
где ü*(t) угловая скорость шара, вычисленная в неголономной постановке.
Доказательство данного утверждения сводится к проверке условий теоремы Тихонова и имеет технический характер. Наметим основные его этапы.
1) Элементы матрицы Якоби J отображения (u,v) ^ (Tx,Ty), заданного формулой (3.1), вычисляются путем дифференцирования (несобственного) интеграла по параметру:
J = m.F,( «•_-**>% .. -<(«'-W(<’ + fe)>Y (3.5)
" V- {(и - rju}z){v + £u)z)) {(v + &2y2) )
</(?.»7)>- [[^Фе^ёп)--------------------------------------------------l&Jll-— ctrj. (3.6)
((u-u,?j)2 + (t; + W,Ö2)3/2
Di
Вследствие условия (2.5) несобственные интегралы в формуле (3.5) абсолютно сходятся и равномерно ограничены при u,v Е R, е Е (0,ео) (стремятся к нулю при u,v ю), что
обеспечивает условие Липшица, а также существование и единственность решения задачи Коши для системы (3.2). Кроме того, матрица J симметрична и отрицательно определена (так как Fz < 0), что следует из неравенства Коши-Буняковского.
2) Вышеупомянутое отображение взаимно однозначно отображает плоскость R2 на открытый круг
т2 + ту2 <^2f2
Действительно, полагая u,v (u/v = const), мы неограниченно приближаемся к любой
выбранной точке граничной окружности. Исходя из принципа сохранения области при дифференцируемых отображениях с ненулевым якобианом, приходим к выводу: множество образов заполняет всю внутренность круга. Единственность следует из отрицательной определенности матрицы Якоби в каждой точке плоскости (u,v) Е R2: перемещаясь из некоторой точки (ui,vi) в любую другую точку (u2,v2) вдоль прямолинейного отрезка, мы получим, что в каждой внутренней точке этого отрезка вектор приращения образа (Tx,Ty) образует тупой угол с направляющим вектором отрезка. Поэтому суммарное приращение при перемещении из одной точки в другую отлично от нуля.
3) Из неравенства (3.3) следует, что присоединенная система
meu = Fx — чМу + кТх, meij = Fy + jMx + кТу (3.7)
имеет единственную особую точку, которая в силу отрицательной определенности матрицы Якоби является глобальным аттрактором. Эту точку найдем, полагая левые части нулями и учитывая вторую часть доказательства.
Все условия теоремы Тихонова выполнены, откуда и следует сформулированное утверждение.
Замечание. В модели точечного контакта нулевой скорости скольжения соответствует целый круг возможных значений сил трения (неравенство (2.2)). Особая точка системы (3.7) определяется из условия, что силы трения принимают те же значения, что и в неголономной постановке. При этом скорость скольжения Х(С) = eu, y(C) = ev будет малой, но ненулевой величиной.
4. Выводы
Учет размеров пятна контакта приводит к выводу о невозможности движений шара без проскальзывания. Тем не менее, если в модели точечного контакта коэффициент трения достаточен для того, чтобы предотвратить скольжение, то скорости скольжения в распределенной модели исчезающе малы при е ^ 0. При этом различие между траекториями систем двух типов также стремится к нулю. Данный результат можно обобщить на случай волчков, не обладающих сферической симметрией. Однако при этом следует иметь в виду, что односторонний характер связи между телом и плоскостью может приводить к парадоксам несуществования или неединственности решений [15]. В этих случаях распределенная модель трения может оказаться полезной.
Отметим, что аппроксимация реакций неголономных связей силами бесконечно большого вязкого [2.3] или сухого трения [4] приводит к аналогичным результатам. На наш взгляд, эти подходы проще с позиций математических доказательств, но не бесспорны с точки зрения физики контактного взаимодействия.
Список литературы
[1] Фуфаев Н. А. Об идеализации поверхности соприкосновения в виде точечного контакта в задачах качения // ПММ, 1966, т. 39, вып. 1, с. 67-72.
[2] Карапетян А. В. О реализации неголономных связей силами вязкого трения и устойчивости кельтских камней // ПММ, 1981, т. 45, вып. 1, с. 42-51.
[3] Козлов В. В. Реализация неинтегрируемых связей в классической механике // Докл. АН СССР, 1983, т. 272, № 3, с. 550-554.
[4] Козлов В. В. Замечание о сухом трении и неголономных связях // Нелинейная динамика, 2010, т. 6, № 4, с. 903-906.
[5] Неймарк Ю.И., Фуфаев Н. А. Динамика неголономных систем М. Наука, 1967. 519 с.
[6] Маркеев А. П. Динамика тела, соприкасающегося с твердой поверхностью. М.: Наука, 1992. 335 с.
[7] Контенсу П. Связь между трением скольжения и трением верчения и ее учет в теории волчка // В кн.: Проблемы гироскопии. М.: Мир, 1967. с. 60-77.
[8] Журавлев В.Ф. Динамика тяжелого однородного шара на шероховатой плоскости // МТТ, 2006, № 6, с. 3-8.
[9] Журавлев В. Ф., Климов Д. М. О динамике волчка Томсона (тип-топ) на плоскости с реальным сухим трением // Изв. РАН, МТТ, 2005, № 6, с. 157-168.
[10] Журавлев В.Ф., Климов Д. М. Глобальное движение Кельтского камня // Изв. РАН, МТТ, 2008, вып. 3, с. 8-16.
[11] Карапетян А. В. Двухпараметрическая модель трения // ПММ, 2009, т. 73, вып. 4, с. 515-519.
[12] Киреенков А. А. Связанные модели трения скольжения и качения // ДАН, 2008, т. 419, № 6, с. 759-762.
[13] Карапетян А. В. О моделировании сил трения в динамике шара на плоскости // ПММ, 2010, т. 74, вып. 4, с. 531-535.
[14] Васильева А. Б., Бутузов В. Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущеных уравнений. М.: Наука, 1973. 272 с.
[15] Иванов А. П. Об условиях отрыва в задаче о движении твердого тела по шероховатой плоскости // Нелинейная динамика, 2008, т. 4, № 3, с. 303-312.
