CC BY
4
УДК. 004.94
Галимов Р.З. студент магистратуры
Золотов А.А. студент магистратуры Третьякова А.А. студент магистратуры Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана
РФ, г. Москва
СРАВНЕНИЕ МЕТОДОВ ФОРМИРОВАНИЯ ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПО ВРЕМЕНИ В СРЕДЕ МОДЕЛИРОВАНИЯ
GPSS ДЛЯ МНОГОКАНАЛЬНОЙ СМО С БЕСКОНЕЧНЫМ
БУФЕРОМ
В статье проведено исследование способов задания функции распределения по времени в среде моделирования GPSS. Выделены три сравниваемых подхода: по точкам, библиотечный, с помощью Гамма-функции. Рассмотрена часто встречающаяся в рамках имитационного моделирования многоканальная система массового обслуживания с бесконечным буфером. Вычислены такие показатели, как количество заявок в системе и время нахождения заявок в системе. Произведено сравнение с результатами аналитического моделирования и вычислена относительная погрешность полученных результатов.
Ключевые слова: имитационное моделирование, GPSS, задание функций, гамма-функция, библиотечные функции, функции по точкам, точность функций распределения времени.
Galimov R.Z. Graduate student Bauman Moscow State Technical University
Russia, Moscow Zolotov A.A Graduate student Bauman Moscow State Technical University
Russia, Moscow Tretjakova A.A Graduate student Bauman Moscow State Technical University
Russia, Moscow
ANNOTATION: The ways of specifying the time distribution function in the GPSS modeling environment are investigated in this article. Three comparative approaches are distinguished: point-by-point, library-based, using the Gamma function. A multichannel queuing system, often encountered in the framework of simulation modeling, with an infinite buffer is analyzed. Some indicators of the
queuing system are calculated, such as: the number of applications in the system and the time spent on applications in the system. Comparison with the results of analytical modeling is made and the relative error of the obtained results is calculated.
Keywords: simulation modeling, GPSS, assignment of functions, Gamma-function, library functions, functions by points, accuracy of time distribution functions.
Введение
В современном мире имитационное моделирование играет ключевую роль в анализе данных и предварительном расчете различных динамических систем. С помощью данного вида моделирования можно построить достаточно точную (в некотором приближении и с некоторыми погрешностями) модель любой сложной системы. Имитационная модель с определенной погрешностью показывает результаты функционирования реальной системы в заданных начальных условиях.
Моделирование - это метод решения задач, когда исходная (реальная) система заменяется на более простой объект, описывающий реальную систему с некоторыми допущениями, который называется моделью [2].
Имитационное моделирование применяется в различных ситуациях, например, когда эксперименты на реальной модели невозможно провести или это экономически нецелесообразно.
Имитационное моделирование - это компьютерная программа на языке имитационного моделирования (например, GPSS, Simio и др.), которая в некотором приближении описывает структуру реально существующей модели и воспроизводит ее динамическое поведение во времени.
Имитационная модель не только по свойствам, но и структуре соответствуют моделируемому объекту. Более того имеется однозначное соответствие между процессами, проходящими в имитационной модели. Существенным недостатком имитационной модели является большое время решения задачи для получения хорошей точности результатов [3].
Результатами работы модели являются значения вычисления некоторой функции от большого числа стохастически изменяющихся параметров. Как ни парадоксально, но стахастика имеет свой плюс и минус в имитационном моделировании. Элемент стохастического моделирования поведения системы оказывает положительное влияние, так как возможен разброс параметров и существует возможность получить средние или усредненные результаты. С другой стороны, требуется многократное повторение эксперимента, чтобы получился «хороший» набор экспериментальных данных. Это увеличивает время нахождения параметров функционирования системы. После проведение экспериментов обязательна обработка результатов имитационного моделирования. Чаще всего в моделях применяется статистическое моделирование, то есть воспроизведение в моделях случайных факторов, событий, величин, полей.
Стохастическое моделирование применяется в различных областях знаний и решает множество прикладных задач. Также оно применяется для исследования поведения сложных динамических систем и их последующей оценки и анализа.
В данной статье языком имитационного моделирования будет выступать язык ОРББ. В языке ОРББ возможно различные способы задания функций:
• Вызов нужной функции из библиотеки;
• Построение функции по точкам;
• Задание любой произвольной функции с помощью Гамма-функции.
В статье будет приведен анализ данных, полученных тремя способами задания функций, а также их сравнение с аналитическим моделированием. Будут посчитаны погрешности каждого из данных способов задания.
Смоделируем многоканальную систему с бесконечным буфером. Модель системы представлена на рис. 1.
Рисунок №1. Схематическое изображение применяемой системы массового обслуживания.
Данная модель описывает широкий класс исследовательских задач и часто применяется на практике, что свидетельствует о способности корректно отображать поведение большого количества систем реального мира.
На рис.1 видно, что модель состоит из трех частей:
• Входящий поток заявок (вход системы);
• Очередь заявок на обслуживания (буфер системы);
• Обслуживающие аппараты (обслуживают заявки по заданному временному закону).
Функции распределения времени для входного потока и для обслуживания могут быть заданы различными способами, описанными выше. Рассмотрим влияние способов задания функции распределения времени и проанализируем погрешности каждого из способов задания и дадим оценку применимости того или иного способа.
Различные способы задания функций в языке имитационного моделирования GPSS
Как отмечено выше, среда имитационного моделирования GPSS поддерживает несколько способов задания функций распределения времени [1]. Опишем более подробно вышеизложенные способы.
Задание функции распределения времени с помощью библиотечных функций
Язык имитационного моделирования поддерживают более чем десяток различных функций распределения времени. Среди них: экспоненциальная функция, функция Эрланга, биноминальная функция, нормальная функция и многие другие. Данные функции уже включены в пакет языка GPSS. Чтобы их использовать достаточно посмотреть справочник по языку GPSS, определить параметры, и функция будет работать. Это один из самых простых способов задания функций в языке имитационного моделирования GPSS.
Задание функции распределения времени по точкам
В языке имитационного моделирования GPSS также можно использовать способ задания функций распределения времени по точкам. Данный способ удобен, когда у исследователя есть точечное задание функции или функция не может быть определена формулой. Для этого вводится набор точек и далее в тексте имитационной программы вызывается данная функция. Такой способ весьма удобен при исследовании неизвестных функций распределения времени с большим набором статистических данных.
Функция, которая будет использоваться в экспериментах: EXPON FUNCTION RN1,C23
0,0/.1,.104/.2,.222/.3,.355/.4,.510/.5,.69/.6,.915/.7,1.2/.75,1.37/.8,1.5/.84,1.8 3/.88,2.12/.9,2.3/.92,2.52/.94,2.82/.95,2.98/.96,3.2/.97,3.5/.98,3.9/.995,5.3/.998,6. 2/.9995,7/1,8
Задание функции распределения времени с помощью Гамма-функции
В языке имитационного моделирования GPSS также можно использовать Гамму-функцию для задания различных (произвольных) распределений. Данный способ весьма сложен, потому что требует некоторой предварительной обработки времен задания и среднего времени обслуживания. Зато данный способ подходит для моделирования любых распределений одной функцией (Гамма-функцией).
Исследование погрешности различных способов задания функций в языке имитационного моделирования GPSS
Для проведения эксперимента составим полный план эксперимента. Будем варьировать количество обслуживающих аппаратов С, а также загруженность системы р . План эксперимента представлен в таблице 1.
Таблица №1. План проводимого эксперимента
№ эксперимента С Р
1 1 0,2
2 2 0,2
3 3 0,2
4 4 0,2
5 5 0,2
6 1 0,4
7 2 0,4
8 3 0,4
9 4 0,4
10 5 0,4
11 1 0,6
12 2 0,6
13 3 0,6
14 4 0,6
15 5 0,6
16 1 0,8
17 2 0,8
18 3 0,8
19 4 0,8
20 5 0,8
Всего проведём 20 экспериментов. В соответствие с данным планом будет проводится имитационное моделирование для различных способов задания функций распределения времени, а также аналитическое моделирование. После этого будет проведён анализ и оценка погрешностей. За эталон будем принимать результаты аналитического моделирования.
Всего будет использоваться две основные формулы. Следующая формула определяет количество заявок в системе [5]:
_ (К2вар.вх + К2обсл.вх)СрС+1 „
Ь = кгр +Ср, (1)
где ^-количество заявок в системе;
тг-2
К варвх - коэффициент Эрланга для входных заявок;
К 2обслвх -коэффициент Эрланга для процесса обслуживания;
С- количество обслуживающих аппаратов;
р - загруженность системы.
77*2 2
к вар.вх, к обсл.вх для экспоненциального распределения принимаем за
Вычислим временя пребывания в системе [5]:
Т = Ь *Тх, (2)
где Т - время пребывания в системе заявок; Ь - количество заявок в системе;
т
вх - расчетное время для аналитическом модели. С помощью (1,2) можно рассчитать время пребывания заявки в системе и количество заявок, находящихся в системе.
Результаты аналитического моделирования приведены в таблице 2.
Таблица №2. Результаты аналитического моделирования.
Аналитическое моделирование
№ С Р L T
1 1 0,2 0,25 75
2 2 0,2 0,416667 62,5
3 3 0,2 0,604839 60,48387
4 4 0,2 0,801282 60,09615
5 5 0,2 1,00032 60,01921
6 1 0,4 0,666667 100
7 2 0,4 0,952381 71,42857
8 3 0,4 1,282051 64,10256
9 4 0,4 1,642036 61,57635
10 5 0,4 2,020692 60,62076
11 1 0,6 1,5 150
12 2 0,6 1,875 93,75
13 3 0,6 2,295918 76,53061
14 4 0,6 2,757353 68,93382
15 5 0,6 3,252949 65,05899
16 1 0,8 4 300
17 2 0,8 4,444444 166,6667
18 3 0,8 4,918033 122,9508
19 4 0,8 5,420054 101,626
20 5 0,8 5,949548 89,24322
Далее проведем 3 серии экспериментов для различного способа задания функций распределения времени. Результаты имитационного моделирования представлены в таблице 3.
Таблица №3. Результаты имитационного моделирования для различных способов задания функций распределения времени.
Способ задания функции распределения времени
Исходные данные Гамма-функция Экспоненциальная функция По точкам
№ С Р Твх Тоб с L T L T L T
1 1 0, 2 300 60 0,25 75,135 0,25 75,135 0,24 8 74,469
2 2 0, 2 150 60 0,417 62,582 0,417 62,582 0,41 4 62,158
3 3 0, 2 100 60 0,607 60,715 0,607 60,715 0,60 4 60,348
4 4 0, 2 75 60 0,804 60,273 0,804 60,273 0,79 9 59,908
5 5 0, 2 60 60 1,003 60,193 1,003 60,193 0,99 7 59,798
6 1 0, 4 150 60 0,668 100,215 0,668 100,215 0,66 4 99,534
7 2 0, 4 75 60 0,952 71,453 0,952 71,453 0,94 9 71,131
8 3 0, 4 50 60 1,296 64,822 1,296 64,822 1,28 8 64,396
9 4 0, 4 37,5 60 1,665 62,438 1,665 62,438 1,65 4 61,976
1 0 5 0, 4 30 60 2,041 61,267 2,041 61,267 2,03 2 60,916
1 1 1 0, 6 100 60 1,506 150,611 1,506 150,611 1,49 8 149,61 6
1 2 2 0, 6 50 60 1,869 93,584 1,869 93,584 1,86 5 93,156
1 3 3 0, 6 33,3 60 2,338 77,959 2,338 77,959 2,33 77,563
1 4 4 0, 6 25 60 2,831 70,848 2,831 70,848 2,82 2 70,5
1 5 5 0, 6 20 60 3,358 67,199 3,358 67,199 3,34 5 66,822
1 6 1 0, 8 75 60 4,039 303,058 4,039 303,058 4,05 9 303,84 6
1 7 2 0, 8 37,5 60 4,414 165,698 4,414 165,698 4,43 9 166,13 2
1 8 3 0, 8 25 60 5,027 125,841 5,027 125,841 4,98 7 124,50 3
1 9 4 0, 8 18,7 5 60 5,58 104,731 5,58 104,731 5,56 8 104,31 4
2 0 5 0, 8 15 60 6,197 93,069 6,197 93,069 6,19 8 92,849
Сравним полученные результаты и проведем анализ. Как уже было сказано выше, за эталон возьмем результаты аналитического моделирования и относительно них будем считать погрешность данных способов задания. Оценка погрешностей представлена в таблице 4.
Таблица №4. Оценка погрешностей между имитационным и _аналитическим моделированием.
Исходные данные Гамма-функция Экспоненциальная функция По точкам
№ С Р ДЦ% ДТ,% ДЦ% ДТ,% ДЬ,% ДТ,%
1 1 0,2 0 0,002 0 0,002 0,008 0,007
2 2 0,2 0,001 0,001 0,001 0,001 0,006 0,005
3 3 0,2 0,004 0,004 0,004 0,004 0,001 0,002
4 4 0,2 0,003 0,003 0,003 0,003 0,003 0,003
5 5 0,2 0,003 0,003 0,003 0,003 0,003 0,004
6 1 0,4 0,002 0,002 0,002 0,002 0,004 0,005
7 2 0,4 0 0 0 0 0,004 0,004
8 3 0,4 0,011 0,011 0,011 0,011 0,005 0,005
9 4 0,4 0,014 0,014 0,014 0,014 0,007 0,006
10 5 0,4 0,01 0,011 0,01 0,011 0,006 0,005
11 1 0,6 0,004 0,004 0,004 0,004 0,001 0,003
12 2 0,6 0,003 0,002 0,003 0,002 0,005 0,006
13 3 0,6 0,018 0,019 0,018 0,019 0,015 0,013
14 4 0,6 0,027 0,028 0,027 0,028 0,023 0,023
15 5 0,6 0,032 0,033 0,032 0,033 0,028 0,027
16 1 0,8 0,01 0,01 0,01 0,01 0,015 0,013
17 2 0,8 0,007 0,006 0,007 0,006 0,001 0,003
18 3 0,8 0,022 0,024 0,022 0,024 0,014 0,013
19 4 0,8 0,03 0,031 0,03 0,031 0,027 0,026
20 5 0,8 0,042 0,043 0,042 0,043 0,042 0,04
Из таблицы видно, что погрешности минимальны и не превышают 1%. Значит все 3 способа задания распределения функции времени уместны и применимы для инженерных расчетов. Посчитаем среднюю погрешность в зависимости от загрузки системы. Для более наглядного примера построим график. График представлен на рис. 2.
Зависимость погрешности от загрузки системы
0,025 -1-1-1-1-1-1-1-1-1
х
(И IX
си ^
о а
С т
л I-и О X
Э
<и
а |_
О
а
0 1-
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
Загрузка системы
Рисунок №2. Зависимость погрешности от загрузки системы.
Как видно из приведенного графика, погрешности в оценки количества заявок в системе и времени из пребывания в системе возрастают с ростом загрузки системы. Таким образом, точность при задании функции распределения по времени снижается при возрастании нагрузки на систему обслуживания. Однако даже при рекомендованном значении загрузки не более 75% для инженерных задач является незначительной величиной.
Из приведенного исследования видно, что погрешность между разными способами задания функций распределения времени не превышает 1%, значит они все пригодны для проведения инженерных расчетов. Разница между ними состоит в том, что каждый способ задания полезен и применим лишь в
0,02 0,015 0,01 0,005
определенных условиях. Поэтому исследователь сам выбирает каким способом задания функций распределения времени пользоваться и какой способ ему удобен. Иногда данные способы взаимозаменяемые, что свидетельствует о хорошем инструменте моделирования в имитационной среде GPSS.
Использованные источники:
1. Боев В. Д. Моделирование систем. Инструментальные средства GPSS World: Учеб. пособие. — СПб.: БХВ-Петербург, 2004. — 368 с.: ил.
2. Кирпичников А.П. Прикладная теория массового обслуживания. Казань: КГУ, 2008. 118 с.
3. Карташевский В.Г. Основы теории массового обслуживания. М.: Радио и связь, 2006. 107 с.
4. Кудрявцев Е. М. GPSS World. Основы имитационного моделирования различных систем. - М.: ДМК Пресс, 2004. - 320с.
5. Галимов Р.З, Золотов А.А. Исследование применимости методов аналитического и имитационного моделирования в зависимости от загруженности системы. // Молодежный научный вестник - 2017, №12 -декабрь. [Электронный ресурс]. Режим доступа: http ://www.mnvnauka.ru/2017/12/Galimov.pdf
