CC BY
12
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Mercury Cadmium Telluride: Growth, Properties and Applications [Text]/ Ed. by P. Capper and J. Garland, - Chichester, UK: Wiley and Sons, 2010. -556 p.
2. Mikhailov, N.N. Growth of Hg1-xCdxTe nanostruc-tures by molecular beam epitaxy with ellipsometric control [Text]/ N.N. Mikhailov, R.N. Smirnov, S.A. Dvoretsky, [et al.]// Int. J. Nanotechnol.- 2006. - Vol. 3. - № 1. -P. 120-130.
3. Laurenti, J.P. Temperature dependence of the fundamental absorption edge of mercury cadmium telluride [Text]/ J.P. Laurenti, J. Camassel, A. Bouhemadou, [et al.] // J. Appl. Phys. - 1990. - Vol. 67. - № 11. -P. 6454-6461.
4. Ivanov-Omskii, V.I. Optical properties of molecular beam epitaxy-grown HgCdTe structures with potential wells [Text]/ V.I. Ivanov-Omskii, K.D. Mynbaev, N.L. Ba-zhenov, [et al.] // Phys. Stat. Sol. (c). - 2010. - Vol. 7. -№ 6. - P. 1621-1623.
5. Зегря, Г.Г. Механизмы Оже-рекомбинации в квантовых ямах [Текст]/ Г.Г. Зегря, А.С. Полковников// ЖЭТФ. - 1998. - Т. 113. - Вып. 4. -С. 1491-1521.
6. Воробьев, Л.Е. Оптические свойства наноструктур [Текст]: Учеб. пос/ Л.Е. Воробьев, Е.Л. Ивченко, Д.А. Фирсов, В.А. Шалыгин; под ред Е.Л. Ивченко и Л. Е. Воробьева. - СПб.: Наука, 2001. - 188 с.
УДК 535.1 4
А.С. Курапцев, И.М. Соколов
СРАВНЕНИЕ МАКРО- И МИКРОСКОПИЧЕСКОГО МЕТОДОВ РАСЧЕТА ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПРОНИЦАЕМОСТИ ПЛОТНЫХ УЛЬТРАХОЛОДНЫХ АТОМНЫХ ОБЛАКОВ
Холодные атомы в настоящее время являются объектом интенсивных исследований — как теоретических, так и экспериментальных. С научной точки зрения интерес к атомным ансамблям, охлажденным до сверхнизких температур, обусловлен целым рядом их уникальных физических свойств. С практической точки зрения интересны возможности применения этих объектов в ячейках квантовой памяти, в качестве систем для «остановки» света, а также в метрологии и стандартизации частоты [1 — 4]. При этом подавляющее большинство предложенных схем практического использования холодных атомных облаков основано на их взаимодействии с электромагнитным излучением (как правило, в световом диапазоне). В настоящее время к изучению этого взаимодействия приковано внимание большого числа научных групп из разных стран.
Взаимодействие холодных атомных облаков со светом имеет ряд особенностей, которые необходимо корректно учитывать при построении теоретической модели. При очень низкой температуре атомы имеют малые скорости, и как следствие, малые доплеровские уширения линий резонансного излучения и поглощения. Малые доплеровские уширения ( Ашд << у , где у — естественная ширина линии для изолированного атома) приводят к тому, что атомы имеют большие сечения резонансного рассеяния (8 « X2 , где X — обратное волновое число излучения изолированного атома), поэтому необходимо учитывать многократное рассеяние даже для облаков сравнительно невысокой концентрации. Атомные облака, охлажденные в специальных ловушках, характеризуются неоднородным распределением атомов по сверхтонким подуровням, а также случайным пространственным поло-
жением атомов. Малые скорости движения атомов приводят также к тому, что при многократном рассеянии могут наблюдаться интерференционные эффекты, хотя упорядоченность в среде отсутствует [5].
В последнее время особый интерес вызывают плотные ультрахолодные атомные облака ввиду того, что в них возможен целый ряд уникальных физических эффектов. Наиболее значимым из них с точки зрения практического использования можно считать эффект сильной локализации света [6].
Для описания взаимодействия атомных облаков со светом можно применять метод локального поля и вытекающую из него формулу Лоренц — Лоренца, которая дает явную зависимость диэлектрической проницаемости от частоты падающего света и концентрации атомов. Однако в эту формулу входит средняя одноатомная поляризуемость, которая при большой концентрации изменяется вследствие межатомного резонансного диполь-дипольного взаимодействия и не совпадает с поляризуемостью изолированного атома. Ввиду межатомного взаимодействия облако рассеивает свет коллективным образом. Данный объект, по сути, представляет собой огромную квазимолекулу, а не отдельные атомы — независимые рассеиватели.
Для адекватного учета межатомного ди-поль-дипольного взаимодействия существует два подхода: макроскопический и микроскопический. Первый базируется, с одной стороны, на уравнениях макроскопической электродинамики, а с другой — на формуле Кубо, связывающей корреляционную функцию атомных дипольных моментов с восприимчивостью [7, 8]. В рамках этого самосогласованного макроскопического подхода в работе [7] было получено явное аналитическое выражение для диэлектрической проницаемости как функции концентрации атомов и частоты падающего света. Однако при выводе этого выражения был использован ряд приближений, которые ограничивают его применение для облаков большой концентрации.
Микроскопический подход базируется на представлении о дискретной структуре вещества и решении уравнения Шредингера для объединенной системы, состоящей из атомов и поля, взаимодействующего с ними [9, 10].
Такой подход позволяет рассматривать атомные облака в существенно большем диапазоне концентраций по сравнению с макроскопическим подходом, но его использование связано со значительными вычислительными трудностями.
Оба подхода позволяют вычислять диэлектрическую проницаемость для различных значений концентрации атомов и частоты падающего света.
Настоящая статья посвящена сравнению этих двух подходов и исследованию границ применимости макроскопического подхода. По вычисленным значениям диэлектрической проницаемости в обоих случаях нами рассчитано сечение рассеяния на облаке сферической формы с квазиоднородным (в среднем) распределением атомов по объему облака на основе теории Дебая — Ми. Помимо этого, сечение рассеяния рассчитано также микроскопически последовательным образом без использования теории Дебая — Ми (см. [9]).
Основы макро- и микроскопического подходов
Рассмотрим взаимодействие плотных ультрахолодных атомных ансамблей со слабым когерентным монохроматическим светом.
Как уже упоминалось, макроскопический подход базируется на решении уравнений Максвелла совместно с формулой Кубо для обобщенной восприимчивости. При этом используется приближение непрерывной среды, а также предположение о том, что дипольные моменты всех атомов считаются направленными одинаково (подробнее см. работу [7]). Данный подход позволяет получить следующее выражение для диэлектрической проницаемости е:
е(ш) = (1 - 2MDD.) / (1 + MDQ), (1) где М = 4пп0 /3й; D = УР()Р Р / [3 (2Р0 +1)];
{ш-ш0 +е(ш)у /2} ;
здесь п0 — концентрация атомов; УРоР — приведенный матричный элемент дипольного момента для перехода между основным состоянием Р0 и возбужденным р; ш — частота падающего света; ш0 — резонансная частота перехода между основным и возбужденным со-
стояниями; у — обратное время жизни возбужденного состояния.
Соотношение (1) является кубическим уравнением относительно ^е(ш) , в результате решения которого получается зависимость диэлектрической проницаемости от частоты в явном виде.
Микроскопический подход основывается на представлении о среде как совокупности атомов. Ввиду того, что за время однофотон-ного рассеяния атомы из-за сверхнизкой температуры (« 30 мкК) не успевают существенно изменить свою пространственную конфигурацию, в расчете их можно считать неподвижными. Но за весь период светового импульса, соответствующего реальным экспериментам, атомы успевают хаотическим образом переместиться, причем так, что все пространственные конфигурации становятся равновероятными. Поэтому в микроскопическом подходе производится многократное статистическое усреднение наблюдаемых по пространственным конфигурациям расположения атомов.
Как было сказано выше, падающее на облако излучение является слабым. Это позволяет ограничиться первыми двумя членами в разложении когерентного состояния по фоковским состояниям. Таким образом, когерентное состояние падающего света мы аппроксимируем суперпозицией однофотонного и вакуумного состояний.
Суть микроскопического расчета состоит в решении нестационарного уравнения Шредин-гера для объединенной системы, состоящей из атомов и взаимодействующего с ними поля. Полный гамильтониан указанной системы представляется в виде суммы гамильтонианов свободных (не взаимодействующих между собой) атомов, свободного поля, а также оператора их взаимодействия. Последний записывается в дипольном приближении; его использование уместно благодаря тому, что длина волны Де Бройля для атомов в облаке много меньше как среднего межатомного расстояния, так и длины волны излучения. Другое важное допущение — это ограничение числа квантовомеханических состояний. Для задачи однофотонного рассеяния на облаке, в котором в начальный момент времени все атомы находились в основном состоянии, рассматриваются следующие состояния:
есть один фотон и все атомы в основном состоянии;
есть один атом в возбужденном состоянии и нет фотонов;
есть два атома и один фотон (промежуточное нерезонансное состояние);
нет фотонов и все атомы в основном состоянии (вакуумное состояние).
Указанных состояний достаточно для того, чтобы провести расчет с точностью до второго порядка по постоянной сверхтонкой структуры. Ввиду того, что однофотонных состояний бесконечно много вследствие бесконечного числа мод полевой подсистемы, мы имеем базис, состоящий из бесконечного числа состояний. Тем не менее, можно методом исключения получить систему уравнений для амплитуд состояний с одним возбужденным атомом без фотонов.
В данной работе мы рассмотрим схему атомных уровней, в которой основное состояние характеризуется квантовым числом полного углового момента J = 0, а возбужденное — J =1. Последнее имеет зеемановскую структуру, т. е. рассматривается три подуровня возбужденного состояния, каждый из которых характеризуется своим магнитным квантовым числом т = —1; 0; +1. В такой схеме имеется 3^ состояний с одним возбужденным атомом без фотонов, где N — число атомов (потому что у каждого атома имеется три зеемановских подуровня возбужденного состояния). Через эти состояния находятся все остальные и в конечном итоге волновая функция, что обеспечивает максимально полное описание квантовомеханической системы. Любые интересующие нас наблюдаемые находятся путем квантовомеханического усреднения по волновой функции.
Диэлектрическую проницаемость мы находим с помощью комплексного волнового числа, связанного с ней простым соотношением. Это число, в свою очередь, находится на основе пространственного распределения атомной поляризации, пропорциональной полю в среде. Формально это делается следующим образом: облако мысленно разбивается на участки пространства мезоскопического объема, достаточно малые для того, чтобы атомная поляризация мало менялась в пределах этого объема, но в то же время достаточно большие для того, чтобы в них содержалось большое число атомов.
Затем для каждого мезоскопического объема вычисляется атомная поляризация — сумма ди-польных моментов всех атомов, содержащихся в этом объеме, деленная на сам объем. После этого строится зависимость атомной поляризации от пространственного положения этих мезоскопических объемов. Значения атомной поляризации, как и любых других наблюдаемых величин, естественным образом зависят от координат атомов как от параметров, причем флуктуации от одной пространственной конфигурации атомов к другой сравнимы со средним значением. Учет остаточного теплового движения путем многократного статистического усреднения по пространственным конфигурациям устраняет эти флуктуации. Расчеты показали, что для нормального падения плоской волны на плоскую границу облака амплитуда атомной поляризации спадает в глубь среды по одноэкспоненциальному закону, а ее фаза — линейно нарастает. На основании этих данных находится комплексное волновое число, а значит и диэлектрическая проницаемость.
Результаты и их обсуждение
Диэлектрическая проницаемость. Проанализируем зависимость диэлектрической проницаемости от частоты падающего света ш для различных значений концентрации атомов п.
На рис. 1,а,б приведены результаты расчета дисперсии диэлектрической проницаемости е для разреженного облака. Видно, что для рассмотренной безразмерной концентрации п(А/2п)3 = 0,02 два подхода достаточно хорошо согласуются, хотя небольшие отличия все же заметны. Чем меньше концентрация атомов, тем лучше согласуются два подхода, и для сильно разреженных облаков кривые становятся неразличимыми.
На рис. 1,в,г приведены результаты для значения концентрации 0,05, соответствующего некоторому промежуточному случаю между плотными и разреженными облаками. Качественное согласие имеется, но количественно результаты двух подходов отличаются уже существенно. Концентрация атомов, соответствующая рис. 1,в,г, представляет особый интерес ввиду того, что она по физическим условиям близка к предельной, достигнутой к настоя-
щему моменту в реальных экспериментах по рассеянию света с атомами рубидия [11].
Рис. 1,д,е соответствует плотному облаку. При большой концентрации коллективные эффекты уже существенно модифицируют атомную поляризуемость. Приближения макроскопического подхода при таких концентрациях (когда п (А/2п) «1) становятся неприменимыми, и согласия между подходами уже нет (см. рис. 1,д,е). На кривых 1, соответствующих макроскопическому подходу, видны нефизичные изломы, что говорит о его неприменимости для описания облаков высокой концентрации.
Сечение рассеяния. Проанализируем теперь частотную зависимость сечения рассеяния на сфере с квазиоднородным (в среднем) распределением атомов. Выберем радиус сферы в виде Я = 15(А/2п) . Задача о нахождении сечения рассеяния на однородной сфере с заданной диэлектрической проницаемостью решена в классической электродинамике. Известна аналитическая формула Дебая — Ми, которая дает явную зависимость сечения рассеяния от радиуса сферы и ее диэлектрической проницаемости.
В макроскопическом подходе мы находим сечение рассеяния, используя теорию Дебая — Ми с диэлектрической проницаемостью, вычисленной с помощью формулы (1).
В микроскопическом подходе мы можем воспользоваться этим же приемом. Но, кроме того, этот подход позволяет вычислять сечение рассеяния непосредственно по найденной волновой функции, без привлечения формулы Дебая - Ми.
На рис. 2, а приведена частотная зависимость сечения рассеяния света, вычисленного по формуле Дебая — Ми с диэлектрической проницаемостью, вычисленной на основе макро- и микроскопического подходов. Видно, что для сравнительно небольшой концентрации кривые совпадают с хорошей точностью.
На рис. 2,б аналогичная зависимость приведена для некоторого промежуточного значения концентрации, разделяющего разреженные и плотные облака. Кривые имеют качественное сходство, но количественно уже существенно различаются.
На рис. 2, в приведены те же зависимости, что и на рис. 2,а,б, но уже для плотного облака. На рис. 2,в добавлена также частотная зависи-
Re(s) а)
1,2
1,1 -
1,0
0,9
0,8
0,7
J Д
Л 1
—i ^__—-
i /
Т-1-1-1-1-Г"
-8 -6 -4 -2 0 2 4
Отстройка частоты, o.e.
1пл(е) б)
0,4
-6 -4 -2 0 2 4 6
Отстройка частоты, о.е.
-6 -4 -2 0 2 4
Отстройка частоты, o.e.
Re(s) б) 3
-4 -2 0 2 4
Отстройка частоты, o.e.
-4 -2 0 2 4 6 Отстройка частоты, o.e.
-4 -2 0 2 4
Отстройка частоты, o.e.
Рис. 1. Дисперсия вещественной и мнимой частей диэлектрической проницаемости: макроскопический (1) и микроскопический (2) подходы; значения безразмерной концентрации: 0,02 (а, б); 0,05 (в, г); 0,2 (д, е)
а) 1600
-5 0 5
Отстройка частоты, o.e.
-5 0 5
Отстройка частоты, o.e.
в)
2500
-10 -5 0 5 10 Отстройка частоты, o.e.
Рис. 2. Частотная зависимость сечения рассеяния электромагнитного излучения на квазиоднородном сферическом облаке: по формуле Дебая — Ми (ДМ) с величинами диэлектрической проницаемости, вычисленными на основе макроскопического (1) и микроскопического (2) подходов, а также без использования формулы ДМ основе микроскопического подхода (3); значения безразмерной концентрации: 0,02 (а); 0,05 (б); 0,2 (в)
мость сечения рассеяния, полученная на основе микроскопического подхода непосредственно, без привлечения формулы Дебая — Ми. Кривые, соответствующие последовательному микроскопическому расчету сечения рассеяния и формуле Дебая — Ми с диэлектрической проницаемостью, полученной из микроскопического расчета, очень близки между собой. Их незначительное различие связано с тем, что решение Дебая — Ми предполагает абсолютно однородную диэлектрическую сферу с резкой границей. Микроскопический расчет, в свою очередь, учитывает тот факт, что вблизи границы атомы находятся в физически других условиях, следовательно, диэлектрическая проницаемость не является постоянной по всему объему облака.
Кривая 1 на рис. 2,в, построенная по формуле Дебая — Ми с диэлектрической проницаемостью из макроскопического расчета, заметно отличается от двух других кривых на рис. 2,в, причем имеет нефизичные изломы. Это связано с тем, что (как уже отмечалось выше) приближения макроскопического подхода теряют справедливость при высокой концентрации атомов. Однако такое различие не столь значительно, как в случае диэлектрической проницаемости, из чего можно сделать вывод о меньшей чувствительности сечения рассеяния к выбору подхода по сравнению с диэлектрической проницаемостью.
Итак, в этой статье мы проанализировали частотные зависимости для диэлектрической проницаемости и сечения рассеяния электромагнитного излучения при различных концентрациях атомов в облаке. Анализ проведен с использованием двух разных подходов — макро-и микроскопического. Выявлены границы применимости макроскопического подхода по концентрации атомов: пороговое значение безразмерной концентрации п (А/2п) составляет порядок нескольких сотых долей (10-2). Выше этой концентрации самосогласованным методом уже пользоваться нельзя и становится необходимым микроскопический расчет.
Авторы выражают благодарность Д.В. Куприянову за плодотворные дискуссии.
Работа выполнена при финансовой поддержке Фонда некоммерческих программ «Династия» и РФФИ (грант 12-02-91056-НЦНИ-а).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Bouwmeester, D. The physics of quantum information: Quantum cryptography, quantum teleportation, quantum computation [Text] / D. Bouwmeester, A. Ekert, A. Zeilinger. — Berlin: Springer — Verlag, 2001. — 326 p.
2. Fleishhauer, M. Electromagnetically induced transparency: Optics in coherent media [Text] / M. Fleischhauer, A. Imamoglu, J.P. Marangos // Rev. Mod. Phys. - 2005. - Vol. 77. - P. 633 - 678.
3. Milonni, P.W. Fast light, slow light, and left-handed light [Text] / P.W. Milonni. - New York: Taylor and Francis, 2005. - 264 p.
4. Ospelkaus, S. Efficient state transfer in an ultracold dense gas of heteronuclear molecules [Text] / S. Ospelkaus, A. Peer, K.-K. Ni [et al.] // Nature Phys. - 2008. -Vol. 4. - P. 622 - 626.
5. Stephen, M.J. First-order dispersion forces [Text] / M.J. Stephen // J. Chem. Phys. - 1964. - Vol. 40. -№ 3. - P. 669 - 673.
6. Anderson, P.W. Absence of diffusion in certain random lattices [Text] / P.W. Anderson // Phys. Rev.- 1958. -Vol. 109 - P. 1492 - 1505. ibid Vol. 110. - P. 827 - 835.
7. Sokolov, I.M. Light scattering from a dense and ultracold atomic gas [Text] / I.M. Sokolov, M.D. Kupri-yanova, D.V. Kupriyanov, M.D. Havey // Phys. Rev. A. — 2009. - Vol. 79. - № 053405. - Р. 1- 10.
8. Glauber, R.J. Quantum optics of dielectric media [Text] / R.J. Glauber, M. Lewenstein // Phys. Rev. A. -1991.- Vol. 43.- Р. 467- 491.
9. Соколов, И.М. Микроскопическая теория рассеяния слабого электромагнитного излучения плотным ансамблем ультрахолодных атомов [Текст] / И.М. Соколов, Д.В. Куприянов, M.D. Havey // ЖЭТФ. - 2011. - Т. 139 - Вып. 2. - С. 288 - 304.
10. Fofanov, Ya.A. Dispersion of the dielectric permittivity of dense and cold atomic gases [Text] / Ya.A. Fofanov, A.S. Kuraptsev, I.M. Sokolov, M.D. Havey // Phys. Rev. A. - 2011. - Vol. 84. -№ 053811. - Р. 1 - 10.
11. Balik, S. Near-resonance light scattering from a high-density, ultracold atomic 87Rb gas [Электронный ресурс] / S. Balik, A.L. Win, M.D. Havey [et al.] // arXiv:0909.1133.
УДК 535.333; 544.174.2
М.А. Ходорковский, С.В. Мурашов, А.А. Беляева, П.Ю. Сердобинцев, Л.П. Ракчеева
ВОЗБУЖДЕННЫЕ СОСТОЯНИЯ МОЛЕКУЛ АРГОН-КСЕНОН В ОБЛАСТИ ДАЛЕКОГО ВАКУУМНОГО УЛЬТРАФИОЛЕТА, ИССЛЕДОВАННЫЕ МЕТОДОМ (3 + 1) REMPI
Димерные молекулы благородных газов участвуют во многих процессах, происходящих в атмосфере, в различных источниках излучения, а также в лазерных средах [1]. Для прогнозирования этих процессов необходимы знания о межатомных потенциалах в молекулах благородных газов. Имеющиеся в литературе сведения о характере потенциальных кривых возбужденных состояний гомо- и гетероядер-ных молекул инертных газов, необходимые для разработки таких источников света, недостаточны, а теоретические расчеты подобных мно-
гоэлектронных систем очень трудоемки. Только сочетание теоретических и экспериментальных спектроскопических данных обеспечивает достоверность информации об электронной структуре молекул.
Данная работа является продолжением цикла наших работ по исследованию возбужденных электронных состояний двухатомных молекул благородных газов (Rg Rg') методом многофотонной резонансной лазерной ионизации; в частности, электронным состояниям молекул АгХе посвящены наши работы [2—5].
