CC BY
6Радиотехнические средства передачи, приема
и обработки сигналов
УДК 621.3.001
А. Г. Дерипаска, М. В. Соклакова, Э. П. Чернышев Санкт-Петербургский государственный электротехнический
университет "ЛЭТИ"
Сравнение данных аналитических методов оценки устойчивости автоколебаний в релейных цепях и в системах второго порядка
Дается сравнительная оценка результатов аналитического расчета автоколебаний и анализа устойчивости методами, разработанными для симметричных автоколебаний с повторениями через полпериода и несимметричных с повторениями через период.
Релейная система, автоколебания, переходная характеристика, устойчивость, передаточная функция, дискретные цепи
В [1] предложен метод точного аналитического расчета автоколебаний (АК) в релейных цепях и системах (РЦС). В [2] изложены основы также аналитического метода оценки устойчивости симметричных АК в РЦС, который назван методом Мт, поскольку переменные РЦС (сигналы на входе релейного элемента (РЭ))
х (t ) = - х (t ± т) (1)
и на его выходе
У (t) = -y (t ± T)) (2)
симметрично повторяются через половину периода АК х = Т/ 2, где Т - период АК; t - время.
Для общего случая несимметричных АК, в которых (1), (2) несправедливы, методика Мт была модернизирована [3] и названа методом МТ, поскольку АК приходится оценивать через период Т.
Сравнительная оценка результатов расчета обоими методами для одинаковых условий (1) рассмотрена в настоящей статье.
Исходные данные. В качестве примера рассмотрим одноконтурную РЦС, в которой РЭ, описываемый как
y (t) = a sign [х(t) + b sign y (t)], (3)
охвачен линейной частью (ЛЧ) с передаточной функцией (ПФ) второго порядка
Н (5) = X (5)/ ¥ (^) = -к/ [(5 +1)( + р), (4)
где а, Ь - нормированные высота и ширина петли гистерезиса РЭ; 5 - оператор преобразования Лапласа; X(5х(I), ¥(5у() - изображения по Лапласу сигналов на входе и на выходе РЭ (^ - символ соответствия); к - статический коэффициент.
Для определенности в дальнейших численных расчетах принято:
а = Ь = 1, к = 4, 51 =-1, =-р = -2, (5)
где 51, 52 - полюсы ПФ.
АК считаем устойчивыми по Ляпунову [4], если выполняется условие
х^ (0)< е^х^ (()< а(е), t ^да, (6)
которое трактуется следующим образом: если начальное значение вариации переменной х^ 0) =
= X (t)- х 0) меньше бесконечно малой е, то ко -нечное значение вариации не превысит бесконечно малой а, зависящей от е (хх ^) - возмущенная координата системы, вызванная каким-либо возмущающим воздействием [4]).
Аналитический расчет АК в РЦС. Для модели РЦС, описанной формулами (1)-(4), используем методику расчета, изложенную в [1]. Предположим, что при t < 0 сигнал у ^) отсутствовал. Тогда установившиеся симметричные АК в виде
© Дерипаска А. Г., Соклакова М. В., Чернышев Э. П., 2015
3
знакочередующихся прямоугольных импульсов на выходе РЭ на основании [5] имеют вид
у О ) = у (? )-- у (? - т) + у (? - 2т)- у (? - 3т) +... ■
■7 (5) = (5 )/(1 + ) =
= (1 - е-"))(1 + е-)], (7)
где 71 (5) - преобразование Лапласа прямоугольного импульса >1 (?) на выходе РЭ в интервале условного первого полупериода АК 0 < t < т = Т/2.
При этом изображение условно полного сигнала на выходе ЛЧ при t > 0 (хп ^) = 0 при t < 0):
Хп (5) = Н(5)7(5) =
Н (5) 1 - е~
5 1 + е"
= Хсв ( 5 ) + Хккш ( 5 ) = I + -Ч- I +
Л1 Л2 ^ Х1 (5)
5 +1 5 + в ) 1 + е"
= £_А_ + Х ^
5 - 5 1 + е
(8)
где Хсв (5), Хвын (5) - условные свободная и вынужденная составляющие решения; Л; - коэффициенты разложения Хсв (5) на простейшие дроби по полюсам ПФ 5; Х^ (5 ) = X (5) - искомое описание вынужденной составляющей периодических АК в интервале 0 < t < т.
Коэффициенты разложения определяются следующим образом:
А =(-5 )ХП ( 5 )| ^= (-)Н1 ( 5 )
1 - е"5'т 1 + е-'т
, (9)
где используемая согласно [5] в (8), (9) переходная характеристика (ПХ)
Н1 (5 ) = Н (5 )/5 =
-к
В ¿>1 В2 - —+ —— + —— -
5 (5 + 1)( + в) 5 5 + 1 5 + в
щ « = ( + X (t) (10)
- отображение переходной характеристики И (t) [5].
Коэффициенты разложения Н1(5) на простейшие дроби определяются формулами
В; =(-)Н1 (5) 5 = 5 , (11)
где
¿0 =-к/р; В = к/(в -1); ¿2 =-к/[в (в-1)]. (12)
Из (8) с учетом (10) найдем искомое описание установившихся (вынужденных) АК х 0) = Х1(t) при 0 < t < т:
Х1 (5 ) =
Хп «-Д - Л
= Н1 ( 5 )-
5 + 1 5 + в Л1 Л2
(1 + е"5т ) =
5 + 1 5 + в
■Х1 (t) = Х (t) = ¿0 + - А у',
откуда с учетом (9) и (11) получим
В; - Л; = В;
1 -
1 - е~5т^ 1 + е"5'т
2 В;
1 + е5'т
(13)
(14)
Для описания полупериода АК необходимо учесть в (13) начальное переключение при t = 0 к уровню у = +1 в (7), т. е. необходимо с учетом (13), (14) решить уравнение
2В2
х (0) = 1 = В0 +
1 + е51т
1 + е52т
в котором коэффициенты определены согласно (12). В рассматриваемом примере (5) получим
В2 =-к/ [в (в -1)] и
- +1 =
к в (в - 1)(1+е"т) в (в - 1)(1+е"вт)
Полученное нелинейное функциональное уравнение при к = 4, р = 2 дает решение: т = 1.837 \
Обоснование возможности перехода к анализу дискретных цепей при оценке устойчивости АК в РЦС. При анализе устойчивости нелинейных цепей (а РЦС является ярко выраженным примером нелинейной цепи) согласно [4] обычно переходят к оценке поведения вариаций переменных цепи при мгновенном воздействии на цепь некоторого возмущающего воздействия типа дельта-функции 5 ^).
Предположим, что при t = 0 под действием исчезающе малого возмущения [4] вида е5 ^), площадь которого е считаем бесконечно малой, произошло преждевременное срабатывание РЭ на бесконечно малое время Д'. Разность между "возмущенным" сигналом у ^), полученным под воздействием возмущения, и исходным сигналом у и) является вариацией [4] последнего:
Это же значение получено авторами настоящей статьи в монографии [6] несколько иным способом.
2
2
у. ^) = у(t)- у(t). (15)
Вариация (15) согласно (3) при симметричных АК (1) фактически является периодической последовательностью знакопеременных коротких прямоугольных импульсов в моменты / = ит. Эти импульсы бесконечно малой площади приближенно можно описать дельта-функциями [5]
у. о) = 2Ди5^ - их), (16)
где коэффициент 2 определяется переключением РЭ от уровня "-1" к уровню "+1", а бесконечно малое время сдвига Дtи момента и-го переключения можно приближенно найти по формуле
Ди =[е5^) + х. (t)]/х0. (17)
Здесь ххо = х(0) - скорость изменения сигнала на
входе РЭ при t = 0-.
Таким образом, вариации переменных РЦС через каждый полупериод т на основании (15)-(17) и (4) в моменты t = ит приближенно описываются уравнениями вида
|у. а) = 2х-1 [е5(t) + х. (t)]; (18) |X. (5) = Н (5)¥. (5).
Отметим следующее:
- из знакопеременности вариации х. (ит) в
моменты переключения РЭ через каждую половину периода (при t = ит) вытекает знакопере-менность импульсов (16);
- система (18) фактически описывает динамику РЦС в дискретные моменты времени t = ит, что позволяет осуществить переход от (18) к уравнениям дискретных цепей (ДЦ) и дискретным последовательностям сигналов [5]:
у. (ит) = 2х-1 [е5о (ит) + х. (ит)],
а затем использовать ¿-преобразование [5] уравнений ДЦ:
(^ = 2х0-1 [е + ; (19)
[ X. ( 7 ) = Нд ( 7 ¥ ( 7 ),
где 5- (ит Р(7 )= 1 - дискретная дельта-функция и ее ¿-преобразование соответственно; Нд(7) - передаточная функция ДЦ, соответствующая ЛЧ РЦС.
Из (19) найдем ПФ замкнутой ДЦ:
Н
. . X. (7) , Н д (7)
(7 )=-£-= 2 х-1-^-. (20)
е 1 - 2 х-Нд (7)
Для исследования устойчивости ДЦ найдем корни ее характеристического полинома (ХП) [5] -знаменателя ПФ (20):
Р (7) = х0 - 2Нд (7) = 0. (21)
Если корни 71 ХП (21)
Ы < 1, (22)
то ДЦ устойчива, а следовательно, устойчивы и АК в РЦС, поскольку при выполнении (22) решение для вариаций согласно (20) будет
х.
(ит ) = Х е,
(23)
где - коэффициенты разложения (20) на простейшие дроби [5] по полюсам 7^. Очевидно, что (23) при выполнении (22) полностью соответствует условию устойчивости по Ляпунову (6).
При анализе устойчивости РЦС через период АК (в методе МТ) вид формул (15)-(23) сохраняется полностью при замене полупериода т на период Т.
Примечание. Используемое в формулах начальное значение скорости х0 = хх(0) определяется на основании (13), (14):
х(0) = Х 5, (( - Б, ) = £ 2Бг5г/(1 + е5'т). (24)
Анализ устойчивости по методу Мт. Наиболее просто ПФ ДЦ Нд (7) определяется в методе Мт приравниванием импульсных характеристик (ИХ) к (t) исходной аналоговой цепи и ДЦ в моменты t = их:
кд (их) = к (t), t = их.
(25)
На основании (10) имеем по формуле связи ИХ и ПХ [5]:
к ^ ) = ку^ ) = Ц В151е5'1, (26)
что при t = их на основании (25) и [5] дает:
Н д (7 ) = £ Б( 7 - е5'т). (27) Подставив (24) и (27) в ХП (21), получим
Р(7) = £! 2Бл
1 , 5' т
1 + е '
2Б'5'7 | = 0.
5' т 7 - е '
(28)
Уравнение (28) можно преобразовать к виду
IВ
5'' т 5' т
-е ' - 7е '
(1 + е5'х ) (7 - е5'т )
=1Б''5' (Т+^^т'г^=0. <29)
Из (29) следует, что первый корень ХП
71 =-1, (30)
что в соответствии с (23) отвечает "физике" периодического повторения вариаций АК.
Второй корень ХП отыскивается на основании (29) из уравнения
= 0.
'(1 + е~*т )( - е5'т) Для рассматриваемого примера (5) В0 = -к/ в, В1 = к/ (в -1), В2 = -к/ [в (в -1)]. Сократив к, из (31) получим: -1
(31)
(в -1)(1 + ет - е"т )
__в_
в (в -1)(1 + евт - е"вт)
= 0.
(32)
На основании (32) после преобразований находим второй корень ХП в методе Мт:
-вт
72 = -е е
2Мт
72 < 1.
2М т
В рассматриваемом примере (33) дает = -е_1-837е_3'674 =-0.0040 2.
(33)
(34)
Главный вывод из (33), (34) состоит в том, что при любых вариантах ПФ (4) АК устойчивы, поскольку |^2М | < 1.
Примечание. Из (32) также следует, что при использовании интегратора в цепи обратной связи РЦС (если в (4) в ^ 0) устойчивость АК сохраняется при любых значениях к и т.
Анализ устойчивости по методу МТ. Как указано в [3], при анализе устойчивости АК через период импульсная характеристика ДЦ в отличие от (25) формируется из четырех слагаемых:
- поскольку за время периода 0 < t < Т происходит 2 переключения РЭ в различных направлениях со сдвигом на т, то необходимо учитывать две ИХ: И (пТ) и И (пТ - т);
- кроме того в [3] показано, что необходимо вычесть начальные значения указанных составляющих (поскольку, как обосновано ранее, реальная вариация у^ - не дельта-функции, а прямоугольные импульсы, начальное значение реакции от которых в случае ПФ (4) равно нулю).
Это же значение получено авторами настоящей статьи в монографии [6] несколько иным способом.
Таким образом, в отличие от (25) формула для формирования ИХ ДЦ имеет вид
Ид (пТ) = И (пТ) - И (пТ - т) - И (0) + И (-т).
С учетом (25)-(27) отсюда получим:
Ид (пТ) = XВ^ 1е5'пТ - е5(пТ-т) --1 • 50 (пТ) + е~5 т50 (пТ)].
Третье слагаемое в этом выражении может быть опущено, поскольку для ПФ типа (4) X = 0.
Таким образом, ПФ ДЦ по методу МТ согласно [5]:
Н д(7 ) = Х В^
7е
V г - е5'Т
7 - е?Т
+ е
. (35)
Использовав (24) и (35), запишем ХП (21): 1 7 (1 - е"5т )
Р = Х 2В/5
1 , 5,-т 1 + е '
5Т
7 - е '
--е
= х 2В^{ (-7 + 1)е5'т = 0 = Х(1 + е"т)(-е5'ТУ ' Один из корней ХП
71 = 1.
(36)
(37)
Полученное значение отвечает процессу повторения АК через период Т.
Второй корень ХП на основании (35) определяется из решения уравнения
В5
= 0.
'(1 + е-5'т )( - е'Т) Для рассматриваемого примера (5) В0 = -к/в, В = к/ (в -1), в2 = -к/ [в (в -1)]
и (38) после сокращения к имеет вид
(38)
-1
(в -1)(1 + ех- е-)
_в_
в (в -1)(1 + евт )(7 - е"вТ)
= 0. (39)
Полученное выражение по форме аналогично выражению (32) в методе Мт.
Преобразовав (39), найдем второй корень по методу МТ:
72МТ
что в итоге дает
(е"вТ + е"вт)-(е- + е" т )
вт т
ер - е
72 = е "те"вт (е"т + е"вт +1). (40)
2МТ 4 '
При подстановке в (40) численных значений примера (Р = 2, х = 1.837) получим:
72 =-0.0040 (-е-1837 + е"3-674 +1) =
= - 0.0047. (41)
Таким образом, значения вторых корней по методам Мт (34) и МТ (41) отличаются незначительно.
Главный результат представленной работы заключается в том, что получены простые аналитические формулы (13), (33), (40) для расчета АК и анализа их устойчивости в РЦС второго порядка.
Формулы (30) и (37) полностью соответствуют реализуемым на практике процессам повторяемости автоколебаний.
В то же время формулы (33) и (40) свидетельствуют о том, что метод анализа устойчивости Мт
через половину периода АК обладает несколько большей сходимостью, чем метод анализа устойчивости МТ через период Т = 2х. Это объясняется меньшей инерционностью Мт, по которому коррекция результата происходит в 2 раза, чем в методе МТ. В то же время метод МТ позволяет анализировать устойчивость несимметричных АК, что не доступно методу Мт.
Кроме изложенных результатов следует учесть, что формулы (33) и (40) при в ^ 0 позволяют перейти к важным для практики характеристикам РЦС с интегратором в цепи обратной связи системы. Это особенно важно для метода МТ, где прямое исследование указанного варианта пока не дает результата.
Полученные формулы (13), (29), (36) позволяют провести сравнение методов, расчет и оценку устойчивости АК в РЦС любого порядка в случае некратных полюсов ПФ линейной части.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Чернышев Э. П., Мясоедов Г. Б., Ружников В. А. Метод точного расчета автоколебаний в электрических цепях, содержащих нелинейные элементы с релейной гистерезисной характеристикой // Изв. вузов. Электромеханика. 1987. № 11. С.125-127.
2. Ружников В. А., Силина М. В., Чернышев Э. П. Особенности проектирования устойчивых моделей автоколебательных радиоэлектронных и электротехнических систем // 5-й Междунар. симп. по электромагнитной совместимости и электромагнитной экологии, СПб., 16-19 сент. 2003. СПб.: Изд-во СПбГЭТУ "ЛЭТИ", 2003. С. 250-253.
3. Силина А. Г., Соклакова М. В.,Чернышев Э. П. К разработке аналитических методов оценки устой-
чивости функционирования релейных автоколебательных электрорадиоэлектронных систем // 9-й Меж-дунар. симп. по электромагнитной совместимости и электромагнитной экологии, СПб., 13-16 сент. 2011. СПб.: Изд-во СПбГЭТУ "ЛЭТИ", 2011. С. 329-332.
4. Цыпкин Я. З. Релейные автоматические системы. М.: Наука, 1974. 576 с.
5. Бычков Ю. А., Золотницкий В. М., Чернышев Э. П. Основы теории электрических цепей. СПб.: Лань, 2002. 464 с.
6. Морозов Д. А., Соклакова М. В., Чернышев Э. П. Аналитический расчет релейных цепей и систем. СПб.: Изд-во СПбГЭТУ "ЛЭТИ", 2012. 128 с.
A. G. Deripaska, M. V. Soklakova, E. P. Chernishev Saint Petersburg state electrotechnical university "LETI"
A comparison of analytical methods to assess the stability of self-oscillations in relay circuits and systems
A comparative evaluation of the results of analytical calculation of the self-oscillations and stability analysis techniques is provided developed for symmetric self-oscillations with repetitions through halfperiod and asymmetric with repetitions through the period.
Relay system, self-oscillations, the transitive characteristic, stability, transfer function, discrete circuits Статья поступила в редакцию 11 июня 2015 г.
