CC BY
7www.mai.ru/science/trudy/
Труды МАИ. Выпуск № 91
УДК 533.9, 539.17-539.19, 539.92,
Справочные данные сечений фотоионизации ксенона
Скороход Е.П.
Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет), Волоколамское шоссе, 4, Москва, A-80, ГСП-3, 125993, Россия
e-mail: e.p. skorohod@mail. ru
Аннотация
Физико-химическая радиационная плазмодинамика стремительно развивающая область науки, находящая применение при решении задач двигателестроения ракетно-космической отрасли. При проведении математического моделирования процессов в установках и устройствах, где "рабочим телом" является плазма, необходимы справочные данные констант различных плазмохимических реакций. В кулоновском приближении рассчитаны фотоионизации возбужденных состояний атома Хе сечения.
Ключевые слова: плазма ксенона, сечения фотоионизации Хе, метод квантового дефекта.
Введение
В [1-9,14-16] большое внимание уделяется построению оптических моделей газов и плазмы, предназначенных для решения задач радиационной плазмодинамики. Такие построения основываются на квантово-механических расчётах (в тех или иных приближениях) и квазиклассических
обобщениях элементарных радиационных процессов. В этом кроется некоторое противоречие. С одной стороны расчётные модели должны быть универсальными и достаточно теоретически обоснованными, чтобы можно было создавать алгоритмы любой сложности для произвольных компонентов и их смесей. С другой стороны, должна присутствовать спектральная адекватность, соответствующая достоверности теоретических построений при изучении оптических свойств.
Классификация оптических моделей подробно рассмотрена в [2]. В работе [3] для массовых расчётов была сформулирована так называемая оптическая модель среды. Следует подчеркнуть, что в этой трактовке температура среды и излучения предполагается общей, и тем самым заведомо используется локальное термодинамическое равновесие (ЛТР) Саха-Больцмана [6]. В наших работах [7,8,14-16] была предпринята попытка по возможности максимально учесть в расчётах коэффициента поглощения все механизмы, влияющие на его величину.
1. Плазмохимические реакции с участием фотонов
Фотоионизация атома из возбуждённого I - го состояния X (I - го уровня) в континуум представляется как
X + Ну^ Х+ + е. (1)
Здесь Ну-энергия фотона, X+-концентрация ионов. Формально скорость процесса следовало бы записать с учётом концентрации фотонов N
Ну
^ = -Ю,М,МНу. (2)
а г
Согласно [10] для скорости фотоионизации используется запись
тг (3)
а г
Вероятность фотоионизации в единицу времени (частота) Д = аг сЫЬу зависит от сечения фотоионизации аг (у) , скорости света и концентрации фотонов . С учётом того, что энергия всех фотонов
Ну Ыу= ^Зу (4)
с
вероятность в единицу времени (частота) будет
д=(У). (5)
-1 Ну
у
В ряде случаев, чтобы избежать вычисления плотности излучения 4я
у , фотоионизацию представляют в виде отрицательной спонтанной
и. =-З
с
рекомбинации, скорость которой будет равна
^ = -^МеМ+ (1 -в,). (6)
аг
Величина 1 -в= л в (6) является множителем, учитывающим поглощение фотонов атомами на уровне , (параметр в- показатель пленения излучения, параметр Бибермана -Холстейна) [4,14]. Когда л = 1, (в = 0), фотоионизацией
можно пренебречь; при л = 0 (в = 1) плазма становится оптически плотной (излучательная рекомбинация сбалансирована фотоионизацией).
2. Дифференциальное сечение фотоионизации
Начнём рассмотрение с водородоподобного атома. Воспользуемся общей формулой теории возмущений для вероятности перехода Ж электрона из состояния дискретного спектра / (в результате поглощения фотона) в состояние непрерывного спектра [ /, / + ^ ].
ш=х к/ж - е к,
(7)
где
К
Л/
- дипольный матричный элемент рассматриваемого перехода.
Дифференциальное сечение фотоионизации пропорционально этой вероятности, и для кванта энергии с переходом из дискретного (щ, £1) -в состояние (/, £2) непрерывного спектра определяется формулой
, к ^ / (М = а
Г „2\
V У
м
V 2ЯУ у 12
£ КоОо •< 2\г\Яп, I, >
(8)
Здесь п, - главное квантовое число начального состояния; £ 1, £ 2 -орбитальные квантовые числа в начальном и конечном состояниях
те
соответственно; а - радиус Бора; Яу =-= 13,6 эВ - потенциал ионизации
2Й2
атома водорода; С^ - коэффициент Клебша-Гордана; < ЯА \ г \ Яй;> -радиальный матричный элемент перехода (в атомных единицах); Я г (г) -радиальная функция начального состояния атома водорода, выражаемая
через гипергеометрическую функцию, а безразмерный параметр есть
2
2
3
к = + . (9)
УДу щ
Расчёты сечений фотоионизации атома водорода рассмотрены в малоизвестной работе [11]. Отдельные значения сечений фотопоглощения атома водорода для энергий фотона Ню, выраженных в электронвольтах, приведены в табл.1. Сечения даны в атомных единицах жа02 (& = 0,88 • 10"16стае); п, £ - главное квантовое число и орбитальный момент
соответственно. Энергия освободившегося электрона указывается в таблице в безразмерных единицах к, согласно (9).
Таблица 1
Сечения фотоионизации атома водорода в единицах ж а02.
Ню,эВ; ^а.е. , ^а.е. , ^а.е. , ^а.е. , ^а.е. , ^а.е. , ^а.е. ,
к п £ = 0 £ = 1 £ = 2 £ = 3 £ = 4 £ = 5 £ = 6
Ню = 13.6
к=0 1 0.72(-1) - - - - - -
к=0.2 0.64(-1) - - - - - -
к=0.4 0.48(-1) - - - - - -
к=0.6 0.31(-1) - - - - - -
к=0.8 0.19(-1) - - - - - -
к=1 0.11(-1) - - - - - -
Ню = 3.396
к=0 2 0.17(+0) 0.15(+0) - - - - -
к=0.2 0.12(+0) 0.97(-1) - - - - -
к=0.4 0.57(-1) 0.33(-1) - - - - -
к=0.6 0.23(-1) 0.88(-2) - - - - -
к=0.8 0.91(-2) 0.24(-2) - - - - -
к=1 0.38(-2) 0.73(-3) - - - - -
= 1.507
к=0 3 0.29(+0) 0.30(+0) 0.21+0) - - - -
к=0.2 0.15(+0) 0.14(+0) 0.70(-1) - - - -
к=0.4 0.43(-1) 0.28(-1) 0.80(-2) - - - -
к=0.6 0.12(-1) 0.55(-2) 0.90(-3) - - - -
¿=0.8 0.40(-2) 0.13(-2) 0.13(-3) - - - -
¿=1 0.15(-2) 0.34(-3) 0.23(-4) - - - -
Пю = 0.846
4 0.42(+0) 0.45(+0) 0.41+0) 0.22(+0) - - -
¿=0 0.15(+0) 0.14(+0) 0.95(-1) 0.31(-1) - - -
¿=0.2 0.29(-1) 0.19(-1) 0.74(-2) 0.11(-2) - - -
¿=0.4 0.66(-2) 0.31(-2) 0.68(-3) 0.54(-4) - - -
¿=0.6 0.20(-2) 0.65(-3) 0.89(-4) 0.42(-5) - - -
¿=0.8 0.70(-3) 0.17(-3) 0.15(-4) 0.48(-6) - - -
¿=1
Й® = 0.54
¿=0 5 0.58(+0) 0.61(+0) 0.61(+0) 0.47(+0) 0.20(+0) - -
¿=0.2 0.14(+0) 0.13(+0) 0.95(-1) 0.45(-1) 0.96(-2) - -
¿=0.4 0.19(-1) 0.13(-1) 0.54(-2) 0.12(-2) 0.10(-3) - -
¿=0.6 0.38(-2) 0.19(-2) 0.45(-3) 0.52(-4) 0.22(-5) - -
¿=0.8 0.11(-2) 0.37(-3) 0.56(-4) 0.39(-5) 0.98(-7) - -
¿=1 0.38(-3) 0.91(-4) 0.94(-5) 0.43(-6) 0.71(-8) - -
Й® = 0.374
¿=0 6 0.75(+0) 0.79(+0) 0.82(+0) 0.72(+0) 0.47(+0) 0.17(+0) -
¿=0.2 0.11(+0) 0.11(+0) 0.84(-1) 0.46(-1) 0.15(-1) 0.22(-2) -
¿=0.4 0.12(-1) 0.78(-2) 0.39(-2) 0.99(-3) 0.13(-3) 0.69(-5) -
¿=0.6 0.24(-2) 0.12(-2) 0.30(-3) 0.40(-4) 0.27(-5) 0.68(-7) -
¿=0.8 0.65(-3) 0.22(-3) 0.36(-4) 0.29(-5) 0.11(-6) 0.17(-8) -
¿=1 0.22(-3) 0.55(-4) 0.60(-5) 0.32(-6) 0.82(-8) 0.79(-10) -
Й® = 0.274
¿=0 7 0.94(+0) 0.99(+0) 0.10(+1) 0.98(+0) 0.77(+0) 0.43(+0) 0.13(+0)
¿=0.2 0.94(-1) 0.89(-1) 0.71(-1) 0.42(-1) 0.17(-1) 0.39(-2) 0.40(-3)
¿=0.4 0.36(-2) 0.61(-2) 0.28(-2) 0.77(-3) 0.12(-3) 0.10(-4) 0.35(-6)
¿=0.6 0.16(-2) 0.77(-3) 0.20(-3) 0.30(-4) 0.24(-5) 0.98(-7) 0.16(-8)
¿=0.8 0.42(-3) 0.15(-3) 0.24(-4) 0.21(-5) 0.10(-6) 0.24(-8) 0.22(-10)
¿=1 0.14(-3) 0.35(-4) 0.40(-5) 0.23(-6) 0.72(-8) 0.11(-9) 0.67(-12)
3. Сечение фотоионизации для неводородоподбных атомов
Обычно для приближенных расчётов сечений фотоионизации
используют полуклассическую формулу Крамерса [12]
64а ж а22 1
3л/3
22 П5
3
V Й® у
где п - главное квантовое число, г - заряд атомного остатка (для атома 2 = 1), На -энергия поглощающего фотона, а- постоянная тонкой структуры. Для неводородоподбных атомов главное квантовое число в формуле (10) П заменяют на эффективное квантовое число п *
п
Яу (Ц)
I - Е
г
где Яу = 13,6 эВ, I - потенциал ионизации атома. Для атома Хе значения
эффективного квантового числа п* согласно (11) приведены в табл.2.
Таблица 2.
Энергии и эффективные главные квантовые числа Хе,
1/ 2/ 2р6 3s2 3/ М1 4s2 4р6 4^10 5/ 5р6 % , 1.Р. 12.127 еУ (13.433 еУ)
№ п1[К]1 я Е п*
1 5р % 1 0.000 1.059
2 б8[3/2]2 5 8.315 1.889
3 б8[3/2]1 3 8.436 1.919
4 6р[1/2]1 3 9.579 2.310
5 6р[5/2]2 5 9.685 2.359
6 6р[5/2]3 7 9.720 2.376
7 6р[3/2]1 3 9.789 2.411
8 6р[3/2]2 5 9.820 2.427
9 5а[1/2]о 1 9.890 2.465
10 5ё[1/2]1 3 9.917 2.480
11 6р[1/2]о 1 9.933 2.489
12 5а[7/2]4 9 9.943 2.494
13 5а[3/2]2 5 9.959 2.497
14 5а[7/2]3 7 10.039 2.551
15 5а[5/2]2 5 10.157 2.626
16 5а[5/2]3 7 10.220 2.669
17 5ё[3/2]1 3 10.401 2.805
18 78[3/2]2 5 10.562 2.946
19 78[3/2]1 3 10.593 2.976
20 7р[1/2] 1 3 10.901 3.328
21 7р[5/2]2 5 10.954 3.402
22 7р[5/2]3 7 10.969 3.423
23 6а[1/2]о 1 10.971 3.427
24 6ё[1/2]1 3 10.978 3.438
25 7р[3/2]2 5 10.996 3.464
26 6а[3/2]2 5 10.998 3.468
27 7р[3/2]1 3 11.003 3.475
28 7р[1/2]0 1 11.015 3.493
29 6а[7/2]4 9 11.024 3.507
30 6а[7/2]3 7 11.037 3.529
31 6а[5/2]2 5 11.064 3.574
32 6а[5/2]3 7 11.101 3.636
33 6ё[3/2]1 3 11.163 3.750
В приближении у l -связи состояния (уровни) атомов инертных газов X[п р5 (2р ) п1 [К] ] характеризуются квантовыми числами п, I, /, К и 3. Здесь
п - главное квантовое число; I - орбитальный момент оптического электрона;
/ - полный момент атомного остатка, записанный в приближении Ь8 - связи
—» —» —»
как у = £ + £ (квантовые числа полного углового момента принимают значения / = 3/2, Квантовое число К= |/-/|, ..., /+/-1, /+1 соответствует угловому моменту К = у +1. Полный момент атома равен 3 = К + s , где £ = 1/2 - спин оптического электрона. В табл. 2 указаны спектроскопический символ состояния, статистический вес g = 23 +1, энергия возбуждения Е, в эВ, эффективное квантовое число согласно [13,14].
Для неводородоподбных атомов радиальный интеграл, входящий в выражение для эффективного сечения фотоионизации, нельзя вычислить точно. Для расчётов матричных элементов в (7) используется метод квантового дефекта [6]. Сечения фотопоглощения при переходе электрона с некоторого г - го уровня атома или иона в континуум определяется формулой
ст (п£ ^ е£') = (жа02)
4а
Й® |[ п
¥ 1V
л4
• ^ g2 {п£ /),
(12)
где $> / - приведённый матричный элемент, определяемый угловыми
моментами начального и конечного состояний, а функция g(п£ ^ е£/)
связана с радиальным интегралом соотношением
| Яп1 (г) гве£,(г) г2 ^ = g(п£ /)
г *\2 —£
V 2 у
(13)
Здесь Яп£ и в с - волновые функции связанного и свободного состояний. Индексы £, £' - условные, состояние может зависеть от всей совокупности квантовых чисел.
В приближении квантового дефекта, по методу Берджесса-Ситона
имеем
(—1)£+1 g(п£ ^е£') = ( 1)
в ОС
& '(1 + е(— )2)
собж
!'М+ХлД- )
* / * \2 * \ . £- ^ е(- )
+ а ОС
л >■ 1 + еп
-+А«'
1 + е(п)
; (14)
где
Х Л п
п) =
п + "
Ь
и £ £'
+
■и:
п
(-)2 •
(15)
В этой формуле Ме(8)-квантовый дефект в континууме, который можно
определить экстраполяцией значений ^ = — — —' для известных уровней в область положительных энергий. Неплохим приближением для интересующей нас области энергий е является линейная комбинация (ритцевская зависимость)
]и(е) = а + Ье.
(16)
3
о
*
В случае Хе значения коэффициентов а и Ь приведены в табл.3.
Таблица 3
Значения коэффициентов а и Ь квантового дефекта атома ксенона для
Уровень I а Ь
м[3/2] 1 3.99269 - 0.32037
пв[3/2] 2 4.01932 - 0.32709
пр[1/2] 0 3.42715 - 0.5828
пр[1/2] 1 3.5881 - 59325
пр[3/2] 1 3.51339 - 0.39146
пр[3/2] 2 3.49978 - 0.42556
пр[5/2] 2 3.55627 - 0.47022
пр[5/2] 3 3.53747 - 0.48174
пё[1/2] 0 2.53691 - 0.11477
пё[1/2] 1 2.5006 - 0.33778
пё[3/2] 1 2.17537 - 0.55356
пё[3/2] 2 2.43896 - 432333
пё[5/2] 2 2.40827 + 0.16734
пё[5/2] 3 2.38882 +33212
пё[7/2] 3 2.439 - 0.07345
пё[7/2] 4 2.47963 - 0.16225
Поправочный множитель д в формуле (14) можно представить в виде
п* - £ п* + 2£ = * ■ * п (17)
п п + 1
Функции О££,(п* ) и у = у££'(п*), а также коэффициенты а££;Ъ££ ;с££;а££ ;Р££!
взяты из таблиц [6]. Квантовый дефект рассматривался как линейная комбинация от безразмерной величины энергии ионизации уровня. В области положительных энергий эта величина соответствует энергии вылетающего
На 1
электрона * = ^ . (18)
4. Сечение фотоионизации Хе
Результаты расчёта сечений фотоионизации согласно (12) для ксенона (максимального значения в пороге) приведены в табл. 4.
Таблица 4
18 2
Максимальные значения сечений фотоионизации Хе, в единиц. 10" см .
.Переход I, Эв о(£=0) Переход I, Эв о(£=0)
б8[3/2]1^вр 3,69 1,8 78[3/2]!^ер 1,534 3,946
б8[3/2]2^вр 3,812 2,4 78[3/2]2^ер 1,565 6,944
6^[1/2]о^ер' 3,986 о,81 7s'[1/2]о^еp' 1,565 1,334
6в'[1/2]1^ер' 3,863 о,68 7s'[1/2]1^еp' 1,555 о,8о8
бр[1/2]о^е8 2,194 3,27 7р[1/2]о^5 1,112 14,55
6р[1/2]1^5 2,547 2,74 7р[1/2]^е8 1,225 11,9
бр[3/2]:^е8 2,338 2,52 7р[3/2]1^? 1,124 1о,6
6р[3/2]2^е8 2,3о6 2,6 7р[3/2]2^е8 1,131 9,55
6р[5/2]2^е8 2,441 2,54 7р[5/2]2^е8 1,173 11,76
6р[5/2]3^е8 2,4о6 2,73 7р[5/2]3^е8 1,158 1о,15
6р'[1/2]о^' 2,292 2,87 7р'[1/2]о^' 1,152 1о,76
6р'[1/2]!^' 2,346 2,631 7р'[1/2]!^' 1,152 3,61
6р'[3/2^^' 2,475 2,831 7р'[3/2^^' 1,177 14,67
6р'[3/2Ь^' 2,378 2,982 7р'[3/2Ь^' 1,15 13,99
6р[1/2]о^еа 2,194 27,5 7р[1/2]о^еа 1,112 87,2
6р[1/2]х^её 2,547 24,8 7р[1/2]!^еа 1,225 67,1
6р[3/2]!^еа 2,338 34,1 7р[3/2]^еа 1,124 12о,2
6р[3/2]2^еа 2,3о6 29,о5 7р[3/2]2^еа 1,131 9,83
6р[5/2]2^еа 2,441 27,9 7р[5/2]2^еа 1,173 8,36
6р[5/2]3^еа 2,4о6 29,8 7р[5/2]3^еа 1,158 9,27
6р'[1/2]о^' 2,292 15,9 7р'[1/2]о^^' 1,152 28,9
6р'[1/2]х^' 2,346 28 7р'[1/2]!^^' 1,152 85
6р'[3/2]х^' 2,475 27,1 1,177 8о,4
2,378 31,1 1,15 86,23
5а[1/2]о^ер 2,237 о,25 6а[1/2]о^ер 1,16 1,629
5ё[1/2]х^ер 2,21 о,41 6а[1/2]!^ер 1,148 2,24
5ё[3/2]х^ер 1,726 2,86 6а[3/2]^ер о,964 9,97
5а[3/2]2^ер 2,168 о,55 6а[3/2]2^ер 1,129 4,о1
5а[5/2]2^ер 1,97 14 6а[5/2]2^ер 1,о6 о,718
5а[5/2]3^ер 1,9о7 16,8 6а[5/2]3^ер 1,о3 о,879
5а[7/2]3^ер 2,о88 о,37 6а[7/2]3^ер 1,о89 5,2
5а[7/2]4^ер 2,184 о,45 6а[7/2]4^ер 1,Ю3 4,17
5^[3/2]^р' 1,826 2,о2 6d'[3/2]1^еp' 1,177 7,4
5а'[3/2]2^вр' 2,095 0,901 ба'[з/2ь^р' 1,08 7,51
5а'[5/2]2^вр' 2,132 1,21 ба'[5/2ь^р' 1,094 8,03
5d'[5/2]з^•sp' 2,058 1,34 ба'[5/2]3^р' 1,067 8,62
5а[1/2]0^^ 2,237 67 6а[1/2]0^^ 1,156 5,19
2,21 61,3 1,148 4,59
5а[3/2]!^Г 1,726 81,2 0,964 177,1
5а[3/2]2^^ 2,168 60 1,129 71,4
5а[5/2]2^^ 1,97 78,5 1,062 114,9
5а[5/2]3^^ 1,907 77 1,026 141,5
5а[7/2]3^^ 2,088 49,3 1,089 11,12
2,184 61,5 6а[7/2]^^ 1,103 10,15
5а'[3/2]!^Р 1,826 2,02 6d'[3/2]1^sf 1,177 10,03
5а'[3/2]2^Г 2,095 90 6d'[3/2]2^sf 1,08 8,67
5d'[5/2]2^•sf 2,132 1,21 6d'[5/2]2^sf' 1,094 7,61
2,058 1,34 6d'[5/2]з^sf 1,067 9,9
Результаты расчёта сечений фотоионизации в приближении квантового дефекта по методу Берджесса-Ситона для ксенона представлены графически сплошными кривыми на представленных ниже рисунках.
Для массовых расчётов многоуровневой кинетики удобен способ с использованием формулы (10). Одно из значений На фиксируем как й®0, и ему будет соответствовать значение сечения <г0. Используя выражение На
< = <0
'о
, которое следует из (10) можем получить значения сечений для
V На у
других энергий. Эти значения на рис. 1 представлены точками. Сечения фотоионизации для водорода могут на порядок величины превосходить значения сечений тяжёлых инертных газов. Оценки по формуле Крамерса дают такую же погрешность.
Автор выражает благодарность А.Ю. Гавриловой, М.Е. Кули-заде и Р.А. Мироновой за помощь в работе.
Библиографический список
1. Суржиков С.Т. Оптические свойства газов и плазмы. — М.: Из-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2оо4. - 575 с.
2. Физико-химическая кинетика и термодинамика. Справочник / Под ред. Г.Г.Черного и С.А. Лосева. Том 2. - М.: НИЦ механики, 2оо2. - 368 с.
3. Суржиков С.Т. Тепловое излучение газов и плазмы. - М.: Из-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2оо4. - 546 с.
4. Гаврилова А.Ю., Киселёв А.Г., Скороход Е.П. Диаграммы метаравновесных состояний тяжёлых инертных газов // Теплофизика высоких температур. 2о14. Т. 52. №2. С.174-185.
5. Справочник констант элементарных процессов с участием атомов, ионов, электронов, фотонов. - С-Пб.: Санкт-Петербургский государственный университет, 1994. - 336 с.
6. Грим Г. Спектроскопия плазмы. - М.: Атомиздат, 1969. - 452 с.
7. Скороход Е.П. Оптические свойства низкотемпературной ксеноновой плазмы: Дисс. канд. ф.-м.н. М: 1983.
8. Скороход Е.П. Спектроскопические методы исследования физико-химических и тепловых процессов в плазменных устройствах: Дисс. доктора техн. наук. М.: 2003.
9. Киселёв А.Г., Скороход Е.П. Многоконфигурационное приближение и матрица плотности // Труды МАИ, 2011, № 49: https://www.mai.ru/science/trudy/published.php?ID=28183
10. Семиохин И.А. Элементарные процессы в низкотемпературной плазме. -М.: Изд-во МГУ, 1988. - 142 с.
11.Grechukhin D.P., Karpushkina,E.I. // J. Nucl. Energy, Part C. V.6. 1964. pp. 631.
12. Методы исследования плазмы / (Под ред. Лохте-Хольтгревена). - М.: Мир, 1971.- 552 с.
13. URL: http://physics.nist.gov; Atomic Physics; Atomic Spectra Database.
14. Гаврилова А.Ю., Скороход Е.П. Сечения и константы скоростей плазмохимичекских реакций инертных газов. - М.: Из-во МАИ, 2011. - 192 с.
15. Войницкий С.О., Скороход Е.П. Расчёт заселённостей аргона в проточной дуге // Труды МАИ, 2012, № 50: http://www.mai.ru/science/trudy/published.php?ID=28694
16. Гаврилова А.Ю., Кули-заде М.Е. Скороход Е.П. Распределения возбуждённых состояний атомов в плазменной струе аргона // Труды МАИ, 2012, № 50: http://www.mai.ru/science/trudy/published.php?ID=28604 http://www.mai.ru/science/trudy/published.php?ID=28604
17.Гидаспов В.Ю., Москаленко О.А. Численное моделирование инициирования детонации в керосино-воздушной газокапельной смеси падающей ударной волной // Труды МАИ, 2016, № 90:
http://www.mai.ru/science/trudy/published.php?ID=74647
18. Гидаспов В.Ю. Численное моделирование стационарных детонационных волн в смеси частиц алюминия с воздухом // Труды МАИ, 2о 11, № 49: http://www.mai.ru/science/trudy/published.php?ID=28б05&PAGEN_2=3
19. Гидаспов В.Ю. Численное моделирование одномерного стационарного равновесного течения в детонационном двигателе // Труды МАИ, 2о15, № 83: http://www.mai.ru/science/trudy/published.php?ID=б 1826
