Способы приведения временной зависимости фототока резистора к форме интенсивности оптических импульсов, частота следования которых выше граничной частоты фотоприемника Текст научной статьи по специальности «Физика»

ФИЗИКА

PHYSICS

УДК 621.383.4, 621.382.2

doi: 10.21685/2072-3040-2024-1-11

Способы приведения временной зависимости фототока резистора к форме интенсивности оптических импульсов, частота следования которых выше граничной частоты фотоприемника

В. Я. Гришаев1, Е. В. Никишин2

^Национальный исследовательский Мордовский государственный университет имени Н. П. Огарева, Саранск, Россия 1grishaev53@mail.ru, 2nikishin57@mail.ru

Аннотация. Актуальность и цели. Зависимости интенсивности света от времени и фототока, протекающего в резисторе, в общем случае описываются различными функциями. Исследованы способы получения зависимости от времени интенсивности импульсов света произвольной формы, следующих с частотой ю, по зависимости фототока от времени при наличии рекомбинации носителей заряда на поверхности полупроводника. Материалы и методы. Результаты получены на основе исследования кинетики фотопроводимости резистора для линейного и квадратичного закона рекомбинации в объеме полупроводника. Учтена диффузия неравновесных носителей заряда к поверхностям фоторезистора с их последующей поверхностной рекомбинацией. Первый способ основан на использовании операции дифференцирования фототока. Второй способ позволяет восстановить интенсивность оптического импульса произвольной формы по амплитудам гармоник разложения функции, задающей зависимость тока от времени, в ряд Фурье. Результаты и выводы. Нелинейные, частотные и фазовые искажения в области больших частот ю малы. Предложенные способы справедливы при выполнении неравенства ют > 1 (т - эффективное время жизни основных носителей заряда).

Ключевые слова: кинетика фотопроводимости, темп генерации, темп рекомбинации, нелинейные искажения, поверхностная рекомбинация

Для цитирования: Гришаев В. Я., Никишин Е. В. Способы приведения временной зависимости фототока резистора к форме интенсивности оптических импульсов, частота следования которых выше граничной частоты фотоприемника // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2024. № 1. С. 126-137. doi: 10.21685/2072-3040-2024-1-11

Methods for bringing the time dependence of photocurrent resistor to the shape of the optical pulses' intensity, the repetition frequency of which is higher than the boundary frequency of the photodetector

V-Y^ Grishaev1, E.V. Nikishin2

1,2Ogarev Mordovia State University, Saransk, Russia

© Гришаев В. Я., Никишин Е. В., 2024. Контент доступен по лицензии Creative Commons Attribution 4.0 License / This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.

1grishaev53@mail.ru, nikishin57@mail.ru

Abstract. Background. he dependences of the light intensity on time and the photocurrent flowing in the resistor are generally described by various functions. Methods have been studied for obtaining the time dependence of the intensity of light pulses of arbitrary shape, following with a frequency ю, from the time dependence of the photocurrent in the presence of recombination of charge carriers on the surface of the semiconductor. Materials and methods. The results were obtained based on a study of the kinetics of photoconductivity of a resistor for linear and quadratic recombination laws in the bulk of a semiconductor. The diffusion of nonequilibrium charge carriers to the surfaces of the photoresistor with their subsequent surface recombination is taken into account. The first method is based on the use of the photocurrent differentiation operation. The second method allows you to restore the intensity of an optical pulse of an arbitrary shape from the amplitudes of the harmonics of the expansion of the function that specifies the dependence of the current on time in a Fourier series. Results and conclusions. Nonlinear, frequency and phase distortions in the region of high frequencies are small. The proposed methods are valid when the inequality ют>1 (т is the effective lifetime of the main charge carriers) is fulfilled. Keywords: photoconductivity kinetics, generation rate, recombination rate, nonlinear distortions, surface recombination

For citation: Grishaev V.Ya., Nikishin E.V. Methods for bringing the time dependence of photocurrent resistor to the shape of the optical pulses' intensity, the repetition frequency of which is higher than the boundary frequency of the photodetector. Izvestiya vysshikh

uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki = University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences. 2024;(1):126-137. (In Russ.). doi: 10.21685/2072-3040-2024-1-11

Введение

Зависимость фототока от времени может значительно отличаться от зависимости интенсивности падающего на фотоприемник света при любом законе рекомбинации, включая линейный. Фотоприемник можно использовать в качестве интегрирующего устройства для числа поглощенных квантов, если длительность одиночного импульса света T меньше времени жизни основных

t

носителей заряда т (T <т): j(tтEjg(t)dt [1]. Здесь ц - подвижность

0

основных носителей заряда, E — напряженность электрического поля. Приведенное соотношение справедливо для произвольного закона рекомбинации носителей заряда. Темп генерации пропорционален плотности потока световых квантов Ф, следовательно, и интенсивности, так как I = hvФ . В частности, при межзонной генерации носителей заряда gn = gp = ав(1 — R)//(hv). Использованы обозначения в - квантовый выход, а - коэффициент поглощения, R - коэффициент отражения. Следовательно, при выполнении неравенства T <т фотоприемник является интегрирующим устройством и для плотности потока световых квантов, и для интенсивности.

При линейном законе рекомбинации и освещении светом, интенсивность которого изменяется периодически с частотой ю, существует область частот (ют ■ 1), где плотность тока пропорциональна интенсивности. С увеличением частоты ю, когда справедливо неравенство ют > 1 , зависимость

I (ю^) отличается от зависимости ] (юt). Изменение формы импульса связано в этом случае с нелинейными, амплитудными и фазовыми искажениями [1, 2]. При наличии других законов рекомбинации (например, рекомбинации Шокли - Рида, межзонной, Оже, поверхностной рекомбинации) зависимость концентрации носителей заряда изменяется сложным образом [4-9]. Зависимости I (юt) и ] (ю^) различны.

Повышение эффективности генерации светом электронно-дырочных пар в толще образца непосредственно связано с их рекомбинацией на поверхности. Рекомбинационные характеристики поверхностного слоя можно характеризовать скоростью поверхностной рекомбинации, уменьшение которой приводит к увеличению времени жизни носителей. Для увеличения чувствительности детекторов излучения используется эффект электронного ограничения [3].

В общем случае связь между зависимостью интенсивности света от времени и фототока описывается дифференциальными уравнениями в частных производных. Нами определены параметры импульсов света, следующих с частотой ю, при которых можно получить зависимость I (ю^) по зависимости ] (ю^) или по зависимости Л] (ю^)/ Л . Исследования приведены для линейного (Я(п) = а(п-«о)) и квадратичного (Я(п) = а(п-п0 )) законов

объемной рекомбинации при наличии поверхностной рекомбинации, приводящей к диффузии электронов и дырок. Для восстановления формы оптических импульсов исследовалась возможность использования соотношений:

I (ю*)~ ] (ю^); (1)

1(югЛ]()/Л, (2)

где I (ю^) - переменная составляющая интенсивности.

При расчете искажений, возникающих при использовании формулы (1), входной величиной является интенсивность света, выходной - плотность тока. При использовании формулы (2) входная величина - интенсивность света, выходная - производная по времени от плотности тока.

Численными методами исследована модель фоторезистора с проводимостью п-типа в предположении отсутствия объемного заряда. Изменение концентрации электронов п по толщине полупроводника с течением времени описывается уравнениями [4]:

ММ = *(х,»)-Я(п)-Оп^ , (3)

д дх2

здесь Бп - коэффициент диффузии электронов; а - коэффициент квадратичной рекомбинации.

Учет поверхностной рекомбинации сделан через краевые условия [4]:

в Лп ()

п Лх

= V С )| х=0 , °пЛ-х Г-Ьп 0\Х=Л , (4)

х=0

х=Л

здесь iSj и S2 коэффициенты поверхностной рекомбинации на границах полупроводника

Начальные условия:

п (x,0) = n0, Р (x,0) = Ро. (5)

Решая уравнение (3) с граничными и начальными условиями (4)-(5), получаем функцию распределения концентрации электронов по толщине полупроводника n = n(x,t). Зависимость фототока от времени для полупроводника n-типа рассчитывалась по формуле

d e г

j(t)=—jM-пП(x,t)Edx. (6)

0

Нами использованы следующие значения параметров полупроводника и импульсов света: амплитуда темпа генерации go = 1018 см-3с-1, толщина фоточувствительного слоя d = 100 мкм, объемное время жизни при линейном законе рекомбинации т = 0,3 мкс, коэффициент квадратичной рекомбинации а = 105 см3с-1, подвижность |п =1400 см2/(В с). Указанная величина подвижности характерна для подвижности электронов в кремнии. Поскольку использовано предположение об отсутствии объемного заряда, из уравнения Пуассона следует, что E = const.

1. Коэффициент нелинейных искажений

Одним из параметров, характеризующих качество восстановленных импульсов, является коэффициент нелинейных искажений (КНИ). Его величина позволяет судить о появлении гармоник в зависимости фототока от времени при возбуждении фотоприемника импульсами света, переменная составляющая интенсивности которых изменяется по гармоническому закону:

I (t )= I0 (1 - cos (rat)), (7)

При периодическом возбуждении возникнут вынужденные колебания концентраций неравновесных носителей заряда и фототока. Основная частота их колебаний равна частоте, с которой меняется интенсивность падающего света. Зависимость фототока от времени представим в виде ряда Фурье [10]:

j (t )= j + 2^1 jk\cos (krat + ), (8)

k=1

T/2

1 Г -k

здесь jk = T J j(T)e ' ra%dT фк = arg jk, k = 0 1,2, -

Т

-Т/2

Возникшие гармоники фототока отражают искажения оптического импульса, если для его восстановления использовать соотношение (1). КНИ рассчитывался по формуле

*=Р

U

II Jk 2 (9)

k=2

Зависимости КНИ от частоты следования импульсов представлены на рис. 1 (кривые 1-3). Кривая 1 получена для линейного закона рекомбинации при наличии поверхностной рекомбинации. Значение величины КНИ в этом случае во всей области частот меньше 0,01. На кривой зависимости K = K(V) наблюдаются экстремумы. Максимум искажений приходится на

частоту, определяемую соотношением: ютах ~ Т-1. Увеличение коэффициента поверхностной рекомбинации сдвигает положение максимума в сторону больших частот. Кривые 2, 3 на рис. 1 соответствуют случаю квадратичного закона рекомбинации при отсутствии и наличии поверхностной рекомбинации соответственно. В этом случае величина КНИ значительна в области малых частот, когда юг < 1. Функция К(х) имеет минимум.

Рис. 1. Зависимость коэффициента нелинейных искажений восстановленного импульса от частоты: Soi = Sdi = 0 см/с при i = 2, 5; £о; = Sdi = 1000 см/с при i = 1, 3, 4, 6

В работе [1] предложен способ восстановления формы оптических импульсов, основанный на операции дифференцирования фототока по времени (2). КНИ в этом случае рассчитывался по формулам:

K =

1

оо 1

£ к |2, ^ = - | k=2 1 -Т /

Т /2

1 Г ^е-^г, k = 0,1,2...

Т ^ ¿Т

-Т/2

(10)

Соответствующие кривые представлены на рис. 1 (кривые 4-6).

При линейном законе объемной рекомбинации (Я(п) = аЛп ) время жизни уменьшается и не зависит от скорости генерации носителей заряда светом. В этом случае зависимости К = К (V), рассчитанные по формуле (10)

(кривая 4 на рис. 1), аналогичны кривым, полученным по соотношениям (9) (кривая 1 на рис. 1). При квадратичном законе рекомбинации (кривые 5 и 6 на рис. 1) величина КНИ монотонно убывает с увеличением частоты. При выполнении неравенства юг > 1 или ю > ют^п (ют^п ~ 1/ г) КНИ становится малым. Для оценки ютщ можно использовать соотношения, полученные в ра-

боте [9]. При квадратичном законе рекомбинации эффективное время жизни можно получить, используя формулу т-1 = аАп(со Если влиянием по-

верхностной рекомбинации можно пренебречь, то при больших частотах 2п

An (со ^ га) =

Па Jg<e>de

2па

0

0,5

. В частности, = т =(ag0) ' при квад-

ратичном законе рекомбинации и возбуждении импульсами света, интенсивность которого представлена формулой (7). Наличие поверхностной рекомбинации приводит к уменьшению т и увеличению cmin. Уменьшение скорости генерации носителей заряда, толщины рабочей части фоторезистора и увеличение дефектов на поверхности может привести к преобладанию механизма поверхностной рекомбинации над объемной. Это, в свою очередь, приведет к линейному закону рекомбинации, следовательно, и уменьшению искажений.

2. Частотные искажения

Рассмотрим случай, когда среднее значение интенсивности, а значит, и темпа генерации, остается постоянным. Амплитуда переменной составляющей плотности фототока j = max j(rat)- J j(rat)dt /T и амплитуда вос-

J t

становленного путем дифференцирования импульса j0 (ra) = max (dj (rat) / dt) будут зависеть от частоты, с которой изменяется интенсивность возбуждающего света: j = j (ra), j = j0 (ra) [9]. То есть возникнут частотные искажения. Для их количественной оценки введем коэффициент частотных искажений Y(ra). Для плотности тока имеем:

Y (ra)= JjL (,1)

max j0 (ra)

Для восстановленного импульса под коэффициентом частотных искажений Y1 (ra) будем понимать отношение

Y1 (ra) = mj- (12)

max j0 (ra)

Зная коэффициент частотных искажений для функций j = j (ra) и j0(ra), можно получить амплитуды гармоник периодически изменяющегося с основной частотой ra1 оптического импульса произвольной формы:

I0 (rak ) = AY_1 (rak )j0 (rak), (13) I0 (rak ) = B [ Y1 (rak )]-1 j0K), (14)

здесь A = const, B = const , rak = k e>1, k = 1,2, —

На рис. 2 представлены зависимости Г и Г от частоты: кривые 1-3 рассчитаны по формулам (11), кривые 4-6 - по формулам (12). Кривые 1 и 4 построены для линейного закона рекомбинации; кривые 2, 3, 5 и 6 - для квадратичного закона рекомбинации.

Рис. 2. Зависимость коэффициента частотных искажений от частоты:

S0i = Sdi = 0 см/с при i = 2, 5; S0i = Sdi = 1000 см/с при i = 1, 3, 4, 6

Зависимости Y = Y (ю), рассчитанные по формуле (11) (кривые 1-3

рис. 2), монотонно убывают во всей области исследуемых частот вне зависимости от закона рекомбинации. То есть гармоники периодических импульсов света произвольной формы внесут различный вклад в величину фототока, что приведет к значительным частотным искажениям. При нелинейной рекомбинации и ют < 1 коэффициент частотных искажений зависит от интенсивности. Использовать соотношение (13) в этом случае для восстановления формы оптических импульсов нет смысла. Анализ полученных результатов показал, что при произвольном законе рекомбинации и ют > 1 справедливо соотношение Y (юк ) = k Y (а>1).

Коэффициент частотных искажений Yi (ю) близок к единице в области больших частот, когда выполняется неравенство ют > 1. Следовательно, если для основной частоты ю периодических импульсов света произвольной формы выполняется условие ю^т > 1, то частотными искажениями при восстановлении импульса путем дифференцирования можно пренебречь. Расчеты показали, что в области больших частот коэффициент частотных искажений не зависит от интенсивности падающего света. Независимость Y и Y от интенсивности при ют > 1 связана с тем, что при больших частотах концентрация основных носителей заряда совершает малые колебания около стационарного значения ns . Это позволяет линеаризировать рекомбинационный

t \ 1 \ dR(ns) член: R (n)~ R (ns ) +--d.—l ( - ns).

2

Для квадратичного закона рекомбинации имеем R(n)~a(ns — щ) + +2a(ns — n0 )(n — ns).

3. Фазовые искажения

Ток, протекающий через фоторезистор, отстает по фазе от импульса света. Зависимость сдвига фаз между различными гармониками электрического и оптического импульсов приведет к тому, что их формы будут различны. Это приводит к фазовым искажениям. Сдвиг фаз в между оптическим гармоническим импульсом I (cot) и импульсом фототока j(cot) находился по формуле

в = 2п((ах — tmax )/ T, (15)

* i \ здесь tmax и tmax - моменты времени, когда импульсы интенсивности I (t)

и импульс фототока j (t) принимают максимальные значения. Расчеты показывают, что при малых частотах, когда (ОТ ■ 1, фазовыми искажениями можно пренебречь. С увеличением частоты величина фазовых искажений увеличивается, стремясь к постоянной величине, равной л/2.

Использование операции дифференцирования гармонической функции изменяет ее фазу на л/2. Это приводит к тому, что гармонические импульсы интенсивности света отстают по фазе от импульсов, восстановленных путем дифференцирования фототока. Сдвиг фаз определяется соотношением (15), в котором tmax - момент времени, соответствующий максимальному значению функции dj(cot) /dt. При больших длительностях импульса (юг■ 1) фазовый сдвиг приближается к ф = л/2. Увеличение частоты ю приводит к монотонному уменьшению сдвига фаз между импульсом интенсивности света и «восстановленным» импульсом. Результаты зависимости сдвига фаз от частоты следования возбуждающих импульсов представлены на рис. 3. Кривые 1 и 3 рассчитаны для линейного закона рекомбинации, кривые 2 и 4 - для квадратичного. Увеличение поверхностной рекомбинации приводит к увеличению фазовых искажений при прочих равных условиях. Закон рекомбинации влияет на величину фазовых искажений. Фоторезистор с квадратичным законом рекомбинации дает больший фазовый сдвиг.

4. Метод интегрирования

Временную зависимость импульса интенсивности можно получить, используя разложение в ряд Фурье зависимости фототока от времени. Разложим функцию I (t) в ряд Фурье четным образом [8]:

I(t)4 + ¿4 cosiM (16)

2 k=1 ^ T J

Коэффициенты разложения имеют вид

T T

Iо = T\ I(t)dt, Ik = T\ I(t)cosdt. (17)

о 0 ^ J

0,1 1 10

v, MHz

Рис. 3. Зависимость величины сдвига фаз между восстановленным импульсом и импульсом света от частоты: S0i = Sdi = 0 см/с при i = 1, 2; Sot = Sdi = 1000 см/с при i = 3, 4

Зависимость фототока от времени также будет периодической функцией, изменяющейся с той же частотой ю, что и интенсивность. Разложим функцию j(t) в ряд Фурье четным образом:

j(t j ¿fccosi^l (18)

2 k=l ^ 1 1

здесь

T T

j0 = T\j (t )dt, jk = f\j (t )cos f T-I Л. (19)

0 0 ^ 1

Гармоники периодических импульсов света произвольной формы внесут различный вклад в величину фототока, что приведет к значительным частотным искажениям. Зная амплитуды гармоник фототока (19) и коэффициент частотных искажений (11), получаем амплитуды гармоник интенсивности света (13). Используя угол сдвига фаз между импульсом: интенсивности и импульсом фототока (15), для зависимости интенсивности света от времени получаем соотношение

I (t ) = А

j + cos f T-Pk

2 k=1 ^ T

(20)

Для переменной составляющей интенсивности имеем

I(tЬ¿Y-1 Jk cos[T-Pk (21)

k=1 ^ T

Выше было показано, что при больших частотах (ют > 1) для коэффициента частотных искажений справедливо Y (ю^ ) = к Y (ю1), тогда

I (t)-fk]k cos [T-Рк 1. (22)

k=1 [ T J

При линейном законе рекомбинации и отсутствии поверхностной рекомбинации фазовый сдвиг можно рассчитать по формуле

вк = arctg (ют). (23)

Численные расчеты показали, что в области высоких частот (ют > 1) при любом законе рекомбинации для определения фазового сдвига можно использовать соотношение

вк - arctg (ют), т = 1 ' 0 . (24)

:J0 g(0)d0]

2л-> 0

Если поверхностная рекомбинация мала, то справедливо соотношение [9]:

2п

nra^= r 1

i- \g(0)d0

2п

0

(25)

где Я 1 - функция, обратная функции Я.

Заключение

Численное моделирование фотопроводимости резистора с учетом поверхностной рекомбинации позволяет утверждать, что при больших частотах (ют > 1) можно получить зависимость интенсивности света от времени по зависимости фототока от времени. Возможны два способа. Первый основан на дифференцировании фототока по времени. Входной сигнал - интенсивность, выходной - производная от фототока.

При больших частотах (ют > 1) справедливо соотношение (2). Способ дифференцирования можно применять для произвольного закона рекомбинации в объеме полупроводника и наличии поверхностной рекомбинации, приводящей к диффузии носителей заряда. Это связано с возможностью линеаризации рекомбинационного члена в уравнении (3). Коэффициент нелинейных искажений, коэффициент частотных искажений и сдвиг фаз между импульсами света и импульсами, восстановленными путем дифференцирования фототока малы.

Второй способ основан на использовании разложения фототока в ряд Фурье. Входной сигнал - интенсивность, выходной - фототок. При больших частотах (ют > 1) коэффициент, характеризующий частотные искажения,

У (юк ) = к У (ю1), сдвиг фаз определяется по формуле (24), коэффициент нелинейных искажений мал. Использование соотношения (22) позволяет получить зависимость интенсивности от времени.

Список литературы

1. Никишин Е. В. О границах применимости способа восстановления временной формы модулированных оптических сигналов с частотой выше граничной частоты фоторезистора // Физика и техника полупроводников. 2014. № 11 (48). С. 1526-1529. doi: 10.3367/UFNr.0172.200209e.1068

2. Горюнов В. А., Гришаев В. Я., Никишин Е. В. Кинетика фотопроводимости при возбуждении высокочастотными импульсами // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2012. № 4 (20). С. 242-250.

3. Алфёров Ж. И. Двойные гетероструктуры: концепция и применения в физике, электронике и технологии // Успехи физических наук. 2002. № 9 (172). С. 10681086. doi: 10.3367/UFNr.0172.200209d.1067

4. Милнс А. Г. Примеси с глубокими уровнями в полупроводниках. М. : Мир, 1977. 568 с.

5. Филачев А. М., Таубкин И. И., Тришенков М. А. Твердотельная фотоэлектроника. Фоторезисторы и фотоприемные устройства. М. : Физматкнига, 2012. 367 с.

6. Холоднов В. А. Влияние концентрации рекомбинационных центров на фотоэлектрический отклик полупроводников // Успехи прикладной физики. 2015. № 3 (3). С. 254 - 280.

7. Холоднов В. А. Влияние фотоиндуцированного локального объемного заряда на эффективную скорость фотогенерации носителей в продольном фоторезисторе // Письма в журнал технической физики. 2022. № 14 (48). С. 30-33. doi: 10.21883/PJTF.2022.14.52867.19251

8. Каражанов С. Ж. Свойства точно компенсированных полупроводников // Физика и техника полупроводников. 2000. Т. 34, № 8. С. 909-916.

9. Денисов Б. Н., Никишин Е. В. Исследование кинетики неравновесных носителей в полупроводнике по среднему значению фотопроводимости при периодическом оптическом возбуждении // Физика и техника полупроводников. 2014. № 2 (48). С. 175-178. doi: 10.1134/S1063782614020079

10. Корн Г. К., Корн Т. К. Справочник по математике. М. : Наука, 1974. 1152 с.

References

1. Nikishin E.V. On the limits of applicability of the method for restoring the temporal shape of modulated optical signals with a frequency higher than the cutoff frequency of the photoresistor. Fizika i tekhnika poluprovodnikov = Physics and technology of semiconductors. 2014;(11): 1526-1529. (In Russ.). doi: 10.3367/UFNr.0172.200209e.1068

2. Goryunov V.A., Grishaev V.Ya., Nikishin E.V. Kinetics of photoconductivity under excitation by high-frequency pulses. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki = University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences. 2012;(4):242-250. (In Russ.)

3. Alferov Zh.I. Double heterostructures: concept and applications in physics, electronics and technology. Uspekhi fizicheskikh nauk = Advances in physical sciences. 2002;(9):1068-1086. doi: 10.3367/UFNr.0172.200209d.1067

4. Milns A.G. Primesi s glubokimi urovnyami v poluprovodnikakh = Impurities with deep levels in semiconductors. Moscow: Mir, 1977:568. (In Russ.)

5. Filachev A.M., Taubkin I.I., Trishenkov M.A. Tverdotel'naya fotoelektronika. Fotore-zistory i fotopriemnye ustroystva = Solid-state photoelectronics. Photoresistors and photodetectors. Moscow: Fizmatkniga, 2012:367. (In Russ.)

6. Kholodnov V.A. Influence of the concentration of recombination centers on the photoelectric response of semiconductors. Uspekhi prikladnoy fiziki = Advances in applied physics. 2015;(3):254 - 280. (In Russ.)

7. Kholodnov V.A. Influence of photoinduced local volume charge on the effective rate of photogeneration of carriers in a longitudinal photoresistor. Pis'ma v zhurnal tekhnich-eskoy fiziki = Letters to the journal of technical physics. 2022;(14):30-33. (In Russ.). doi: 10.21883/PJTF.2022.14.52867.19251

8. Karazhanov S.Zh. Properties of precisely compensated semiconductors. Fizika i tekhni-ka poluprovodnikov = Physics and technology of semiconductors. 2000;34(8):909-916. (In Russ.)

9. Denisov B.N., Nikishin E.V. Studying the kinetics of nonequilibrium carriers in a semiconductor based on the average value of photoconductivity under periodic optical excitation. Fizika i tekhnika poluprovodnikov = Physics and technology of semiconductors. 2014;(2):175-178. (In Russ.). doi: 10.1134/S1063782614020079

10. Korn G.K., Korn T.K. Spravochnik po matematike = Handbook of mathematics. Moscow: Nauka, 1974:1152. (In Russ.)

Информация об авторах / Information about the authors

Владимир Яковлевич Гришаев

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры экспериментальной и теоретической физики, Национальный исследовательский Мордовский государственный университет имени Н. П. Огарева (Россия, г. Саранск, ул. Большевистская, 68)

E-mail: grishaev53@mail.ru

Vladimir Ya. Grishaev

Candidate of physical and mathematical

sciences, associate professor of the

sub-department of experimental

and theoretical physics,

Orgarev Mordovia State University

(68 Bolshevistskaya street, Saransk, Russia)

Евгений Васильевич Никишин

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры экспериментальной и теоретической физики, Национальный исследовательский Мордовский государственный университет имени Н. П. Огарева (Россия, г. Саранск, ул. Большевистская, 68)

E-mail: nikishin57@mail.ru

Evgeny V. Nikishin

Candidate of physical and mathematical

sciences, associate professor of the

sub-department of experimental

and theoretical physics,

Orgarev Mordovia State University

(68 Bolshevistskaya street, Saransk, Russia)

Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов / The authors declare no conflicts of interests.

Поступила в редакцию / Received 13.06.2023

Поступила после рецензирования и доработки / Revised 21.09.2023 Принята к публикации / Accepted 07.11.2023