CC BY
4МАТЕРИАЛЫ ЭЛЕКТРОННОЙ ТЕХНИКИ
УДК 621.315.592
Контроль качества кремниевых слитков методом спада фотопроводимости
А.Ф.Яремчук ЗАО «Телеком-СТВ» (г. Москва)
Приведен алгоритм решения обратной задачи спада фотопроводимости в полубесконечном полупроводниковом образце (слитке). Для определения рекомбинационных параметров полупроводника - времени жизни неосновных носителей заряда в объеме полупроводника и скорости поверхностной рекомбинации неосновных носителей заряда на его поверхности - применялась импульсная засветка поверхности образца световыми импульсами конечной длительности.
Ключевые слова: время жизни, скорость поверхностной рекомбинации, СВЧ, ц-РСБ.
Контроль качества полупроводникового материала, в частности слитков кремния, -необходимая процедура в процессе их производства [1]. Одним из параметров качества полупроводникового слитка является объемное время жизни неосновных носителей заряда. В случае, когда кремний (монокристаллический или мультикристаллический) в дальнейшем используется для изготовления солнечных элементов, следует обеспечить высокое значение этого параметра (>50 мкс) для работоспособности фотоэлектрической системы в целом. Распространенный метод контроля времени жизни в слитках кремния - измерение спада фотопроводимости в объеме исследуемого материала после окончания действия светового импульса [2]. Процедура таких измерений должна быть не разрушающей материал или вообще быть бесконтактной, измерительная система -хорошо встраиваться в технологический процесс, процесс измерений не должен занимать слишком много времени. Метод, использующий микроволновое излучение в качестве зондирующего для исследуемого материала (ц-РСБ-метод) [3], наиболее удовлетворяет всем этим требованиям. СВЧ-излучение направляется на поверхность слитка, частично отражается от этой поверхности, частично проникает в объем материала. Если поверхность слитка освещается световым потоком, то возникающие электронно-дырочные пары в объеме слитка изменяют его электропроводимость, что вызывает изменение интенсивности отраженного от поверхности слитка СВЧ-излучения, которое можно зарегистрировать. В этом случае бесконтактно измеряется изменение фотопроводимости полупроводника под действием светового потока. Использование световых импульсов различной длительности позволяет исследовать процессы релаксации фотопроводимости в материале. Зная характер релаксационных кривых спада (или нарастания) фотопроводимости, можно судить о рекомбинационных свойствах слитка крем-
© А.Ф.Яремчук, 2010
ния, т.е. о качестве полученного материала. Данная схема измерений достаточно надежна и удобна в применении, что позволило рекомендовать этот метод в качестве стандарта (ASTM или в дальнейшем стандарт SEMI) [4]. После прекращения импульсной засветки электронно-дырочные пары рекомбинируют с характерной постоянной времени Trei, которая отражает рекомбинационные процессы как в объеме слитка, так и на его поверхности.
Характер изменения во времени общей избыточной концентрации носителей заряда (проинтегрированной по пространственным координатам, так как СВЧ-система регистрирует изменение общего количества электронно-дырочных пар) при воздействии импульсной засветки можно получить, решая соответствующую прямую краевую задачу с известным граничным условием. Например, при воздействии очень короткого лазерного светового импульса (5-импульс) с фиксированной частотой световой волны нормированное решение этой задачи можно записать в виде [5]
^-<Г1 ^erfcU)-1eS2t
- eAterfc(AVt)--eSЬerfc(SVt) |. (1)
N(0) Б - А 4 7 £
Здесь все переменные приведены к нормализованному виду:
г ^-, А ^аЬ, Б ^ —, (2)
т В
где т - время жизни неосновных носителей заряда (характеризует качество слитка);
а - коэффициент поглощения света в материале слитка; В - коэффициент диффузии
1/2
носителей заряда; $ - скорость поверхностной рекомбинации; Ь = (Вт) - диффузионная длина неосновных носителей заряда (характеризуют собственно материал).
Выражение (1) представляет собой функцию Грина для более общей задачи нахождения отклика СВЧ-системы в случае использования световых импульсов произвольной длительности. Поэтому интегрирование (1) по временному интервалу [0, гг] приводит к решению задачи для отклика измерительной системы в процессе нарастания концентрации избыточных носителей заряда [6]:
Ur (t) = С-' 1
A2 -1
S2-1
A ■ erf(Vt) + e-teA?t erfc( Ayft) -1
L > t > 0.
i г 2 - (3)
1 S ■ erf (Vo + e~teS terfc(SVt) -1
где С - нормировочная константа; 1Г - время окончания действия светового импульса. Остальные переменные соответствуют нормированным значениям в выражении (2).
После прекращения действия импульса света в момент времени 1Г начинается спад концентрации избыточных носителей заряда к своему равновесному значению и соответствующее выражение для выходного сигнала примет вид
V, (г) = иг (г) - иг (г - гг) при г > и (4)
Так как нормировочная константа С в выражении (3) в общем случае неизвестна, в дальнейшем удобно ввести следующую величину для характеристики амплитуды отклика (нормировка на максимальную амплитуду выходного сигнала):
(5)
Выражения (1) и (2) показывают, что характер релаксации неравновесных носителей заряда существенным образом зависит от того, при каких условиях рассматривается решение прямой задачи. В случае 5-образного воздействия выражение для регистрируемого отклика СВЧ-системы имеет наименее громоздкий вид, хотя и в этом случае носит чрезвычайно сложный характер, так как зависит от всех рекомбинационных и электрофизических параметров, характеризующих исследуемый слиток. Это касается и выражений (3), (4) или (5) в случае действия светового импульса конечной длительности.
Следует отметить, что характер релаксационных зависимостей (1), (3) и (4) не является простым экспоненциальным нарастанием или спадом с фиксированной постоянной времени тге/. Это комбинация сложных временных функций с дополнительными (и просто) интегралами ошибок с аргументами, включающими в себя как рекомбина-ционные параметры, так и параметры, характеризующие электрофизические и оптические свойства слитка, что делает анализ приведенных выражений сложной задачей. Поэтому представление релаксации носителей заряда к своему равновесному значению как процесса, характеризующегося единственной постоянной времени спада, является грубой аппроксимацией. Для правильной оценки времени жизни неосновных носителей заряда в объеме слитка (как локального параметра, действительно характеризующего его рекомбинационные свойства) и скорости поверхностной рекомбинации на его поверхности необходимо решать обратную задачу, используя экспериментальные значения амплитуд выходного сигнала в различные моменты времени и известную модель процесса. В нашем случае выражения (3), (4) и (5) представляют математическую модель такого релаксационного процесса. Имеется множество подходов для решения подобных задач, в основном для оценки рекомбинационных параметров кремниевых пластин конечной толщины при введении тех или иных упрощающих предположений в процессе нахождения их решения [7 - 9].
Постановка задачи. В настоящей работе процедура поиска значений искомых параметров (т и S) формулируется в следующем виде:
где Цехр(^г) - измеренный массив выходных данных, нормированный на максимальную амплитуду; т, Я) - теоретическая модель рассматриваемого процесса (5) после
приведения всех параметров этого выражения к размерному виду; п - общее число временных отсчетов.
Таким образом, задача нахождения неизвестных параметров т и Я состоит в минимизации квадратичного функционала П(т, Я) при целенаправленном варьировании этих параметров. Минимум выражения (6) имеет место при вполне фиксированных значениях т и Я, которые считаются решением обратной задачи.
В процессе проведения вычислений была использована следующая аппроксимация интеграла ошибок [10]:
(6)
где ax = 0,254829592 ; a2 = -0,284496736; a3 = 1,421413741; a4 = -1,453152027; a5 = 1,061405429; р = 0,3275911.
Применение аппроксимации вида (7) исключает необходимость численного вычисления интегралов типа erf или erfc и позволяет определять зависимости (1), (3), (4), (5)
^ ^ _у
с абсолютной ошибкой 1,5 10 , что вполне достаточно для проведения численного итерационного процесса нахождения минимума выражения (6).
Процесс поиска минимума выражения (6) проводился в математической среде MATCAD с использованием встроенной в эту систему программы поиска минимума Minerr. Начальные значения т и S выбирались из конкретной формы кривой релаксации (выходные данные измерительной системы), т.е. начальное значение т просто отождествлялось с Trei. Начальное значение величины S варьировалось в интервале 1000 - 3000 см/с в процессе нахождения минимума выражения (6). Применение удачных начальных значений гарантирует быструю сходимость процесса минимизации.
Эксперимент. Обсуждение результатов. Конкретные измерения проводились с использованием установки MWR-SIM (производство Телеком-СТВ), предназначенной для измерения релаксационных параметров слитков кремния в одной выбранной точке на поверхности слитка. Интенсивность светового импульса выбиралась такой, чтобы измеренные кривые релаксации соответствовали условиям «малого уровня возбуждения», т.е. избыточная концентрация носителей заряда в полупроводнике соответствовала условию An ~ Ap ~ 0,05p, где р - концентрация легирующей примеси в исследуемых образцах.
На рис.1 показан пример реализации процесса определения рекомбинационных параметров т и S (все релаксационные кривые нормированы на максимальную амплитуду выходного сигнала). В первом случае исследовался спад фотопроводимости шайбы моно-
крисгаллического Cz-кремния КДБ-12 толщиной 10 мм, предварительно протравленной в полирующем травителе HNO3-HF. Коэффициент диффузии электронов принимался равным 30 см2/с. Длительность светового импульса полупроводникового лазерного диода с длиной волны светового излучения 980 нм (а = 100 см-1) равнялась 46 мкс. Вычисленные значения времени жизни электронов и скорости поверхностной рекомбинации составляют т = 205 мкс и S = 1400 см/с. Следует отметить, что характерное время релаксации носителей заряда, определенное для интервала 100-200 мкс, в данном случае составляет 117 мкс. Это приблизительно в два раза меньше, чем время жизни электронов, полученное расчетным путем.
Другим примером применения рассмотренного метода является кривая релаксации, представленная на рис.2. В этом случае в качестве материала для исследования использовался слиток Cz-кремния «солнечного» качества р-типа проводимости с удельным сопротивлением ~2 Ом см. Каких-либо обработок поверхности слитка не проводилось. Данный материал обладает заведомо более низким временем жизни неосновных носителей заряда в объеме за счет наличия фоновых загрязнений кристалла в процессе его по-
m
0,1
0,01
100
200
300 t, мкс
400
500 600
Рис.1. Кривые релаксации фотопроводимости кремниевой шайбы КДБ-12: сплошная линия -эксперимент; х - расчет при т = 205 мкс, $ = 1400 см/с
1
0
лучения и, возможно, более высокой плотностью структурных дефектов. Применение рассмотренной выше методики дает следующие рекомбинацион-ные параметры этого материала: время жизни электронов в слитке т = 6,5 мкс; скорость поверхностной рекомбинации S = 3200 см/с; при этом тге; = 6,3 мкс, т.е. практически совпадает с вычисленным временем жизни электронов в таком слитке.
На основании проведенных исследований можно сделать вывод о том, что рассмотренная схема для определения рекомбинационных параметров кремниевых слитков имеет решение в рамках предложенного алгоритма. Схема показывает хорошую вычислительную устойчивость в процессе получения решения задачи при условии, что относительная ошибка измерений амплитуд в массиве исходных данных не превышает 1-2%.
Литература
1. Павлов Л. П. Методы измерения параметров полупроводниковых материалов. - М: Высшая школа, 1997. - 81 с.
2. Luke K. L., Cheng L.-J. Analysis of the interaction of a laser pulse with a silicon wafer: Determination of bulk lifetime and surface recombination velocity// J. Appl. Phys. - 1987. - Vol. 61, № 6. - P. 2262-2293.
3. Schmidt J., Aberle A. G. Accurate method for the determination of bulk minority-carrier lifetimes of mono - and multycristalline silicon wafers// L. Appl. Phys. - 1997. - Vol. 81, № 9. - P. 6186-6199.
4. ASTM Standard F1535-94. Standard Test Method for Carrie Recombination Lifetime in Silicon Wafers by Noncontact Measurement of Photoconductivity Decay by Microwave Reflectance. - 1994. - P. 753 - 762.
5. Hooft G. V., Opdorp C. Determination of bulk minority-carrier lifetime and surface/interface recombination velocity from photoluminescence decay of a semi-semiconductor slab// J. Appl. Phys. - 1986. Vol. 60, № 3. -Р. 1065-1070.
6. Photothermal rate-window spectrometry for noncontact bulk lifetime measurements / Z.H.Chen, R.Bleiss, A.Mandelis et al. // J. Appl. Phys. - 1993. - Vol. 73, № 10. - Р. 5043-5048.
7. Ogita Y.-I. Bulk lifetime and surface recombination velocity measurements method in semiconductor wafers// J. Appl. Phys. - 1996. - Vol. 79, № 9. - Р. 6954-6960.
8. Gaubas E., Vanhellemont J. A simple technique for the separation of bulk and surface recombination parameters in silicon// J. Appl. Phys. - 1996. - Vol. 80, № 11. - Р. 6293-6297.
9. Оптимизация методики СВЧ-релаксометрии для измерения рекомбинационных параметров кремниевых пластин / Н.Б.Тюрнев, Е.Б.Соколов, М.В.Куцев и др. // Изв. вузов. Электроника. - 2001. - № 1. -С. 87-91.
10. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. - М.: Наука, 1973. - 694 с.
Статья поступила 29 марта 2010 г.
Яремчук Александр Федотович - кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник ЗАО «Телеком-СТВ» (г. Москва). Область научных интересов: физико-математическое моделирование работы полупроводниковых приборов, в частности солнечных элементов; методы определения основных электрофизических параметров полупроводниковых структур. E-mail: alexyar-48@mail.ru
10 ......
0,001
10 20 30 40 50 60 70 t, мкс
Рис.2. Нормированная зависимость выходного сигнала измерительной системы от времени в процессе измерения рекомбинационных параметров слитка кремния «солнечного» качества: сплошная кривая -экспериментальный сигнал; крестики - реконструированная кривая релаксации с вычисленными параметрами: т = 6,5 мкс, Я = 3200 см/с (Б = 28 см2^)
