CC BY
38
ЭНЕРГЕТИКА
УДК 621-501.14
СПОСОБЫ И ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СОЕДИНЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ КОРРЕКТИРУЮЩИХ УСТРОЙСТВ
Докт. техн. наук, проф. МИХАЛЕВ А. С.
Минский институт управления
В последнее десятилетие довольно широкое распространение в теории и практике построения автоматических систем получили разрывные законы управления, реализуемые, как правило, в виде нелинейных корректирующих устройств (НКУ), которые имеют обычно не один, а два и более каналов, относительно независимо формирующих амплитудные и фазовые частотные характеристики регуляторов [1, 2]. Наличие таких каналов актуализирует разработку наиболее эффективных способов соединения НКУ сложной цепи. Ниже показаны возможные варианты параллельных соединений НКУ и на основе метода гармонической реализации определены их частотные характеристики.
Параллельное соединение НКУ. Соединение НКУ в параллельные цепи не накладывает каких-либо ограничений на тип этих устройств или способы коррекции.
На рис. 1а представлено очевидное соединение псевдолинейных корректирующих устройств (ПЛКУ) в параллельную цепь, частотные характеристики которой определяются выражениями:
1=1
1=1
ц = аг^ £ й>. / Е аг, /-і і=і
(і)
(2)
где а,, - коэффициенты гармонической линеаризации отдельных НКУ, / = 1,2,___, /I.
Параллельное соединение НКУ позволяет поднять не только амплитудную, но и фазовую характеристику корректируемой системы.
2,0
1,0
ОД
1,0
м г'\ч Г, =0,1 с Т2 = 0,2 с Тг - 0,05 с
А У1 V
У
60°
30°
10
100
Рис. 1. Параллельное соединение ПЛКУ (а) и его частотные характеристики (б) при п = 3:
Щ(Р) = (ТІР+1)-1 ; Н'К](Р) = ОД;
№К2(Р) = 0Л щр*1!; у»(О=0;1........0,15Р+1
(кривые 1); ШК1(Р) =
1
0,2Р + 1
0,015Р+1 (кривые 2)
На рис. 16 показаны частотные характеристики трех параллельно включенных ПЛКУ одного типа с суммированием выходных сигналов (кривые 1), а также трех ПЛКУ, два из которых фазоопережающего типа, а третий -фазоотстающего, причем выходной сигнал последнего подключен к сумматору с обратным
знаком. Как и следовало ожидать, во втором случае падает амплитудная характеристика, однако заметно поднимается фазовая.
Таким образом, изменяя тип соединяемых в параллельные цепи НКУ и их параметры, можно в широком диапазоне влиять на их суммарные частотные характеристики.
В ряде случаев возможно заметно упростить реализацию цепи из параллельно соединяемых НКУ (рис. 2).
Многоканальное ПЛКУ (рис. 2а) получено путем параллельного соединения многих амплитудных каналов, содержащих в общем случае линейные фильтры УУі(Р) при наличии одного фазового канала с фильтром ^¥К(Р). Поскольку операции суммирования модулей координат в амплитудном канале и умножения на ±1 обладают свойством коммутативности, сумматор в схеме на рис. 2а можно вынести вправо за блок умножения, представить структуру в виде параллельного соединения ПЛКУ на рис. 1а с одинаковыми фазовыми и разными амплитудными каналами и записать частотные характеристики цепи в виде (1) и (2).
Многоканальное ПЛКУ (рис. 26) образовано параллельно-последовательным соединением амплитудных каналов в результате суммирования модулей выходных координат фильтров 1¥1{Р), і = 1, 2, ..., п, составляющих, например, усилительный тракт системы, соединенных друг с друг'ом последовательно. Вынося, как и в предыдущем случае, сумматор вправо за блок умножения, структуру на рис. 26 тоже можно представить в виде параллельного соединения НКУ на рис. 1а и записать ее частотные характеристики в виде (1) и (2).
Многоканальные НКУ на рис. 2 позволяют формировать частотные характеристики корректируемой системы и по своим свойствам аналогичны НКУ на рис. 1а.
Параллельно-встречные соединения НКУ и линейных фильтров. В системах с НКУ возможности структурного синтеза значительно расширяются, если в формировании частотных характеристик систем использовать не только рассмотренные выше прямые параллельные связи и последовательные включения НКУ, но и встречно-параллельные соединения НКУ и линейных фильтров.
Рис. 2. Многоканальные ПЛКУ с параллельным (а) и параллельно-последовательным соединением амплитудных каналов (б)
Структурная схема на рис. 3 отражает несколько вариантов охвата ПЛКУ и линейного фильтра Ж„(Р) неизменяемой части системы обратной связью, также содержащей ПЛКУ и линейный фильтр ЩР). В первом варианте ПЛКУ и фильтр Я^п(Р) в прямом канале охватываются обратной связью через ПЛКУ и линейный фильтр 1¥0(Р).
иг »'„(Р)
►ІАІ
рр
ЩР)
ПЛКУ о
Рис. 3. Варианты параллельно-встречного включения НКУ и линейных фильтров
Если фильтры Шп{Р) и ^(Р) удовлетворительно фильтруют высшие гармоники, то комплексный коэффициент передачи структуры (рис. 3) в первом варианте можно записать
ф( /{й) = ЧпКп. ехр7(ц.и + сри)
1 + Ч„Я(^п~ко~ ехР7'(Ц„ + Ио + Ф„ + Фо) ’
(3)
где <7„, qo, ц„. (і0 - амплитудная, фазовая и частотные характеристики ПЛКУ„ и ПЛКУ0; Кп„,
Ко~, ф„, фо - амплитудные и фазовые частотные характеристики й^л(/со) и Ио(/Ъ).
В некотором диапазоне частот при цпЦоКпЖо~ » 1 выражение (3) можно упростить
ФО) = (ЛГ1 ехрН(ц0 + ф0)]. (4)
Таким образом, чтобы создать значительный положительный фазовый сдвиг в структуре (рис. 3), следует выбирать обратную связь фазоотстающего типа, т. е. вместо ПЛКУ0 можно включать цепь из многих устройств.
Во втором варианте использования обратной связи (рис. 3) последняя замкнута на вход фазового канала ПЛКУ„.
Обратные связи в системах с НКУ можно эффективно использовать для формирования амплитудных характеристик корректируемых систем практически без изменения фазовых характеристик. На рис. 4а представлены структурная схема и эпюры основных сигналов НКУ с нереверсивной положительной обратной связью (ПОС).
Ко
4f /
S. lh Ug
Wk(P)
Uk
Ua
PP
Рис. 4. Структурная схема (а) эгпоры (б) ПЛКУ с нереверсивной ПОС
В этой структуре при гармоническом входном сигнале U\ = ^4sin\|/, \|/ = Ш:
и2 = \Щ + |*oUn|; \K0Un\ = \UgWn(P)\-
(5)
Ц;= U2sgnUK; UK = UiW/dP),
где Ко - коэффициент ПОС.
При гармонической линеаризации структуры на рис. 4а последнюю целесообразно представить в виде последовательного соединения нелинейной части (ПЛКУ) и фильтра Wn(P). Поэтому, выделяя из кривой Ug на рис. 46 первую гармонику, можно получить следующие уравнения для определения коэффициентов гармонической линеаризации ПЛКУ:
а = {л - 2ф+вт2ф+
+ С[(тс - 2ф - 2у) cosy+siny+sin(29+у)]}; (6)
2
b = —[sin2 ф + С sin2(cp + у)].
Здесь ф - фазовый сдвиг, вносимый звеном Wj^P)\ у - угол между координатами U\ и U& С - коэффициент передачи линеаризованной структуры между координатами U\ и Un.
В наиболее реальном частном случае при W„(P) = Кя(ТаР + 1Г1 и W¿Р) = G0(TKP + 1) х х (GoTKP + I)"1 величины С, ф, у определяются выражениями:
I а +Ь 1 + <о 2Tl
Ф = arctg
у = arctg® - arctg ^;
1 + ?Хсо2 '
На рис. 5 в логарифмическом масштабе представлены фазовая ц = аг^6/а и амплитудная <7 = \ а2 +Ь2 частотные характеристики ПЛКУ, рассчитанные на ЭВМ по уравнениям (6) при различных значениях К = КоКд, (70 и Тк - 0,05 с, Гд = 0,1 с. Сравнение кривых 6-9 на рис. 56 с характеристикой 5 ПЛКУ при = 0 показывает, что ПОС увеличивает коэффициент передачи устройства на низких частотах. Как видно из кривых 2 и 4 на рис. 5а, ПОС даже несколько увеличивает максимум фазовой
а
характеристики, который определяется в основном параметрами звена ТУк(Р).
ю
100
Рис. 5. Частотные характеристики ПЛКУ с нереверсивной ПОС
Таким образом, в классе систем с НКУ с помощью местных нереверсивных ПОС можно поднять амплитудную характеристику системы в области низких частот, а выбором параметров УУк(Р) обеспечить необходимый из соображений устойчивости подъем ее фазовой характеристики. Техническая реализация структуры на рис. 4 в системах обычно не вызывает каких-либо трудностей и основана на использовании простых и надежных элементов.
Рассмотрим еще один пример НКУ с иерархической структурой на рис. 7, когда в фазовом канале ПЛКУ использована псевдолинейная корректирующая цепь (ПЛКЦ) фазозапаздыва-щего типа (рис. 6).
Рис. 6. Последовательное соединение ПЛКУ инерционного типа
При вычислении коэффициентов гармонической линеаризации следует учесть, что в структуре на рис. 5 угол переключения может превышать я, и вычислять коэффициенты по рекуррентным формулам:
а = “(тс - 2ф - втф)
71
6 = —”(1 — соз2ф) п
Но > 2Кщ ц0<(2К + 1)щ
(7)
а = —(к — 2ф — эт 2<р)
71
Ь - (1 -соз2ф)
71
где 0<ф = Цо--^Л<71.
Ц0 > (2ЛГ + 1)7і;
ц0 < 2К%,
(8)
1А |сл| ►г
і г
(2к
ПЛКЦ
+і '
— -і
рр
Рис. 7. ПЛКУ с иерархической структурой
Для вычисления необходимо найти фазовый сдвиг цо между напряжениями ик и С/ь используя частотную характеристику замкнутого контура из безынерционного усилителя с коэффициентом К и ПЛКЦ:
. 1ш
где
Iш = -
К\
Яе=-
К(Ка0+1)
г2и2
(Ка0 +1)" + К% ' (Као +1) + К%
- мнимая и вещественная части частотной передаточной функции контура; а0иЬ0~ коэффициенты гармонической линеаризации ПЛКЦ, подсчитываются по рекуррентным формулам.
На рис. 8 представлены рассчитанные по полученным выражениям ц0 при К = 2, ПЛКЦ типа изображенной на рис. 5 из трех звеньев с передаточными функциями 1,2, з(^) = {Т\Р+ 1) х х {Т2Р + I)"1 при Т\ - 0,05 с, Т2 = 0,5 с, а также
\х = агс!§ Ыа и # = л!а2 +Ь2 всего устройства (рис. 7) в целом. Как видно из характеристик, устройство обеспечивает значительные (до 120°) фазовые опережения, которые, впрочем, без труда могут быть увеличены путем увеличения числа ПЛКУ в ПЛКЦ.
71 = 3
Т\ = 0.05 с Т2 = 0,5 с К—2
1,0 10 со
Рис. 8. Частотные характеристики НКУ на рис. 7
ВЫВОД
Таким образом, предложенные в статье приемы структурного синтеза НКУ путем их соединений в многоканальные иерархические устройства являются радикальным средством повышения эффективности нелинейной коррекции систем.
ЛИТЕРАТУРА
1. Попов Е. П. Прикладная теория процессов в нелинейных системах. - М.: Наука, 1973.
2. Михалев А. С. Квазирелейные системы // Радиофизика и электроника: Сб. науч. тр. - Мн., 1997. - Вып. 3.
