CC BY
7
Способы дискретизации энергетических характеристик двумерных случайных сигналов
В.В. Сюзев1, А.В. Пролетарский1, Д.А. Миков1, И.И. Дейкин1 1МГТУ им. Н. Э. Баумана, 105005, Россия, г. Москва, ул. 2-я Бауманская, д. 5/1
Аннотация
Статья посвящена способам дискретизации энергетических характеристик двумерных случайных сигналов в рамках имитации случайных сигналов по оригинальному гармоническому методу, являющемуся обобщением известного алгоритма В.С. Пугачёва на двумерный случай. Требования к способу дискретизации выдвигаются с целью снижения вычислительной сложности метода имитации и повышения его гибкости за счёт снятия ограничений по виду автокорреляционных функций и функций спектральной плотности энергии. Предлагается применение погрешности имитации в роли критерия оценки качества. Способ дискретизации рассмотрен для сигналов, заданных как на неограниченных интервалах определения, так и на ограниченных. В статье продемонстрированы результаты работы программной системы, реализующей оригинальный метод имитации с применением описанных способов дискретизации, в обоих случаях. Показана работоспособность и эффективность полученных результатов, которые имеют как самостоятельное научно-техническое значение, так и могут быть использованы для разработки новых эффективных спектральных средств имитации сигналов для использования в интеллектуальных системах поддержки принятия решений.
Ключевые слова: случайный двумерный сигнал, моделирование и имитация сигналов, базисные функции, коэффициенты Фурье, энергетические характеристики сигналов, функция спектральной плотности энергии, автокорреляционная функция, интеллектуальные системы поддержки принятия решений, сверхбыстрая обработка информации.
Цитирование: Сюзев, В.В. Способы дискретизации энергетических характеристик двумерных случайных сигналов / В.В. Сюзев, А.В. Пролетарский, Д. А. Миков, И.И. Дейкин // Компьютерная оптика. - 2022. - Т. 46, № 5. - С. 828-839. - DOI: I0.18287/2412-6179-C0-I074.
Citation: Syuzev VV, Proletarsky AV, Mikov DA, Deykin II. Techniques of sampling the energy characteristics of two-dimensional random signals. Computer Optics 2022; 46(5): 828-839. DOI: 10.18287/2412-6179-C0-1074.
Введение
Настоящая статья продолжает тему, начатую в статье, опубликованной в журнале «Компьютерная оптика» [1], и посвящена теоретическому обоснованию способов дискретизации энергетических характеристик двумерных случайных сигналов, а также практическим результатам, полученным при помощи программной системы, реализующей эти способы.
Существует множество сигналов и процессов, которые являются двумерными и обрабатывать которые необходимо двумерными методами. К ним относятся изображения, получаемые при метео- и аэрофотосъёмках, рентгеновские снимки, сделанные в медицинских целях, сейсмограммы, результаты гравиметрических и магнетических измерений, а также снимки, получаемые с помощью электронного микроскопа и используемые для анализа пространственной структуры сложных биологических молекул [2, 3]. Хотя двумерные сигналы можно обрабатывать с помощью одномерных систем [4, 5], предпочтительнее использовать двумерные системы обработки. Многие основополагающие принципы одномерной обработки применимы к случаю двумерной обработки. Однако
некоторые весьма важные понятия, относящиеся к одномерным системам, нельзя непосредственно использовать для двумерных систем.
Большинство существующих методов имитации, детерминированных и случайных, стационарных и нестационарных, а также эргодических сигналов и процессов относится к одномерным процессам. Они описываются вещественными и комплексными функциями одной переменной. В то же время в технике связи, телевидении, компьютерной томографии, радиолокации, оптических системах, антенной технике, системах технического зрения и особенно при обработке изображений различных видов и природы, в том числе используемых в интеллектуальных системах поддержки принятия решений, всё большее значение приобретают двумерные детерминированные и случайные процессы. Обозначим их х (/1, /2) и у (/1, /2) соответственно, где и и /2 являются аргументами с интервалом определения размером Т1хТ2 [6, 7]. При этом следует учесть, что в таких процессах аргументы двумерных сигналов задают не время, а координаты положения измеряемой точки на плоскости в виде прямоугольника либо квадрата.
При калибровке оборудования, обучении персонала и прогнозировании поведения некоторой системы возникает задача получения множества сигналов, задающих случайные, но реалистичные состояния системы, то есть задача имитации двумерных и многомерных сигналов. В рамках классической энергетической теории задачу имитации двумерного сигнала целесообразно сформулировать следующим образом: заданы двумерная автокорреляционная функция (АКФ) или функция спектральной плотности энергии (ФСПЭ); требуется разработать алгоритм имитации для формирования на ЭВМ дискретных или непрерывных, детерминированных или случайных сигналов или процессов с заданными характеристиками [4, 8].
Примером такой задачи является обработка радиолокационных сигналов, которая представляет собой моделирование случайных полей [6] различного типа с исходными данными в виде ФСПЭ и АКФ. Эта обработка относится к классу пространственно-временной или частотной обработки, производимой в п измерениях, где п > 1.
Многомерная обработка имеет существенные отличия от одномерной:
1) обычно для решения многомерных задач необходимо использовать значительно больший объём данных, чем при решении одномерных;
2) математические методы описания многомерных систем не отличаются той завершённостью, которая характерна для математических методов описания одномерных систем;
3) многомерные системы обладают большим числом степеней свободы, в результате чего проектирование таких систем приобретает гибкость, несвойственную одномерным. Так, все рекурсивные цифровые фильтры реализуются с помощью разностных уравнений, но в одномерном случае эти уравнения упорядочены полностью, а в многомерном случае - лишь частично.
Авторы статьи предлагают использовать эту дополнительную гибкость при создании новых способов имитации сигналов и процессов. В одномерном случае дискретизации выбирается только частота отсчётов, а в многомерном - не только частота отсчётов, но и форма растра дискретизации.
При решении задачи имитации требуется имитировать стационарные или нестационарные сигналы по заданным характеристикам и сигналы с разрывами на частотах и с минимальным переходным процессом с высокой точностью и простой настройкой на конкретные характеристики. Из всего множества общеизвестных методов и алгоритмов двумерного моделирования в наибольшей степени требованиям соответствуют методы имитации случайных полей [9 -11], метод В.В. Быкова [4], методы на основе формирующей фильтрации, в том числе метод В.Я. Катковника [6], а также методы двумерной ре-
курсивной и нерекурсивной цифровой фильтрации Л. Рабинера и Б. Гоулда [12]. Распространение получили методы, основанные на расширении по теореме Карунена-Лоэва и на факторизации матриц [13]. Все эти методы требуют при реализации большого объёма данных и высокой вычислительной сложности обработки. Стремление к вычислительной эффективности заставляет исследователей обращаться к применению скользящей средней, местных средних подразделений или методов спектральной имитации. Выигрыш в вычислительной эффективности, как правило, достигается за счёт снижения гибкости настройки на различные характеристики.
Предлагаемый в параграфе 1 новый подход к имитации, основанный на алгоритме В.С. Пугачёва [14, 15], изначально разработанном для одномерных сигналов, использует представления сигналов и процессов в спектральной области гармонических базисов и не содержит ограничений по виду АКФ и ФСПЭ. Кроме того, его применение позволяет использовать известные результаты цифровой обработки сигналов в области быстрых преобразований, которые до сих пор не теряют актуальности, например, в сфере имитации случайных полей [13, 16]. Параграфы 2 и 3 посвящены детальному описанию применяемых авторами способов дискретизации ФСПЭ: на ограниченных интервалах определения и на неограниченных соответственно. Параграф 4 описывает математически переход от полученных в параграфах 2 и 3 дискретных ФСПЭ к описанию сигналов в классе случайных событий. Параграф 5 данной статьи посвящен экспериментальному исследованию на типовых примерах предложенного оригинального метода имитации, включающего описанные способы дискретизации, реализованного в виде программной системы. Заключение призвано подвести итоги проведённой работы и наметить траекторию дальнейшего развития предложенного метода имитации в целом и используемых в нём способов дискретизации в частности.
1. Алгоритм имитации двумерных сигналов в классе случайных величин (двумерный алгоритм Пугачёва)
Описанный В.С. Пугачёвым [14] алгоритм имитации одномерных сигналов в классе случайных величин позволяет генерировать наборы случайных одномерных сигналов по задаваемой одномерной ФСПЭ [17]. Получаемые сигналы заведомо будут соответствовать энергетическим характеристикам системы, описанной ФСПЭ. Дополнительным преимуществом алгоритма В.С. Пугачёва является возможность его ускорения за счёт применения быстрых алгоритмов для вычисления входящих в его состав преобразований. Алгоритм может быть преобразован для имитации двумерных сигналов следующим образом.
Выполняется разложение теоретической автокорреляционной функции вычисляемой по форме
ФСПЭ, в тригонометрическом базисе на интервале [-Т1, Т1], [-Т2, Т2]:
г(0,0 )= -Г ЦЯ (, Х2 )йт1йт2
ТТ о 0
Т Т2
2 Т1Т2
а (, ^2 )=—ЦЯ (, Т2 )cos
ТТ о 0
&ь к 6 [0,
Г Г^1X1 + к2т2лл —--1--
N N
й\йт2
где параметры к:, к2 являются отсчётами в частотной области, параметры Т\ и Тг задают периоды сигнала по двум осям определения аргументов ¿1 и /2.
Коэффициенты а(к\, к2) принимаются в качестве дисперсии о2(к1, к2) коэффициентов У(к1, к2) и и (к1, к2) в искомом разложении:
О2 (0,0) = а(0,0), О2 (к1,к2) = а(к1,к2).
Если Т1 и Т2 - достаточно большие интервалы по двумерному времени, то их можно считать равными бесконечности. Тогда применимо уравнение Винера-Хинчина для двумерного случая, устанавливающего связь между ФСПЭ и АКФ стационарного в широком смысле двумерного процесса, преобразование Фурье для которого может не существовать:
8е (0,0) = 4||ят (тьт2 )йт1йт2
где 8е (0, 0) - значение ФСПЭ в нулевой точке частотной области. Из него следует:
ЦЯ (тьт2 )йт1йт2 =
SE (0,0)
тогда:
О2 (0,0) =
SE (0,0)
О2 ( к2 ) =
4ТТ2
S е | к, к9
е| т Т2 2
(1)
2Т1Т2
2
=-ЦЯ ( Х2 )cOS ((0\X\ + ю2 т2 )й т1т
ТТ2 0 0 кь к2 6 [0, го),
(2)
где:
SE ((01, ( ) =
2 го го
= ТТ11Кт (12)ехр [] ((0\x\ + ™2Х2 )] йтйХ2.
-го-го
(3)
Из уравнений (1 - 3) получаем следующие формулы для спектральных коэффициентов в тригонометрическом базисе:
ХЧ (0,° п^ТТг=о(0,0),
JSEI к1 —, к2 Т1
^ Т,Т Т = о((,к2),кьк2б[0,го). 2тТ2
Имитированный тригонометрический ряд:
у (А/, i2 А/ ) = V (0,0) +
+ХХ^(к2—Гk\i\ . к22
к =0 кг =0 I
—1 +
N ы2
+и (к1, к2) sin
1 6 [0, N1), i2 6 [0, N2).
k2i2 — I--1--
N Ы2
Параметры ц, /2 являются отсчётами в пространстве или в многомерной временной области, причем А/ - шаг дискретизации. М, N задают дискретные граничные частоты сигнала. Алгоритмическая автокорреляционная функция (корреляционная функция двух копий у (¿1, /2) и у (11 , 12) одного процесса) Ял(Т1, т2), учитывающая природу спектральных коэффициентов, после ряда тригонометрических преобразований примет вид бесконечного ряда:
М [ у (¿1, ¿2) у (12)] = ХХ О2 (кь к2 ) х
к = 0 к2 =0
х < cos
2—| М + М.
Т Т2
cos
2—| М- + М.
Т Т2 .
2—| М + к2 ¿2
+Sln
Т Т2
= ХХо2 ( к
к =0 кг =0 I
= Я4 (¿1 _l\,¿2 -12 ) =
= ХХ ХХо2 ( к2 )
2—| М. + к212
cos
л
Т Т2
Г к (¿1 -11) + к (¿2 -12 )
Т
Т
к1Т1 к2 Х2 —|--1--
Т Т2
> = Я4 (11,12 ).
Величины У(к1, к2) и и (к1, к2) являются некоррелированными случайными числами с параметрами (0, Т 2 (к1, к2)). При практической реализации алгоритмов имитации и АКФ бесконечные ряды усекаются с учётом задаваемой точности имитации е:
1 -
1
М1 М2
Я (0,0 )п к2
ХХо2 ( к2 )<е,
(4)
где е - малая величина. Неравенство (4) выражает тот факт, что сумма дисперсий должна быть равна дисперсии моделируемого процесса. При помощи выражения (4) подбираются верхние границы М1 и М2,
обеспечивающие необходимую точность, и записываются собственно имитационные ряды:
у (м, ¿2 а/2 ) = v (о,о)+
М1 м2 I
+22^ (к2
к = 0 к2 =0 I
к1/1 к2(2 К |--1--
М М2
+и (кь к2
к1/1 к2(2 к |--1--
М м2
Ял (1, Т2 )= Ял ((хАГ,, ¿2 А/2 ) = М М2 Г (кт
=XXV (кь к2 ^ к (^т
=0 к2 =0 [V
¿1 е [0, МО, ¿2 е [0, N2),
к2 т2
N2
где ¿1, ¿2 - дискретные отсчёты; А/1 и А/2 - шаги дискретизации по осям /1 и /2. Дискретные верхние частоты связываются с периодом сигнала и шагами дискретизации:
N. =
А/!
N2 =-
А/,
В представленном виде алгоритм имитации по сути является обобщением одномерного алгоритма В.С. Пугачёва на двумерный случай. Важной особенностью алгоритма Пугачёва является возможность преобразования его в быстрый алгоритм имитации для снижения вычислительной сложности.
2. Способ дискретизации энергетических характеристик двумерных случайных сигналов, заданных на неограниченных интервалах определения
В случае, если интервал определения ФСПЭ бесконечный, то в аналитическом выражении спектра для наглядности используется формальная двумерная частота Ю1», Ю2*, что позволяет представить ФСПЭ в графическом виде (рис. 1).
Рис. 1. Дискретизация двумерной ФСПЭ, заданной на неограниченном интервале определения
При этом частоты среза Юш и Ю2С заранее не задаются, а четыре части области определения ФСПЭ могут рассматриваться независимо как Бе (0, 0), Бе (пАЮ1, 0), Бе (0, тАю2) и Бе (к:АЮ1, к2АЮ2). Две части Бе (пАю1, 0) и Бе (0, тАю2) по сути представляют одномерные функции, определённые по осям Ю1 и Ю2. Аргументы п, т, к1 и к2 являются дискретными отсчё-
тами, а АЮ1 и АЮ2 являются шагами дискретизации по осям Ю1 и ю2 соответственно.
Определение всех ФСПЭ может быть выполнено с помощью операции дискретизации ФСПЭ с допустимой точностью приближённого представления всех Бв (пАюь 0), Бв (0, тАю2) и Бв (к1Аю1, к2Аю2) с помощью заданной частоты среза.
2.1. Дискретизация одномерных составляющих сигнала, образующихся на осях определения
Рассмотрим одномерные ФСПЭ, образующиеся на осях Ю1 и Ю2. Целесообразно преобразовать ФСПЭ, сделав переход от переменных Ю1 и Ю2 к переменным Ю1* и Ю2* соответственно: Х1 = Ю1/Ю1*; Х2 = Ю2/Ю2*.
Остановимся на оси ю1. Представим обобщённую запись Бв (Ю1, 0) в виде Бв (Х1Ю1*, 0). Энергия такого процесса будет равна:
В = о2 =ЮИ Гбе (х1ю1,,0)ёх1. к
При дискретизации часть мощности, распределённой на интервале [хю, ®) по теореме В.А. Котельникова, отразится в низкочастотную область спектра и исказится [18]. Принимая эту часть энергии пренебрежимо малой, например Ер, где параметр дискретизации ре [10-3,10-2] можно записать как:
Ер=— ГБе (х1ю1.,0)аХ1.
Это уравнение задаёт процедуру определения и дискретизации ФСПЭ. Однако уравнение содержит операцию интегрирования, которая аналитически вычисляется не для всех Бе (х1ю1*, 0). Решением этой проблемы является способ определения Юю с использованием взаимосвязи частот х1с = Ю1с /ю1* в такой точке частотной оси, в которой значение ФСПЭ равно незначительной доле от максимального значения Бе (0, 0). Математически это выражается так: рБв (0, 0) = Бе (хюЮр, 0), что позволяет представить процесс преобразования Бе (Ю1, 0) в виде следующих общих выражений:
Бе (Ю1,0) = Бе (х1®1,,0), Ю1 е [0,«>),
рБв (0,0) = Бе (хюЮ1*,0), Ю1* =
Ю1С
х1С
ре [10-3,10-2], Бе (юь0) = Бе (к1Аю1,0).
Зная Бе (к1Аю1, 0), по уравнению можно определить значения коэффициентов Фурье ХФЧ(0,0), ХФЧ(п, 0), ХФЧ(0, т), ХфЧ(к1, к2), присутствующих в алгоритмах имитации.
Для иллюстрации рассмотренного подхода к дискретизации возьмём Бе (Ю1, 0) дробно-рационального вида:
Бе (ЮЬ0) =
2о2Ю1* Ю2 + Ю2
Ю1 е [0,
(5)
где о2=1.
Функция спектральной плотности энергии преобразуется к следующему виду:
Бе (ЮЬ0) = Бе (х1Ю1,,0) =
2Ю1,
Ю2, (1+х2) ю1, (1+х2)
тогда
2 2 р—= ■
— Ю1, (1+х?с)
или
р = "--, х1с =
1 + хС
1 -р
Отсюда следует уравнение связи Ю1* и Ю1с:
Ю1, = Ю1с
1 -р = Ю1^л/р
р
Для дискретизации ФСПЭ в формулу (5) подставляется значение Ю1*. Тогда:
Бе (Ю1,0) =
2®!
р(1 -р)
Ю!2ср + (1 -р)®2 '
Подстановка предельных значений р = 0,01 и р = 0,001 приводит к следующему виду ФСПЭ:
р = 0,01 ^Бе ( — ,0 ) =
р = 0,001 ^Бе (сю,0) =
2ю1^0,0099 0,01 ®2с + 0,99®2 , 2®!^0,000999
0,001 ю?с + 0,999—? Если теперь подставить в (5) значения частоты:
/а 2к, 2к
= к1Аю1 = — к =-кь
Т1 м1а/1 1
принимая А/1= Аtk = к /—1с, получатся дискретные значения частоты:
к1Аю1 =——к1, к1 = 0,1,...
N1
и соответствующие им значения дискретной ФСПЭ:
Бе (®1,0) = БЕ | ^,0] = ^^ П ' Е| N1 ь J ю1с ((+ 4к12 (1 -р))
2 N12^/99
2 N^0,0099 = Ю1с ((2 + 3,96к12) = Ю1с ((2 + 396к12)
р = 0,01;
Бе (®1,0) = Бе | ■—с кь0 | = ,2^999 , К ' V N1 " J Ю1с ((2 + 3996к12]
р = 0,001.
Для получения дискретных коэффициентов Фурье используем отсчёты п, т на осях —1 и —2 в качестве номеров таковых коэффициентов. В результате для нечётных N и р = 0,01 получим:
БЕ (пА—1,0) =
2—2^ р(1 -р) = 2 N12^/99
—ср + (1 -р)—2 Ю1с ((2 + 396к12
19,9N12
2ТМс [ N12 + 396п2 ]'
Здесь учтено, что Хфч(п, 0) =Хфн(п, 0) при Хк,0 = 1. По аналогии находится ФСПЭ и коэффициенты по т:
Бе (0, тА—2) =
2 N1799
Хфч (0,т) =
—2с ((22 + 396к12)'
I 19,9 N2
2Т22 —2с [N2 + 396т2 ]
, т е
N1 -1
Значения нечётных коэффициентов Фурье ХФН(п, 0) и ХФН(0, т) легко находятся из соотношения
ХФН(0, т) =А,0,т ХФЧ(0, т).
2.2. Дискретизация двумерных составляющих сигнала в произвольной точке области определения
Для преобразования двумерной части области определения (не расположенной на осях определения) запишем общую ФСПЭ двумерных сигналов. Она равна Бе (—1, —2), —1, —2е [0, да) и после преобразований, описанных в пункте 2.1, принимает вид Бе (х^*, х2—2*), где х1 = —1/0)1% х2 = —2 /—2*. Энергия такого процесса равна:
Е = о2 = —2* Г Г Бе (х!—!*, х2—2* )ёх1ёх2.
К 0 0
Прямая дискретизация ФСПЭ искажает её, отражая часть двумерного спектра в низкочастотную область. По аналогии с одномерным случаем, разобранным в пункте 2.1, целесообразно использовать двумерные частоты среза —1с и —2с, связав их с вспомогательными частотами —1* и —2* посредством х1с = —1с /—1* и х2с = —2с /—2* в такой точке двумерной частотной оси, в которой значения ФСПЭ равны незначительной доле от максимального значения Бе (0,0) (рис. 1).
Математически это выражается уравнениями
рБв (0,0) = Бе (хю —1,, х2с —2,),
где параметр дискретизации р имеет такой же интервал определения, как одномерные варианты ре [10-3,10-2]. Используются нормированные по энер-
гии сигналы с Е=1 Дж с дробно-рациональными ФСПЭ вида:
SE ((01, Ю? )
2 + Ю2*) Юр + ю?, + Ю? + Ю?
Для таких сигналов:
2 + Ю2*)
SE (0,0)=-
Ю;2, + (2*
SE (( , Ю2С ) =
2 ((, + ю2* )
ю?, + ю?, + ю2с + ю?с
Параметр р будет равен:
Р =
SE ( (1С , Ю2С ) = (?, + Ю?,
Ю?, + (2, + Ю12С + Ю2С
где можно учесть, что Ю1С = Х1СЮ1*, ю2с = Х2СЮ2*, в таком случае появляются разные варианты записи дискретной области определения спектра и сигнала:
Рассмотрим интервал ЫхЫ. Для него х1 = х2С = хС (т.е. частоты среза по осям будут равными). Тогда:
Р=-
Ю?, + Ю?,
1
1+хС) ( ю?» + ю?, ) 1+х
(6)
и совпадает с р одномерного сигнала. Преобразуя выражение (6), можно получить формулу:
j\-р юС юС 1 -р
—^ = — =-^ Ю1, = ю?, = Юс .—-
з ю1, ю2, V р
4 Юс
SE (юь ю? ) =
р
1 -р
2(С р
1 -р
+ Ю? + Ю?
Перейдём к дискретным значениям частот. Так как одномерные проекции были приведены в пункте 2.1, здесь рассмотрим коэффициенты с двумя непрерывными проекциями ХФЧ(к1, к?), включая и коэффициенты с нулевыми номерами ХФЧ(0, 0). В этом случае:
2—, 2— , 2юс
Ю1 = к1Аю1 = — к = 1 Т ым
к =-к
1 N
2—. 2— . 2юс, Ю2 = к? Аю2 = — к? =-к? =-к?.
? ?? Т ША/ N
Для чётного N
Ю = —кь ю? = —к?, к 6 [1,N1, к? 6 [1,N1.
N N
Для нечётного N
Ю = ю? = -^к?, к 6 [1, N-11, к? 6 [1, N -11.
N-1 1 N-1 ? 11 ] ? 1 ]
Тогда:
SE (0,0) =
2л/99 19,9
Юс Юс
SE (k\АЮ\, к? Аю2 ) =
2799N2
Юс [N2 +198(к? + к?2 ))
Коэффициенты Фурье для чётных значений N равны:
XЧ (0,0) = ./==.1= 0.95.
Хфч (кь к? ) =
2799N2
22,171
[49 +198 (к? + к
2юСТ4 ((2 +198 (к? + к?2))
к 6 [1,N], к? 6 [1,N].
Преобразования выполнены для р =10-2 и Х,к1,к2=1. Нечётные значения N требуют корректировки - замены в формулах N на N-1.
При N^N2 частоты примут следующий вид:
( =
2Юс , 2Юс ,
к1, ю2 =-к2.
N1 Щ?
ФСПЭ принимает вид:
2
SE (юь Ю? ) = ■
Ю2с
р + Ю?с
1 -р
р + Ю?с р
1 -р 1 -р
1 -р
+ Ю? + Ю?
Квантование приводит ФСПЭ к такому виду: SE (к1Аю1, к? Аю2 ) =
= 2^1 р (1 -р) (Ю1с + Ю?с )
р(ю?с +Ю?с) + 4 (1 -р)
Ю1?ск1 + Ю?ск2
N2 N11
При чётных М и N2 имеем: к 6[1,N1 ], к? 6[1,М?].
Коэффициенты Фурье будут иметь следующий
вид:
Ыр(1 -р) (Юс +Ю?с )
ХфЧ (0,0) = ^ р((с +Ю?с ) ' Хфч (к1,к? ) = ^2^р(1 -р))(1с +Ю?с ) /
(7)
/ 2Т12Т?2
р(ю?с +Ю?с) + 4 (1 -р)
Ю1?ск1 +_ю?ск?
Л? N2
В случае нечётности М1 или N2 требуется их замена в формулах на N^1 и N2 -1 соответственно, как и в
случае М=Ж2=Ж. В отличие от случая име-
ется не два варианта, а четыре - каждый из параметров к1 и к2 может быть чётным или нечётным независимо от другого. В приведённых рассуждениях параметр Л,к1,к2=1.
Дискретная теоретическая АКФ на одномерных участках будет равна:
ЯТ (ть0) = е *1-р , т1 е [1,М],
Ят (0, т2) = е^^-", т2 е [1, Ы2 ]. На двумерном участке:
, ^ -—/-т -—I-"2 -—|-(т1 +т2 )
Ят ("1, "2 ) = е ^ е *1-р = е V1-/ \
т1 е [1,N], т2 е [1,Ы2].
АКФ Ят (0,0) = 1 показывает, что сигнал центрирован по энергии. Диапазоны значений т1 и т 2 также зависят от чётности N и Ы2, как и диапазоны к1 и к 2. Полученные коэффициенты позволяют перейти к имитации сигналов с непрерывной ФСПЭ. Однако энергетическая характеристика сигнала может быть ограниченной по области определения. Такой случай требует отдельного рассмотрения.
3. Способ дискретизации энергетических характеристик двумерных случайных сигналов, заданных на ограниченных интервалах определения
В случае, если ФСПЭ сигнала конечна по области определения, то в аналитическом выражении спектра 5е(Ю1,Ю2) формальные частоты не используются, а задаются частоты среза Юю и Ю2С и сама конфигурация ФСПЭ. Как и в параграфе 2, вся конечная область определения делится на четыре части, которые также являются конечными: БЕ(0,0), Бе(пДю1, 0), БЕ(0, тДю2) и Бе^Дюь к2ДЮ2). Две части Бе(пДЮ1, 0) и Бе(0, тДюО представляют одномерные функции, определённые на осях ю1 и ю2. Определение всех ФСПЭ и соответствующих им коэффициентов Фурье возможно по теоретической непрерывной ФСПЭ.
В качестве примера рассмотрим ФСПЭ, ХФч(к1, к2), АКФ и имитационные случайные ряды для сигналов двумерного физического белого шума (рис. 2).
Рис. 2. Дискретизация двумерной ФСПЭ «белый шум», заданной на ограниченном интервале определения
На рис. 2 видно, что
Бе (Ю1,Ю2) = 5°, Ю е [0,Ю1С], Ю2 е [0,Ю2С].
Для остальных Ю1 и ю2:
Бе (Ю1,Ю2 ) = 0.
По уравнению Винера-Хинчина энергия (дисперсия) равна:
1 ®1С Ю2С
Е = о2 =ЯТ (0,0) = — | | Бе (ю1,Ю2)ёю1ёю2. (8)
- 0 0
При этом следует, что энергия геометрически с точностью до константы 1/-2 совпадает с объёмом фигуры, описываемой ФСПЭ:
Е (ю1, Ю2 ) = о2 (Ю1, Ю2 ) = — Б0 Ю1Ю2.
-2
Для Е = о2 = Б0Ю1Ю2 /-2, а при Ю1с = ю2с придём к Е = о2 = уБ°юс2/-2. Для нормированных по энергии сигналов, в которых Е = о2 = 1, получим параметр Б0 = Т1Т2/4МсN20 Так как N1 = 2Ме, а N2 = 2Ж2с, то Б0 = Т1Т2 /N1 N2. Здесь учтено, что
N10 = Ю1с /ДЮ1 = Ю1сТ1/2-; N20 = Ю2с /ЛЮ2 = Ю2сТ2 /2-. С учётом того, что Т1 = МД^ = N1- /Юю; Т2 = N2Дt2 = N2- /Юге, далее можно получить N10 = N1 /2, N2.с = N2 /2. Таким образом, N1 и N2, Т1 и Т2 - интервалы определения сигналов по осям и и t2 (или п и i2), а МС и N2С - максимальное число прямых (не сопряжённых) коэффициентов Фурье по осям Ю1 и Ю2 (или к1 и к2). Определим ФСПЭ во всех четырёх областях, что позволит найти коэффициенты Фурье. ФСПЭ для проекции по оси Ю1 примет следующий вид:
тт_
N1
о? = 1.
Бе (юь°) = 5°, ю е [0,Ю!С],Б° =
Для других Ю1: БЕ (Ю1,0) = 0.
ФСПЭ для проекции по оси Ю2 будет определяться аналогично. Для точки (0,0):
5Е <°,° > =50=Ш
Для прямоугольника М х^:
БЕ (Юь Ю2 ) = 5°, Ю =[°, Юю ], Ю2 =[°, Ю2с]. Для других Ю1: БЕ (юьЮ2 ) = 0.
ФСПЭ позволяет определить коэффициенты Фурье:
XФЧ (0,0 ) = .
БЕ (0,0)
1
Т1Т2
XФЧ (кь0) =
SE| ^Tfю\,0
Т1? (1 + ^?1) ^Т N1 (1 + 4)'
Xфч (0,к? ) =
SE| Ю?
(9)
) Т?? (1 + 4 ) ^Т?N2 (1 + *? )
Хфч (к1, к?) =
„ , 2— 2—
SE | — Юь — Ю?
Т1
Т?
]) Т1?Т?2(1) =
Теоретическая АКФ определяется из приведённого ранее уравнения Винера-Хинчина (8). Полученные результаты позволяют перейти непосредственно к новому методу имитации случайных сигналов в классе случайных событий, он описан в следующем параграфе.
4. Новый метод имитации двумерных случайных сигналов в классе случайных событий
При разработке случайных алгоритмов имитации используются детерминированные коэффициенты Фурье с внесением в них случайных элементов в виде некоррелированных параметров ц(к, к?) и у(к, к2), принимающих значения «+1» и «-1». Чтобы получаемые при этом сигналы представляли собой эргоди-ческий стандартный процесс, параметры ц ц(к, к?) и 7(к1, к?) должны удовлетворять следующим условиям:
М [ц(кь к? )] = М [ у(к1, к?)] = 0,
М [ц? (кьк?)] = М [у2 (кьк?)] = 1,
М [ц(к1, к? )ц(ть т? )] = М [ у(к1, к? )у(ть т? )] =
= М [ц(к1, к? )у(т1, т? )] = 0, к1 Ф т1, к? Ф т2.
Приведенные условия позволяют сформировать случайные элементы полных базисов Фурье для различных X, NN и N2. Сокращая объём аналитических преобразований, остановимся только на чётных значениях М1 и N2 (параметр N получается автоматически путём приравнивания N и N2). Случайный спектр Фурье может быть получен из детерминированного, представленного в пунктах 2.1 и 2.2:
У ф (0,0) = ц(0,0)Хфч (0,0),
Уф (и,0) = [ц(и,0)-уу(и,0)]Хфч (и,0),
У» (и,0) = [ц(и,0) + Уу(и,0)]Хфч (и,0),
Уф (0,т) = [ц(0,т)-уу(0,т)]Хфч (0,т),
У» (0,т) = [ц(0,т) + уу(0,т)]Хфч (0,т),
Уф (кь к?) = [ц(кь к?) - ] у (к, к?)] Хфч (к, к?),
У» (к1, к?) = [ц(кь к?) + /у(кь к? )] Хфч^, к?).
По спектру можно представить случайный ряд Фурье уО'ьг'г), используя методику, описанную в пункте 1 данной статьи. Полученный ряд используется для вычисления алгоритмической АКФ:
КА (тьт? )= М [у (/ьI? )у (/ьI? )],
а также экспериментальной АКФ - функции корреляции итогового имитационного сигнала и копии такого же сигнала с задержками т1 и т2 по соответствующим измерениям:
N т -1 N2 т -1
X X у ('1,'? )у ('1 + т1,'? + т?)
ЯЭ (т1, т?) = —^-^-—---,
П ' (N1 -т1 ))? -т?) '
и средней погрешности имитации:
N N2
X X К (тьт?)-Яэ (тьт?)|
да = т1 =0 т? =0_
А _ N1 N2 '
т1 6 [0,М\], т? 6 [0,М2].
При разработке алгоритмов имитации и АКФ используются коэффициенты Фурье, приведённые в формулах (7) и (9). Наличие формул для вычисления ФСПЭ, коэффициентов, сигнала и всех трёх АКФ позволило спроектировать программную систему. На основании оригинального математического описания полученные алгоритмы реализованы в программной системе имитации двумерных сигналов в базисе Фурье.
5. Экспериментальное исследование алгоритма
имитации двумерных сигналов в базисе Фурье
Программная система имитации двумерных сигналов в базисе Фурье основана на оригинальном спектральном методе имитации в классе случайных событий, описанном выше. Алгоритмы, реализованные в компонентах программной системы, требуют отдельного экспериментального тестирования на типовых примерах. Ниже рассмотрены два примера: один для сигналов с бесконечной или неограниченной ФСПЭ, другой - с ФСПЭ, ограниченной по частотам среза.
5.1. Имитация случайных сигналов с ФСПЭ, заданной на неограниченных интервалах определения
Рассмотрим пример со следующими входными данными: N =7, Т=1 с, Юс =7— рад /с, Л,к1,к2 = 1, Мк = 1/7 с, р = 10-2. ФСПЭ в важных точках в таком случае примет следующий вид:
SE (nA®b0) = SE (0,mA®) =
975,09
SE (k1A®!,k2A®) =
7 л (49 + 396n2)
975,09 7л (49 + 396m2)
975,09
, n, m<
I0,6 ],
7 л(49 +198 (2 + k22))' 19,9
k1 e [0,6], k2 e [0,6], SE (0,0) =
®c
На рис. 3а приведены результаты построения дискретной ФСПЭ, соответствующей заданным условиям, по которой можно получить следующие значения коэффициентов Фурье:
XФЧ (0,0) = 0,95, XФЧ (n,0) =
Хфч (0,m) =
19,9 х 49
22,171
(49 + 396m2)
14л (49 + 396n2) , n, m e [0,6],
22,171
ХФТЧ (к2 ) = ^49 +198( + )
к1 е [0,6], к2 е [0,6].
Данные коэффициенты Фурье используются для построения или имитации сигналов, но для возможности случайной имитации используются дополнительные коэффициенты ц и у [1, 16]. При задании
всех этих коэффициентов равными 1 происходит имитация детерминированного сигнала, результаты которой приведены на рис. 3б. При задании коэффициентов в пространстве случайных событий происходит имитация случайных сигналов, одна из реализаций которых приведена на рис. 3в.
Теоретическая АКФ рассчитывается напрямую из исходных данных и не учитывает структуру коэффициентов или природу конечного сигнала:
RT (m1, m2) = exp(-m1 e [0,6], m2
л/99 [0,6 ].
( + m2)),
График теоретической АКФ приведён на рис. 3г. Алгоритмическая АКФ вычисляется на основании коэффициентов Фурье, полученных ранее:
Ra (mb m2) = M [y i2 )y (¿1, ¿2)] =
6 f 2л = ХфЧ (0,0) + 4^ХфЧ (n,0) cos I — nm1
n=1 V 6
+4^ ХфЧ (0, m) cos I — mm2 | +
m=1 V 6 )
+4Z Z ХфЧ (k1, k2) cos |(k1m1 + k2m2 )),
k =1 k2=1 m1 e [0,6], m2
:[0,6 ].
г)
б)
д)
е)
Рис. 3. График неограниченной ФСПЭ (а); график сымитированного детерминированного сигнала (б); график сымитированного случайного сигнала (в); график теоретической АКФ (г); график алгоритмической АКФ (д); график
экспериментальной АКФ детерминированного сигнала (е)
График алгоритмической АКФ приведен на рис. 3д. Сравнение алгоритмической и теоретической АКФ позволяет оценить качество вычисления коэффициентов. Однако необходимо заметить, что периодическая природа алгоритмической АКФ, объясняющая симметричность графика, оставляет свой вклад в вычислении погрешности.
Экспериментальная АКФ вычисляется на основании сымитированного сигнала, детерминированного или случайного:
Rэ (mb m2 ) = 1
6 - mj 6 - m2
Z Z У(¿1,¿2)y(¿1+ m1,¿2 +m2),
(7 -"1 )(7 -"2) *=1 ¿2=1 т1 е [0,6], т2 е[°,6].
График экспериментальной АКФ для одной реализации случайного сигнала приведен на рис. 3е. Экспериментальная АКФ рассчитывается по сымитированному сигналу и учитывает его случайную или
детерминированную природу. При имитации детерминированного сигнала была вычислена средняя погрешность:
N1 N2
Л П т1 = 0 т? = 0 АИА ср =-
X X Иа (тьт?)-Яэ (тьт2)|
N1 N2
- = 0,37.
5.2. Имитация случайных сигналов с ФСПЭ, заданной на ограниченных интервалах определения
Рассмотрим пример со следующими входными данными: N1 = 9, N2 = 5, Т=1 с, Юю =9— рад /с, Ю2С = 5— рад /с, Хкт =1, А/1 =1/9 с, Д/2 =1/5 с.
Вычислим коэффициенты Фурье:
Хфч (0,0) = 0,149, Хфч (п,0) = 0,236,
Хфч (0,т) = 0,3165, п 6 [0,8], т 6 [0,4],
XФЧ (к1, к2) = 0,105, к1 6 [0,8], к2 6 [0,4].
Эти коэффициенты позволяют получить случайные коэффициенты и затем случайные сигналы. На рис. 4а приведены три реализации случайного сигнала с ограниченной ФСПЭ.
Алгоритмическая АКФ на основании новых значений коэффициентов будет вычисляться следующим образом:
Яа (ть т?) = М[у ((, ¡?)у ()] =
2—
= Xфч (0,0) + 4X Xфч (п,0) сое | — птх
+4XХ?ч (0,т)соБ| — тт2 ) + (10)
т=1 V 4 )
XX2Ч (к1,к? )со^V2— [кг + к?)),
т1 6 [0,8], т2 6 [0,4].
На рис. 4б приведен график алгоритмической АКФ, рассчитанной по формуле (10). Формула экспериментальной АКФ совпадает с предыдущим примером и позволяет получить графики различных реализаций, приведённых на рис. 4в. Разброс амплитуд случайных сигналов разнится, как и ожидается от случайной системы, сохраняя сходную общую природу поведения. Найденные значения средней погрешности для двух реализаций равны 0,15 и 0,21, что демонстрирует большую приспособленность метода к имитации сигналов с ФСПЭ в форме белого шума. Общая погрешность имитации для обеих рассмотренных форм ФСПЭ лежит в допустимом на данном этапе разработки диапазоне, однако дальнейшее развитие метода подразумевает повышение точности.
б)
Рис. 4. Графики трёх реализаций случайного сигнала с ограниченной ФСПЭ (а); график алгоритмической АКФ (б); графики экспериментальной АКФ для двух реализаций случайного сигнала (в)
Заключение
Данная статья продолжает серию статей, направленных на исследование новых методов и моделей энергетической теории цифрового матричного про-цессинга, в рамках которого планируется разработка основ энергетической теории цифрового матричного представления и преобразования реальных сигналов для создания быстрых алгоритмов, обеспечивающих снижение вычислительной сложности и повышение точности восстановления сигналов применительно к нанотехнологическим процессам.
Сравнительный анализ методов имитации двумерных сигналов привёл к формулировке оригиналь-
ного метода имитации в гармоническом базисе Фурье. В статье детально описаны разработанные методы дискретизации функций спектральной плотности энергии, являющиеся важной подготовительной частью процесса имитации в базисе Фурье.
Реализована программная система имитации, на двух типовых примерах показана работоспособность и эффективность полученных результатов, которые имеют самостоятельное научно-техническое значение и могут быть использованы для разработки новых эффективных спектральных средств имитации для интеллектуальных систем поддержки принятия решений [19 - 221.
п=
Дальнейшее развитие связано с применением рассмотренного спектрального метода для имитации в других базисах и разработкой быстрой версии алгоритма [23]. Также возможно дополнение метода имитации дискретизацией ФСПЭ с формой растра дискретизации, отличной от прямоугольной, и, в долгосрочной перспективе, постепенное приращение точности имитации и размерности имитируемых сигналов [24, 25].
Благодарности
Работа выполнена при поддержке Министерства науки и высшего образования в рамках выполнения работ по Государственному заданию «Фундаментальные исследования методов цифровой трансформации компонентной базы микро- и наносистем» (проект № 0705-2020-0041).
Способы имитации, предложенные в статье, будут использованы при разработке и отладке интеллектуальных систем поддержки принятия решения (проект по программе «Университеты 2030» Минобрнауки), а также при разработке корреляционной теории моделирования многомерных сигналов и процессов в гибридных системах искусственного интеллекта реального времени (проект по гранту Российского Научного Фонда, Соглашение от № 22-11-00049 от 12.05.2022 г.).
References
[1] Syuzev VV, Smirnova EV, Proletarsky AV. Algorithms of multidimensional simulation of random processes. Computer Optics 2021; 45(4): 627-637. DOI: 10.18287/2412-6179-C0-770.
[2] Dudgeon DE, Mersereau RM. Multidimensional digital signal processing. Prentice Hall; 1983.
[3] Yaroslavsky LP. An introduction to digital imaging [In Russian]. Moscow: "Sovetskoe Radio" Publisher; 1979.
[4] Bykov VV. Digital modeling in statistical radio engineering [In Russian]. Moscow: "Sovetskoe Radio" Publisher; 1971.
[5] Deykin II. One- and unidirectional two-dimensional signal imitation in complex basis (Extended abstract). In Book: Thalheim B, Makhortov S, Sychev A, eds. Data analytics and management in data intensive domains. Extended abstracts of the XXII International Conference DAMDID/RCDL' 2020. Voronezh: Voronezh State University Publisher; 2020: 229-232.
[6] Katkovnik VY, Poluektov RA. Multidimensional discrete control signals [In Russian]. Moscow: "Nauka" Publisher; 1966.
[7] Sotnikov AA, Yakupov SZ, Romanovsky AS. Application of simulation modeling for control of computing systems of hydro-location complexes [In Russian]. Science and Education 2013; 6: 351-364. DOI: 10.7463/0613.0570096.
[8] Shaktarin BN. Random processes in radio engineering: A series of lectures [In Russian]. Moscow: "Radio i Svyaz" Publisher; 2000.
[9] Abdulkadhim HA, Andriyanov NA. Brief review on random fields modeling method [In Russian]. Radio-elektronnaya Tehnika 2018; 1(11): 139-142.
[10] Vasilyev KK, Andriyanov NA, Abdulkadhim HA. Efficiency of filtering random fields with multiple roots of characteristic equations [In Russian]. Radiotehnika 2018; 6: 20-23.
[11] Podrouzek J, Vorel J, Wan-Wendner R. Random and gradient based fields in discrete particle models of heteroge-
neous materials. 1st Int Conf on Uncertainty Quantification in Computational Sciences and Engineering 2017: 605615. DOI: 10.7712/120217.5396.16710.
[12] Rabiner LR, Gold B. Theory and application of digital signal processing. Prentice Hall; 1975.
[13] Liu Y, Li J, Sun S, Yu B. Advances in Gaussian random field generation: A review. Comput Geosci 2019; 23: 1011-1047. DOI: 10.1007/s10596-019-09867-y.
[14] Pugachev VS. The theory of random functions and its application to problems of automatic control [In Russian]. Moscow: "Fizmatlit" Publisher, 1962.
[15] Syuzev VV. Fundamentals of the theory of digital signal processing [In Russian]. Moscow: "RTSoft" Publisher; 2014.
[16] Deikin II, Syuzev VV, Gurenko VV, Smirnova EV, Lyubavsky KK. Simulation of random bandpass signals in a complex basis [In Russian]. Problems of Modern Science and Education 2019; 11(144): 9-14.
[17] Syuzev VV, Gurenko VV. Harmonic algorithms for signal simulation within the framework of the correlation theory [In Russian]. Herald of the Bauman Moscow State Technical University. Series Instrument Engineering. 2017; 4: 98-117. DOI: 10.18698/0236-3933-2017-4-98-117.
[18] Kotelnikov VA. On the bandwidth of ether and wire in telecommunications [In Russian]. Materials for the I All-Union Congress on the issues of technical reconstruction of communications and the development of low-current industry 1933.
[19] Kanev A, Terekhov V, Kochneva M, Chernenky V, Skvort-sova M. Hybrid intelligent system of crisis assessment using natural language processing and metagraph knowledge base. 2021 IEEE Conf of Russian Young Researchers in Electrical and Electronic Engineering (ElConRus) 2021: 2099-2103. DOI: 10.1109/ElConRus51938.2021.9396100.
[20] Suyatinov SI, Buldakova TI, Vishnevskaya JA. Identification of situations based on synergetic model. 2021 3rd Int Conf on Control Systems, Mathematical Modeling, Automation and Energy Efficiency (SUMMA). 2021: 509-514. DOI: 10.1109/SUMMA53307.2021.9632207.
[21] Skvortsova M, Grout V. Basic approaches to assessing risks and threats in decision support systems. 2018 IEEE Conf of Russian Young Researchers in Electrical and Electronic Engineering (EIConRus) 2018: 1563-1566. DOI: 10.1109/EIConRus.2018.8317397.
[22] Andreev A, Berezkin D. Kozlov I. Approach to Forecasting the development of situations based on event detection in heterogeneous data streams. In Book: Kalinichenko L, Manolopoulos Y, Malkov O, Skvortsov N, Stupnikov S, Sukhomlin V, eds. Data analytics and management in data intensive domains. DAMDID/RCDL 2017. Cham: Springer; 2018: 213-229. DOI: 10.1007/978-3-319-96553-6_16.
[23] Syuzev VV. Digital signal processing: methods and algorithms. Part 2: Fourier transforms in classical and generalized bases, fast DSP algorithms on static and sliding time intervals [In Russian]. Moscow: "Research Institute of Radio Electronics and Laser Technology" Publisher; 2012.
[24] Smirnova EV, Syuzev VV, Samarev RS, Deykin II, Prole-tarsky AV. High-dimensional simulation processes in new energy theory: Experimental research (Extended abstract). In Book: Thalheim B, Makhortov S, Sychev A, eds. Data analytics and management in data intensive domains. Extended abstracts of the XXII International Conference DAMDID. Voronezh: Voronezh State University Publisher; 2020: 160-163.
[25] Gurenko VV, Bychkov BI. The discretization of the energy characteristics of signals in harmonic simulation algorithms. 2019 IEEE Conf of Russian Young Researchers in Electrical and Electronic Engineering (EIConRus) 2019: 2142-2147. DOI: 10.1109/EIConRus.2019.8657153.
Сведения об авторах
Сюзев Владимир Васильевич, 1946 года рождения, в 1970 году окончил МВТУ им. Н.Э. Баумана, факультет приборостроения, специальность «Счетно-решающие приборы и устройства». В 1976 г. защитил кандидатскую, а в 1999 г. - докторскую диссертацию. С 1999 года по 2015 г. являлся заведующим кафедрой компьютерных систем и сетей МГТУ им. Н. Э. Баумана, в н/вр. - профессор. Область научных интересов: цифровая обработка сигналов, многомерные структуры, разработка новой энергетической теории математического представления и преобразования моделей, сигналов и процессов в системах управления динамическими объектами на основе имитационного моделирования сигналов. E-mail: [email protected] .
Пролетарский Андрей Викторович, 1964 года рождения, в 1987 году окончил МГТУ им. Н.Э. Баумана, факультет информатики и системы управления по специальности «Автоматические системы управления». Руководитель Научно-учебного комплекса «Информатика и системы управления», заведующий кафедрой компьютерных систем и сетей МГТУ им. Н. Э. Баумана, доктор технических наук, профессор. Область научных интересов: интеллектуальные системы и искусственный интеллект, мониторинг и управление динамическими системами, большие данные. E-mail: [email protected] .
Миков Дмитрий Александрович, 1990 года рождения, в 2014 году окончил МГТУ им. Н.Э. Баумана, факультет информатики и систем управления по специальности «Информационная безопасность». В 2018 г. защитил диссертацию на соискание учёной степени кандидата технических наук по теме «Управление информационными рисками в системах дистанционного мониторинга состояния объекта». С 2019 года - доцент кафедры компьютерных систем и сетей МГТУ им. Н.Э. Баумана. Область научных интересов: управление информационными рисками, информационная безопасность автоматизированных систем и систем больших данных. E-mail: [email protected] .
Дейкин Иван Игоревич, 1997 года рождения, в 2021 году окончил МГТУ им. Н.Э. Баумана, факультет информатики и систем управления по специальности «Информатика и вычислительная техника». С 2021 года -аспирант кафедры компьютерных систем и сетей МГТУ им. Н. Э. Баумана по направлению «Теоретические основы информатики». Область научных интересов: цифровая обработка сигналов, теория информации, искусственный интеллект. E-mail: deykinii@,student.bmstu.ru .
ГРНТИ: 28.17.19, 28.17.23, 28.23.29 Поступила в редакцию 23 ноября 2021 г. Окончательный вариант - 5 марта 2022 г.
Techniques of sampling the energy characteristics of two-dimensional random signals
V.V. Syuzev1, A.V. Proletarsky1, D.A. Mikov1, I.I. Deykin1 1 Bauman Moscow State Technical University, 105005, Moscow, Russia, 2ndBaumanskaya street, 5/1
Abstract
The article is devoted to methods of discretization of energy characteristics of two-dimensional random signals when simulating random signals using the original harmonic method, which is a generalization of the well-known algorithm proposed by V. S. Pugachev for the two-dimensional case. Requirements imposed on the sampling method are aimed at reducing the computational complexity of the simulation method and increasing its flexibility thanks to removing restrictions on the form of autocorrelation functions and spectral energy density functions. The use of the simulation error as a criterion for quality assessment is proposed. The discretization method is considered for signals given both on unlimited definition intervals and on limited ones. The article demonstrates results of the software system implementation in which the original simulation method is realized using the described sampling methods in both cases. The proposed technique is shown to be robust and efficient, with the results obtained being of independent scientific and technical value and showing promise for developing new effective spectral techniques of simulating signals for the use in intelligent decision support systems.
Keywords: random two-dimensional signal, modeling and simulation of signals, Pugachev's algorithm, harmonic Fourier bases, energy characteristics of signals, energy spectral density function, autocorrelation function, intelligent decision support systems, ultra-fast information processing.
Citation: Syuzev VV, Proletarsky AV, Mikov DA, Deykin II. Techniques of sampling the energy characteristics of two-dimensional random signals. Computer Optics 2022; 46(5): 828-839. DOI: I0.18287/2412-6179-C0-I074.
Acknowledgements: This work was financially supported by the Russian Federation Ministry of Science and Higher Education under the government project on "Fundamental research of methods of digital transformation of components for micro- and nano-systems" (Project # 0705-2020- 0041).
Authors' information
Vladimir Vasilievich Syuzev (b. 1946) graduated from Bauman Moscow State Technical University in 1970, with a degree in Calculating and Solving Devices. He defended his PhD thesis in 1976 and his doctoral thesis - in 1999. From 1999 to 2015, he was the Head of Computer Systems and Networks department at Bauman Moscow State Technical University. Research interests: digital signal processing, multidimensional structures, development of a new energy theory of mathematical representation and transformation of models, signals and processes in control systems of dynamic objects based on signal simulation. E-mail: [email protected] .
Andrey Viktorovich Proletarsky (b. 1964), in 1987, he graduated from Bauman Moscow State Technical University, faculty of Computer Science and Control Systems with a degree in Automatic Control systems. He is a Head of the Scientific and Educational Complex "Informatics and Control Systems", head of Computer Systems and Networks department of Bauman Moscow State Technical University, Doctor of Technical Sciences, Professor. Research area: artificial intelligent systems, monitoring and management of dynamic systems, big data. E-mail: [email protected] .
Dmitry Alexandrovich Mikov (b. 1990), in 2014, he graduated from Bauman Moscow State Technical University, faculty of Computer Science and Control Systems with a degree in Information Security. In 2018 he defended his thesis for the degree of PhD in Engineering Sciences on the topic «Information security risk management in systems for remote monitoring of the object state». Since 2019 - Associate Professor of the Department of Computer Systems and Networks, Bauman Moscow State Technical University. Research interests: information security risk management, information security of automated systems and big data systems. E-mail: [email protected] .
Ivan Igorevich Deykin (b. 1997), graduated from Bauman Moscow State Technical University's Faculty of Informatics and System Management in 2021 with a degree in Informatics and Computer Engineering. Since 2021 he is a postgraduate student of Computer Systems and Networks department in Bauman Moscow State Technical University in the direction of "Theoretical Fundamentals of Informatics". Research interests: digital signal processing, information theory, artificial intelligence. Email: [email protected] .
Received November 23, 2021. The final version - March 5, 2022.
