Быстрые алгоритмы моделирования сигналов Текст научной статьи по специальности «Математика»

ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ

БЫСТРЫЕ АЛГОРИТМЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ СИГНАЛОВ Сюзев В.В.1, Смирнова Е.В.2, Гуренко В.В.3 Email: [email protected]

'Сюзев Владимир Васильевич — доктор технических наук, профессор; 2Смирнова Елена Валентиновна — кандидат технических наук, доцент; 3Гуренко Владимир Викторович — доцент, кафедра компьютерных систем и сетей, Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана,

г. Москва

Аннотация: статья продолжает серию исследований в области быстрых алгоритмов цифровой обработки сигналов, выполненных авторами, и представляет собой сравнительный анализ вычислительной сложности разработанных авторами алгоритмов: модифицированных алгоритмов Пугачева, имитационных алгоритмов в базисе Адамара, упрощенных быстрых алгоритмов в базисах, Адамара, Хартли, др. Описываются возможные пути снижения вычислительной сложности алгоритмов моделирования путем выделения групп ненулевых элементов и применения конкретных уравнений спектрального преобразования для этих групп. Показано, что для каждого типа преобразования спектра может быть реализован синтез усовершенствованных скоростных алгоритмов моделирования дискретных сигналов с использованием различных базисов.

Работа выполнена в рамках проекта 2.7782.2017/БЧ «Методы имитации детерминированных и случайных одномерных и многомерных сигналов в научных задачах моделирования информационно-управляющих систем реального времени», осуществляемого при поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации.

Ключевые слова: цифровая обработка сигналов, ядро преобразования спектров, вычислительная сложность, спектральные коэффициенты.

FAST ALGORITHMS OF SIGNAL'S SIMULATION Syuzev V.V.1, Smirnova E.V.2, Gurenko V.V.3

'Syuzev Vladimir Vasilievich — Doctor of Technical Science, Professor; 2Smirnova Elena Valentinovna — PhD, Associate Professor;

3Gurenko Vladimir Viktorovich, — Associate Professor, COMPUTER SYSTEMS AND NETWORKS DEPARTMENT, BAUMAN MOSCOW STATE TECHNICAL UNIVERSITY, MOSCOW

Abstract: the article continues a series of studies in the field offast algorithms of digital signal processing performed by the authors, and is a comparative analysis of the computational complexity of the following algorithms developed by the authors: modified Pugachev algorithms, simulation algorithms in the Hadamard basis, simplified fast algorithms in the bases of Hadamard, Hartley, etc. Possible ways are described how to reduce the computational complexity of simulation algorithms by selecting groups of nonzero elements and the application of specific spectral transformation equations for these groups. It is shown that for each type of spectrum transformation the synthesis of advanced high-speed algorithms for modeling discrete signals using different bases can be implemented.

The described work is supported by the Russian Federation Ministry of Education and Science, the Government Contract #2.7782.20' 7/BC.

Keywords: digital signal processing, the core of the transformation of the spectra, computational complexity, spectral coefficients.

УДК 621.39'

Введение

В последних работах авторов этой статьи, посвященных теоретическому обоснованию оригинального метода создания быстрых алгоритмов имитации цифровых сигналов [1, 3-6], получены обобщающие результаты, которые описаны в данной статье.

Первый раздел статьи «Классические быстрые алгоритмы Пугачева» кратко описывает принципы получения алгоритмов представления сигналов в базисе Фурье, ссылаясь на другие работы авторов. Во втором разделе «Модифицированные алгоритмы Пугачева» описаны алгоритмы преобразования сигналов для разработанной авторами модифицированной тригонометрической модели Пугачева. В третьем разделе «Алгоритмы имитации сигналов в базисе Адамара» и в четвертом разделе «Матрица ядра Фурье» описываются общие принципы группировки ненулевых элементов матрицы и получения оператора взаимного преобразования спектров. В пятом разделе «Упрощенные алгоритмы имитации сигналов в базисе Адамара» рассмотрены несколько методов упрощения алгоритмов. Сравнительной оценке вычислительной сложности полученных авторами алгоритмов имитации сигналов для различных базисов посвящен заключительный шестой раздел статьи.

В этой статье авторы обобщают полученные в ранних статьях результаты, касающиеся быстрых алгоритмов имитации сигналов.

Классические быстрые алгоритмы Пугачева

В работах авторов [1, 3-6] описаны теоретические основы алгоритмов имитации случайных процессов на примере алгоритма Пугачева. Классические быстрые алгоритмы Пугачева являются частным случаем общего канонического ортогонального разложения на конечном

временном интервале [0, Т) , и представляют собой тригонометрические ряды Фурье

ад

у(г) = £[]V С0Б(кДшг) + ик в1п(кДшг)], г е [0, Т), (1)

к=0

где у(г) - случайный сигнал, ] и Ц, - случайные некоррелированные числа с

параметрами (0, О[] ]) и (0, Щик ]) (О - обозначение дисперсии), физически

означающие случайные амплитуды гармоник, а Дш является шагом дискретизации по частоте (основная гармоника) [2].

В работе [6] выводятся математические выражения для дискретного варианта

случайного процесса (1) в зависимости от четности или нечетности числа N . Здесь N -длина усеченного ряда.

При четном N

N -1

у(0 = V + Е [] С08(— к) + и к 81П(— кг)] + С08(га), г е [0, N), (2)

к=1 N N 2

а при нечетном его значении

N-1

2 О-гг О-тт

у (г) = V + Е [] С08( — кг) + ик в1п( — кг)], г е [0, N). (3)

к=1 N N

Коэффициенты ] и и при этом по-прежнему являются случайными числами с параметрами (0, О^), а дисперсии можно вычислить по формулам:

2ж

2 ¿(0) , я(шв) , 8(Жгк) и 1 о N

С =-; =-; Ск=-, к = 1,2,...,--1, (4)

0 N Дг N NДt к 2 NДt 2 )

где АС выбирается по теореме Котельникова (12).

Модифицированные алгоритмы Пугачева

В модифицикации модели Пугачева, выполненной одним из авторов данной статьи [1], случайные числа ] и Ц, представлены в следующем виде:

V =^кХч (к);Ц =акХн (к), (5) где Хч (к) и Хн (к) являются детерминированными четными и нечетными тригонометрическими коэффициентами, а ^ и а представляют собой некоррелированные случайные величины с параметрами (0,1), равновероятно принимающими значения +1 и — 1. Дисперсия таких чисел V и Ц будет равна

0[Гк ] = Д^Хч (к)] = Х2(к)Д^ ] = Хч2(к), (6)

О [Ц ] = ДоХ (к)] = Хн2 (к)Б[ак ] = Х^ (к), (7) Сохраняя свойство стационарности в модифицированном алгоритме, наложено требование выполнения равенства этих дисперсий:

Хч2 (к) = Хн2 (к), (8)

что приведет к равенству коэффициентов Хч (к) и Хн (к) между собой. Выражения для коэффициентов (8) получены в работе [6]:

Хч2 (0) = 11Я(фт- 5(0)

2Т

2 %

- т г. 5 (— к)

Хч2 (к) = -1Я (т) со8(— к т)ё т = —Т—, к = 1,2,....

Т

(9)

Модифицированная стационарная модель Пугачева получена как результат подстановки полученных выражений (5) - (9) в уравнение (1), и будет иметь вид:

ш 2% 2% у(Х) = £ Хч(к)К С08(— кХ) + ак 81П(— кХ)], X е [0, Т). (10)

к=0 Т Т

В дискретном варианте случайный процесс (10) записывается так:

для четного значения N.

N—1 2

У (О = МЛ(0) + 2 Хч (к)[^к С08(27 к/) + ак 81п(27 к)] + Н^Х(^ С0«(%/),

к=1 я я 2 2

/ е [0, N),

(11)

для нечетного значения N

N—1 2

2 % 2%

У(0 = ^0Хч (0) +2 Хч (к)[^ С0§(Т7 к) + ак 81п(—

к=1 я я

е [0, N).

(12)

N

Спектральные коэффициенты Хц(к) для к = 0,1,...,—— 1 вычисляются по формулам

N

(9) при Т = NАХ, а коэффициент Хч (—) равен

N Р (о.) Хч ¥ = У "хАГ •

(13)

Интервал дискретизации по времени АХ выбирается в соответствии с теоремой Котельникова.

0

Алгоритмы имитации сигналов в базисе Адамара

Имитационная модель случайных сигналов в базисе Адамара получена при переходе от тригонометрической модели случайных сигналов с использованием линейного оператора

преобразования случайного тригонометрического спектра {[[Хч (к), Хч (к)} в спектр Адамара {ХА (к)}. Математически это реализуется следующим образом:

N N

ХА (к) = ЕЕ [кХч (к)Фч (к, т) + Е акХч (к)Фж (к, т), к = 0,1,..., N-1, (14)

где

1 N-1 2л

Ф (к,т) = — Е Ш8(— тг)had(k,г),

ч N Е N

т = 0,1,...,^;к = 0,1,...,N -1, 2

1 N-1 2Л

Ф (к,т) = — Е 8ш(— тг)had(k,г), N N

т = 1,2,...,^ -1;к = 0,1,...,N -1 2

(15)

(16)

являются четными и нечетными составляющими общего ядра преобразования (ядра Фурье описано в работе [1]):

Ф(к, т) = { Фч (к, т), Фн (к, т)}.

В формулах (16) и (17) had(k, г) означает к -ю функцию Адамара

had(k, г) = cos(лЕ КК),

(17)

где к^ и означают V -е разряды двоичных кодов чисел к и 1 :

к = Ек 2V-1; г = Ег; 2V-1

v=1 v=1

п = log2( N).

(18)

Вычисление по формулам (15) и (16) позволяет получить матрицу ядра Фурье при любых значениях N = 2", П = 1,2,.... Матрица ядра Фурье

Особенности ядра Фурье заключаются в том, что имеется возможность выделения независимых групп элементов, каждая из которых не содержит элементы других групп. Анализ

ядра Фурье для разных значений N и обобщение результатов привели следующему выводу:

N2 + 2

для произвольного

N = 2"

матрица ядра содержит

2(N2 -1)

нулевых и

3 3

ненулевых элементов, причем в число последних входят и два единичных элемента. Из ненулевых элементов и спектральных коэффициентов Фурье и Адамара можно сформировать п +1 независимых групп с правилом объединения в группы, приведенным в таблице «Правило образования групп для общего №>.

v=1

Номер группы Число коэффициентов в группе Коэффициенты Адамара Тригонометрические коэффициенты

1 1 XА (0) ЦсХч (0)

2 1 Ха (1) N Ц NXч (-) 2 2

' = 3,4,..., п +1 2'_2 Ха (2'_2 + ]), ] = 0,1,...,2'_2 _ 1 Ц2. (1 + 2т)], —(1+2т) 2' а ™ Xч[^-r (1 + 2т)], —(1+2т) 2' т = 0,1,...,2'_3 _1

В соответствии с этим правилом общий алгоритм преобразования случайного

тригонометрического спектра в спектр Адамара для произвольного N = 2й примет следующий вид:

Ха (0) = ц„Хч (0); ХА (1) = ц N^4 ^);

, 2'

2 N „ 2 N

{ц 2 V X [^ (1 + 2т)]Фч [2 + У,— (1 + 2т)] +

Ха (2'_2 + ]) = X

2,_3 _ ^ (1+2т) - 2'

а,

-(1+2т)

2 N „ 2 N

X,[— (1 + 2т)] Фн [2'_2 + и — (1 + 2т)]},

' = 3,4,...,п + 1;} = 0,1,...,2'_2 _1.

(19)

При его реализации значения спектральных коэффициентов Хч (к) и составляющие ядра Фурье Ф (к,т) и ф(к,т) вычисляются заранее (по формулам (9), (13), (15) и (16) и хранятся в памяти ЭВМ.

Упрощенные быстрые алгоритмы имитации в базисе Адамара

Дискретный алгоритм имитации в базисе Адамара представляется рядом

п+1 2'_2 _1

у(г) = Ха(0) + Ха(1)Ш(1,0 + Х X Ха(2'_2 + 7^(2'_2 + ], г),

'=3 ]=0

1 = 0,1,..., N _ 1.

Коэффициенты этого ряда определяются по алгоритму (19).

Поскольку случайные параметры Ц и а входят в состав спектра Адамара, то

реализация алгоритма преобразования спектров (19) должна выполняться на этапе имитации случайного сигнала, что делает такую модель случайного процесса в базисе Адамара слишком трудоемкой в вычислительном плане. В работе [6] выполнено математическое обоснование дальнейшего упрощения имитационной модели Адамара.

Алгоритм имитации случайных сигналов в форме ряда Адамара

^ п+1 2'_2 _1

(20)

у(г) = цХч(0) + цХч(у^а 1) + Х X Ха(2'_2 + j)had(2'-2 + ;, 1),

(21)

'=3 ]=0

г е [0, N).

и системы уравнений для вычисления спектра Адамара, зависящего от случайных параметров Ц и ак

т=0

2И

{[ 2 N, А^ (1 + 2т), 2'-2 + ]] +

Ха (2'-2 + ]) = Е-

2'

2 N

т=0 а2 А[— (1 + 2т),2'-2 + ]]},

—(1+2т) 2'

(22)

' = 3,4,...,п +1;] = 0,1,...,2'-2 -1,

приводит к исключению нетривиальных умножений и, соответственно, повышению скорости имитационного алгоритма.

Вычислительная сложность рассмотренных алгоритмов имитации сигналов

Вычислительная сложность алгоритмов Пугачева (12) и (13) зависит от N и включает в

себя по N2 операций умножения и сложения, причем в этой оценке сложности не учитываются вычислительные затраты на генерацию случайных величин ] и ик, зависящие

от используемого при программировании математического метода их генерации [9], а также затраты на вычисление значений тригонометрических функций. Обычно значения этих

функций рассчитываются заранее и хранятся в памяти ЭВМ, занимая N2 ячеек, поскольку вычисление тригонометрических функций внутри самого процесса имитации делает имитационный алгоритм практически нецелесообразным.

Для модифицированных алгоритмов Пугачева случайные процессы (23) и (24) аналитически представляются в виде тригонометрических рядов с детерминированными

коэффициентами и случайным изменением их знаков. Поскольку умножения на ±1 являются тривиальными операциями, то для реализации алгоритмов (23) и (24) понадобится выполнять только по Ы2/2 нетривиальных операций умножения и сложения, что практически вдвое сокращает их вычислительную трудоемкость по сравнению с классической моделью Пугачева.

Кроме того, так как параметры и ак принимают простейшие значения, то для их

воспроизведения можно использовать простые алгоритмы имитации случайных событий [9].

Дальнейшее упрощение тригонометрических алгоритмов имитации может быть осуществлено за счет перехода от базиса тригонометрических функций в базис функций

Адамара, принимающих только значения +1 и -1 [1, 10].

Упрощенные быстрые алгоритмы Адамара не содержат операций умножения и будут иметь

4 N2 - 6 N + 2

только --- сложений. Использование при реализации ряда (23) быстрых

преобразований Адамара [1, 10] позволит сократить число сложений до величины

N2 + 3N (п -1) + 2

--- и сделает модель Адамара (22-23) эффективным вычислительным

средством имитации стационарных случайных сигналов. АКФ процесса (23) совпадает с АКФ процессов (12) и (13), синтезированных по модифицированной модели Пугачева.

Можно еще больше упростить алгоритм имитации в базисе Адамара, если при вычислении

спектра Адамара по уравнениям (23) случайные параметры [к и ак вынести за знак суммы.

В результате затраты в N (N -1) сложений при его быстрой реализация превратятся в

затраты в только Nn сложений. Умножения в алгоритме отсутствуют. Следует, однако, иметь в виду, что получаемый при этом случайный процесс будет нестационарным.

Вывод

Таким образом, в статье описан спектральный метод имитации случайных сигналов с задаваемой функцией спектральной плотности дисперсии на основе оригинальной модификации имитационной тригонометрической модели Пугачева с последующим ее преобразованием в модель в базисе функций Адамара. Математическую основу метода составляет факторизованная матрица ядра Фурье, позволяющий создавать быстрые алгоритмы имитации случайных сигналов. Предложено оригинальное правило объединения спектров

Фурье и Адамара в независимые группы, что в конечном итоге привело к построению новых эффективных моделей стационарных и нестационарных случайных сигналов в базисе Адамара.

Список литературы / References

1. Сюзев В.В. Основы теории цифровой обработки сигналов. Учебное пособие. М.: Издательство «РТСофт», 2014. 752 с.

2. Быков В.В. Цифровое моделирование в статистической радиотехнике. М.: Сов. Ради,. 1971. 328 с.

3. Гуренко В.В., Бычков Б.И. Особенности преобразования тригонометрических спектров в базисе обобщенных функций Хартли // Технологии инженерных и информационных систем, 2018. № 3. С. 24-32.

4. Сюзев В.В., Гуренко В.В., Кучеров К.В., ПарфенюкЕ.В. Операторы преобразования спектров в базисах Фурье и Уолша // Наука и Образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2017. № 2. С. 138-156. D01:10.7463|0217.0000939.

5. Сюзев В.В., Гуренко В.В., Кучеров К.В., Парфенюк Е.В. Спектральные алгоритмы имитации случайных сигналов в рамках корреляционной теории в базисе Адамара // Технологии инженерных и информационных систем, 2017. № 2. С. 51 -64.

6. Proletarsky A.V., Syuzev V. V., Gurenko V.V., Smirnova E.V. Spectral Signals with Variable Energy Characteristics in the Walsh-Hadamard Basis // Proceedings of the 2018 IEEE Northwest Russia Conference on Mathematical Methods in Engineering and Technology (MMET NW), 1014 September, 2018. St. Petersburg, Russia: Saint Petersburg Electrotechnical University "LETI". 590 p. ISNN: 978-1-5386-5824-6/18. PP. 357-360

7. Oppenheim A. V., Schafer R. W. Digital Signal Processing. N.J.: Prentice-Hall. Englewood Cliffs., 2012. 1120 p.

8. Радченко Ю.С., Радченко Т.А. Основы статистического моделирования. Ч. 1. Моделирование случайных величин. Воронеж: Издательско-полиграфический центр ВГУ, 2010. 31 с.

9. Пойда В.Н. Спектральный анализ в дискретных ортогональных базисах / под ред. П.М. Чеголина. Минск: Наука и техника, 1978. 136 с.