CC BY
31
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ИМИТАЦИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПОЛОСОВЫХ СИГНАЛОВ
В КОМПЛЕКСНОМ БАЗИСЕ Дейкин И.И.1, Сюзев В.В.2, Гуренко В.В.3, Смирнова Е.В.4, Любавский К.К.5 Email: Deykin17144@scientifictext.ru
'Дейкин Иван Игоревич — магистрант; 2Сюзев Владимир Васильевич — доктор технических наук, профессор;
3Гуренко Владимир Викторович — доцент; 4Смирнова Елена Валентиновна — кандидат технических наук, доцент; 5Любавский Кирилл Константинович — кандидат технических наук, кафедра компьютерных систем и сетей, Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана,
г. Москва
Аннотация: имитационное моделирование является очевиднейшим применением и в то же время испытанием постоянно растущих возможностей современной вычислительной техники. В области цифровой обработки сигналов есть необходимость получения метода, пригодного и эффективного для имитации полосовых сигналов, которые широко используются в современном мире. Одним из таких методов и является метод имитации в комплексном базисе, который описывается в данной статье.
Работа выполнена в рамках проекта 2.7782.2017/БЧ «Методы имитации детерминированных и случайных одномерных и многомерных сигналов в научных задачах моделирования информационно-управляющих систем реального времени», осуществляемого при поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации.
Ключевые слова: ЦОС, АКФ, полосовой сигнал, комплексный базис, имитационное моделирование.
RANDOM BROADBAND SIGNAL IMITATION IN COMPLEX BASIS Deykin LI.1, Syusev V.V.2, Gurenko V.V.3, Smirnova E.V.4, Liubavskii K.K.5
'Deykin Ivan Igorevich — Master Student; 2Syusev Vladimir Vasilievich — Doctor of Technical Sciences, Full Professor; 3Gurenko Vladimir Viktorovich — Associate Professor; 4Smirnova Elena Valentinovna — PhD of technical sciences, Associate Professor; 5Lubavsky Kirill Konstantinovich— PhD of technical sciences, COMPUTER SYSTEMS AND NETWORKS DEPARTMENT, BAUMAN MOSCOW STATE TECHNICAL UNIVERSITY, MOSCOW
Abstract: imitation modeling is the most obvious application and also a test for ever-growing capacities of the modern computers. In the area of digital signal processing there is a demand for a method that would be useful and effective for imitating the bandpass signals that are used widely today. One of such methods is the method that makes use of a complex basis and this very method is described in this here article.
The research is supported by Russian Federation Ministry of Science and Education and was carried on in the framework of the project #2.7782.2017/BC «Methods of deterministic and random one-dimensional and multidimensional signals' simulation in the field of real-time information control systems realization».
Keywords: DSP, autocorrelation, bandpass signal, complex basis, imitation modeling.
УДК 519.216.1 DOI: 10.24411/2304-2338-2019-11101
Введение
Данная статья посвящена методу имитации детерминированных и случайных полосовых сигналов в комплексном базисе.
В первом разделе «обзор» приведены применения полосового сигнала, как распространенные и устоявшиеся в быту человека, так и только находящиеся в разработке инновационные.
Второй раздел посвящен тем характерным особенностям полосового сигнала, которые следует учитывать при имитации таких сигналов.
Третий раздел «имитация полосового сигнала» описывает ряд существующих методов имитации сигналов и поясняет, почему эти методы неудовлетворительны, если стоит задача имитации именно полосового сигнала. Также приводятся положительные стороны метода имитации в комплексном базисе.
Четвертый раздел «имитация в комплексном базисе» описывает метод, программную реализацию которого и венчает эта статья - метод, использующий комплексный базис для имитации полосового сигнала. Объяснено, почему этот метод предпочтителен при имитации именно полосовых сигналов.
1. Обзор
Полосовые сигналы широко распространены - бытовая аудиоаппаратура воспроизводит звук в полосе частот от 20 Гц до 20 кГц, что примерно совпадает с диапазоном частот, воспринимаемых слухом взрослого человека. В радиосвязи весь диапазон радиочастот поделен между отдельными станциями, и простейшие радиоприемники применяют полосовой фильтр для выделения сигнала одной станции, в то время как радиопередатчики применяют такой же фильтр, чтобы их сигнал не выходил за рамки закрепленной полосы частот и не конфликтовал с сигналами других станций.
Постепенно устаревающий глобальный стандарт цифровой мобильной сотовой связи GSM (Global System for Mobile Communications) также подразумевает множественный доступ с разделением каналов по частоте, то есть разным операторам отведены отдельные полосы частот, причем общий диапазон охватывает частоты от 900 МГц до 1800 МГц. Передатчики GSM, как и радиопередатчики, применяют полосовой фильтр для ограничения передаваемого сигнала частотными границами канала передачи для минимизации интерференции сигнала [1].
Развивающаяся и ожидающая внедрения технология 5G подразумевает работу в мегагерцовых и гигагерцовых диапазонах, поэтому производители предлагают все новые и новые модели радиочастотных микроволновых фильтров [2], настроенные на работу с требуемой полосой частот за счет применения резонаторов в своей конструкции. Одна из проблем таких фильтров - сложность настройки фильтра на определенный диапазон, то есть на некоторую полосу частот.
На волне интереса к 5G появляется множество разных типов радиочастотных фильтров, в особенности акустических фильтров - BAW (Bulk Acoustic Wave), SAW (Surface Acoustic Wave), FBAR (Film Bulk Acoustic Resonator) и другие. Важная особенность фильтров типа BAW - фильтров объемных акустических волн - по отношению к SAW - фильтров поверхностных акустических волн - заключается в высокой точности ограничения рабочей полосы на верхах диапазона, то есть даже на высоких частотах такой фильтр позволяет точно выделить требуемую полосу частот [3, с. 13]. Фильтры SAW и BAW рекомендуется использовать вместе, первые - в низких частотах, а вторые - на высоких. Фильтры на основе тонкопленочных объемных акустических резонаторов - FBAR - являются альтернативой или в некоторых классификациях подвидом фильтров типа BAW, так как обладают сходной природой, но актуальные в сфере микроволновых фильтров проблемы теплопроводности и поглощения акустической энергии в BAW и FBAR решаются по-разному [3, с. 15].
2. Особенности полосового сигнала
Полосовым называется сигнал, ограниченный некоторой полосой частот. Функция спектральной плотности мощности (ФСПМ) полосового сигнала изображена на рисунке 1, она показывает зависимость мощности сигнала от частоты или мощность отдельных частотных составляющих сигнала.
Рис. 1. Функция спектральной плотности мощности полосового сигнала
Как видно, частоты, лежащие вне полосы, имеют нулевую мощность, при этом мощность частот, входящих в полосу, может быть различной, поэтому говорят о ФСПМ различной формы. Например, если значения мощности для всех точек внутри полосы имеют одинаковое значение, то ФСПМ имеет прямоугольную форму. На рисунке 1 изображена ФСПМ формы «трапеция», но если бы значения S(±юВ) были бы равны 0, то можно было бы говорить о треугольной форме ФСПМ.
Таким образом, понятно, что метод имитации должен учитывать описанные особенности. Нулевые значения мощности вне полосы сигнала не должны влиять на сложность вычисления -метод должен исключать эти области из вычислений. Метод должен предоставлять возможность имитировать сигналы с разными формами ФСПМ.
3. Имитация полосового сигнала
Широкое распространение полосовых сигналов, а также их применение в областях, где проведение экспериментов в реальном мире требует больших затрат, а возможные ошибки при внедрении влекут многие опасности, приводят к необходимости моделировать системы работы с такими сигналами, а значит, и имитировать сами полосовые сигналы, причем в виртуальной среде.
Существующие методы и алгоритмы имитации сигналов не учитывают особую природу полосовых сигналов и не упрощают расчет исходя из этой природы, тем самым используя больше вычислительных мощностей, чем требуется.
Распространенный метод имитации - метод формирующих фильтров, реализующий дискретный фильтр, который далее преобразует белый шум в случайный сигнал с заданными характеристиками. Процесс имитации по такому методу отличается вычислительной сложностью и ограничениями на форму имитируемого сигнала - имитация случайных сигналов с негладкой ФСПМ, производимая по этому методу, не приводит к результату, который можно было бы считать удовлетворительным [4].
Другой распространенный метод - метод канонических разложений В. С. Пугачева, применяющий тригонометрические ряды со случайными коэффициентами. Применение такого метода снимает ограничение на форму ФСПМ. Но остается проблема высокой вычислительной сложности, «связанная с необходимостью формирования в процессе имитации некоррелированных случайных коэффициентов и реализацией тригонометрического ряда» [4, с. 100]. Однако, необходимо заметить, что метод Пугачева и его быстрые модификации [5, 6] идейно близки методу имитации в комплексном базисе.
Комплексный базис позволяет: 1) не обрабатывать частоты, лежащие вне полосы сигнала; 2) свести имитацию к вычислению по заранее определенным формулам; 3) свести имитацию детерминированного сигнала к частному случаю имитации случайного; 4) заранее прогнозировать время имитации; 5) не тратить ресурсы на обработку частот, мощности в которых равны нулю.
4. Имитация в комплексном базисе
Изображенная на рисунке 1 функция спектральной плотности мощности является входной характеристикой, которой должен соответствовать сымитированный сигнал. Для начала имитации важно провести дискретизацию сигнала по задаваемому пользователем-исследователем числу шагов дискретизации - шагов Котельникова [7], которое обозначено буквой N. В ходе дискретизации по Котельникову изображенные на рисунке 1 граничные частоты юВ и юН переходят в соответствующие им дискретные границы N и
Следующий этап имитации приводит нас к комплексному базису - необходимо выразить спектр Фурье [8] в комплексном базисе:
Хф(к) = \ /0Тх( £)ехр( -¡^ ю)м =Хфч(к) -}Хф^(к).
Сравнив Хф ( к Аш) и Хф ( к) получим, что 5 (к = Т{Хфч (к) + Х1Ч(к)},к е [Ын, Ыв].
Но для нахождения двух неизвестных Хфч и Хфн - четных и нечетных коэффициентов Фурье - недостаточно одного уравнения, поэтому дополнительно введем фазовую плотность
ср(к—^=агсЬд [ХФн(к)/ХФч(к)], после преобразования которой получим такую
закономерность:
^(кт)=^=Х1фф§уке[МнЛ].
Здесь Лк может принимать любые значения.
Решая два полученных уравнения, получим формулы нахождения коэффициентов Фурье для четных и нечетных значений N которые рассмотрим отдельно. Для четного значения N
Хфч (к) =
N
Г(1+Я|)
Фн Фч н
Хфч т = Хфч ® = ^; Хфн ( к) = 0 -,ЛКе = 0 , Ые = £
Для нечетного числа шагов Котельникова N Хфч (к) =
N
51 к— I
" ; Хфн(к)=Лк Хфч (к) -,Ые=^-, ке[Ын,Ые_
Т( 1+А1) ' ФнУ ' к-
Выразив Хфч и Хфн через мощность, представленную в виде функции спектральной плотности мощности, и период, который также удобно задавать для конкретного эксперимента, мы располагаем необходимым математическим инструментарием для собственно имитации сигнала.
Для четного значения числа шагов Котельникова N сымитированный сигнал вычисляется следующим образом:
Уф (к) = цк Хфч (к) —] УкХфн (к), к е Ые], Уф (Ыв) = ¡1к ХФЧ (Ме), Уф (Ыв — Ын + 1 + к) =
= ¡¡^+-1 - кХфч + Ын — 1 — Ю —) уМв+Мн _ 1 _ к Хфн ( Ые +Ын — 1 — к.) ,
к е [Мн, Ме].
Для нечетного значения числа шагов дискретизации N процесс вычисления сымитированного сигнала несколько отличается:
УФ (к) = ¡¿к Хфч (к) — ] УкХфн (к) , к е [Ы^Ыв], УФ (Ю = ¡к ХФЧ (Ю,
УФ (Ыв — Ын + 1 + к) =
= кХфч Шв + Мн — Ю —) У^+Ц- к Хфн (X + Ын — к) ,
к е [Ын, Ме].
Важное достоинство этого алгоритма заключается в его универсальности для генерации случайных и детерминированных сигналов. Эта универсальность обеспечивается коэффициентами ¡1 к и у к, которые случайным образом принимают значения «1» и «-1» при имитации случайного сигнала. При этом, если необходимо сымитировать детерминированный сигнал, все эти коэффициенты приравниваются значению «1». Случайный или при компьютерной реализации псевдослучайный характер этих коэффициентов позволяет при каждом запуске получать разные случайные сигналы, соответствующие одной и той же функции спектральной плотности мощности - три таких сигнала, построенные по одним входным данным, представлены на рисунке 2.
Для статистической оценки полученного сигнала применяется автокорреляционная функция [9], вычисляемая по следующей формуле:
(т) = ^ 21=~о _ тУ ( 1 ) У ( 1 + ™) , те [ 0 , М) .
Для каждого случайного сгенерированного сигнала можно получить свою автокорреляционную функцию, которая, наследуя псевдослучайную природу от самого сигнала, так же при каждом запуске представляет разную картину. Автокорреляционные функции трех случайных сымитированных сигналов приведены на рисунке 3.
Ыв
Рис. 2. Три случайных сигнала, сымитированные по одной ФСПМ
Рис. 3. Автокорреляционные функции сымитированных сигналов
Ценность автокорреляционной функции заключается в том, что сравнивая такую автокорреляционную функцию, полученную на основе сымитированного сигнала, с алгоритмической автокорреляционной функцией, вычисленной с использованием исключительно заранее известных коэффициентов Фурье, можно оценить погрешность имитации. При имитации детерминированного сигнала целесообразно сравнивать полученную автокорреляционную функцию с так называемой теоретической автокорреляционной функцией, вычисляемой напрямую по функции спектральной плотности мощности.
5. Заключение
Применение комплексного базиса позволило реализовать имитацию сигнала по задаваемым параметрам, причем имитация включает не только получение самого выходного сигнала, но и его автокорреляционную функцию и статистические оценки качества имитации. Время работы алгоритма прогнозируемо для каждого случая, так как сложность однозначно опирается на
входные данные. Имитация детерминированного и случайного сигнала происходит по одним и тем же формулам.
Алгоритм имитации детерминированных и случайных сигналов в комплексном базисе и программа, реализующая этот алгоритм, были разработаны в рамках проекта 2.7782.2017/БЧ «Методы имитации детерминированных и случайных одномерных и многомерных сигналов в задачах моделирования информационно-управляющих систем реального времени», осуществляемого при поддержке Министерства науки и высшего образования РФ. Часть результатов была использована при разработке лабораторного стенда моделирования управляющего программного обеспечения и использована в учебном процессе кафедры компьютерных систем и сетей МГТУ им. Н.Э. Баумана.
Список литературы / References
1. Grami A. Introduction to Digital Communications, 2016. С. 457-491.
2. Mahon S. The 5G Effect on RF Filter Technologies / S. Mahon // IEEE Transactions on Semiconductor Manufacturing, 2017. № 30. С. 494 - 499.
3. Miller L. RF Filter Technologies For Dummies®, Qorvo Special Edition // John Wiley & Sons, Inc., 2015.
4. Сюзев В.В., Гуренко В.В. Гармонические алгоритмы имитации сигналов в рамках корреляционной теории // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Серия «Приборостроение», 2017. № 4 (115).
5. Сюзев В.В., Смирнова Е.В., Гуренко В.В. Быстрые алгоритмы моделирования сигналов // Проблемы современной науки и образования, 2018. Вып. 11 (131). С. 14-20.
6. Сюзев В.В., Смирнова Е.В., Гуренко В.В. Свойства операторов взаимного преобразования спектров // Проблемы современной науки и образования, 2018. Вып. 11 (131). С. 21-28.
7. Котельников В.А. О пропускной способности эфира и проволоки в электросвязи / Всесоюзный энергетический комитет // Материалы в I съезду по вопросам технической реконструкции дела связи и развития слаботочной промышленности, 1933. С. 769-770.
8. Сюзев В.В. Цифровая обработка сигналов: методы и алгоритмы. Часть 2: Преобразования Фурье в классических и обобщенных базисах, быстрые алгоритмы ЦОС на статических и скользящих интервалах времени. Москва «НИИ радиоэлектроники и лазерной техники», 2012.
9. Сюзев В.В. Цифровая обработка сигналов: методы и алгоритмы. Часть 1: Сигналы, их характеристики и модели; спектральное представление сигналов. Москва «НИИ радиоэлектроники и лазерной техники», 2012.
