Способ ускорения сходимости методов Ритца и Бубнова Галеркина при использовании координатных функций, не удовлетворяющих граничным условиям задачи Текст научной статьи по специальности «Физика»

Том XX

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ 1989

№ 1

УДК 629.7.015.4: 533.6.013.43: 629.7.023

СПОСОБ УСКОРЕНИЯ СХОДИМОСТИ МЕТОДОВ РИТЦА И БУБНОВА—ГАЛЕРКИ НА ПРИ ИСПОЛЬЗОВАНИИ КООРДИНАТНЫХ ФУНКЦИЙ,

НЕ УДОВЛЕТВОРЯЮЩИХ ГРАНИЧНЫМ УСЛОВИЯМ

ЗАДАЧИ

Р. А. Шибанов

На примере уравнений колебаний стержней изложен способ ускорения сходимости решения краевых задач методами Ритца и Бубнова — Галеркина, когда используются координатные функции, не удовлетворяющие граничным условиям задачи. Предлагается в накладываемые граничными условиями связи добавлять дополнительную податливость, обусловленную неучитываемыми расчетной динамической схемой степенями свободы конструкции. Дается алгоритм ее вычисления на основе решения специальной статической задачи. Представлены результаты расчетов, оценивающие влияние корректировки граничных условий на точность решения. Способ ориентирован на решение задач динамики упругих конструкций методами компонентного модального синтеза [1 — 4] и апробирован при расчете динамических характеристик и нагружения многоблочных конструкций.

В связи с созданием многоблочных летательных аппаратов и значительным усложнением расчетных динамических схем разрабатываемых конструкций широкое распространение получили методы компонентного модального синтеза, объединяющие большую группу методов динамической схематизации конструкций, использующие для формирования динамических схем прямые вариационные и проекционные методы, когда основную группу координатных функций образуют формы собственных колебаний подконструкций, на которые делится рассматриваемая конструкция [1—4].

Используемые координаты функции не удовлетворяют граничным условиям задачи, что сильно ухудшает сходимость решения уравнений, движения. Основные способы ускорения сходимости решения базируются на выделении и отдельном учете особенностей задачи [5 — 7]. При этом используются два пути: улучшение сходимости ряда, в виде которого ищется решение, например посредством добавления корректирующих функций, или предварительное улучшение поставленной граничной задачи.

Ниже предлагается способ предварительной корректировки граничных условий задачи, позволяющий существенно ускорить сходимость решения уравнений математической физики, когда в качестве координатных функций исполь-

зуются собственные функции операторов рассматриваемых уравнений со свободными граничными условиями, отличающимися от граничных условий решаемой задачи.

Суть способа изложим на примере решения методом Ритца задачи о собственных колебаниях стержня со свободными концами (х=а, Ь), когда одна из точек стержня х = хо связана пружиной жесткости Со с неподвижным основанием.

Уравнения колебаний такого стержня с частотой to при некоторых стандартных допущениях можно представить в виде

L{u) + to2 т(х)и = f(x), (1)

где L — линейный самосопряженный положительный дифференциальный оператор в обыкновенных производных порядка больше или равного 2, и = и(х) — амплитуда колебаний стержня, т(х) — погонная масса стержня, f(x) — амплитуда колебаний силы, эквивалентной действию упругой заделки.

Для описания воздействия заделки будем использовать гладкую функцию f{x), удовлетворяющую следующим условиям

ь

( f(x)dx = С0ы(х0),

(2)

f(x) = 0 при X <*0 — £ И Jt>Xo + e,

0<е<с|6 — а\, е-*0.

Решение уравнения (1) при используемых однородных граничных условиях может быть сведено к задаче минимизации функционала F(u) [8]

F(u) = (Аи, и) —2(и, f),

где

А (и) = L(u) -f- со21ци,

ь

(u> и) = ^ u(x)v{x)dx — скалярное произведение функции и и и.

а

Методом Ритца решение задачи минимизации функционала F(u) сводится к алгебраической системе уравнений

£ а,(Л<р*, <р,•) = (/, Фа). k=\,.:.,n. (3)

•=1

При этом решение ищется в виде

п

и(х) = £ а,.фДдс), (4)

/= 1

где в качестве координатных функций используются собственные формы колебаний свободного стержня

£(ф/) = — ОТ/ m<fi, (5)

где оI — собственные частоты колебаний свободного стержня.

Нумерация координатных функций соответствует условию

0/+1 > >0.

Сюда же входят и «нулевые» тона-с индексами / = 1,. . ., по <л. соответствующие степеням свободы стержня как твердого тела.

Координатные функции нормируем таким образом, чтобы удовлетворялись условия

ь

^ т(х) ф-(х) сіх = М,

(6)

а

Ь

где М = ^ т(х)(1х — общая масса стержня.

а

Поскольку граничные условия рассматриваемой задачи являются естественными (динамическими), то нет необходимости требовать от координатных функций удовлетворения этих граничных условий [8].

Проинтегрировав входящие в (3) выражения и учитывая (2, 5, 6) и ортогональность используемых координатных функций, получаем при е-+-0, п->~ оо следующую систему уравнений колебаний стержня с упругой заделкой

Решение системы уравнений (7) сходится по энергии к точному решению исходного уравнения (1) [8].

Условие нетривиальное™ решения системы линейных однородных алгебраических уравнений (7) (<1е1 (7) = 0) сводится при со ф 0, ф*(*0)=^=0 к уравнению

Все собственные частоты колебаний со, рассматриваемого стержня с упругой заделкой за исключением (га0 — 1)-го нулевого значения и при чр*(жо) — 0 величин со*. = ак должны удовлетворять уравнению (8).

При практических исследованиях в большинстве случаев приходится ограничиваться конечным числом координатных функций п и рассматривается лишь низшая часть спектра собственных частот колебаний. В данной работе также ограничимся определением достаточно низких тонов колебаний с (О/ < 0/1+1-

Обозначим сумму первых, п членов ряда (8) через 1 /Сп, Сп — соответствующая приведенная величина жесткости упругой заделки стержня. Из (8) следует

Для определения суммы из (9) рассмотрим задачу статического нагружения данного свободного стержня под действием единичной силы, совпадающей по месту приложения и направлению действия с упругой силой заделки, и уравновешивающих ее сил, подобных инерционным силам, возникающим при движении стержня как твердого тела

оо

СоФ*(*о) X аісРі(хо) ~Ь (°* — ш2) Мйк = 0, *=1,2,... .

(7)

оо

(8)

(9)

где

< 1, п^п0.

40 =/Л*).

Аналогично (2) единичную силу описываем гладкой функцией /1 (дг), удовлетворяющей условиям

Коэффициенты 6, определяются из условий уравновешенности [с(х): сумма сил и центральных моментов равна нулю.

Поскольку стержень свободен, на искомое статическое смещение накладываем условия, исключающее степени свободы стержня как твердого тела:

Условие (12) фиксирует координаты центра масс стержня и углы поворота его центральных осей инерции в нулевом положении.

Методом Ритца с координатными функциями <р; решение уравнения (10) сводим к системе алгебраических уравнений типа (3), коэффициенты которых определяем с учетом ортогональности координатных функций и равенств (5, 6, 10, 11). В итоге учитывая (12), получаем

Из (9) и (13), пренебрегая малыми членами порядка (ш/а*)2, получаем

где п — число учитываемых в расчетной схеме координатных функций.

Приведенная жесткость заделки С„ может быть вычислена по (14) до решения поставленной динамической задачи для закрепленного стержня на основании решения соответствующей статической задачи и характеристик собственных колебаний свободного стержня. При этом податливость упругой заделки увеличивается на величину разности деформаций стержня в точке заделки, найденных при точном статическом решении задачи и на основе изложенной приближенной расчетной динамической схемы.

Предлагается искать решение поставленной динамической задачи, предварительно скорректировав граничные условия с помощью алгоритма (14), заменив коэффициент жесткости заделки Со на С„. При этом характеристическое уравнение, вместо (8), принимает вид

где Сп определяется из (14). Предлагаемая корректировка граничных условий учитывает квазистатический эффект пренебрегаемых степеней свободы.

ь

5 /,(дг) с1х = — 1,

(11)

а

/|(х)=0 при *<*0— е И х>х0-\-е.

ь

(12)

а

оо

(13)

(14)

(15)

а вместо уравнения (7) имеем

П

(16)

При нахождении собственных форм колебаний закрепленного стержня фк(дс) к суперпозиции координатных функций ф,(дг) добавляем статическую деформацию стержня под действием сил от заделки и уравновешивающих их инерционных сил, соответствующих степеням свободы твердого тела, определяемых на основе решения уравнений (16)

П

+*(*)== £ <*/(©*){ ф/(*) — спф,-(х0) [ ис(х) —

/=1

ХФ,(*о)<Р.(*)~| 1 Ма2 Г

.=«0+1 л)

(17)

где а>* — соответствующая собственная частота колебаний закрепленного стержня, являющаяся корнем уравнения (15), а/((о*)—определяется из (16) при ш = о*, ис(х) —решение уравнения (10) при единичной силе от заделки.

Покажем на примерах, что предлагаемая предварительная корректировка граничных условий существенно ускоряет сходимость решения методом Ритца.

Рассмотрим задачу о продольных колебаниях стержня постоянного сечения

ЕР + тш2и = 0,

Лзг

£/■

йи

йх

= С0и(х0), ^г-= о при х = 0,/,

Лх

где ЕР, т — погонные жесткость и масса, с о — жесткость упругой связи в сечении X = *о- Собственные частоты свободного стержня и его собственные формы колебаний, нормированные по (6),

О, = (/ — 1) Л —

фД*) = л/2~ соэ я(/ — 1) -у-

(18)

при /' = 2, 3, .. . , 01 = 0, ф1 (дг) = 1.

Статическое смещение точки х иод действием единичной силы /, уравновешенной равномерно распределенными погонными силами, удовлетворяющее условию (12):

■ет(г5Г- + Т~*<>) при 0<х<х0, £/=■ V

2/

+-|----при дг0^л:^/.

(19)

Согласно (14) скорректированная жесткость упругой связи определяется выражением

Мо*

(20)

Из (15) и (20) получаем следующее характеристическое уравнение для определения частот собственных колебаний м, стержня, упруго связанного в точке хо с неподвижным основанием,

^ + .!_ (± +1=^.) = _!_ + V

С0 V ЕР V/ ^ ъ ) ^ и

где Ок, фц(Хо) берутся из (18).

4>1{хо)

Для стержня, жестко закрепленного на конце (л:0 = 0, 1 /Со = 0), при использовании двух координатных функций (п = 2) для низшего тона колебаний из (21) получаем

2 ___________________________

(З-) = -^г(л2 + 3-^л4-6л2 + 81) « 1,00895. (22)

где СОЇ = 1Г_\/ж’— точное решение.

Соответствующая форма собственных колебаний, получаемая из (17), после подстановки выражений (18) — (20)

гр

М = (1-Ї-К1—с°5лт) + “їт(' -ж)’ <23>

где со, =-^-(а21 определяется выражением (22).

На рис. 1 представлены зависимости от количества учитываемых координатных функций п величин отклонений от точного значения квадратов низшей собственной частоты колебаний заделанного стержня (х0 —0, 1 /Со = = 0), Д = (со 1 /а>Т)2 — 1, найденных методом Ритца с предлагаемой коррекцией граничных условий Д* и без коррекции До. Коррекция граничных условий сильно

повышает сходимость метода Ритца: отношение ПРИ увеличении п

от 2 до 10 монотонно уменьшается от 2,7 • 10~2 до 8,9- 10-4.

Среднеквадратичное отклонение б собственных форм низшего тона колебаний закрепленного стержня (х0 = 0, 1/Со = 0, п = 2), найденных методом

Ритца, от точного решения я|э1 = sin -^-упри нормировке форм, соответствующей

одинаковой норме сравниваемых функций,

i I

•II ■ф II2 = 5 ф? мdx=$ [ ■tfw]2 dx’

о о

составляет

62 = w ~

0

При использовании предлагаемой коррекции граничных условий б* = 0,066, а без корректировки — бо = 0,20.

Предполагая малость отклонения Д = со2/(й? — 1, из (8, 14, 15) получаем следующую оценку точности определения собственных значений рассматриваемых в (1) операторов при использовании коррекции граничных

условии

Ч>К*о)

І=п+1 '

1

Ф/(*о)

і

(24)

где шт — соответствующая оцениваемому значению точная величина собственной частоты колебаний. Для продольных колебаний стержня постоянного

сечения Д------!—; 0<а<1, а^^-^О. Сходимость решения методом Ритца

п3+а 1

без коррекции значительно хуже: в этом случае Д~——.

п

Из (9) следует, что определение Сп по (14) дает завышенное значение жесткости связей по сравнению с точным значением эквивалентной жесткости. Благодаря этому, а также из-за ограниченного числа степеней свободы предлагаемый способ дает завышенные значения собственных частот колебаний.

Для случая двух упруго связанных в точке х0 стержней аналогично (8) получаем следующее характеристическое уравнение

у у [ф(Л*о)]2 _ _1_

“і М'1' [ а2 — (а‘‘])2] С°

(25)

где а^, ф^, М(,) (/=1, 2) есть величины а*, ф*, М, относящиеся к і-му стержню; Со — жесткость связующей пружины. Аналогично (14) скорректированная величина податливости пружины в этом случае получается равной

тг-тг+Ікм- Е <2б>

1т=1 £=я0+1 \ к / J

где и^сЦх)—статическое смещение точки х і-го стержня под действием единичной силы, совпадающей по месту приложения и направлению действия с упругой силой межблочной связи, и уравновешивающих ее инерционных сил, возникающих при движении стержня как твердого тела. Координаты смещения иР(хо) и ф^Яо) должны соответствовать направлению действия межблочной связи, п(,)—число учитываемых координатных функций для і-го стержня. Следовательно, добавляемая величина податливости упругой связи равна сумме соответствующих добавок, идентично вычисляемых для каждого из соединяемых этой связью стержней.

Для случаев, когда на стержень наложены более одной связи, характеристическое уравнение имеет более сложную структуру, чем (8) и (25). Например, для стержня, связанного с неподвижным основанием двумя упругими связями: в точке Хоі пружиной жесткости Сої и в точке Х02 пружиной жесткости Со2, характеристическое уравнение имеет вид

п (±- -и V ^ = Г V

,= 1 Vе», Л,(а* — ю2) / [_ ш2) J

Поэтому при наличии более одной связи использование корректировки жесткости связей по формулам (14, 26) дает решение, отличающееся от точного не только из-за приближенного учета высокочастотных членов вследствие пренебрежения величиной (ш/а*)2 в (9), но из-за неточно определяемых в рамках предлагаемой расчетной схемы с конечным числом координатных функций коэффициентов влияния точек связи друг на друга.

При практическом применении предлагаемого способа к решению задач о колебаниях и динамическом нагружении сложных конструкций задача решается в два этапа. Сначала с помощью компонентного модального синтеза при скорректированных в соответствии с (26) коэффициентах жесткости межблочных связей решается «динамическая» часть задачи: в принятых обобщенных координатах интегрируются уравнения движения и на основе полученного решения определяются основные интегральные динамические характеристики конструкции и все внешние по отношению к упругой схеме блоков конструкции силы (в том числе инерционные силы и силы, передаваемые межблочными связями). На втором этапе с помощью определяемых на основе достаточно адекватной статической расчетной схемы блоков конструкции решений типа и^(х) и координатных функций ф^(*) определяются остальные характеристики: эпюры изгибающих моментов и перерезывающих сил, параметры напряженно-деформированного состояния и т. д.. В данной работе за небольшим исключением излагаются лишь особенности первого этапа, касающиеся влияния коррекции граничных условий на точность решения.

Расчетная, практика показала, что при коррекции жесткости связей уже на первом этапе можно с достаточной точностью определять не только интегральные динамические характеристики, но и форму деформации основной части конструкции (за исключением локальных зон в районе узлов связи).

Эффективность предлагаемого алгоритма коррекции жесткости межблочных связей проиллюстрируем на примере расчета формы деформации схематической балочной модели трехблочной конструкции при установившемся поступательном движении с постоянным ускорением под действием постоянной сосредоточенной силы. Модель состоит из трех параллельных прямых (в ненагруженном состоянии) стержней, упруго связанных в двух точках в поперечном направлении и в одной точке в продольном. Приведем результаты расчета среднеквадратичного отклонения а величин поперечной деформации стержней, определенных методом компонентного синтеза, от соответствующего статического решения, являющегося в данном случае достаточно точным. Величина отклонения определялась относительно центральных осей инерции всего пакета стержней.

На рис. 2 представлены две зависимости среднеквадратичного отклонения а от числа координатных функций Л^б, используемых при компонентном модальном синтезе в динамической схеме каждого стержня. Одна зависимость ст(Л^в) получена при использовании номинальных значений коэффициентов жесткости межблочных связей, а другая — при использовании коэффициентов жесткости межблочных связей, скорректированных предлагаемым способом. Коррекция жесткости связей значительно повышает точность решения: в данном примере на балочной модели в несколько раз снижает среднеквадратичное отклонение а расчетной формы деформации от точного решения. Для реальных оболочечных конструкций эффект—еще значительнее.

На рис. 3 представлена зависимость среднеквадратичного отклонения о от /с/кном, где к — используемая при расчете методом компонентного модального синтеза скорректированная величина одного из основных коэффициентов жесткости межблочных связей, а /сном — соответствующее номинальное значение. Минимальное отклонение достигается вблизи к = к*, где к* — величина жесткости связи, найденная предлагаемым способом. Такая картина характерна для расчетных динамических схем с небольшим числом координатных функций. При увеличении числа координатных функций в связи с возрастанием потенциально обеспечиваемой точности динамической схемы начинает

Рис. 3

сказываться приближенность предлагаемого способа коррекции межблочных связей и отношение к/кК0М, обеспечивающее минимальное отклонение ст, может заметно отличаться от к*/ктм.

Система уравнений (3), полученная методом Ритца, тождественна соответствующей системе уравнений, получаемых методом Бубнова — Галеркина. Поэтому предлагаемый способ повышения сходимости решения в той же степени приемлем для метода Бубнова — Галеркина.

Корректировка краевых условий эквивалентна введению соответствующих корректирующих функций в проекционных методах. Полученное рассматриваемым способом характеристическое уравнение (21) для продольных колебаний упруго закрепленного стержня постоянного сечения идентично уравнению, получаемому методом Бубнова — Галеркина с добавлением в ряд корректирующей функции, определяемой согласно работе [9].

Предлагаемый способ повышения сходимости решения применим для гораздо более широкого класса краевых задач математической физики, чем рассмотренные выше случаи, и может быть использован при любых прямых методах, основанных на отыскании решения в виде ряда (4). Способ успешно применялся автором при исследовании динамических характеристик и нагружения многоблочных конструкций с помощью метода компонентного модального синтеза.

1. Craig R. R. Methods of component mode synthesis. — ¥ he shock and vibration digest, 1977, vol. 9, N 11.

2. Engels R. C., Craig R. R., Harcrow H. W. A survey of payload integration ' methods.—J. Spacecraft and Rockets, IX — X, 1984. vol. 21, N 5.

3. Создание и применение математических моделей самолетов.— /Под редакцией С. М. Белоцерковского. — М.: Наука, 1984.

4. Шибанов Р. А. Основы метода синтеза динамических схем конструкций пакетного типа. — В сб.: Колебания упругих конструкций с жидкостью. — М.: ЦНТИ «Волна», 1984.

5. Канторович Л. В., Крылов В. И. Приближенные методы высшего анализа. — М.-Л.: Гостехтеоретиздат, 1949.

6. Крылов А. Н. Лекции о приближенных вычислениях. — М.: Гостехтеоретиздат, 1954.

7. Лучка А. Ю., Лучка Т. Ф. Возникновение и развитие прямых методов математической физики. — Киев.: Наукова думка, 1985.

8. М и х л и н С. Г. Вариационные методы в математической физике. — М.: Гостехтеоретиздат, 1957.

9. Шмаков В. П. Построение корректирующих функций в методе Бубнова — Галеркина. — Изв. АН СССР, МТТ, 1981, № 2.

Рукопись поступила 2/VII 1987