Построение решений задач динамики композитных стержней на основе метода Бубнова-Галеркина Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

УДК 624.042.12:534.1

А. В. МИЩЕНКО Ю. В. НЕМИРОВСКИЙ

Новосибирский государственный архитектурно-строительный университет

Институт теоретической и прикладной механики им. С. А. Христиановича СО РАН, г. Новосибирск

ПОСТРОЕНИЕ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧ ДИНАМИКИ КОМПОЗИТНЫХ СТЕРЖНЕЙ НА ОСНОВЕ МЕТОДА БУБНОВА-ГАЛЕРКИНА

Рассматривается решение на основе метода Бубнова—Галеркина начально-краевых задач динамического расчета композитных вязкоупругих стержней. Разрешающие уравнения сформулированы с учетом осредненного сдвига и взаимодействия с внешней средой. Методом Фурье на основе использования заданных координатных функций задача сведена к системе матричных уравнений для вектор-функций времени, отражающих изменение перемещений и углов поворота.

Ключевые слова: композитный стержень, поперечно-слоистая структура, динамическое воздействие, жесткостные характеристики. Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ, проект 14-01-00102.

1. Композитный стержень (рис. 1), в зависимости от направления реализации неоднородности, может иметь разнообразные типы слоистых структур: поперечную, продольную, полярную, радиальную, продольно-поперечную. Рассмотрим поперечно-слоистый стержень длиной 1, составленный из слоев, симметричная структура которого образована границами ук(х) (к=1,...,8+1) с произвольной привязкой к отсчетной плоскости у=0. к-й слой шириной Ьк (х, у) и высотой hk(x) характеризуется объемной плотностью рк, модулем упругости Ек, модулем сдвига Ск и коэффициентами вязкости |к, |к при продольном деформировании и сдвиге. Меж-слойный контакт считается идеальным.

Формирование основных соотношений композитного вязкоупругого стержня на вязкоупругом основании приведено в [1]. Разрешающая система

а)

* X

у

Гк

шь-

К/ ¡1 1*\\ф

дифференциальных уравнений при их использовании принимает вид

\вАп' - Б,0'+Слй' - с,0') ' -М +

+Р*00 - С> + с,00 - тлй+т0 = -Чх (х t), [Бв(0-V ) + Се(0-V)]' -(N.0)' +

+ РууУ + Суу^ + тАV = Чу (X, (1)

(Б,0 ' - Б8й + С,0 ' - С8и ) ' + Рх0й -

- Рее0 + С> - Сее0- Пд (0- ^) -

- Сд (0- V ) - т10 + т8й = т2 (х, /),

[Бл, Б,, Б, ](х) = £вк Ц [1, у, у2]^А,

[Сл, С,, С, ](х) = £ Цк Ц [1, у, у 2]^А,

Пд ( х) =

к= Ак

К2

* ук+1 Г 2

£ аУ к=1 I ькок

Сд (х) =

К

* ук+1 Г 2

£ [ — лУ

к=1 ; ЬкЛ,к

У„1

к,= 11Лу,

у1

*

[тл , т8 , т1](х) = £ Рк Ц[1, ^ у 2¥л,

к=1 лк

Рис. 1. Схемы композитных стержней

[Рхх ,Рх0 ,Р00](Х) = РА [1, Л , у2], Руу (х) = РуЬг

[схх , Схв , С00](х) = СхЬг [1, Л , у2] , Суу (Х) = СуЬг .

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

б)

в)

X

Здесь и, V — продольные и поперечные перемещения точек отсчетной оси стержня; 0 — угол поворота поперечных сечений; д*, т^ — динамические нагрузки; (2) — обобщенные жесткостные и вязкостные характеристики сечения при продольном деформировании; (3) — сдвиговая жесткость и вязкость сечения; Цу) — заданная безразмерная функция формы поперечного распределения сдвигающих сил, удовлетворяющая условиям fJyl)= =!,(Уа+1)=0; (4) — обобщенные массовые характеристики стержня; (5) — обобщенные характеристики жесткости, а (6) — вязкости основания; вх, ву, — коэффициенты жесткости, а сх, су — вязкости основания; Ь, у — ширина и координата поверхности контакта стержня с основанием; штрихом обозначено дифференцирование по координате х, а точкой — по времени t.

Для замыкания начально-краевой задачи записываются начальные условия

и(х,0) = у(х,0) = 0(х,0) = 0 , и( х,0) = ](х,0) = 0 (х,0) = 0

]=1

]=1

0(х, I) = £ к, тв] (х) 1=1

А2Т + А/Г + А0Т = С.

Гн 1 и "Аи В, С, ■ "с(1)"

н = Т , А. = > г А2г В2г С2г , с = с(2)

н _ е _ [ Аз. Вз. Сз. _ с(3)

(г = 0,1,2),

Ни(,) = [Ки1..ТТ ]т, Т(,) = [КЛТ ]т

не(,) = [Км...ке, ]т.

МатРицы Аар= {а(,аР)} , „ар.

Вар= {Ь™}.

Сар = ЦаР)}и векторы С(а) = {^г(а)} имеют /и, /, /д

столбцов при в = 0,1,2 соответственно и ]и, /^ /д строк при а =1,2,3. Интегральные компоненты матриц зависят от жесткостных, вязкостных и массовых характеристик (2) — (6) стержня и опорной среды.

Решение однородного уравнения, соответствующего (1), представим в виде

Нм (,) = К„ ехр(Х,), Ну (,) = К, ехр(Х,), Не (,) = К е ехр(Х0),

(10)

(7)

где Ки, Kv, Кд — числовые векторы. Подстановка (10) в (9) для однородного уравнения дает характеристическое уравнение степени 2(/и+ /+ /д )

и граничные — в концевых сечениях с координатами х* = 0,1:

и(х*, 0) = и, (,), у(х,, 0) = V* (,), 0( х*, 0) = 9.(0), —

при наличии жестких связей, а при деформируемых —

N (х*, 0) + Кх*(,) ± ^х*(0) = 0, 0(х*,Щ,,(х*) -0(х*,0) + Яу*(Г) ± = 0,

М (х*, 0) + К0 * (,) + т* (0) = 0,

где К* (,) = Б^и (х„, ,) + С *и (х„, ,), Кг (,) = Б^х, ,) + Cy,V(x,, ,), К*(,) = Д?>9(.х.,,) + СХх*,,) — реакции продольной, поперечной и угловой концевых связей, имеющих характеристики жесткости В, В, Вд, и вязкости С,, С,,, Сд,. На левом конце применяются верхние, а на правом — нижние знаки.

Решение системы уравнений (1) представим в виде разложений

и(х,0) = £Ки] (Офи, (х) , V(x,t) = ^К] (,)ф] (х),

ад"

ае1 А2(Х) в 2(Я.) С2(Я.) = 0,

А3(Х) В3(Х) С3(Х)

А^А^+ХА^+Х2^, Л е [А, В, С], (г = 1,2,3)

Динамические нагрузки аппроксимируем выражением

q(x,t) = д(х)/(,) , д е д, Чу, т]

(11)

с координатным профилем д (х) и безразмерной функцией времени записанной в форме ряда Фурье

а К , ч

f(0) = ~Т + СОЪЫд0 + Ьдк 81п), (12)

2 к=1

где т= 2п / юд — частота и период заданной динамической нагрузки. Учитывая (11), (12) для векторов Са)в (9), получим

С(а)(,) = С(а) £ (ачк 008кфд, + Ьдк 81П кфд,)

к=0

(8)

по заданным координатным базисам Фи] (х), фу (х), (х), удовлетворяющим граничным условиям, с амплитудами — искомыми функциями времени.

Ортогонализация невязок, полученных при подстановке (8) в (1) к базисным функциям в интервале х е[0,1], дает систему /и+/+/д уравнений относительно искомых функций. Запишем ее в матричном виде

с интегральными компонентами матрицы О.

Частное решение уравнения (9) зададим в форме

(9)

Ни (,) = I (Нки) 008 Ыд, + 8ки) 81П Ыд,), к=0

Н] (,) = I (Нк]) 008 Ыд, + 8к]) 81П Ыд,), к=0

к0

Н (,) = 1(нк0) 0О8кюд, + 8к0) 81п кюд,).

Для к-й гармоники имеем систему шести уравнений:

к=0

В(х) Г2

Рис. 2. Расчетная схема дымовой трубы

Рис. 3. Аппроксимация функций к(х) (а) и q (x)/q0 (б)

Рис. 4. Аппроксимациядля ветровой нагрузки (а), изменение максимального прогиба V(I,!) в интервале двух периодов (б). Функции f(t): 1 — заданная форма изменения, 2 — расчетная аппроксимация (12). Решения для функции прогиба V(I, ^ с учетом статической компоненты: 3 — частное решение, 4 — общее решение

[Л(,0) - кXЛ(,2)]Н^) + кюч Л^^ +

+ [Б('0) - к2ю2Б2)

к

]ИкУ) + кю^Б^« +

+ [С(,0) - к2ю2е('2)

]Н к о«

(0).

+ Г = аф

- кюд Л(я)Н(й)-гл('0)

к

к = 0,1,. 2т2л(' 2)п

+ [Л('0) - кXЛ('2)]8кй) -

- кю В(Я)НкУ) + [Б('0) - к2ю2Б('2)]8к") -

(13)

- кю^С Нк"' + [С('0) -

- к2юЧС('2)]8ке) = ЪфО(0, к = 1,2....

(1=1,2,3) относительно искомых векторов Нк(и), Sk(u),

Н, м, 5,<г>, Н т, 5, т.

к к к к

2. В качестве первого примера выполним динамический расчет на ветровое воздействие двухслойной радиально-слоистой дымовой трубы, имеющей форму усеченного полого конуса (рис. 2). Внутренний слой выполнен из огнеупорного кирпича, а внешний — из стали. Границы слоев описываются выражениями г2(х) = г2(0)(1 - х/1) + г2)х/1, г1 (х) = г2 (х) — к1, г3(х) = г2 (х) + к2.

Координатный профиль нагрузки (11) зададим в виде [2]

Чу (х) = СхР0к(х)В(х) ,

где р0 — нормативное ветровое давление; сх — аэродинамический коэффициент; к(х) — коэффициент, учитывающий изменение скорости ветра в зависимости от высоты над по0ерхностью земли.

Приняты следующие значения параметров: h1 = 0,48 м, Е1 = 5 ГПа, р1 = 1900 кг/м3; |1 = 0,015 с, ^ = 0,04 м, Е2 = 210 ГПа, р2 = 7800 кг/м3; Т2= 0,005 с; г2<°> = 3,5 м, г2<" = 1 м, 1 = 90 м, р0 = 350 Па, с = 0,7.

х '

На рис. 3 отражены результаты подбора расчетных функций к (х) = 1,734х0'446 (а) и безразмерного координатного профиля Чу (х) = ч0(8,88х3 - 24,85х2 + 16,77х - 2,52) (б)

(Ч0 = схр0, х = х/1 ). Точками отмечены значения величин, найденные по дискретным данным норм [2].

Изменение ветровой нагрузки, описываемое функцией f(t), задавалось в форме параболического импульса в интервале t е [0, ¿1] с последующим значением f (¿) = 1 при t е [¿1,г]. Задав т = 20 с, t = 0,2т, ^ = 0,8 и выполнив интегрирование для пяти гармоник, были вычислены коэффициенты аппроксимации (12). На рис. 4а изображены графики заданной формы изменения нагрузки (линия 1) и расчетной аппроксимации (12) (линия 2).

Пренебрегая сдвигами, примем модель стержня Бернулли (6 = Н ). Решены подзадачи: а) статического расчета при воздействии дх (х) , б) статического расчета при воздействии дх(х) и Чу(х) (11), в) о собственных и г) вынужденных колебаниях. Подзадача (а)имеетточное аналитическое решение, в остальных использовался метод Бубнова — Галеркина с тремя координатными функциями

Ф,

н (х) = (1 - х /1)н+4 + (н + 4)х /1 -1, ( н = 1.....3 ),

отражающими упругие линии прогибов в стержне постоянного сечения от действия поперечных нагрузок ч = д0 (1 - х/1У при соблюдении граничных условий Хн (0) л 0, Хн (0) л Хн (0) л 0, х, (I) л 0, ХV (I) л 0 . Основная частота собственных колебаний составила ю = 3,91 с-1.

На рис. 4б приведены графики изменения частного и общего решений для максимального прогиба н(/, ¿), а на рис. 5 — наибольших сжимающих напряжений в первом и втором слое.

х

У

а) б)

Рис. 5. Изменение наибольшего напряжения в первом (а) и втором (б) слоях

Графики изменения расчетных величин — максимального прогиба и напряжений — иллюстрируют наличие выраженных переходных процессов, обусловленных учетом затухающих собственных колебаний. Отношения максимальных значений динамических величин в этом процессе к соответствующим значениям, вычисленным без учета переходных режимов составили: 1,28 — при оценке прогибов и 1,24 — при оценке напряжений. Это свидетельствует о необходимости выявления всех фаз движения неоднородной системы для оценки её прочности и жесткости при динамических воздействиях, в том числе — ветровых. Расчеты показывают, что наиболее опасными являются начальные моменты времени, при которых происходит наложение циклов собственных колебаний расчетных величин с их максимумами при вынужденном движении, описываемым частным решением.

На результаты динамического расчета, кроме величины динамических пульсаций ветра, существенное влияние оказывают факторы относительной продолжительности t|/тq пульсаций ветра и относительная величина периодов собственных и вынужденных колебаний. Последнее связано с наступлением околорезонансных состояний.

3. Одной из актуальных задач динамического расчета мостов является выявление критических режимов движения подвижной нагрузки, в частности — скорости ее перемещения и дистанции между движущимися объектами.

Выполнив переход к центральным осям ух (при оценке жесткостей Б), обеспечив удовлетворение (х) = 0 , пренебрегая смешанными характеристиками С и т, получим из (1) приближенное уравнение поперечных колебаний вязкоупругой неоднородной балки

(Бу + С У)" + тАУ - (тУ)' = т'г + д .

С (,) = ^ [ф1( х, ) Ф 2( х, ).

. Фп (хд )]

тора (15) и искомого решение в ряды Фурье по времени. Система (13) принимает вид

РА12^а :

Р ^22^ = Ва

р = алх / /.

(16)

Для нагрузки постоянной интенсивности может быть выполнено дополнительное упрощение. А именно, с целью обеспечения соответствия аппроксимации (12), целесообразно принять в качестве координатного базиса спектр синусов ф, (х) = 81п( ]пх /1). Тогда для вектора (15) получим

ESq

(,) = [81п(лх? /1) 81п(2лх? /1) ... 8т(плх /1)]Т

(E — единичная матрица). В этом случае ряд (12) при фиксированном числе удерживаемых членов и соответствующее ему решение уравнения (14) являются формально точными. В системе (16) следует принять: р = апи /1 , Bk = 0, а для вектора Aа — столбец с номером а матрицы E.

Рассмотренная постановка построения аналитического решения позволяет исследовать критические режимы движения нагрузки, в частности — выявлять критическую скорость и , при которой перемещения и напряжения неограниченно возрастают. Критерием этого является равенство нулю определителя, составленного из коэффициентов системы (16)

К(иа) = (А02 - р2А22)2 - (рА12)2 = 0,

(14)

р = ажисг /1 .

(17)

Для нахождения частного решения уравнения (14) сформулируем модель динамической нагрузки [3]. Будем считать, что в момент времени t она характеризуется координатами начала хЬ, конца хе, длиной ¡, законом движения xЬ(t) и имеет постоянную интенсивность ду(х^) = соп&1 при т=0. Тогда для случая 1д < I , применяя формулу трапеций, вектор правой части (9) представим в виде

(15)

где хд^)=(хЬ+х)/2 — координата центра подвижной нагрузки; Р=ду1д.

Дальнейшее решение, согласно вышеизложенной методике, выполняется путем разложения век-

Условие (17) дает спектр 2п критических скоростей и , из которых практическое значение имеет минимальная скорость.

Рассмотрим модельный расчет стале-бетонного пролета балочного моста, выполненного из двутавров, объединенных сверху бетонной монолитной плитой проезжей части (рис. 6). Нагрузка длиной 1д < I = 36 м имеет равнодействующую Р, движется с постоянной скоростью и. Приняты следующие характеристики материалов Р (ГПа), Т| (МПа), р (кг/м3): 210, 2, 7800 — для стали и 23, 4, 2100 — для бетона.

В результате расчета при разложении прогибов по синусоидальным координатным функциям 81п(гпх/1) , (г = 1,..,п ), обеспечивающим удовлетворение условий (7), найдено решение v(x, хд) при а = п. На рис. 7 показаны формы прогибов

200 2 1460

1800

k=4 z

k= 3 1400*18

400*30

Рис. 6. Представительный элемент поперечного сечения

Рис. 7. Прогибы v (x) 1 — x =0,21; 2 — x =0,31; 3 — x =0,41; 4 — x =0,51

V = у(х, хд )/у(0,5/;0,5/) при различных положениях хд подвижной нагрузки. Отклонения прогиба у(0,25/;0,3/), найденного при различном числе координатных функций п = 1,2,3,4,5, по отношению к прогибу при п=10, составили — 10,02; —0,67; -0,25; -0,25; -0,07 (%). То же для прогиба V(0,25/;0,5/) составляет 1,36; 1,36; 0,10; 0,10; -0,06 (%). Погрешность максимального прогиба V(0,5/; хд) для п=1 при х /1 = 0,2; 0,3; 0,4; 0,5 получена в размере 1,98; 0,67; - 0,72; -1,43 (%). Анализ численных данных показал, что качественно правильное решение удовлетворительной точности может быть получено уже при двух координатных функциях.

Критическая скорость и, = 44,9 м/с2 и параметры собственных колебаний пролетного строения в соответствии с уравнением (17) удовлетворяют условиям

где т, Т — частота и период колебаний, а t=¡/u — критическое время нахождения нагрузки в пролете. Физический смысл соотношения (18) заключается в том, что скорость становится критической (возбуждающей резонанс), если время нахождения нагрузки в пролете равно половине периода собственных колебаний — во время его перемещения вниз. Резонанс наступает, если последующие нагрузки, двигающиеся с такой же скоростью, будут загружать пролет именно в эту половину периода. Тогда дистанция между ними составляет Т/исг = 21.

Заключение. Для композитного стержня нового конструктивного исполнения, разработана расчетная модель, постановка и метод решения прямых динамических задач на основе метода Бубнова -Галеркина при разнообразных видах воздействий и физических структур. Посредством введения интегральных функциональных жесткостных, вязкостных, массовых характеристик стержня и функциональных характеристик опорной среды, учета деформаций сдвига обеспечивается корректное отражение напряженно-деформированного состояния неоднородного стержня.

Библиографический список

1. Немировский, Ю. В. Динамический расчет систем профилированных композитных стержней / Ю. В. Немировский, А. В. Мищенко // Вычислительная механика сплошных сред (УРО РАН). - 2015. - Т. 8, № 2. - С. 188-199.

2. СНиП 2.01.07-85. Нагрузки и воздействия / Госстрой России. - М. : Стройиздат, 2005. - 48 с.

3. Мищенко, А. В. Динамический расчет слоисто-неоднородных балочных мостов / А. В. Мищенко, Ю. В. Немировский // Всерос. 65-я науч.-техн. конф. СибАДИ. - Омск : СибАДИ, 2011. - Кн. 1. - С. 30-35.

u = wl/%, T=2t ,

с^ cr

(18)

МИЩЕНКО Андрей Викторович, кандидат технических наук, доцент (Россия), доцент кафедры строительной механики Новосибирского государственного архитектурно-строительного университета. Адрес для переписки: mavr@hnet.ru НЕМИРОВСКИЙ Юрий Владимирович, доктор физико-математических наук, профессор, главный научный сотрудник Института теоретической и прикладной механики им. С. А. Христиановича СО РАН.

Адрес для переписки: nemirov@itam.nsc.ru

Статья поступила в редакцию 11.09.2015 г. © А. В. Мищенко, Ю. В. Немировский

Книжная полка

51/М96

s Мышлявцева, М. Д. Функции комплексной переменной : учеб. пособие [Электронный ресурс] /

| М. Д. Мышлявцева. - Омск : Изд-во ОмГТУ, 2015. - 1 о=эл. опт. диск (CD-ROM).

^ Рассмотрены функции комплексной переменной. Изложение теоретического материала сопровождает-

<с ся решением задач. Приведены контрольные вопросы и задачи для самостоятельной работы. Предназначе-

gj но для студентов 2 — 3 курсов всех форм обучения технических специальностей Омского государственного

^ технического университета.