CC BY
43
УДК 622.235(088.8): 519.21 В. В. Иванов, Л. А. Белина, Д. Ю. Сирота, Т. М. Черникова ОПРЕДЕЛЕНИЕ КИНЕТИЧЕСКИХ КОНСТАНТ РАЗРУШЕНИЯ
Введение. Исследованию процессов разрушения и трещинообразования посвящено большое количество работ, результатом которых стало появление следующих базовых теоретических моделей: модель упругой отдачи H. F. Reid^ [1], энергетическая модель сейсмического режима Ю. В. Ризниченко [2]; модель лавинно-неустойчивого трещинообразования Б. В. Кострова, В. И. Мячки-на, Г. А. Соболева, О. Г. Шаминой [3]; кинетическая концепция прочности С. Н. Журкова, В. С. Куксенко, В. А. Петрова [4]; дилатантно-диффузионная модель D. L. AndersonX C. H. Scholz^ [5]; модель с неоднородностью или консолидированным включением И. П. Добровольского [6]; P. Bak, C. Tang, K. Wiesenfeld предложили модель, основанную на концепции самоорганизующейся критичности [7].
Наиболее широкое применение и развитие получила кинетическая концепция прочности С. Н. Журкова, которая подразделяет процесс разрушения на две стадии: хаотического некоррелированного образования микротрещин и образование магистральной трещины разрыва.
Переход от первой стадии ко второй осуществляется при выполнении «концентрационного критерия разрушения (укрупнения трещин)» [4]
K = l -
■ n
(1)
где п - средняя концентрация микротрещин, м-3; I - средний линейный размер микротрещин, м; К ~ 3 - среднее расстояние между трещинами в образце единичного объема в долях их среднего размера I.
Продолжительность первой стадии определяется из соотношения
Т = Т0 ехр([^0 - уст]/кТ), (2)
где Т0 ~ 10 - период тепловых атомных коле-
баний около положения равновесия, с; у - активационный объем, м3; и0 - энергия активации разрушения, Дж; к - постоянная Больцмана, Дж/°К; Т - абсолютная температура пород, °К; с - среднее внешнее напряжение на образец, Па.
§1. Экспериментальные данные.
В работах [8, 9] авторы приводят результаты лабораторных экспериментов по разрушению образцов композитных материалов [8] и горных пород [9] с фиксацией количества импульсов ЭМИ. В работе [8] исследовались в частности фенопласт Ф13-01-87, текстолит конструкционный ПТН, фенопласт Э39-О10-48.
Для аппроксимации первых трёх наборов дан-
ных в работе [8] была предложена формула
Ща) = -^ ■ exp(-ß) ■ 23«^. (3)
а
где а = у / кТ, Р = и°/ кТ.
Для аппроксимации последних двух в работе [9] использовалась зависимость
N(Р) = Л[ехр(а • Р) -1], (4)
где Р, Н - нагрузка на образец.
Проверим последнюю формулу на соответствие размерностям. Так как [к] = Дж^ (°К)-1, [у] = м3, [Т] = °К, [Р] = Н, тогда получим что [а • Р] = (м3^°К>(Дж^К)-1 = (м^Н>(Н™)-1 = м2, откуда получаем выражение с невозможной размерностью ехр(м2). Таким образом, формула (4) хоть и верна статистически, но физически не имеет смысла.
В данной заметке будут получены более точная, чем (3), и более правильная, чем (4), закономерности.
§2. Теоретическая модель. Проверка адекватности.
В работе [10] авторы сформулировали кинетическую модель накопления микротрещин, которая учитывает уравнения (1), скорость трещино-образования (5) и условие необратимости разрушения Бейли (6)
N /(Г) = N */т,
IN1 dt = N *
(5)
(6)
где N * - критическое количество трещин, которое накапливается в образце к моменту его разрушения и позволяет описать накопление повреждений структуры при произвольной зависимости действующих напряжений и температуры от времени.
Для определения зависимости числа импульсов N от величины напряжения с проинтегрируем (3) при условии линейного возрастания напряжения
‘ N *
а = а -t N (а) = f—dt
J Т
откуда получаем выражение
N (а) =■
N
--exP(-ß)-
exp(a - а) -1
(7)
а
Т
где а = у / кТ, Р = и0/ кТ.
Можно отметить, что из (7) можно получить (3) при условии, что ехр(а • С) >> 1. Однако для
типичных значений у ~10 29, с ~108, Т=293 можно определить, что ехр(а • с) « 1,22 , что де-
N. шт
лает вычисления работы [8] далёкими от истинных.
Для определения коэффициентов а и в применим метод наименьших квадратов. Прологарифмируем выражение (7):
20 40 60 80 100 120 140 160
Рис. 1. Кривая N(o) для фенопласта Ф13, а’=1.57 МПа/с.
N, шт
28 56 84 112 140 168 196 224
Рис.3. Кривая N(0) для текстолита Э39, а’=1.427 МПа/с.
Рис. 5. Кривая N(0) для известняка вида 10
Рис. 2. Кривая N(0) для текстолита ПТН, о’=1.92 МПа/с.
Рис. 4. Кривая N(0) для известняка вида 3
Рис. 7. Кривая N(0) для кварц. диорита вида 6
ln N = ln
VrQ 'c J
-0 + ln
exp(ac) - Г
a
Определим минимизируемый функционал: F (a,0) =
=I
ln N: - ln
+ 0-
- ln
exp(a • cc) -1
a
Приравняем частные производные нулю. F' =
=I
ln N: - ln
- ln
VTQ ' c J exp(a • ) -1
+ 0
a
exp(a •ci) • (a • ci -1) +1
a(1 - exp(a • c))
= Q
F0=I
ln N4 - ln
+0-
- ln
exp(ac:) -1
a
= Q.
После преобразований получим следующие выражения
I
ln N: - ln
exp(a •ci) -1
a
exp(a • c )(a • c -1) +1
-11 n
-I
a• (1 - exp(a c))
exp(ac:) -1
ln N: - ln
a
(8)
exp(a • c )(a • c -1) +1 a •(! - exp(ac:))
= Q
0 = ln
V rQ • c
-1I
n і
ln N: - ln
a
(9)
Величину скорости нагружения о определим из соотношения
о = °Р / 1Р (10)
о - напряжение при разрушении, Па; Iр - время разрушения образца.
Таким образом, получили в (8) нелинейное уравнение, которое решаем модифицированным методом параболической интерполяции Брента (основной алгоритм взят из открытой библиотеки алгоритмов НИВЦ МГУ на сайте). Результаты расчётов параметров а и в, а также кинетических коэффициентов и0 и у приведены в таблице.
Расчётные значения U,
0 и у
Вид материала образца Uo, 1Q19 Y, 1Q-29 R2
Фенопласт 1,411 1,QQ1 Q,998
Текстолит вида 1 1,428 1,499 Q,981
Текстолит вида 2 1,429 26,233 Q,962
Известняк 3 1,325 5,721 Q,942
Известняк 10 1,467 4,Q29 Q,837
Роговик 14 1,521 4,583 Q,816
Роговик 15 1,553 3,954 Q,824
Кварц. диор. 4 1,656 2,198 Q,963
Кварц. диор. 5. 1,5Q3 6,435 Q,891
X
и
X
X
и
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Reid, H. F. The California earthquake of April 18 1906, v. 2. The mechanics of the earthquake [Text] / H.F. Reid, -The CIW, 1910.
2. Ризниченко, Ю. В. Проблемы сейсмологии. Избранные труды [Текст]./ Ю. В. Ризниченко. - М.: Наука, 1985, - 408 с. // - с. 9 -27.
3. Мячкин, В. И. Основы физики очага и предвестники землетрясения [Текст] / В. И. Мячкин, Б. В. Костров, Г. А. Соболев, О. Г. Шамина // Физика очага землетрясений - М.: Наука. - 1975. - с. 104 - 117.
4. Куксенко, В. С. Модель перехода от микро- к макроразрушению твердых тел [Текст] / В. С. Кук-сенко // Сб. «Физика прочности и пластичности». - Л.: Наука. - 1986. - с. 36 - 41.
5. Scholz, C. H. The Mechanics of Earthquakes and Faulting [Text] / C. H. Scholz. - Cambridge University
Press, 2002. - 471 p.
6. Добровольский, И. П. Теория подготовки тектонического землетрясения [Текст] / И. П. Добровольский. - М.: ИФЗ АН СССР, 1991. - 217 с.
7. Bak, P. Self-organized criticality: An explanation of 1/f noise [Text] / P. Bak, C. Tang, K. Wiesenfeld// Phys. Rev. Lett. 1987 № 59, - pp. 381 - 384.
8. Иванов, В. В. Кинетика разрушения и усталостная прочность полимерных соединений/ В. В. Иванов, В. И. Климов, Т. М. Черникова. - Кемерово, КузГТУ, 2003, - 235 с.
9. Егоров, П. В. Исследование разрушения твердых тел методом регистрации импульсного электромагнитного излучения / П. В. Егоров [и др]. - Кемерово, Кузбассвузиздат, - 201 с.
10. Иванов В. В. Статистическая теория эмиссионных процессов в нагруженных структурно -неоднородных горных породах и задача прогнозирования динамических явлений/ В. В. Иванов, П. В. Егоров А. Г. Пимонов// ФТПРПИ - 1990. - Вып. 187/34. - с. 32 -35.
□ Авторы статьи
Иванов Вадим Васильевич, докт. техн.наук, проф. каф. теоретической и геотехнической механики КузГТУ, email: vvi@kuzstu.ru
Белина
Любовь Александровна, канд.техн.наук, доцент каф. теоретической и геотехнической механики КузГТУ
email: bla.rmpip@kuzstu.ru
Сирота Дмитрий Юрьевич, канд.техн.наук доцент каф. теоретической и геотехнической механики КузГТУ, email: sirotadm@gmail.com
Черникова Татьяна Макаровна, канд.техн.наук доцент каф. теоретической и геотехнической механики КузГТУ, email: chtm.oe@kuzstu.ru
