К поиску адекватной кинетической модели длительной прочности горных пород Текст научной статьи по специальности «Физика»

ГЕОМЕХАНИКА

УДК 622.235(088.8): 519.21

Д. Ю. Сирота, Л. А. Белина, В. В. Иванов

К ПОИСКУ АДЕКВАТНОЙ КИНЕТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ДЛИТЕЛЬНОЙ ПРОЧНОСТИ ГОРНЫХ ПОРОД

Исследования школы С.Н. Журкова [1] показали, что долговечность многих материалов (металлов, кристаллов, полимеров и др.) определяется по формуле

т = т0 • ехр(Р)• ехр(-а -а),

(1)

где

а - у • (кТ)-1, Р = и о-(кТ)-\

Т0 ~ 10 - период тепловых атомных колеба-

ний около положения равновесия, с; у - активационный объем, м3; ио - энергия активации разрушения, Дж; к - постоянная Больцмана, Дж/0К; Т

- абсолютная температура пород, 0К; О - среднее внешнее напряжение на образец, Па.

Например, в работах [2-4] зависимость (1) весьма успешно применялась для определения кинетических констант прочности для различных композитных материалов.

Как показали дальнейшие исследования, приведённая закономерность не является универсальной. Например, для эластомеров [5] более пригодной будет закономерность вида

/ \-а*Е

Т = Т0 ■ ехр(Р)-1 О I , (2)

от нагрузки имеет

где Е - «подгоночная» величина, которая в работе [5] имеет смысл модуля упругости, Па.

Для полимеров и отожжённых металлов [1, 6] зависимость долговечности слегка другой вид

т = То - ехр(Р) • ^ОР у

(3)

где О р - размерная «подгоночная» постоянная неясной физической природы, Па; величина п ~ п (ио, к, Т) .

Можно отметить, что:

1) все три закономерности (1, 2, 3) одинаково определяют зависимость от энергии активации

и0 (что указывает на использовании распределения Гиббса) и различаются способом оценивать влияние изменения напряжения на образец о;

2)зависимости (2) и (3) имеют сходный вид, но при этом принципиально отличаются в смысле

физической интерпретации содержащихся параметров;

3) зависимость (3) не позволяет определить величину активационного объёма у и поэтому она выпадает из дальнейшего анализа.

В работе [7] авторы сформулировали кинетическую модель накопления микротрещин, включающую скорость трещинообразования, условие необратимости разрушения Бейли и концентрационный критерий разрушения

I

N'(0 - N/т, |Ы'Жі = N

п

-1 / 3

е.

(4)

(5)

где N - критическое количество трещин, которое накапливается в образце к моменту его разрушения и позволяет описать накопление повреждений структуры при произвольной зависимости действующих напряжений и температуры от времени; п - средняя концентрация микротрещин, м-3; I - средний линейный размер микротрещин, м; е = 2,718 - среднее расстояние между трещинами в образце единичного объема в долях их среднего размера I.

Поскольку наиболее крупные дефекты (микротрещины) излучают импульсы ЭМИ, то в качестве величины N можно рассматривать количество импульсов, которые поддаются регистрации.

Для определения зависимости числа импульсов N от величины напряжения О проинтегрируем (5) при условии линейного возрастания напря-

т

жения

а —а1 -і N (а) = |—Жі,

откуда в

случае зависимости (1) получаем выражение

Ы(а) = •

N

то -а

^-ехр(-Р) ехр(аа) -1 ,(6)

а

а в случае зависимости (2) получим выражение

лг/ > Ы*-Е (а/Е)а-Е+1

Ы( а) =------ • р(-Р) •(7)

то -а

а • Е +1

В работах [3,4,7,8] авторы приводят результаты лабораторных экспериментов по разрушению образцов горных пород и композитов с фиксацией

Таблица 1. Расчётные значения параметров зависимостей (6, 7)

№ Горная порода Формула а в R2

1 Известняк № 8 (6) -5,325 34,505 0,982

(7) -0,023 37,888 0,915

2 Известняк №10 (2) (6) -5,088 34,541 0,989

(7) -0,019 37,519 0,943

3 Известняк № 9 (6) -6,319 33,511 0,985

(7) -0,033 38,281 0,766

4 Известняк № 10 (5) (6) -10,569 34,017 0,882

(7) -0,038 39,998 0,919

5 Кварцевый диорит № 36 (6) -1,752 35,099 0,923

(7) -0,020 37,582 0,969

6 Кварцевый диорит № 37 (6) -1,752 35,099 0,701

(7) 0,024 34,156 0,877

7 Кварцевый диорит № 38 (6) -5,376 34,218 0,909

(7) -0,022 38,462 0,919

8 Кварцевый диорит № 39 (6) -8,655 34,887 0,931

(7) -0,022 38,469 0,888

9 Роговик № 14 (6) -2,338 34,641 0,966

(7) 0,026 30,252 0,947

10 Роговик № 16 (6) -2,703 35,528 0,906

(7) -0,008 36,748 0,921

более того, попадают в некоторый возможный интервал вида ¡ е [30; 40].

3) Рассчитанные значения параметра а для обеих формул будут отрицательными, что является математически правильным (большое значение Я2), но физически бессмысленным результатом.

4) Формула (7) даёт более правильный, чем формула (6), ответ с точки зрения физической осмысленности результата: величина а для неё более близка к левой нулевой допустимой границе интервала определённости.

5) Величина Е, которая в работе [6] имела смысл модуля упругости, в данном случае является размерным «подгоночным» параметром с неясным физическим смыслом, но при этом для всех образцов горных пород Е -20 МПа.

6) В работе [4] были получены положительные значения а для некоторых образцов горных пород, однако они определялись с помощью руч-

Таблица 2. Расчётные значения параметров зависимости (9), активационного объёма и энергии активации разрушения

№ Горная порода а в R2 у-1028 U 0 -1019 Е

1 Известняк № 8 0,047 37,889 0,916 1,887 1,518 11,856

2 Известняк №10 (2) 0,117 37,025 0,944 4,715 1,499 4,903

3 Известняк № 9 0,041 37,737 0,765 1,663 1,528 8,518

4 Известняк № 10 (5) 0,042 38,582 0,983 1,692 1,562 7,930

5 Кварцевый диорит № 36 0,030 37,562 0,969 1,218 1,521 20,076

6 Кварцевый диорит № 37 0,072 34,268 0,877 2,921 1,387 20,036

7 Кварцевый диорит № 38 0,026 38,269 0,919 1,082 1,549 15,237

8 Кварцевый диорит № 39 0,034 38,479 0,890 1,376 1,558 15,231

9 Роговик № 14 0,037 37,937 0,875 1,478 1,514 15,276

10 Роговик № 16 0,046 37,397 0,934 1,881 1,514 15,276

количества импульсов ЭМИ.

Неизвестные параметры а и в в зависимостях (6, 7) будем искать с помощью метода наименьших квадратов, численная реализация которого с помощью эволюционных алгоритмов заложена в надстройке NLPSolver свободного табличного процессора OO Calc. Значения параметров и индекс детерминации R2 вычислялись для вышеуказанных шести образцов, а также ещё для трёх дополнительных образцов каждой из горных пород. Результаты расчётов приведены в таблице.

На основании данных табл.1, можно сделать следующие выводы.

1) Точность аппроксимации формулы (7) несколько ниже, чем у формулы (6), однако не настолько ниже, чтобы полностью отказываться от её использования.

2) Величины в, рассчитанные по двум разным формулам, совпадают по порядку величины и,

Рис 1.Известняк № 8

Рис 3.Кварцевый диорит № 36

Рис 5. Роговик № 14

Рис 2. Известняк № 10

Рис 4. Кварцевый диорит №37

Рис 6. Роговик № 16

ной подгонки параметра а из табл. 1 с существен- / \ \-a-E

ным снижением точности аппроксимации. х = х0 ■ exp(¡) ■ I — I , (8)

Произведём некоторою модификацию форму- ^ Е )

лы (7), которая примет следующий вид откуда зависимость для количества импульсов

(трещин) из (7) преобразуется к более простому виду

N*

N(g) = ■

, 0, (а/Е)аЕ ■ exp(-Р)------.(9)

а

Произведём расчёт параметров а, в, Е с помощью надстройки КЬР8о1уег; результаты приведём в табл. 2.

На основании данных табл. 2 можно сделать следующие выводы.

1) Порядок величин у и и совпадает с расчётными значениями аналогичных величин из [2,

3] для композитов;

2) Точность аппроксимации формулы (9) в целом несколько ниже, чем по формулам (6, 7), что возможно связано с погрешностями в определении «подгоночного» параметра Е;

3) Величина параметра Е является практически одинаковой для образцов роговика, для кварцевых диоритов № 38, 39, кварцевых диоритов № 36, 37; известняков 9, 10(5), что указывает на возможную физическую осмысленность этого параметра и его возможное экспериментальное определение для каждого образца в отдельности.

Приведём формулы расчёта параметров а и в в предположении, что «подгоночный» параметр Е известен. Указанный расчёт будет основан на методе наименьших квадратов

F (а, Р) =

ln Nk - ln

V т0 ■ а У

+Р-

-а Е ln

V Е у

+ ln(a)

,(10)

откуда после дифференцирования по а и в и некоторых преобразований получаем формулы

А о С а = —, Р = — , (11)

В п

где

А = £ 1п(Ик)1п(ак) -пП£Ы(Ик)£Ы(ак),

к

В = Е £ 1п(&к)1п{

n к

— 1

Е У

Е

Е

—Z ln(—k)Z ln\ ■

n к к V

C = n-lnA + а ■ Е- Z ln| —-

k V Е,

- n-lna - Z ln(Nk).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

2

к

к

к

1. Регель В.Р. и др. Кинетическая природа прочности твёрдых тел /В.Р. Регель, А.И. Слуцкер, Э.Е.

Томашевский// - М.: Наука, 1974 г., -560 с.

2. Пимонов А.Г. и др. Определение констант прочности и долговечности для образцов из полимерных композиционных материалов / А.Г. Пимонов, В.И. Климов, В.В. Иванов, П. В. Егоров// Вестник КузГТУ,

- 1998 г, № 3, с. 11 - 14.

3. Иванов, В. В. Кинетика разрушения и усталостная прочность полимерных соединений/ В. В. Иванов, В. И. Климов, Т. М. Черникова.// - Кемерово, КузГТУ, - 2003 г, - 235 с.

4. Иванов В. В. Способ определения кинетических констант разрушения / Иванов В. В., Белина Л. В, Сирота Д.Ю., Черникова Т. М.// Вестник КузГТУ, - 2012 г, № 6, с. 13 - 16.

5. Лазарев С.О. Кинетическая концепция прочности в расчётах эластомерных детелей/ С.О. Лазарев, Ю. К. Михайлов// ФТТ, - 2005 г., № 5, с. 951 - 954.

6. Веттегрень В.И. Температурная зависимость прочности полимеров и металлов в области высоких температур/ В. И. Веттегрень, В. Б. Кулик, С. В. Бронников// Письма в ЖТФ, - 2005 г, № 22, - с. 47 - 55.

7. Иванов В.В. Статистическая теория эмиссионных процессов в нагруженных структурнонеоднородных горных породах и задача прогнозирования динамических явлений/ В. В. Иванов, П. В. Егоров А. Г. Пимонов// ФТПРПИ - 1990. - Вып. 187/34. - с. 32 -35.

8. Егоров, П. В. Исследование разрушения твердых тел методом регистрации импульсного электромагнитного излучения / П. В. Егоров [и др].// - Кемерово, Кузбассвузиздат, - 201 с.

□ Авторы статьи

Сирота Дмитрий Юрьевич, канд.техн.наук, доцент каф. теоретической и геотехнической механики КузГТУ, email: [email protected]

Белина

Любовь Александровна, канд.техн.наук, доцент каф. разработки месторождений полезных ископаемых КузГТУ, email: [email protected]

Иванов Вадим Васильевич, докт.техн.наук, профессор каф. теоретической и геотехнической механики КузГТУ, email: [email protected]