Способ гарантированного распределения денежных средств по двум депозитам Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК: 519.853.53:519.816.4 М8С2010: 91А10

СПОСОБ ГАРАНТИРОВАННОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДЕНЕЖНЫХ СРЕДСТВ ПО ДВУМ ДЕПОЗИТАМ

© Ю. А. Бельских

Государственный гуманитарно-технологический университет физико-математический факультет кафедра математики и физики ул. Зеленая, 22, Орехово-Зуево, 142611, Российская федерация Е-МА1Ь: [email protected]

© В. И. Жуковский

Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова факультет вычислительной математики и кибернетики кафедра оптимального управления Ленинские горы, МГУ, ВМК, 2 учебный корпус, Москва, ГСП-1, 119991, Российская Федерация

е-ма1Ь: [email protected]

© Л. В. Смирнова

Государственный гуманитарно-технологический университет факультет информатики кафедра информатики ул. Зеленая, 22, Орехово-Зуево, 142611, Российская федерация Е-МА1Ь: [email protected]

Method of Guaranteed Distribution of Available Funds in two Deposits.

Belskih J. A., Zhukovskiy V. I., Smirnova L. V.

Abstract. Method of distribution of fixed sum of money in ruble and currency deposits is suggested. Lying at the junction of results of the theory of multicriteria problems under uncertainty and principle of Savage-Nichans minimax regret (decision making in onecriteria problem under uncertainty) this method allows to estimate the accrued (per year) amount of deposit distributed at the beginning of the year in two (indicated above) deposits. Moreover, concerning the exchange rate at the end of the year only bounds of changes are known.

Keywords: multicriteria problem, uncertainty, Slater and Pareto maximum, criterion, alternative, minimax regret principle

Введение

Рассматривается частный случай задачи распределения инвестиций по портфелям, за решение которой Гарри Максу Марковицу присуждена Нобелевская премия. Предлагаемая статья охватывает распределение денежных средств по двум депозитам: рублевому и валютному. Эта задача ранее решалась в однокритеральной подстановке (Жуковский В. И., Солдатова Н. Г., Молоствов В. С.) методами математического программирования. В настоящей статье задача рассматривается в двухкри-териальной постановке и используется метод векторной оптимизации при неопределенности, предложенный В. И. Жуковским. В результате авторы сформулировали простой и конструктивный способ распределения вклада по двум депозитам.

1. Постановка задачи

Пусть у вкладчика в начале года на руках имеется некоторая сумма средств, которую он желает распределить между рублевым и валютным депозитами с тем, чтобы через год получить наращенную сумму вклада. Именно, целью вкладчика является такое распределение всей наличности в начале года, при которой наращенная сумма была бы возможно большей. Важными здесь являются два факта: во-первых, зная, как распределять каждый рубль, вкладчик будет знать, как распределять любую сумму средств; во-вторых, будущий курс валюты, естественно, неизвестен, но имеется диапазон его возможных изменений. В таком случае, будущий курс «выступает» как интервальная неопределенность, о которой известны лишь границы изменения, а какие-либо вероятностные характеристики отсутствуют (по тем или иным причинам).

Подходящей математической моделью представляется следующая двухкритери-альная задача:

Г = (X =[0,1],У =[а,Ь], Ш*,у)}*=1,2 >,

где X — множество альтернатив вкладчика г, определяющих, какую часть рубля г он вкладывает в рублевый депозит, тогда оставшуюся часть 1 — г отправляет на валютный. Сами критерии, значения которых называют исходами, в задаче Г имеют вид:

1 — г

¡1 (г,у) = г(1 + г), ¡2(г,у) = — (1 + ¿)у, (1)

здесь r и d — процентные ставки по рублевому и валютному депозитам соответственно; K и y курс валюты в начале и конце года соответственно. Как уже упоминалось, о курсе валюты в конце года известен лишь диапазон изменений y Е [а,Ь], где 0 < а < b — заданные постоянные. Итак, вкладчик в начале года вносит z-вую часть каждого рубля в рублевый, а остаток 1 — z — в валютный депозит, затем конвертирует 1 — z в валюту и через год с помощью обратной конвертации (1 + d)y валютный вклад по курсу y Е [а, b] переводится в рубли. Статья [4] как раз и посвя-

* и

щена построению альтернативы z , при которой сумма вкладов становится через год наибольшей. Однако в [4] не учтены риски, возникающие при реализации такого z*. Тем более отметим, что учет рисков является актуальной задачей. Подтверждает эту актуальность Нобелевская премия 1990 г., врученная Гарри Максу Марковицу [1] за новый подход к исследованию риска распределения инвестиций и диверсификации ожидаемых инвестиционных доходов. Идея такого подхода в настоящей статье распространяется на двухкритериальный случай задачи Г.

Перейдем к понятию риска (по Сэвиджу-Нихансу) [2, 3]. Для этого каждому критерию fi (z,y) (i = 1, 2) из (1) поставим в соответствие его функцию риска (сожаления) по Сэвиджу-Нихансу [2, 3]

Ri(z,y) = max fi(u,y) — fi(z,y) (i = 1 2) (2)

ueZ

и его сильно гарантированный риск (по Сэвиджу-Нихансу) при альтернативе z Е Z:

Ri[z] = max Ri (z, y). (3)

yeY

Аналогично для каждого критерия fi(z, y) (i = 1, 2) из (1) определим его сильную гарантию [5]

fi[z]=min fi(z,y) (i =1, 2). (4)

yeY

Наконец, задаче Г с помощью (1)-(4) поставим в соответствие двухкритериаль-ную «задачу гарантий»

Г2 = (Z, {Fi[z] = fi[z] — Ri[z]}i=i,2>. (5)

Приведем два понятия из теории многокритериальных задач:

— в Г2 альтернатива zS Е Z называется максимальной по Слейтеру (слабо эффективной) в двухкритериальной задаче (5), если при Vz Е Z несовместна система строгих неравенств Fi [z] > Fj\zS] (i = 1, 2);

— альтернатива гр Е X называется максимальной по Парето (эффективной) в (5), если при Vг € X несовместна система неравенств Fi[z] > ] (г = 1, 2), из которых хотя бы одно строгое. Очевидно, что любая эффективная альтернатива является одновременно слабо эффективной, обратное, вообще говоря, не верно.

Определение. Тройку (г8; ¡[г8],Я[г8]) назовем сильно гарантированным по исходам и рискам максимальным по Слейтеру решением исходной задачи Г (СГИР-МС), если существуют

1) ¡¿И = т\п ¡i(z,У), = тах(г = 1, 2),

уеу уеу

2) альтернатива г8 максимальна по Слейтеру в задаче (5).

Напомним, что в приведенном выше определении

f[z] = (/i[z],/2[z]), R[z] = (R1[z],R2[z]), Ri[z] = max Ri(z,y), Ri(z,y) = max fi(u,y) - fi(z,y) (i = 1, 2).

y€Y u,£Z

Почему же в качестве «хорошего» решения Г предлагается СГИР-МС?

Во-первых, оно отвечает на вопрос о выборе действия: вкладчику предлагается следовать альтернативе zS из тройки (zS; f [zS], R[zS]).

Во-вторых, эта стратегия zS «обеспечивает» при каждом i = 1, 2 исход fi(zS,y) не меньший fi[zS] с риском Ri(zS, y) не большим Ri[zS] при реализации любой неопределенности y £ Y (то есть zS «устанавливает» нижние границы для реализующихся при z = zS исходов и верхние границы для рисков, сопровождающих такую реализацию).

В-третьих, ситуация zS реализует «самые большие» в векторном смысле (максимальные по Слейтеру) исходы и соответствующие им «минус» риски. Иначе говоря, не существует другой альтернативы z = zS, при которой увеличивались бы все гарантии по исходам fi[zS] и одновременно уменьшились бы все гарантии Ri[zS] по рискам.

Заметим, что объединение «во-вторых» и «в-третьих» является некоторым аналогом «действия» максиминной стратегии в однокритериальной задаче при неопределенности. Только внутренний минимум в максимине для Г заменяется на min Fi (z, y)

yeY

(i = 1, 2), а внешний максимум — на максимум по Слейтеру. Здесь возможны два направления для дальнейших исследований. Первое из них: заменить оптимум по Слейтеру на оптимум по Парето, по Борвейну, по Джоффриону, конусную оптимальность и установить связи между такими разными решениями. Второе направление

основывается на стремлении вкладчика к большим исходам, а взятые нами в приведенном определении гарантии «самые маленькие». Поэтому можно заменить скалярные минимумы (из внутреннего минимума в максимине) на векторные из числа выше перечисленных (тем самым увеличив для некоторых i = 1, 2 гарантии).

Замечание. Приведенное определение позволяет предложить следующий конструктивный способ построения СГИР-МС. Он сводится к четырем этапам.

Этап 1. По /¿(z,y) найти max /¿(z,y) = ^[y] и построить функцию риска (по

z€Z

Сэвиджу-Нихансу) для критерия /¿(z,y), именно,

R¿(z,y) = ^[y] - /¿(z,y) (i =1, 2). Этап 2. Построить гарантии исходов /¿[z] = min /¿(z,y), рисков

yeY

R¿[z] = max R¿(z,y) (i = 1,2) и затем критерии F¿[z] = /¿[z] — R¿[z] (i = 1,2)

yeY

задачи (5).

Этап 3. Для двухкритериальной вспомогательной задачи гарантий Га = (Z, {F¿[z]}i=i,2) вычислить максимальную по Слейтеру альтернативу zS. Здесь будем применять или теорему Ю. Б. Гермейера [6, с. 66] или лемму Карлина [6, с. 71].

Этап 4. Найти двухкомпонентные вектора

/[zS] = (/i[zS],/2[zS]), R[zS] = (Ri[zS], R2[zS]) и с их помощью выписать искомую СГИР-МС (zS; /[zS], R[zS]).

2. Явный вид гарантированного решения задачи диверсификации

Нижеследующее утверждение представляет собой центральный результат настоящей статьи.

Утверждение. Явный вид СГИР-МС в исходной задаче Г будет,

где Y = 1+d К.

1 + d

(0; 0, —1 + r, 0) при y < a, К

Y + a (y + a)(1 + r) y + b 1 + d

2y + a + b' 2y + a + b ' 2y + a + b К

(1 + r)

Y + b 1 + d y + a

b

2y + a + b К 2y + a + b 1 + d

при a < y < b,

1; 1 + r, 0; 0

К

b при y > b,

Доказательство. Доказательство разделим на две части. В первой установим справедливость (6) при условии 7 < а и 7 > Ь, во второй докажем (6) при условии а < 7 < Ь.

Следуем четырем этапам из замечания. Этап 1. С помощью (2) построим

Ri(z,y) = [max /^z)] - (1 + r)z = (1 + r) - z(1 + r) = (1 - z)(1 + r), ze[o,i]

1 + d 1 + d

R2(z,y) = [max f2(z,y)] - (1 - У = zV—F^.

ze[o,i] К К

Этап 2. На основе (4) и (3) найдем сильные гарантии исходов /¿[z] и рисков Rj[z] (i =1, 2):

1 + d 1 + d fi[z] = rnn z(1 + r) = z(1 + r); f2[z] = min(1 - z)—fT~У = (1 - z)~[T-a;

1+d

R1[z] = max R1(z,y) = (1 - z)(1 + r); R2[z] = max R2(z,y) = z—T^b. ye[a,b] ye[a,b] К

С их помощью определим критерии Fj [z] = /¿[z] - Rj[z] (i = 1, 2) в задаче (5):

Fi[z] = /i[z] - Ri[z] = (2z - 1)(1 + r),

1 + d 1 + d F2[z] = /2[z] - Д2М = a - (a + b)z.

Этап 3. Здесь выделим два подслучая. В первом ограничимся условиями Y = i+dК < a и y > b. Во втором рассмотрим оставшийся вариант a < y < b.

Первый подслучай 7 < а или 7 > b. Для нахождения слабо эффективной альтернативы zS в задаче (5) применим лемму Карлина [6, с. 71], согласно которой zS, найденное из

max (Fi[z] + F2[z]> = F [zS ] + ] ze[o,i]

будет максимальна по Парето (и, следовательно, по Слейтеру) в (5). С учетом обозначения 7 = i+d K имеем

1 + d

maX](Fi[z ] + F2[z]) = --^ ze[o,i] K

{[27 - (а + b)]z - 7 + а} .

Эта функция линейна по г, определена на отрезке X = [0,1] и поэтому максимум достигается на концах отрезка [0,1] либо при £ = 0, либо при £ =1; причем эти максимумы

1 + в 1 + в р(0) = л[0] + ^2[0] = ^(а - 7) и р(1) = Л[1] + ^2[1] = ^(7 - 6).

K

Имеют место две импликации

[а > 7] ^ [^(0) > ^(1)], [7 > b] ^ [^(0) < ^(1)].

K

В самом деле,

[а > 7] ^

а + а а + b

- > 7 2 > _ - > 7 . 2 _

^ [а — 7>7 — b] ^

^(0) = (а — 7) > ¥>(1) = (7 — b)

К х " гх ' К Аналогично доказывается и вторая из приведенных импликаций. Итак установили, что при а > 7 максимальной по Слейтеру в (5) является альтернатива = 0 , а при 7 > 6 — слабо эффективной альтернативой будет = 1. Соответствующие сильные гарантии исходов и рисков сразу определяются из формул, полученных в процессе доказательства на этапе 2 и они приведены в (6) для случая 7 < а и 7 > 6.

Перейдем ко второму подслучаю а < 7 < 6. Здесь уже применим частный случай указанной выше теоремы Ю. Б. Гермейера [6, с. 66]: альтернатива , найденная из

max min F [z] = min F [zS],

z€[0,i] i=i,2 i=i,2

(7)

максимальна по Слейтеру в задаче (5). Из (7) сразу получаем для построения г8 равенство ] = 8], откуда

„s_ Y +a n _S_ Y +b

zS = ^--, 1- zS

27 + а + Ь 27 + а + Ь

и поэтому с помощью формул для сильных гарантий из этапа 2 устанавливаем справедливость (6) случай а < 7 < Ь.

Заключение

Настоящая статья может быть ориентиром для вкладчика, желающего внести на годовой срок деньги в банк для их "наращивания". Для него естественен вопрос: какую часть суммы положить на рублевый депозит, и тогда оставшаяся часть попадет на валютный депозит?

В статье рекомендуется при ограничении Ц К < а все деньги вложить в валютный депозит, и тогда через год каждый рубль ему принесет доход, не меньший а с нулевым риском (наверняка!).

Если же ЦК > Ь, то рекомендуем вкладчику вложиться в рублевый депозит, что принесет ему через год с нулевым риском доход от каждого вложенного рубля не меньше 1 + г.

Наконец, при а < ЦК < Ь вкладчик часть от каждого рубля вносит

в рублевый депозит, а остаток в валютный. Через год он получит гарантированно за каждый вложенный рубль наращенную сумму ^^"^а+ЬГ^ по рублевому вкладу и 27+0+6 Ч+Г а — по валютному, причем первый из них с риском по Сэвиджу-Нихансу

(1 + г) и вт°р°й — с риском в Ь-1Т 2^5!.

Здесь г и й процентные ставки по рублевому и валютному депозитам соответственно; К и у курсы валюты в начале и в конце года; верхний предел изменения курса валюты в конце года у постоянная Ь > 0, а нижний предел а > 0 вкладчику приходится прогнозировать.

Описок литературы

1. MARKOWITZ, H. M. (1952) Portfolio Selection . The Journal of Finance. 7 (1). p. 77-91.

2. NICHANS, J. (1948) Zur Preisbildung bei ungewissen Erwartungen. Schweizerische Zeitschrift fur Volkswirtschaft and Statistik. 84 (5). p. 433-456.

NICHANS, J. (1948) To the pricing under uncertain expectations. Swiss journal for Economics and Statistics. 84 (5). p. 433-456.

3. SAVAGE, L. J. (1951) The theory of statistical division. Journal of the American Statistical Association. 46 (253). p. 55-67.

4. ZHUKOVSKIY, V. I., MOLOSTVOV, V. S. and TOPCHISHVILI, A. L. (2014) Problem of multicurrency deposit diversification - three possible approaches to risk accounting. International Journal of Operations and Quantitative Management. 20 (1). p. 1-15.

5. Жуковский, В. И., Кудрявцев, К. Н. Уравновешивание конфликтов при неопределенности. II. Аналог максимина // Математические основы теории игр и приложения. — 2013. — 5.2. — C. 3-45.

ZHUKOVSKIY, V. I. and KUDRYAVTSEV, K. N. (2013) Solving conflicts under uncertainty. II. Analog of maximin. Mathematical foundation of game theory and applications. 5 (2). p. 3-45.

6. Подиновский, В. В., Ногин, В. Д. Парето-оптимальное решение многокритериальных задач. — М.: Физматлит, 2007. — 256 c.

PODINOVSKIY, V. V. and NOGIN, V. D. (2007) Pareto optimal solution of multicriteria problems. Moscow: Fizmatlit.