Способ динамического проектирования направляющей линии Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК 514.182

СПОСОБ ДИНАМИЧЕСКОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ НАПРАВЛЯЮЩЕЙ ЛИНИИ

Д. С. Корчагин

Аннотация. Предлагается способ проектирования пространственной кривой линии для образования поверхности каркасно-кинематическим методом направляющей линии. Способ применим при задании поверхности дискретным набором ее образующих и основан на факторах, отражающих физико-динамическую природу образующих линий. В рассматриваемом способе исходная информация о направляющей линии получается в дискретном виде исходя из данных, внутренним образом связанных с каждой образующей, а именно, центра масс и связанного с ним эллипсоида инерции. Далее задача проектирования сводится к преобразованию дискретной информации в непрерывную с использованием методов интерполяции. Предлагаемый способ проектирования направляющей линии проиллюстрирован на примере.

Ключевые слова: центр масс, центральный эллипсоид инерции, трехгранник Френе, направляющая линия.

Введение

В работе [1] предложен метод восстановления поверхности по набору замкнутых кривых, именуемых «обводками», основанный на установлении соответствия между всеми точками смежных обводок и проведении сплайнов между всеми наборами таких точек. Возможности его использования ограничены замкнутыми кривыми и осложняются решением задачи вычисления набора соответствующих точек, так как при неправильном выборе начального набора соответствующих точек могут возникать ошибки, приводящие к перекручиванию образующих.

В практике проектирования и расчета сложных технических форм находит применение каркасно-кинематический метод направляющей линии [2]. В данном методе реализуется движение образующей в пространстве по такому закону, когда образующая проходит через конечное число наперед заданных произвольно ориентированных линий произвольной формы, причем каждая образующая искомого непрерывного каркаса рассматривается в собственной локальной системе координат, присоединенной к направляющей линии. Указанная направляющая линия в свою очередь рассчитывается таким образом, чтобы каждая из п образующих исходного дискретного каркаса оказалась заданной в локальных системах координат, представляющих собой п соответствующих трехгранников Френе этой линии.

При проектировании поверхности заданной лишь дискретным каркасом образующих, возникает проблема как при использовании метода «обводок», если кривые не замкнутые,

так и при использовании каркаснокинематического метода, поскольку отсутствует исходная информация о направляющей линии. Ниже предлагается способ получения исходной информации о направляющей линии, направленный на решение проблемы использования каркасно-кинематического метода.

Подчеркнем, что формообразование направляющей линии является первым этапом и неотъемлемым условием реализации процесса проектирования поверхности каркасно-кинематическим методом, а уже вторым этапом является заполнение поверхности непрерывным каркасом образующих, определяемых направляющей линией.

Предлагаемый в настоящей статье способ динамического проектирования направляющей линии, основан в первую очередь на определении исходной информации о линии в дискретном виде, исходя из физикодинамических данных образующих - центра масс и центрального эллипсоида инерции. Центры масс и центральные эллипсоиды инерции принимаются в качестве баз для определения локальных систем координат, связанных с соответствующими образующими. Далее дискретная информация, состоящая из координат узловых точек (начал локальных систем координат), направления (орты трехгранников Френе) и величины векторов касательных (полуоси эллипсоидов инерции) в узловых точках и др. преобразуется в непрерывную с использованием методов сплайн-интерполяции. Выбор вида сплайна зависит от требований, предъявляемых к проектируемой поверхности.

Способ динамического проектирования направляющей линии

Рассмотрим алгоритм, лежащий в основе динамического способа проектирования направляющей линии, для одной образующей, учитывая то, что этот алгоритм повторяется для каждой из заданных образующих линий. В общем случае образующие могут представлять собой пространственные (замкнутые или не замкнутые) кривые линии, заданные в расчетной или базовой декартовой системе координат Оxyz уравнениями (например, в параметрическом виде х=х®, у=у©, z=z(t), ^п<^тах), либо дискретными наборами точек, и ориентированные любым образом относительно этой системы.

В нашем случае будем принимать плотность каждой линии величиной постоянной, откуда следует, что центр масс линии будет представлять точку, положение которой характеризует распределение точек кривой по ее длине. Характерно, что центр масс представляет собой геометрическую точку, неизменную относительно кривой. Тогда координаты центра масс О' образующей определяются известными выражениями [3]:

х = - [ xdL = - [ ^V(dVdt)Ч(dVdt)^(dVdt)2dt;

^ L ■'

у = ydL = у^х/^)2 + ^уМ)2 + ; (1)

й = - [zdL =1 [йл/^х/^)2 + (dy dt)2 + (dz dt)2dt,

чнах і---------------------------

где Ь = | д/^х/^)2 + ^у/^)2 + -

*тіп

длина образующей.

Следующим шагом после определения центра масс образующей будет переход от базовой системы координат к локальной системе, совмещенной с центром масс образующей. Этот переход осуществляется путем параллельного переноса осей координат систем Охуй из точки О в точку О' (центр масс образующей). В результате переноса получим уравнения х'=х'©, у'=у'©, й-й'©, определяющие сечение в системе О'х'у'й'.

Далее обратимся к эллипсоиду инерции и воспользуемся известной в динамике теоремой [3]: если через какую-нибудь точку будем проводить прямые Ь и, определив относительно каждой из них момент инерции К данного тела, будем откладывать на этих прямых Ь от взятой точки векторы, выражаемые числом 1/л/К, то концы этих векторов будут ле-

жать на поверхности эллипсоида, имеющего центром упомянутую точку. Эллипсоид инерции для центра масс называется центральным эллипсоидом инерции. Значит, эта поверхность второго порядка будет характеризовать распределение моментов инерции образующей линии относительно различных осей, проходящих через центр масс линии. Оси эллипсоида инерции (его сопряженные диаметры) называются главными осями инерции и эти оси взаимно перпендикулярны. Последнее обстоятельство положим в основу определения расположения трехгранников для проектируемой направляющей линии в базовой системе координат.

Для получения уравнения эллипсоида инерции линии в общем виде

Іх' х ' 2 + Іуу ' 2 + й ' 2 - 2JxY х 'у ' - 2ІхУ х 'й ' - 2ІуУу 'й' = 1.(2)

необходимо определить компоненты тензора инерции [4] или матрицы, которая является матрицей квадратичной формы уравнения поверхности второго порядка

( І І I ^

их ' - их 'у ' - их 'й '

- Лу 'х ' Лу ' - Лу 'й '

- 1 'х' - 1 'у' 1 '

(3)

составленной из осевых их', иу', и центробежных моментов инерции ^у, иху, иуу относительно декартовых осей координат О'х'уУ, помещенных в центре масс линии. Расчет моментов инерции в нашем случае будет характеризовать распределение точек образующей линии по ее длине при рассмотрении вращательных движений. При этом осевые моменты инерции их', Jy', будут определять-

ся выражениями [4]:

I =| (у' 2 + й ' 2)^х'М)2 + ^у' М)2 + №'М)^;

Іу' = |(й '2 + х ' 2^V(dxVdt)Ч(dyУdt)2^dZ'/dt)Tdt; (4)

I = |(х'2 + у' 2)7^х' /dt)2 + ^у'М)2 + (dz' /dt)2dt,

а центробежные моменты инерции будут определяться выражениями [4]:

Л'у' =|(х' • у ')^х ' /dt)2 + (dy' ^)2 + (dz'/dt)2dt; V =|(у ' • z'фх'М)2 + (dy' /dt)2 + (dz'/dt)2dt;(5)

Л^' = I(х ' • Z')Л/(dx'/dt)2 + (dy'/dt)2 + (dz ' /dt)2 dt.

С целью извлечения геометрической информации о величине и направлении полу-

осей эллипсоида инерции осуществим переход от уравнения эллипсоида в общем виде к каноническому уравнению. Вычисление параметров канонического уравнения эллипсоида удобно произвести, воспользовавшись инвариантами 11, 12, 13, 14 [5], являющимися функциями от коэффициентов многочлена (2).

Определив 11, 12, 1з, 14, и решив характеристическое уравнение:

Л3 -11 • Л2 +12 • Л -13 = 0,

(6)

получим коэффициенты |Л1 < |Л2| < |Л3 , с помощью которых вычислим полуоси эллипсоида:

а = -

14

Л1 • 13

, ь =|-J^, с =1-

4

Л3 • |3

(7)

Таким образом, получаем каноническое уравнение центрального эллипсоида инерции в канонической системе координат О'х"у'У:

х'' 2 у''2 ^'2 = 1

а2 + Ь2 + с2 =1

Для расчета направляющей линии примем оси центрального эллипсоида инерции в качестве осей трехгранника Френе таким образом, чтобы единичный вектор касательной т совпал с наименьшей из осей a и был обращен в сторону следующего сечения, единичный вектор нормали V был направлен вдоль оси с, а единичный вектор бинормали в - вдоль оси Ь. При этом орты т, V , в должны представлять собой правую тройку.

Направления осей трехгранника Френе относительно базовой системы координат вычисляются на основе характеристического уравнения матрицы (3) в последовательности, приведенной в [6].

Посредством приведенного алгоритма с помощью центрального эллипсоида инерции для отдельно взятой образующей получается присущая только ей система координат (трехгранник Френе) в центре масс кривой. Имея п образующих можно провести через их центры тяжести интерполирующую линию, содержащую связанные с ними трехгранники Френе, тем самым получив направляющую линию для реализации каркасно-кинематического метода направляющей линии.

Пример

Рассмотрим в качестве примера применения динамического способа проектирования

направляющей линии построение пространственной кривой линии по трем образующим, представляющим собой незамкнутые пространственные кривые линии, заданные дискретными наборами точек.

Пусть образующие заданы в базовой системе координат Oxyz точками:

- первая образующая: 11(4, 2, 2), 12(5, 3, 7), 13(3, 5, 11), 14(1, 12, 12);

- вторая образующая: 21(13, 6, 3), 22(14, 5, 7), 23(15, 8, 11), 24(13, 13, 13);

- третья образующая: 31(26, 3, 4), 32(25, 5, 10), 33(23, 8, 13), 34(22, 14, 14).

Перейдем от дискретной информации об образующих к непрерывной с помощью интерполяции кубическими сплайнами со слабыми граничными условиями [7]. В этом случае каждая образующая будет представлена кусочно-многочленными функциями с однородной структурой:

Р11=(-0,88т3+1,88т+4; 0,15т3+0,85т+2; -

0,01т3+5,01т+2) - первый сегмент первой образующей между точками 11 и 12,

Р21=(1,07т3-2,35т2-0,72т+5;

0,37т3+0,4т2+1,23т+3; -0,65т3-0,04т2+4,69т+7) -второй сегмент первой образующей между точками 12 и 13,

Р31=(-0,65т3+1,96т2-3,31т+3; -

1,14т3+3,42т2+4,72т+5; 1,5т3-4,49т2+3,99т+11) -третий сегмент первой образующей между точками 13 и 14,

Р12=(0,09т3+0,91 т+13; 0,78т3-1,78т+6; -

0,06т3+4,06т+3) - первый сегмент второй образующей между точками 21 и 22, Р22=(-0,81т3+0,39т2+1,42т+14; -1,05т3+3,38т2-

0,67т+5; -0,42т3-0,25т2+4,67т+7) - второй сегмент второй образующей между точками 22 и 23,

Р32=(0,87т3-2,6т2-0,27т+15;

0,28т2+4,81 т+8; 0,64т3-1,92т2+3,28т+11)

-0,09т3-- третий сегмент второй образующей между точками 23 и 24,

Р13=(-0,633-0,37т+26; 0,49т3+1,51т+3; -

0,38т3+6,38т+4) - первый сегмент третьей образующей между точками 31 и 32,

Р23=(0,68т3-1,02т2-1,66т+25; 0,02т3+0,8т2+2,19т+5; -0,24т3-0,61т2+3,84т+10) -второй сегмент третьей образующей между точками 32 и 33,

Р33=(-0,59т3+1,77т2-2,18т+23; -

0,49т3+1,46т2+5,03т+8; 0,76т3-2,28т2+2,52т+13) - третий сегмент третьей образующей между точками 33 и 34, где 0<т<1. Результат интерполяции исходных данных представлен на рисунке 1.

Рис. 1. Результат кубической интерполяции образующих, заданных дискретными наборами точек

На основании выражений (1) определяем где п - количество сегментов образующей

координаты центров масс отдельных сегмен- линии,

тов образующих, после чего рассчитываем Lk - длина к-ой образующей.

координаты центров масс каждой образующей Ок(хк,ук,2к), где 1 <к^3 по следующим зависимостям

В результате получаем точки О'1(3,32, 5,34, 8,93), О,2(14,15, 7,59, 9,13), 0'з(24,02, 7,07, 10,69), изображенные на рисунке 2.

хк = ^ХХкп • кп , Ук = ^ХУкп • и

1кп=1 ик п=1

1 3 _

Е 2кп • икп ,

ик п=1

2к = ■

инерции и трехгранниками Френе в них

Переход от базовой системы координат к ветствующими центрами масс, осуществим с системам координат, совмещенным с соот- помощью матрицы перехода в общем виде

3

Г1 0 0 - хк 1

0 1 0 - ук

0 0 1 - тк

10 0 0 1 і

Тк

в результате получим уравнения сегментов в новых координатах:

0,15т3+0,85т-3,34;

коорди Р'11=(-0,88т3+1,88т+0,68;

0,01т +5,01т-6,93) - первый сегмент первой образующей между точками 11 и 12,

Р'21=(1,07т3-2,35т2-0,72т+1,68; 0,37т3+0,4т2+1,23т-2,34; -0,65т3-0,04т2+4,69т-

1,93) - второй сегмент первой образующей между точками 12 и 13,

Р'31=(-0,65т3+1,96т2-3,31 т-0,32; -

1,14т3+3,42т+4,72т-0,34;

1,5т-

третий сегмент первой

3 и 1 4,

Запишем инварианты найденных уравнений эллипсоидов. Для первого эллипсоида имеем:

1-1=3,47+2,25+1,93=7,65,

|2

3,47 -1,43 3,47 -1,36 2,25 2,84

+ +

-1,43 2,25 -1,36 1,93 2,84 1,93

= 15,85 ,

Ь =

І4 =

3,47 -1,43 -1,36

■1,43 2,25 2,84

■1,36 2,84 1,93

3,47 -1,43 -1,36 0

-1,43 2,25 2,84 0

-1,36 2,84 1,93 0

= 4,67

= -4,67.

4,49т +3,99т+2,07) образующей между точками 1 Р'12=(0,09т3+0,91т-1,15; 0,78т3-1,78т-1,59; -

0,06т +4,06т-6,13) - первый сегмент второй образующей между точками 21 и 22,

Р'22=(-0,81 т3+0,39т2+1,42т-0,15; -1,05т3+3,38т2-0,67т-2,59; -0,42т3-0,25т2+4,67т-2,13) - второй сегмент второй образующей между точками 22 и 23,

Р'32=(0,87т3-2,6т2-0,27т+0,85; -0,09т3-

0,28т2+4,81т+0,41; 0,64т3-1,92т2+3,28т-6,69) -третий сегмент второй образующей между точками 23 и 24,

Р'13=(-0,633-0,37т+1,98; 0,49т3+1,51т-4,07; -

0,38т +6,38т+4) - первый сегмент третьей образующей между точками 31 и 32,

Р'23=(0,68т3-1,02т2-1,66т+0,98; 0,02т3+0,8т2+2,19т-2,07; -0,24т3-0,61т2+3,84т-

0,69) - второй сегмент третьей образующей между точками 32 и 33,

Р'33=(-0,59т3+1,77т2-2,18т-1,02; -

0,49т3+1,46т2+5,03т+0,93; 0,76т3-2,28т2+2,52т-

2,31) - третий сегмент третьей образующей между точками 33 и 34, где 0<т<1.

Далее по выражениям (4) и (5) рассчитываем осевые и центробежные моменты инерции для отдельных сегментов каждой образующей, а затем суммируем соответствующие моменты инерции для соответствующих образующих. В результате расчетов получим уравнения эллипсоидов инерции в общем виде (2):

3,47х2+2,25у2+1,93и2+1,43ху-2,84уи+1,36их=1 -для первой образующей,

2,41x2+1,49у2+1,05и2+0,001ху-2,01у2-0,232х=1 - для второй образующей, 3,55х2+2,06у2+2,24и2+1,61ху-3,13уи-1,51их=1 -для третьей образующей. Данные эллипсоиды инерции изображены на рисунке 2.

0 0 0 1

Аналогично для второго эллипсоида имеем: 1-1=4,95, 12=6,66, 13=1,31, 14=-1,31. Инварианты третьего эллипсоида: 11=7,85, 12= 16,21, 13=3,15, Ц=-3,15.

Далее решив для каждого эллипсоида характеристические уравнения (6), на основании (7) получаем канонические уравнения:

у1

1,692 0,532 0,51

липсоида инерции,

= 1 - для первого эл-

х:

,2

у1

2

2,062 0,672 0,64'

липсоида инерции,

=1 - для второго эл-

х

2

Уі

= 1 - для третьего эл-

2,152 0,522 0,51

липсоида инерции.

Принимаем направления осей эллипсоидов инерции в качестве направлений ортов трехгранников Френе проектируемой направляющей, как показано на рисунке 2.

Через общие и канонические уравнения эллипсоидов по методике, приведенной в [6], вычисляем компоненты векторов касательных в центрах масс образующих для направляющей линии, принимая длины касательных равными соответствующим полуосям эллипсоидов:

Т1(0,47, 0,2, 0,02) - компоненты касательного вектора в точке О'1,

Т2(0,56, 0,22, -0,21) - компоненты касательного вектора в точке О'2,

Т3(0,48, 0,12, 0,1) - компоненты касательного вектора в точке О'3,

Определив координаты центров масс, а также величину и направление касательных векторов для проектируемой направляющей линии с помощью кубической интерполяции [7] перейдем от дискретной информации к непрерывной. В нашем случае направляющая

2

2

х

2

т

2

т

линия, представленная на рисунке 3, получается в виде двух сегментов кубического сплайна:

Р1=(-10,26т3+15,87т2+5,22т+3,32; 0,14т3-

0,12т2+2,22т-5,34; -2,54т3+2,53т2+0,21т+8,93),

0<т<1,

4,43т3-

Р2=(-9,35т3+13,63т2+5,59т+14,15;

7,13т2+2,19т+7,59; -4,21т3+7,87т2-2,12т+9,13),

0<т<1.

Рис. 3. Направляющая линия

Заключение

Таким образом, рассмотренный способ в полной мере соответствует требования, заложенным в определении направляющей линии. Это следует из того, что каждая из образующих связывается с собственной локальной системой координат, являющейся одновременно трехгранником Френе направляющей линии.

Предложенный способ проектирования направляющей линии кинематической поверхности, основанный на определении центра масс заданных образующих и расчете их центральных эллипсоидов инерции, определяющих направлением своих главных осей ориентацию трехгранников Френе, может быть использован в качестве самостоятельного метода для геометрического моделирования пространственных кривых линий.

Библиографический список

1. Восстановление поверхности трехмерного объекта по обводкам его сечений [Текст] / Б. А. Залесский, П. В. Лукашевич // Информатика. - Минск, 2006. - №9. - С. 27-35.

2. Осипов, В. А. Машинные методы проектирования непрерывно-каркасных поверхностей [Текст] / В.А. Осипов. - М., Машиностроение, 1979. - 248 с.

3. Жуковский, Н. Е. Теоретическая механика [Текст] / Н. Е. Жуковский. - Изд. 2-е. - М.;Л., Гос. изд-во технико-теоретической литературы, 1952. -812 с.

4. Добронравов, В. В. Курс теоретической механики [Текст]: Учебник для машиносторит. спц. вузв / В.В. Добронравов, Н. Н. Никитин; 4-е изд., перераб. и доп. - М.: Высш. школа, 1983. - 575 с.: ил.

5. Делоне, Б. Н. Аналитическая геометрия [Текст]: в 2 т. / Б. Н. Делоне, Д. А. Райков. - М.; Л., Государственное издательство техникотеоретической литературы, 1949. - 2 т.; - 518 с.6. Киселёв, В. Ю. Высшая математика. Первый семестр [Электронный ресурс]: Интерактивный компьютерный учебник / В. Ю. Киселёв, А. С. Пяртли, Т. Ф. Калугина. - Иваново: Иван. гос. энерг. ун-т., 2002.

7. Роджерс, Д. Математические основы машинной графики [Текст] / Д. Роджерс, Дж. Адамс; пер. с англ./ П. А. Монахов, Г. В. Олохтонова, Д. В. Волков. - М., Мир, 2001. - 604 с.

THE METHOD OF DYNAMIC DESIGNING OF A DIRECTING LINE

D. S. Korchagin

Is offered the method of designing of a spatial curve for surface formation by a frame-kinematic

method of a directing line. The method is applicable when you specify the surface by a discrete set of generators and is based on factors that reflect the physical-dynamic nature of the set of generator lines. In this method the initial information about the directing line is obtained in discrete form based of the data internally related to each generator, namely, the center of mass and connected with it ellipsoid of inertia. Further, the task of design is reduced to transformation of the discrete information in continuous, using interpo-

lation methods. The offered method of designing of a directing line is illustrated on an example.

Корчагин Денис Сергеевич - аспирант кафедры “Инженерная геометрия и САПР” ОмГТУ, ведущий инженер-конструктор ОАО ОНИИП. Основное направление научных исследований - реконструкция линий и каркасных поверхностей по их ортогональным проекциям. Общее количество публикаций 4. E-mail: korch-den@yandex.ru

УДК 004.9:621.9.07:621.833

ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ И КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОФИЛИРОВАНИЯ ВИНТОВЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ С ТОЧЕЧНЫМ КАСАНИЕМ

А. А. Ляшков, А. В. Зыкина

Аннотация. Рассмотрено профилирование сопряженных винтовых поверхностей с точечным контактом в двух вариантах. Для первого варианта получены аналитические зависимости, использующие дифференциальные параметры сопряженных поверхностей. Во втором варианте используется бездифференциальное решение. Оба варианта основаны на установленных закономерностях в расположении точек сечений вспомогательных поверхностей относительно координатных плоскостей. На отдельных этапах предложено использовать полигональные и твердотельные модели для выявления возможных особенностей на профилях сопряженных поверхностей.

Ключевые слова: профилирование, моделирование, винтовая поверхность, червячная фреза.

Введение

Профилирование сопряженных винтовых поверхностей с точечным касанием представляет собой один из основных этапов конструирования червячных фрез для обработки винтовых поверхностей деталей. При решении такой задачи используется принцип Гохмана -Оливье [1], теория двухпараметрического огибания [2], [3] и её модификации, например, [4] или свойства нормали к сопряженным поверхностям в точках их касания [5]. Обзор методов решения поставленной задачи приведен в работе [6]. В основу предлагаемого решения положен принцип жесткой конгруэнтной пары и используются результаты работ [7], [8], [9].

Профилирование цилиндрической поверхности, сопряженной с заданной винтовой поверхностью

Пусть исходная винтовая поверхность детали 11 задана в системе координат S1(O1, х1, у1, z1) уравнениями вида

*1 = А(и’ ^

у = ЛО, Л (1)

*1 = /з(и ^

где и и V - криволинейные координаты точки на поверхности.

Свяжем со вспомогательной цилиндрической поверхностью рейки I систему координат S(O,x,y,z), а с искомой поверхностью червячной фрезы 12 - S2(O2,x2,y2,z2). Взаимное расположение систем координат приведено на рисунке 1, где R1 и R2 - радиусы начальных цилиндров детали и инструмента. Предполагается, что оси исходной и искомой поверхностей совпадают с координатными осями О-^ и O2Z2 , соответственно. Углы а и в, а также радиусы R1 и R2 задаются такими, что выпол-