CC BY
23
данные для анализа определенных рисков в процессе производства.
Интерпретируя это геометрически, можно привести следующий пример. Пусть есть определенная поверхность. Строится сечение, которое в явном виде не пересекает её, т.е. между ними существует зазор. Однако если рассматривать тело, то пересечение возможно с определенной вероятностью.
Получается, что если мы анализируем поверхность, не вводя поправки на различные отклонения, то визуально она не будет пересекаться с сечением. Если же принимать во внимание случайный или систематический разброс значений, то пересечение может произойти.
Очевидно, что такой подход имеет практическое применение при обработке результатов, где используемое оборудование не может выдавать точные значения параметров.
Таким образом, предложен способ регрессионного анализа, позволяющий выявлять промежуточные значения и характер функциональной зависимости параметров. С помощью дополнительных данных, полученных в ходе повторных экспериментов, имеется возможность определять статистическую вероятность положительного исхода процесса. В дальнейшем это позволит планировать эксперименты с критическими значениями параметров и оценивать вероятностные риски того, насколько качественным при таких условиях будет конечный продукт.
Библиографический список
1. Волков, В. Я. Графические оптимизационные модели многофакторных процессов : монография / В. Я. Волков, М. А. Чижик. — Омск : Омский государственный институт сервиса, 2009. - 101 с.
2. Чижик, М. А. Геометрическое моделирование многофакторных процессов на базе проекционных алгоритмов / М. А. Чижик, М. Н. Московцев, Д. П. Монастыренко // Омский научный вестник. — Омск, 2013. — № 1 (117) — С. 14—17.
3. Чижик, М. А. Моделирование процессов соединения деталей швейных изделий : монография / М. А. Чижик, В. Я. Волков. — Омск : ОГИС, 2010. — 147 с.
4. Устинова, О. В. Автоматизация процесса оптимизации основных параметров лазерной сварки текстильных термопластичных материалов по критериям качества сварных соединений / О. В. Устинова // Молодежь, наука, творчество — 2005 : сб. ст. III Межвуз. науч.-практ. конф. студентов и аспирантов. — Омск : ОГИС, 2005 — С. 206 — 207.
ДОРКИН Дмитрий Владимирович, аспирант кафедры «Конструирование швейных изделий». МОСКОВЦЕВ Михаил Николаевич, аспирант кафедры «Конструирование швейных изделий». Адрес для переписки: supermega007dima@mail.ru
Статья поступила в редакцию 02.07.2014 г. © Д. В. Доркин, М. Н. Московцев
УДК 514.182 Д. С. КОРЧАГИН
Омский государственный технический университет
МЕТОД ГЕОМЕТРО-ДИНАМИЧЕСКОГО ФОРМООБРАЗОВАНИЯ НЕЛИНЕЙЧАТЫХ ПОЛОС_
В статье представлен метод формообразования нелинейчатой полосы, заданной каркасом из конечного числа образующих линий. Целью метода является задание закона непрерывного изменения параметров линий каркаса, обеспечивающего получение непрерывного каркаса поверхности, содержащего исходный дискретный каркас. В методе раскрывается взаимосвязь между геометрией и динамикой линий. Эта взаимосвязь установлена через моменты инерции, центры масс и центральные эллипсоиды инерции линий. Приведен пример формообразования поверхности по каркасу, образованному дугами парабол, произвольно ориентированных в общей системе отнесения.
Ключевые слова: нелинейчатая полоса, направляющая линия, эллипсоид инерции, центр масс, каркас, момент инерции.
Под фрагментом нелинейчатой полосы будем понимать нелинейчатые сегменты (или области нелинейчатых поверхностей, ограниченные образующими линиями), состыкованные между собой по общим образующим линиям (далее образующим).
Исходным для проектирования полос в предлагаемом методе будет являться конечное число образующих в виде дуг плоских кривых, произвольно ориентированных в общей системе отнесения.
Рассмотрим метод построения фрагментов нелинейчатых полос, в котором полоса образуется путем непрерывного перемещения образующей через на-
перед дискретно заданные образующие. Перемещение образующей фрагмента нелинейчатой полосы производится вдоль направляющей линии [1], которая непрерывно связанна с заданными образующими и определяется как линия, содержащая центры масс образующих проектируемого фрагмента нелинейчатой полосы.
Предлагаемый метод образования фрагментов нелинейчатых полос использует аппарат, основанный на динамических характеристиках задаваемых образующих, таких как осевые и центробежный моменты инерции, представляющие в геометрической
интерпретации эллипсоиды [2, с. 272]. Эти эллипсоиды рассматриваются как параметроносители моделируемого фрагмента нелинейчатой полосы.
Метод включает в себя два базовых этапа. На первом этапе по заданному каркасу проектируется направляющая линия на основании ранее предложенного способа динамического проектирования направляющей линии [3] и определяются ее орты касательной, нормали и бинормали. На втором этапе, на основе эллипсоидов инерции, определяются коэффициенты параметрических уравнений, описывающие форму образующих непрерывного каркаса поверхности, и далее с помощью ортов направляющей линии определяется положение этих образующих в пространстве.
Перейдем к первому этапу — процессу проектирования направляющей линии. Процесс содержит алгоритм, повторяющийся для каждой образующей заданного дискретного каркаса. Пусть образующие заданы в базовой декартовой системе координат Оху, уравнениями в параметрическом виде
X=X(т), y=y(т), z=z(т), тmn <Т<Тm
(1)
Jxy =JX-y с W(dX 7dt)2+(dy с/dt)2 +(dzj dt)2 dt; Jyz=J(yсzW^/dt)2+(dyJdt)2 +(dzjdt)2dt; (4) Jz=JX z )-PV(dxJ dt)2+(dy d dt)2 +(dzj dt)2 dt.
Осевые и центробежные моменты инерции образуют тензор инерции — матрицу квадратичной формы [2, с. 271]
J =
J X Jxy Jxz - Jxy Jy — Jyz
- Jx.
-J J
yz z
(5)
Ее элементы входят в уравнения поверхности второго порядка
JxX2 + Jyy2 + Jzz2 — 2J xy—2JxzXz—2J vz=1.
(6)
Эта поверхность является эллипсоидом инерции.
С целью извлечения геометрической информации о величине и направлении полуосей эллипсоида инерции осуществим переход от уравнения эллипсоида в общем виде (6) к каноническому уравнению в канонической системе координат Окхкук,к [5]:
X 7 «2 )+(yk 7 b2 )+(zk 7 с2 )=1.
(7)
По уравнениям (1) с помощью известных выражений [4, с. 201] определим координаты центра масс Oc образующей:
X=1 Г х ^ {dx|dтf +(dy/dт)2 +^^т)2 dт;
у = (dx/dт)2 +(dy/dт)2 dт; (2)
I=1Г ^ (dx/dт)2 +(dy/dт)2 dт, L•'
1тах
где L = Г — длина обра-
'тш
зующей.
Затем перейдем от базовой системы координат к локальной системе, совмещенной с центром масс образующей, путем параллельного переноса осей координат системы Охух из точки О в точку Ос. В результате переноса получим уравнения хс = хс (т), ус = ус (т), = (т), определяющие образующую в системе Осхсус,с. В системе координат Осхсус,с вычислим осевые моменты инерции по известным в теоретической механике формулам [2, с. 263]:
=/(у2+% )^P^^l(dXc/dt )2 +(dyc/dt )2 )2 dt;
Jy =|(х2 + )р • )2 +(dyc/dt)2 )2dt; (3)
= |(х2 + у2 )р • ^l(dXc/dt )2 +(dyc/dt )2 +(dzc/dt )2 dt,
где • — плотность линии, постоянная величина для каждой образующей. Роль плотности опишем ниже. Также вычислим центробежные моменты инерции по известным формулам [2, с. 264]:
Примем полуоси эллипсоидов с (длину и направление) в качестве касательных в центрах масс образующих. Используя интерполяцию кубическими сплайнами [6, с. 261] перейдем от дискретного набора полученных геометрических объектов, несущих в себе информацию о проектируемой кривой к непрерывной пространственной кривой — направляющей линии. Очевидно изменяя, выше упомянутую, плотность • можем влиять на модуль касательной, тем самым управляя формой направляющей линии. Таким образом, полученная нами направляющая линия будет являться кусочной линией, координаты каждой составляющей которой будут описываться уравнениями вида [6, с. 262]:
4
хС)=£д/-1, 0 ^<1;
y(t)=ХV-1, 0<t<1; (8)
z(t)11, 0<t<1,
i=1
где Bt — коэффициенты, вычисляемые исходя из координат центров масс образующих и полуосей эллипсоидов с.
Для дальнейшего формообразования поверхности необходима информация об ортах направляющей линии или трехграннике Френе (уравнения, описывающие положение векторов касательной, нормали и бинормали при перемещении по направляющей линии). Уравнения ортов трехгранников Френе рассчитаем через взаимосвязь дифференциально-геометрических характеристик направляющей линии и ее проекций на плоскости базовой системы координат Oxyz на основании ранее проведенных исследований «реконструктивной геометрии кривой линии» [7]. Этот подход вызван тем, что вычисление ортов трехгранников Френе классическим методом через натуральную параметризацию образующей линии имеет определенные вычислительные трудности для интегралов, включающих выражения (8), связанные с переходом от произвольной параметризации к параметризации по длине кривой. Итак, на основании [7] векторы касательной и нормали получим в виде:
i=1
¿=1
Т(1 )=тх(1)4+ту(1)]+тгV)• k ,
n(t)=Vx V Н +Пу (í )•]+Vz С )• k
(9)
(10)
где (0,ту (г),пх (г),пу (0 — направляющие косинусы единичных векторов касательной ) и нормали ), образованные с ортами I , ], к базовой системы координат Охух.
На основании формулы р = тхп получаем единичный вектор бинормали в виде:
р(г)=Рх(г)• г+Ру]+Рх(г)• к,
(11)
хк = хк(т), у к = у к(т)
(12)
хк = хк СОБ Ф+у к ып ф, у к = хк эш ф-у к СОБ ф,
(13)
где Рх (0,Ру (г ),Рх (г) — направляющие косинусы единичного вектора бинормали р(£), образованные с ортами I , ], к базовой системы координат Охух.
Отметим, что для формообразования поверхности предлагаемым методом образующая линии не должна иметь точек, в которых бинормаль меняет направление на противоположное. В этом случае поверхность получится «скрученной» (рис. 1).
Перейдем ко второму этапу формообразования нелинейчатой полосы, на котором поверхность заполняется непрерывным каркасом образующих, определяемых направляющей линией. Вначале установим зависимость между коэффициентами параметрических уравнений образующих
Рис. 1. «Скрученная» поверхность
Интерполировав вдоль направляющей линии значения полуосей эллипсоидов инерции по выражениям (14) сможем восстановить форму образующих непрерывного каркаса формообразуемой нелинейчатой полосы.
Поскольку полуоси эллипсоидов инерции с совпадают с векторами касательных (по условию проектирования направляющей линии), то исходные образующие располагаются в нормальных плоскостях трехгранников Френе направляющей линии. По ранее определенным направлениям полуосей а эллипсоидов инерции и векторам бинормалей (11) вычислим углы • между ними для каждой заданной образующей и интерполируем значения этих углов вдоль направляющей линии. Это позволит нам производить непрерывный поворот образующих (14) в нормальных плоскостях трехгранника при его движении вдоль направляющей линии с помощью матрицы поворота
(
и полуосями а, Ь, с эллипсоидов инерции в канонических системах координат Окхкукхк эллипсоидов инерции. В динамике известна следующая теорема [4, с. 555]: если через какую-нибудь точку будем проводить прямые 1 и, определив относительно каждой из них момент инерции J данного тела, будем откладывать на этих прямых 1 от взятой точки векторы, выражаемые числом 1/л/У, то концы этих векторов будут лежать на поверхности эллипсоида, имеющего центром упомянутую точку. Следствием этой теоремы является следующее предложение: если проведем прямую из центра эллипсоида инерции и возьмем отрезок этой прямой от центра до пересечения с его поверхностью длиной 1, то величина 1/12 определит момент инерции J относительно проведенной прямой. Таким образом, числа 1/ а 2, 1/Ь2, 1/с2 выражают моменты инерции образующих относительно полуосей эллипсоидов а, Ь, с соответственно. Подставив эти числа и уравнения (12) с неизвестными коэффициентами в формулы (3), получим систему уравнений, из которой найдем зависимость искомых коэффициентов от полуосей эллипсоидов а, Ь, с. Если количество неизвестных коэффициентов уравнений (12) менее трех, то, соответственно, необходимо рассматривать систему из меньшего количества уравнений. Если больше, то, используя формулы преобразования координат
я=
СОБу БШ у0л - БШ уСОБ у0
0
01
(15)
Для задания уравнения фрагмента нелинейчатой полосы остается связать уравнения образующих (14) с трехгранником Френе направляющей линии. Выполним разложение базиса трехгранника (9), (10), (11) по базису базовой системы координат Охух в виде матрицы и найдем обратную ей матрицу
Vi р Т
п ] Р ] т ]
V к р к т к
(16)
которая задает преобразование, ведущее к получению уравнения образующей, расположенной в нормальной плоскости трехгранника, записанного в базовой системе координат.
Запишем уравнения (8) в виде матрицы
ьп =(~п (г )уп (г )~п (г)),
(17)
где п — номер сегмента сплайна, описывающего направляющую линию, п =1, ..., т —1, т — количество заданных образующих.
Уравнения образующих (14) также запишем в виде матрицы
осуществим поворот осей координат Окхкук на угол • , найдем точки пересечение осей с эллипсом с полуосями а, Ь и относительно повернутых осей с учетом (13) получим недостающее количество выражений для вычисления коэффициентов уравнений образующих. Таким образом, перепишем уравнения (12) как функции от эллипсоидов инерции
Сп =Кук, .
(18)
На основании выражений (15), (16), (17) и (18) запишем уравнения п сегментов фрагмента нелинейчатой полосы в матричной форме
Рп = Ьп + СпЯ Ъ
(19)
хк = хк (т а Ь, , у к = у к К а Ь, ...).
(14)
Рассмотрим пример формообразования нелинейчатой полосы по каркасу, образованному дугами
-1
Я
2
12
Рис. 2. Дискретный каркас из образующих и направляющая линия
парабол, произвольно ориентированных в общей системе отнесения.
Пример. Пусть геометрическая часть определителя поверхности задана каркасом из дуг трех парабол в параметрическом виде:
х1 =-0,202т2 + 0,7т+4, у1 =-0,452т2-0,404т+5, =0,069т2-0,588т ;
х2 =-0,418т2 +0,836т+6, у 2 =-0,42т2 -0,727т+4, ,2 =-0,094 т2 - 0,461т+4;
х3 =-0,525 т2 +0,606т+5, у3 =-0,239т2-1,261т+2,5, ,3 =-0,396т2-0,042т+8 ,
-1<т<1, (рис. 2).
Построим поверхность в виде непрерывного каркаса образующих линий, включающего исходные образующие.
По выражениям (2) вычислим координаты центров масс ообразующих: Ос1 =(3,926; 4,834; 0,025), Ос 2 = = (5,847; 3,846; 3,956), Ос3 =(4,808; 2,412; 7,585). Далее перейдем к локальным системам координат, расположенным в центрах масс образующих, в которых уравнения образующих примут вид:
хс1 =-0,202т2 + 0,7т+0,074 , у с1 =-0,452т2-0,404т+0,166, = 0,069т2-0,588т-0,025;
хс2 =-0,418т2 +0,836т+0,153 ,
ус2
2 =-0,42т2-0,727т+0,154,
,с2 =-0,094т2 -0,461т+0,034 ;
хс3 =-0,525т2 +0,606т+0,192, ус3 =-0,239т2-1,261т+0,088 , ,с3 =-0,396 т2 -0,042т+0,145.
Вычислив по выражениям (3), (4) осевые и центробежные моменты инерции образующих, на основании (6) получим уравнения их эллипсоидов инерции
0,473х2 + 0,713у2 +0,602,2 -0,386у, + +0,699х,+0,434ху = 1,
0,796х2 +0,966у2 +1,328,2 -0,697у,+0 +0,756х,+1,136ху = 1,
1,938х2 +0,565у2 +2,404,2 - 0,181у, + +0,066хг+1,723ху=1,
Рис. 3. Образующие каркаса и их эллипсоиды инерции: а — первая, б — вторая, в — третья
соответственно для первой, второй и третьей парабол, которые представлены на рис. 3. При расчетах плотность линий с принята равной единице.
Канонические уравнения эллипсоидов будут иметь вид:
(хк12/4,3132 )+(ук12/1,0912 )+(,к12/1,0582 )=1,
(хк22/3,2812 )+(ук22/0,832 )+(,и2/0,8052)=1,
(хк32/2,6042 )+(ук3 70,6592)+(,к370,6382 )=1.
Найдем проекции полуосей с эллипсоидов на оси базовой системы координат:
с1 =(0,622; - 0,149; 0,843),
с2 =(0,14; -0,303; 0,732),
с3 =(-0,319; - 0,171; 0,526)
и на их основе через центры масс образующих построим направляющую линию, образованную двумя сегментами:
а
б
в
Рис. 4. Параболическая полоса
~ (г )=3,926 -0,42«3 -0,45«2 +2,7931, у1(г) = 4,835 -0,053г3 -0,267г2 -0,668г, ~ (г )=0,025 -0,805г3 + 0,96г2 +3,786г;
~2 (г) = 5,847+1,3113 -2,948г2 +0,597г, у2 (г )=3,846 +0,842г3 - 0,98г2 -1,296г, у2 (г )=3,965 -2,403г3 +3,165г2 +3,128г,
изображенную на рис. 2.
Уравнения образующих парабол запишем в виде хк = р- т2 - хс, ук = 2-р- т , где р — фокальный параметр парабол, хс — координата центра масс параболы. Зависимости р и хс от полуосей эллипсоида инерции в результате вычислений будут иметь вид:
p =0,5298b
(-3/3)
fc =|(o,194b(-^3)-
-0,34V-22,665b(-16 73) +354,26b'
,(-10 / 3)а(-1/2)
)/(b(-1/2)).
Далее, проводя вычисления по предложенному методу, получим параболическую полосу, изображенную на рис. 4. В примере не приводятся уравнения поверхности и предшествующие им результаты ввиду масштабности аналитической записи этих выражений.
В рассмотренном методе предложена новая алгоритмическая часть определителя поверхности,
обеспечивающая получение непрерывного каркаса поверхности по геометрической части определителя поверхности в виде дискретного каркаса. Предложенный метод может быть использован для образования лотковых поверхностей, заданных дискретно дугами кривых линий. Метод может применяться в технике для формообразования поверхностей, обеспечивающих транспортировку сыпучих материалов либо жидкостей, двигающихся самотеком. Также метод может применяться для проектирования переходных технических поверхностей, между смежными поверхностями деталей или сборочных единиц.
Библиографический список
1. Осипов, В. А. Машинные методы проектирования непрерывно-каркасных поверхностей / В. А. Осипов. — М. : Машиностроение, 1979. — 248 с.
2. Добронравов, В. В. Курс теоретической механики / В. В. Добронравов, Н. Н. Никитин. — М. : Высш. школа, 1983. — 575 с.
3. Корчагин, Д. С. Способ динамического проектирования направляющей линии / Д. С. Корчагин // Вестник СибАДИ. — 2012. - № 4. - С. 72-78. - ISSN 2071-7296.
4. Жуковский, Н. Е. Теоретическая механика / Н. Е. Жуковский. - 2-е изд. - М.-Л. : Гос. изд-во техн.-теорет. лит., 1952. - 812 с.
5. Делоне, Б. Н. Аналитическая геометрия: В 2 т. Т. 2 / Б. Н. Делоне, Д. А. Райков. - М.-Л. : Гос. изд-во техн.-теорет. лит., 1949. - 518 с.
6. Роджерс, Д. Математические основы машинной графики / Д. Роджерс, Дж. Адамс ; пер. с англ. / П. А. Монахов, Г. В. Олохтонова, Д. В. Волков. - М. : Мир, 2001. - 604 с.
7. Корчагин, Д. С. Реконструктивная геометрия кривой линии [Электронный ресурс] / Д. С. Корчагин, К. Л. Панчук // Прикладная геометрия. - 2011. - № 13. - С. 1-11. -ISSN 2076-9148. - Режим доступа: http://www.apg.mai.ru/ Volume13/ Number27/ vol1327_1.pdf. (дата обращения: 05.07.2014).
КОРЧАГИН Денис Сергеевич, аспирант кафедры
«Инженерная геометрия и САПР».
Адрес для переписки: Korch-Den@yandex.ru
Статья поступила в редакцию 10.07.2014 г. © Д. С. Корчагин
Книжная полка
Юрков, В. Ю. Методы изображения и формообразования : учеб. электрон. изд. локального распространения : учеб. пособие / В. Ю. Юрков, В. В. Маркевич ; ОмГТУ. - Омск : ОмГТУ, 2013. -1 о=эл. опт. диск (CD-ROM).
Изложен теоретический материал, связанный с построением плоских изображений пространственных геометрических фигур. Описываются аксонометрические и перспективные изображения, а также эпюр Монжа. Излагаются методы решения основных позиционных и метрических задач, задачи построения теней и отражений. Приводятся основные методы образования криволинейных форм. Предлагаются задачи для самостоятельного решения. Приведен список литературы, который рекомендуется для углубленного изучения вопросов формообразования. Для студентов специальности «Промышленный дизайн» и может быть полезно инженерам и преподавателям кафедр графики.
