СПОНТАННОЕ НАРУШЕНИЕ СИММЕТРИИ НА ПРИМЕРЕ ВЕЩЕСТВЕННОГО ПОЛЯ КЛЕЙНА - ГОРДОНА Текст научной статьи по специальности «Физика»

Список литературы:

1. Тлеумуратова Б.С., Мустафаева Р. Синергетические аспекты Аральского кризиса. Монография. -Нукус: «Илим», 2021. - 120с.

2. Никитенков Н.Н., Никитенкова Н.А. Синергетика для инженеров: учебное пособие / Н.Н. Никитенков, Н.А. Никитенкова - Томск: Изд-во Томского политехнического университета, 2009. -168 с.

3. Пляцук Л. Д., Черныш Е.Ю. Синергетика: нелинейные процессы в экологии /Сумы: изд-во СГУ, 2016. - 237с.

4. Фейгенбаум М. Универсальность в поведении нелинейных систем / М. Фейгенбаум // УФН. 1983. - Т. 141, №2. - С. 343-374.

5. Тлеумуратова Б.С. Математическое моделирование влияния трансформаций экосистемы Южного Приаралья на почвенно-климатические условия. / Дисс...докт., Ташкент, 2018.

УДК 53

СПОНТАННОЕ НАРУШЕНИЕ СИММЕТРИИ НА ПРИМЕРЕ ВЕЩЕСТВЕННОГО

ПОЛЯ КЛЕЙНА — ГОРДОНА

Тищенко И.Ю., Тищенко Д.Ю., Завгородний С.А.

Кубанский государственный аграрный университет имени И. Т. Трубилина,

г. Краснодар Бережанская С.А.

Крымский федеральный университет имени В. И. Вернадского, г. Симферополь

SPONTANEOUS SYMMETRY BREAKING ON THE EXAMPLE OF THE KLEIN —

GORDON REAL FIELD

Tishchenko I. Yu., Tishchenko D. Yu., Zavgorodny S.A.

Kuban State Agrarian University named after I. T. Trubilin, Krasnodar

Berezhanskaya S.A.

V. I. Vernadsky Crimean Federal University, Simferopol

Аннотация. В данной научной работе рассматривается симметрия в природе и физике, ее математическое описание. Рассматривается спонтанное нарушение вещественного поля Клейна — Гордона. Показана роль симметрии и спонтанного нарушения симметрии в развитии физике.

Annotation. This scientific work examiner symmetry in nature and physics, its mathematical description. The spontaneous breaking of the Klein—Gordon real field is considered. The role of symmetry and spontaneous symmetry breaking in the development of physics is shown.

Ключевые слова: симметрия, спонтанное нарушение симметрии, тахион, потенциальная энергия Keywords: symmetry, spontaneous symmetry breaking, tachyon, potential energy

Многое в природе обладает симметрией. Так многие повседневные предметы обладают зеркальной симметрией, к примеру, плоскогубцы при отражении правой половины в левую и наоборот.

Симметрия - это способность объекта не изменять свои свойства при различных преобразованиях[1,

50].

Не только материальные объекты обладают симметрией, так различным математическим функциям, уравнениям и операторам свойственна инвариантность. Это позволяет применять симметрию к законам физики. К примеру, можно говорить об инвариантности тех или иных функций и уравнений при преобразованиях систем координат. Математически общие симметричные свойства описываются с помощью теории групп[1, 50].

Вначале в физике рассматривались лишь пространственно-временные преобразования, которые относятся к геометрическим видам симметрии. Но с ходом развития науки были открыты и другие, такие как калибровочная, перестановочная и унитарная инвариантности[1, 51].

Роль симметрии в современной теоретической физике очень большая: с её помощью удалось добиться первых успехов на пути объединения фундаментальных взаимодействий. Так каждому типу фундаментальных взаимодействий соответствует своя группа: электромагнитным взаимодействиям соответствует группа Щ1), слабым взаимодействиям SU(2), а сильным SU(3). Свойства фундаментальных частиц и их взаимодействий можно вывести из свойств этих групп. Фактически вся структура фундаментальных частиц и их взаимодействий определяется калибровочными группами Щ1), SU(2) и SU(3), именно поэтому сейчас в качестве теории Великого объединения рассматривают модели, построенные на основе групп, в которые Щ1), SU(2) и SU(3) входят как подгруппы. Такой подход позволяет рассмотреть известные элементарные частицы как состояние единого поля[2, 344].

Современные теории строятся не только на симметрии, но и на ее спонтанном нарушении. Так при достаточно больших энергиях электромагнитные и слабые ядерные силы могут объединиться в одно

электрослабое взаимодействие, а при ещё больших энергиях электрослабое и сильное ядерное взаимодействия может объединится в электроядерное взаимодействие, описываемое теорией Великого объединения.

Рассмотрим спонтанное нарушение симметрии на примере вещественного поля Клейна — Гордона. Будем считать, что греческие индексы проходят значения от 0 до 4, а латинские индексы от 1 до 3, тогда лагранжиан такого вещественного поля Клейна — Гордона будет иметь вид[3, 41]

Здесь т - масса частиц описываемых полем; X - безразмерная константа, описывающая взаимодействие между этими частицами.

Для этой системы достаточно просто составить гамильтониан

При поле не изменяющимся во времени и пространстве гамильтаниан системы будет равен потенциальной энергии и будет иметь вид

Когда т2 > 0, потенциальная энергия имеет только один минимум в точке ф = 0 (Рис. 1).

I

Рисунок 1. График потенциальной энергии.

Из выражения лагранжиана видно, что лагранжиан обладает симметрией относительно преобразования ф ^ -ф[3, 41].

Рассмотрим тот же лагранжиан, но при этом изменим знак при т2. С одной стороны мы получим частицу движущейся со скоростью, превышающей скорость света:

Р \:Е2 + т2

V =- =---> 1

Е Е

Частицы, двигающиеся со скоростью, превышающей скорость света в вакууме и с массой, равной комплексному числу называют тахионами[4, 134].

Однако в данном случае, тахион не возникает, потому что состояние с ф = 0 не является вакуумом. Так как при ф = 0 потенциальная энергия имеет не минимум, а максимум (Рис.2) Здесь система является устойчивой, только в одном из двух минимумов

Так система при ф = 0 вместо одного вакуума имеет два с одинаковой энергией. Для того чтобы полученные вакуумы лежали при V(ф) = 0, необходимо добавить постоянную величину к V(ф), тогда потенциальная энергия будет иметь вид (Рис. 3)

где

Здесь обозначения изменены

У Л

= —тг > 0, ^ > 0

Если у поля «взять» всю возможную энергию, то оно окажется в одном из двух основных состоянии ф = ± ф. Для того чтобы перевести поле из одного основного состояния в другое необходимо будет передать ему энергию пропорциональную объему. Для систем с большим объемом пространства необходимо выбрать одно из основных состояний и рассматривать возмущения около него.

Рисунок 3. График потенциальной энергии после добавления к ней постоянной величины ф.

С полученной потенциальной энергией, лагранжиан не будет обладать симметрией ф ^ -ф и вакуумом, допустим ф = ф, который такой симметрией не обладает. Энергия основного состояния рана

Рассмотрим лагранжиан, который от изначального отличается на константу

Или, что тоже самое,

Плотность энергии однородного поля равна

Рассмотрим возмущения х(х) относительно ф = +ф. Если записать поле ф = ф + х, то х будет описывать возбуждение поля относительно вакуума ф = +ф. Тогда в новых переменных лагранжиан не будет обладать зеркальной симметрией.

В этом случае поле х не будет являться тахионным: его масса равна

Явление спонтанного нарушения глобальной симметрии состоит в том, что основное состояние не инвариантно относительно симметрии лагранжиана. Лагранжиан для возмущений также не обладает исходной симметрией.

Литература:

1. Фистуль В. И. Принципы физики. 17 научных эссе. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2010 —148 с.

2. Садовский М. В. Лекции по квантовой теории поля. — М., ИКИ, 2003. — 382 с.

3. Miransky V. A. Dynamical symmetry breaking in quantum field theories. — Singapore: World Scientific, 1994. — 533 с.

4. В. С. Барашенков, Тахионы. Частицы, движущиеся со скоростями больше скорости света, УФН, 1974, том 114, номер 1, 133-149

References:

1. Fistul V. I. Principles of physics. 17 scientific essays. — M.: FIZMATLIT, 2010 -148 p. (In Russian).

2. Sadovsky M. V. Lectures on quantum field theory. — M., IKI, 2003. — 382 p. (In Russian).

3. Miransky V. A. Dynamical symmetry breaking in quantum field theories. — Singapore: World Scientific, 1994. — 533 с.

4. V. S. Barashenkov, Tachyons. Particles moving at speeds greater than the speed of light, UFN, 1974, Volume 114, number 1, 133-149 (In Russian).