CC BY
122018
Вып. 3(42)
ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
Математика. Механика. Информатика
УДК 530.12:531.551
Спонтанное нарушение симметрии в космологии с вращением
В. Ф. Панов, Е. В. Кувшинова
Пермский государственный национальный исследовательский университет Россия, 614990, г. Пермь, ул. Букирева, 15 [email protected] ; 8(342) 239-65-60
Спонтанное нарушение калибровочной симметрии в космологии, в том числе в космологических моделях с вращением рассматривается в ряде работ ([1, 3] и др.). В данной работе исследуется эффект спонтанного нарушения калибровочной симметрии в космологической модели типа I по Бьянки и модели типа Гёделя.
Ключевые слова: спонтанное нарушение симметрии; космологические модели. DOI: 10.17072/1993-0550-2018-3-76-79
1. Исследование модели типа I по Бьянки
Спонтанное нарушение калибровочной симметрии в космологии, в том числе в космологических моделях с вращением, исследовалось в ряде работ [1, 2]. Рассмотрим, может ли быть эффект спонтанного нарушения калибровочной симметрии в моделях с метрикой типа I по Бьянки вида
ds2 = dt2 - 2R/dydt - R2 (dx2 + Ady2 + dz2),
(1.1)
где R = R(t), /, A = const.
Предположим, что есть некоторая модель с метрикой (1.1). При этом мы предполагаем, что одним из источников гравитационного поля является сопутствующая идеальная жидкость.
Рассмотрим самодействующее комплексное скалярное поле p(t) в искривленном пространстве с метрикой (1.1), удовлетворяющее уравнению
1 Бл Л
6 щ + У
g'k УгУкф+ M 2ф- - Rф + — ф*ф2 = 0, (1.2)
(Л> 0),
которое получается из плотности лагранжиана
L = V-g [ gik дфдкф- M фф +
R * л * ч (13)
+R фф-Л (фф)2], 6 6
инвариантной относительно калибровочных преобразований вида
p ^ p exp(z'a), p* ^ p* exp(-z'a).
Обозначим |0> гейзенберговское вакуумное состояние, определенное при t=tpl. Из пространственной однородности (1.1) вытекает, что если вакуумное среднее p отлично от нуля, то оно может зависеть только от t: < 0 | p(t, x, y, z) | 0 >=< 0 | p(t) | 0 >= q(t).(1.4)
Вследствие С - инвариантности состояния |0> величина q - вещественна. Отличие q от нуля означает спонтанное нарушение калибровочной симметрии. При этом, в ходе усреднения (1.2) по состоянию |0> предполагается в древесном приближении
< 0|ф*ф2 |0 >«
«< 0|ф*|0 >< 0|ф|0 >2 = q3
Для метрики (1.1):
(1.5)
g =
-R6 (A + /2),
© Панов В. Ф., Кувшинова Е. В., 2018
6 (М + Я2 )1
Я = -, Я0 = -
3Я1
2С2£2
Я (1 + ц2) '
Исследуем эффект спонтанного нарушения симметрии скалярного поля р в пространстве-времени с метрикой (1) в двух случаях:
1) для Я(()=сотг , усредненное уравнение (1.2) для метрики (1.1) примет вид
ч Л , qM2 + у q = 0.
(1.6)
Так как уравнение (1.6) имеет нулевое решение q = 0 и не имеет ненулевых действительных решений, то несимметричного вакуумного состояния в данном случае у нас не будет.
Используем метрический тензор энергии - импульса для скалярного поля ф:
т: = +- 8ц г?аф\аф -
1ц ' Ц
г2„
-мУф]-3[-яц + 28ЦЯ- (1.7)
-8ЦП]Ф*Ф+Л 8Ц (Ф*Ф)2.
где ЯЦ - тензор Риччи, 8Ц - единичный тензор.
Вакуумная плотность энергии для данной модели равна
Е=<о|т°о|о> =| М2 + - Я0 - - Я
3
6
q2 +
Л 4 + 6 *
(1.8)
При д = 0 Е=<0 | Т0о | 0>=0.
Таким образом, у нас будет симметричное вакуумное состояние.
2) для М=0, уравнение (1.2), ус-
редненное по гейзенберговскому вакуумному состоянию с учетом древесного приближения имеет вид:
3. д л(я + Ц)
Л(Я + ц )
f"+—-- f3 = 0,
31
(111)
где * = ~Г.
От
Так как период колебаний нелинейной консервативной системы, описываемой (1.11), не один и тот же, а зависит от начальных условий, то периодические движения, описываемые решением (1.11), выраженным через эллиптические функции Якоби, нельзя считать устойчивыми по Ляпунову. Стало быть,
I« )
будут неустойчивы и решения д =
г
Решение I = 0 уравнения (1.11) устойчиво по Ляпунову, т.е. будет устойчиво и решение д = 0 уравнения (1.9).
Таким образом, в данном случае в рассматриваемой космологической модели реализуется вакуумное состояние с д = 0, т.е.
<0 | Т0 0| 0>=0 и эффекта спонтанного нарушения калибровочной симметрии в случае этой модели нет.
2. Исследование модели типа Гёделя
Рассмотрим в этом параграфе эффект спонтанного нарушения калибровочной симметрии в нестационарной модели типа Гёделя. В [4] мы построили нестационарную, вращающуюся, причинную космологическую модель типа Гёделя с метрикой
„2 .-2 ^2^,2
- сЧ2 (Ох2 + 1е тхОу2 + dz2) -
-2сгетс dydt
(2.1)
где с > 0, 1 > 0, т>0 - постоянные, (здесь с - не скорость света). Источниками этой модели являются: безмассовое комплексное скалярное поле, анизотропная жидкость с распределенным зарядом скалярного поля, поле излучения, учитывается также поток тепла.
В данном параграфе предполагается, что эволюция нашей модели с метрикой (2.1)
г г2 3 1
д = 0 (19) начинается с момента I = г { .
I (г)
Сделав замену д =-, получим
Л(1 + ц2)
/г2 + I + I3 = 0, (1.10)
сделаем замену т = 1п г, получим
р1
Скорость вращения модели т
с = -
2с(1 +1)1/2г • (2'2)
Рассмотрим самодействующее комплексное (заряженное) скалярное поле р(г) в
В. Ф. Панов, Е. В. Кувшинова
искривленном пространстве с метрикой (2.1), удовлетворяющее уравнению
УгУкф + М 2ф-1 Лф + А ф*ф2 = 0, (2.3) 6 3
(А> 0),
которое получается из плотности лагранжиана
L = V-g[g'kдфдкф -M2ф*ф +
+R фф-Л (фф)2], 66
(2.4)
инвариантной относительно калибровочных преобразований вида
p ^ p exp(z'a), p* ^ p* exp(-z'a).
Обозначим |0> гейзенберговское вакуумное состояние в космологической модели с метрикой (2.1), определенное при t=tpl. Из пространственной однородности (2.1) вытекает, что если вакуумное среднее p отлично от нуля, то оно может зависеть только от t:
< 0 | ф, x, y, z) | 0 >= g(t). (2.5) Вследствие С - инвариантности состояния |0> величина g - вещественна. Отличие g от нуля означает спонтанное нарушение калибровочной симметрии. Скалярная кривизна R для метрики (2.1) есть
R = Обозначим
R =
6A + 2да2 (A + 3/4)
1 + A (1 + A)c2
• "Т. (26) t2
6A + 2m2(A + 3/4)
1 + A (1 + A)c
(2.7)
Усреднения (2.3) по состоянию |0>, полагая в древесном приближении
< 0|ф*ф2 |0 >«
«< 0|ф*|0 >< 0|ф|0 >2 = g3
(2.8)
получим
(2.9)
к .. 3к £ 1 Л
-£ +---^-----^ £ +
1 + к 1 + к г 6 г2
1 А ,
+М 2 £ + у £3 = 0, ф
где £ = —. Положим далее, что М=0.
йг
I (г)
Сделаем в (2.9) замену £ =-, тогда
получим
At2 ■■ At ■ fR0 A V
-f +-f -I — +-I f +
1 + A 1 + A I 6 1 + A)
+-f3 = 0 3
. (2.10)
После замены переменного (т = ln t) в (2.10), получим
f "-af + Pf3=0,
„ df m2(A + 3/4) где f , a = v '
dT
(2.11)
P =
3Ac2 Л(1 + A) 3A
У нас a > 0, P > 0.
Уравнение Дюффинга (2.11) имеет два
a
V PP)
f
устойчивых решения fl2 = ±
и неус-
тойчивое I = 0 .
В качестве начальных условий для решения (2.11) возьмем
f (tpl) = ±
Г V/2 a
P
, f" (tpl) = 0. (2.12)
V)
Уравнение (2.11) имеет тогда ненулевое решение, соответствующее перестройке вакуума в состояние с нарушенной калибровочной симметрией.
Обсудим теперь вопрос о предпочтительности вакуумного состояния |0> с энергетической точки зрении. Усредняя метрический тензор энергии - импульса безмассового, самодействующего поля р(г) по состоянию
|0>, получим вакуумную плотность энергии (в случае нарушенной симметрии)
£ =< 01 Г0° | 0 >= ■
m41 A+ 3 If1 - A
4 )V 4
6с4(1 + к)2 Аг4 • (213)
Таким образом, при к > — для
4
безмассового поля вакуумное состояние со спонтанно нарушенной калибровочной симметрией обладает отрицательной энергией и является предпочтительным (по сравнению с обладающим нулевой энергией симметричным состоянием).
Список литературы
1. Гриб А.А., Мамаев С.Г., Мостепаненко В.М. Квантовые эффекты в интенсивных внешних полях. М.: Атомиздат, 1980. С. 463-468.
2. Панов В. Ф. Спонтанное нарушение симметрии в космологических моделях с вращением // ТМФ. 1988. Т. 74, № 3. С. 463-468.
3. Kuvshinova E.V., Sandakova O.V. The effect of spontaneous breaking of gauge symmetry in cosmology with rotation // Russian Physics Journal. 2004. Т. 47, № 1. P. 15-24.
4. Панов В.Ф. Космологические модели с расширением и вращением // Известия вузов. Физика. Томск, 1987. 13 с. Деп. В ВИНИТИ 12.11.87, № 8000 - В87.
Spontaneous breaking of symmetry in cosmology with rotation
V. F. Panov, E. V. Kuvshinova
Perm State University; 15, Bukireva st., Perm, 614990, Russia [email protected]; 8 (342) 239-65-60
The effects of spontaneous breaking of gauge symmetry in cosmology, in particular in cosmologi-cal models with rotation, have been studied in several papers ([1, 3], etc.). In this paper, we investigate spontaneous breaking of gauge symmetry in the Bianchi type I cosmological model and the Godel type model.
Keywords: spontaneous symmetry breaking; cosmological models.
При наличии массивного поля (М^0) из (2.9) аналогично предыдущему можно получить
1 +Ж.+ Гм¥ -Я--ЦI + 1 +1 1 +1 { 6 1 +1)
+ ЛI3 = 0 .
3
В отличие от безмассового поля в случае массивного следует ожидать с ростом времени восстановление симметрии.
Отметим, что для метрики (2.1) эффект спонтанного нарушения калибровочной симметрии не удается применить для построения новых космологических решений с вращением.
