CC BY
132017
ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
Математика. Механика. Информатика Вып. 4(39)
УДК 530.12:531.551
Спонтанное нарушение симметрии и космологическая модель с вращением для метрики типа IX по Бьянки
Е. В. Кувшинова
Пермский государственный национальный исследовательский университет Россия, 614990, г. Пермь, ул. Букирева, 15 [email protected]; 8 (342) 239-65-60
Рассматривается эффект спонтанного нарушения калибровочной симметрии в космологической модели с расширением и вращением; построена стационарная космологическая модель с вращением для метрик типа IX по Бьянки.
Ключевые слова: спонтанное нарушение симметрии; вращение модели; уравнения Эйнштейна.
DOI: 10.17072/1993-0550-2017-4-38-42
Спонтанное нарушение калибровочной симметрии в космологии, в том числе в космологических моделях с вращением исследовалось в ряде работ ([1, 3] и др.). Нами построена [2] замкнутая космологическая модель с вращением с метрикой вида
ds2 = (dt + ЛСа1)2 - (кСа1)2 -
-С2 ((а2)2 + (а3)2) (1)
где С = С(t), k, 1 = const, а1, а2,а3 есть 1-формы, удовлетворяющие структурным отношениям типа IX по Бьянки.
Параметры модели: вращение
1 C(t)1 „
а =-, ускорение a =-. При этом
2С (t) С (t )k
мы предполагаем, что одним из источников гравитационного поля является сопутствующая идеальная жидкость.
Рассмотрим самодействующее комплексное скалярное поле p(t) в искривленном пространстве с метрикой (1), удовлетворяющее уравнению
¿кУ^кф+М2ф--кф + ^ф*ф2 = 0, (2) 6 3
© Кувшинова Е. В., 2017
(Л > 0), которое получается из плотности лагранжиана:
L = J—g [ g'k д/д кф- M 2ф*ф +
R » Л » ч 6 6
инвариантной относительно калибровочных преобразований вида
р ^ pexp(ia), р* ^ р* exp(-iа). Обозначим |0> гейзенберговское вакуумное состояние, определенное при t=tpl. Из пространственной однородности (1) вытекает, что если вакуумное среднее р отлично от нуля, то оно может зависеть только от t:
< 0 | p(t, x, y, z) | 0 >=< 0 | p(t) | 0 >= q(t). (4)
Вследствие С-инвариантности состояния |0> величина q - вещественна. Отличие q от нуля означает спонтанное нарушение калибровочной симметрии. При этом в ходе усреднения (2) по состоянию |0> предполагается в древесном приближении
< 0|ф*ф2|0 >-
|фф | . (5)
«< 01 ф* | 0 >< 01 ф | 0 >2 = q3
Для метрики (1): g = —C6 sin xlk2,
Спонтанное нарушение симметрии и космологическая модель...
Я = -
(\2CCk2 -12ССЛ2 + ПС2к2 -ПС2Л2)
2С2 к
2,2
(-к4 + к2 Я2 - 4к2)
2С2 к2
(С - С (г)), До0 =-
3 С (к2 -А2)
Ск2
Исследуем эффект спонтанного нарушения симметрии скалярного поля р в пространстве-времени с метрикой (1) в двух случаях:
1) для С(0=со«^ , усредненное уравнение (2) для метрики (1) примет вид
д-ад + /Здъ = 0,
(6)
где
1 =
йд
йг
а =
(к4 _ к2 А2 + 4к2 _ 12М2 С2к2) 12 С2 (к2 - Я2)
а > 0, З> 0.
з(к2 -Я2)
При этом можно считать д=сопБ^ ввиду того, что С(t)=const.
Тогда уравнение (6) имеет два ненулевых решения:
(к2 -Я2 + 4- 12М2С2
д2,з = ±
4С 2Л
(7)
при k2-Я2 + 4- 12М2Я2 > 0 и д = 0.
Предпочтительность выбора решений q2,з ^ 0 из соображений минимума энергии дает возможность выявить спонтанное нарушение калибровочной симметрии. В этом случае несимметричное вакуумное состояние |0> энергетически более выгодно, чем симметричный вакуум. Используем метрический тензор энергии - импульса для скалярного поля р:
К = ^Ф^Ф + - 51 [Уаф*УаФ -
г2.
-м2ф* ф] V" У^ - (8)
-5;п]Ф*Ф+Л5;(Ф*Ф)2.
где Я.; - тензор Риччи, 5У; - единичный тензор.
Вакуумная плотность энергии для данной модели равна
1
1
Е=<0 | Т°01 0> = М2 + -Щ —Я
Л 4 + 6 д.
(9)
Подставляем решения уравнения (6) в (9) и находим:
Е(ч0 = 0,
™ ч (к2 -Я2 + 4- 12М2С2)2 Л /1ЛЧ
Е(Ч23) = -1-96СЛ-L < 0. (10)
Мы рассматриваем космологическую модель, где Я и М - постоянные, за счет варьирования параметров источников гравитационного поля можно менять Я и к, тогда эффект спонтанного нарушения симметрии будет при выполнении условия 12М2С2 < к2 - Я2 + 4 .
Таким образом, энергетически более выгодным будет несимметричное вакуумное состояние | 0> (ч Ф 0), что означает спонтанное нарушение симметрии вакуума.
2) для Я(^)=\1, М=0, уравнение (2), усредненное по гейзенберговскому вакуумному состоянию с учетом древесного приближения имеет вид:
3 (кА-к2Л2+Ак2-\1у2[к2-Л2))
12у 2
+-
.(к2-Я2)
(к2 -Я2)
Лд3 = 0.
- +
(11)
Сделав замену д =
/ (г)
г
V - к2 Л2+4к
получим
\
■л
12 V
(к2-Я2)
I +
(12)
+-
к2
-Л13 = 0,
3(к2 -Я2) сделаем замену Т = 1п г, получим
/"-
+
( к4 - к2Я2 + 4к2 ^ 12у2 (к2 -Я2)
7,2
Л/3 = 0,
/+
3(к2 -Я2)
где 1 =~Г.
2
г
2
к
г
Уравнение Дюффинга (13) имеет два устойчивых решения и одно неустойчивое:
/ = 0, /2,3 =±1
k2 -12 + 4 i
Л
2v'
(14)
k2 -11 + 4 > 0, Л > 0.
В качестве начальных условий для решения (13) возьмем:
f(tpl) = ±
k2-А2 + 4 1
Л
* •f Xt")=0
Уравнение (13) имеет ненулевое решение, соответствующее перестройке вакуума в состояние с нарушенной калибровочной симметрией.
Тогда решения уравнения (11):
Чг = ° Ч2,з = ±
k2-А2 + 4 1
Л
2vt
. (15)
Обсудим теперь вопрос о предпочтительности вакуумного состояния |0> с энергетической точки зрении. Подставим (15) в выражение (9) и, учитывая также, что М=0, получим:
E(ql) = 0,
(48v2 (k2 -12)- k4)(k2 -1 + 4)
E(q2;3)=
8t 4v4k2Л
+
+
( k 212 - 4 k2)( k2 -12 + 4 )
(16)
8t 4v4 k 2Л При выполнении условия
2 k4 - k1 + 4k2 ,2 32 ■ ' , k > 1
v <
48 (k2 -1) '
вакуумная плотность энергии E(q2;з) отрицательна.
Таким образом, так же, как и в предыдущем случае, энергетически более выгодным будет несимметричное вакуумное состояние |0>, и ненулевые решения (15) уравнения (11) соответствуют перестройке вакуума в состояние с нарушенной калибровочной симметрией.
Модель с метрикой Ожвата-Шюкинга
В настоящее время не теряет своей актуальности вопрос о возможном вращении Вселенной и его связи с вращением галактик. Поэтому сохраняется интерес к построению и исследованию космологических моделей с вращением. Нами построена стационарная
космологическая модель с вращением для метрики Ожвата-Шюкинга вида:
ds2 = (dt)2 + Ryjl-2k2w3dt -
2+№/+ (17)
+(1 + 2k2 )(w3 )2 ), w1 =cosx3dx1 + sinx1sinx3dx2, где w2 = -sinx3dx1 + sinx1cosx3 dx2, w3 = cosx1dx2 + dx3.
0 < x1 <n, 0 < x2,x3 < 2n,
R, k = const, |k| < i.
Отметим, что в работе [4] получена космологическая модель с вращением с метрикой (17), заполненная пылью, с космологическим членом. Источником гравитационного поля нашей космологической модели является несопутствующая идеальная жидкость с тензором энергии-импульса Tmn = (e+p)umUn- pgmn, где s > 0, uMuM = 1.
Компоненты вектора скорости рассмотрим в следующем виде:
u, =u^1 - 2k~ cosx1
U ^ 0 , U = 0, Щ= u^1-2k2-----1
"2 2
и3 = и3\1 / - 2к2 .
У нас эйнштейновская гравитационная постоянная равна 1.
Тогда ненулевые уравнения Эйнштейна для метрики (17) запишутся в следующем виде:
8к -5 =(в + р)и2-р, (18)
(к -/)К2
8к2-1
-5-= (е + р)и0й2 -р—, (19)
2Я(к -1)
81с ~ 1 у . ^ л. V / г-\ Г\\
———— = (е + р)и0и3-р-, (20) 2К(к -/)
R
2'
R ~2'
1 -pR2,
(k -1)
1 -pR2,
(k2-1)
-(16k4 - 2k2 -1) 4(k2 -1)
= {s + р)й2йъ (1-2к ) + p
2ч , R2{\ + 2k2)
(21) (22)
Спонтанное нарушение симметрии и космологическая модель.
-(16k4 - 2k2 -1) _ 4(k2 -1) "
= (s + p)ü¡(\-2k2) + p
R 2(1 + 2k2) 4
(24)
cos2( x3)sin2( x1 )k
+
4(k2 -1)
sin2 (x1 )(16k4 - 2k2) - 16k4 + 2k2 +1
4(k2 -1) (25)
= (s + p)ü¡(l-2k2)cos2(x1) + R 2(1 + k sin2 (x1) cos 2( x3) + 2k2 cos2 (x1))
p-4-•
Из уравнений (19), (20) вытекает, что
~ = ~, тогда уравнения (23) и (24) будут
одинаковы.
Из уравнений (21), (22) получаем
p = —т-1-. Подставим p в уравнения (18),
R2 (k2 -1)
(19), (23) и (25), и получим следующую систему уравнений:
2 8k2 - 4
(е + p)u0 = —г—--
V ' 0 R2(k2 -1)
4k2
(е + p)uo~2 = -
(е + p)ul =
R(k2 -1) - 4k 4
(k2 -1)(1 - 2k2)
(26)
(27)
(28)
Из условия и^им = 1 получим уравнение
2 (2k +1) _ (1-2Г)
Z^q Y ZUqU2 '
-2ü
2
2 (l-2fc2)
2 ^2
R
(29)
= 1.
Решая систему уравнений (26), (27), (28) при условии (29) находим, что
е = -
üп =
8k2 - 3 R 2(k2 -1)' 2kAR2
2 _ 2(2k2 -1)
¿0 = 4k2 -1 '
(2k -1)(4¿ -1) > (
Условия е > O, un > O, ~ > 0 выполняют-
ы 1
ся при |к| < — . Для данной модели расширение, сдвиг и ускорение отсутствуют, вращение модели отлично от нуля при кФ0:
2л/2к2
О =
Ы1 - 4k Ч1 - k2 '
Применяя метод, предложенный в [5], найдем условия, которые обеспечивают причинность пространства-времени с метрикой
(17).
Пусть X; - произвольная времени-подобная кривая ^ - параметр), у;у; > 0. Если предположить, что эта кривая - замкнутая, тогда всегда существует такое £ = ,
йг п
при котором производная — = и.
^ 5=S0
Вычислим в точке £ = £0 квадрат мо-
дуля Vм =
dxLl ds
, касательного к
х м (s)
V MV,
мU=.
s=S„
(1 - k)
О
+ (1 + k)
2
О
к ds j
+ (1 + 2k2)
к J
(
О
(30)
к ds J
При к < 1 в точке s = S0 имеем:
V мУм[ х м ( s) (V MVL
< 0. Но мы предположили, что
- времениподобная кривая > 0) при любых £ .
Таким образом, мы получили противоречие с исходным предположением о замкнутости X; . Значит, условие, накладываемое на наше решение |к| < , обеспечивает
отсутствие замкнутых времениподобных кривых во всем пространстве - времени с метрикой (17).
Полагаем, нашу модель с метрикой (17) можно использовать для исследования космологических эффектов, обусловленных только вращением Вселенной.
Сделаем оценку космологического вращения для нашей метрики.
Пусть р - плотность материи в этой модели и р «10-30 г / см3.
Тогда для нашей модели можно получить, что скорость вращения будет со «10-13 рад / год при к « 10 2, что совпадает с результатом Берча.
2
Список литературы
1. Панов В.Ф. Спонтанное нарушение симметрии в космологических моделях с вращением // ТМФ. 1988. Т. 74, № 3. С.463-468.
2. Кувшинова Е.В., Панов В.Ф. Квантовое рождение вращающейся вселенной // Известия вузов. Физика. 2003. Т. 46, № 10. С.40-47.
3. Kuvshinova E.V., Sandakova O.V. The effect of spontaneous breaking of gauge symmetry
in cosmology with rotation // Russian Physics Journal. 2004. T. 47, № 1. P. 15-24.
4. Ozsvath I., Schucking E.L. The finite rotating Universe // Ann. Phys. 1969. Vol. 55, № 1. P. 166-204.
5. Maitra S.C. Stationary dust - filled cosmolog-ical solution with A=0 and without closed timelike lines // Journal Math. Phys. 1966. Vol. 7, № 6. P. 1025-1030.
Spontaneous symmetry breaking and the cosmological model with rotation for the Bianchi type IX metric
E. V. Kuvshinova
Perm State University; 15, Bukireva st., Perm, 614990, Russia [email protected]; 8 (342) 239-65-60
The effect of spontaneous breaking of gauge symmetry in cosmology, in particular, in cosmological models with rotation, has been studied in several papers ([1, 3], etc.). This paper investigates the effect of spontaneous breaking of gauge symmetries in cosmological models with expansion and rotation. A stationary cosmological model with rotation for Bianchi type IX metrics is constructed.
Keywords: spontaneous symmetry breaking; models with rotation; Einstein equations.
