CC BY
20
Физика
УДК 530.12:531.551
Б01: 10.22363/2312-9735-2017-25-4-380-389 Космологические модели с вращением типа VIII по Бьянки с источниками-жидкостями Д. М. Янишевский
Кафедра высшей математики Пермский государственный национальный исследовательский университет (ПГНИУ) ул. Букирева, д. 15, г. Пермь, Россия, 614990
В рамках общей теории относительности построены космологические модели с расширением и вращением с метрикой типа VIII по Бьянки в присутствии в первом случае поля излучения, а во втором — идеальной жидкости с пылевидным уравнением состояния. Вращающаяся тёмная энергия моделируется анизотропной идеальной жидкостью. Рассмотрены статические и динамические космологические режимы, при этом уравнения состояния материальных параметров в первом случае вводятся отчасти как исходные данные для анизотропной жидкости, а во втором — для идеальной изотропной жидкости, моделирующей барионную материю. Методом анализа замкнутых времениподобных линий получены ограничения, которые требуется наложить на параметры метрики, обеспечивающие причинность. Выяснены условия, при которых изначально анизотропная тёмная энергия энергетически доминирует, а также когда имеет место осциллирующий космологический режим. Показано, что модели при рассмотрении расширения от планковских масштабов до современного размера наблюдаемой Вселенной дают удовлетворительную величину порядка угловой скорости её вращения. Полученные решения могут быть применены к изучению эффектов, имеющих место в современную эпоху, а также во время инфляционной стадии.
Ключевые слова: космологическое расширение, пылевидное уравнение состояния, анизотропия Вселенной, ускоренное расширение, метрика VIII типа Бьянки
1. Введение
Обращение к анизотропной космологии обусловлено наблюдательными фактами [1—3]. В нынешнюю эпоху Вселенная расширяется с ускорением, причиной которого является, скорее всего, тёмная энергия. В работах [4-6] авторами были получены результаты для метрики рассматриваемого типа, но с другими материальными источниками, а в работах [7,8] — в других метриках. В данной работе в рамках общей теории относительности построена космологическая модель с расширением и вращением с метрикой типа VIII по Бьянки вида
= Г}ар , (1)
где 'Ца/з — элементы лоренцевой матрицы, а, /3 = {0,1, 2, 3}, — ортонормирован-ные 1-формы, выражающиеся через масштабный фактор К следующим образом:
= ё - ЕрАеА, = ё - ККАеА,
при этом иА = {0, 0, ф, А = {1, 2, 3}.
Базисные 1-формы еЛ имеют следующий вид:
е1 = сЬ(у) сов(,г)ёж — 8ш(,г)ёу, е2 = сЬ(у) 8ш(^)ёж + соз(,г)ёу, е3 = вЬ(у)ёж + ёг. (2)
Статья поступила в редакцию 27 апреля 2017 г.
Источниками гравитации являются анизотропная жидкость, чистое излучение, а также идеальная изотропная жидкость. Для метрики (1) ищется космологическое решение уравнений Эйнштейна
- 2Ла/зК- = Та/з. (3)
2. Космологическая модель с анизотропной жидкостью и
чистым излучением
Возьмём параметры метрики К а в самом общем виде К а = {a,b, с}, при этом тензор энергии-импульса анизотропной жидкости в тетрадном представлении имеет вид
Tik} = (Р + Р) uiuk + (<? - P)XiXk + (к - Р)Ык - PVik, (4)
где векторы анизотропии х = {0, 0,1, 0}, £ = {0, 0, 0,1} и ui = 60 — 4-скорость сопутствующей анизотропной жидкости.
Тензор энергии-импульса чистого излучения
Т™ = wkakp (w> 0), (5)
причём тетрадные компоненты волнового вектора излучения ka = {ко, 0,0,кз}, т.е. к0 = к3. Результирующий тензор энергии-импульса даётся формулой
т* = TS+TS¡. (6)
В итоге из (3) для метрики (1) получим систему уравнений
-(a4 + 2a2(-b2 + с2) + (b2 + с2)2 - 3c2d2 + 4a2b2((d2 - 3с2)К2 + 2d2RE)) _
4 a2b2c2R2
= р + wkl, (7)
3a4 + 2a2(-b2 + c2) - ( b2 + c2)2 + c2d2 - 4a2b2(c2 - d2)(R2 + 2RR) _
4 a2b2c2R2 =(8)
+ 4a2h2((r2 - d2)(fí2 + 2Rfí)\
= a, (9)
-(а4 - 3Ь4 - 2Ь2с2 + с4 + 2а2(Ь2 + с2) - с2д2 + 4а2Ь2{(с2 - д2)(к2 + 2Ш))
4а2Ь2с2К2
-(а4 + Ь4 - 2Ь2 с2 - 3с4 - 2а2(Ь2 + с2) + с2д2 + 4а2Ь2 ((с2 - 3д2)к2 + 2с2Ж)) _
4а2Ь2с2К2
= ж + тк02, (10)
д(с2/а2Ь2 + 4К2 - 4КК) ,2 —--) = *к1 (11)
д(а2 - = о (12)
аЬС2К2 = ° (12)
Последнее уравнение из системы (7)—(12) открывает два возможных космологических сценария: статический, если масштабный фактор не зависит от времени, и динамический, когда а = .
2.1. Статическое решение с излучением
Если dR/dt = 0, т. е. R = const, то из системы уравнений (9)-(12) следует, что материальные параметры равны следующим значениям:
_ -а4 + 2а2Ь2 - 2с2 (а2 + b2) - b4 - с4 - 2c3d + 3с2d2
Р = 4a2b2c2R2 ' (13)
_ 3а4 + 2а2(с2 - Ь2) - (Ь2 + с2)2 + c2d2
Р = 4а262 с2 R2 ' ( ) _ -а4 + 3Ь4 - с4 + 2b2c2 + c2d2 - 2а2 (b2 + с2)
а = 4a2b2c2R2 ' ( 5) _ -а4 + 2а2Ь2 + 2с2 (а2 + Ь2) - Ь4 + 3с4 - 2c3d - c2d2
* = 4a2b2c2R2 ' (16)
= ■ (17)
Данное решение можно использовать для исследования космологических эффектов, обусловленных только вращением Вселенной.
2.2. Нестатическое решение
Если а = Ь, то из системы уравнений (9)-(12) следует, что а = р, а также
—с2(4а2 + с2 + 2Ы — 3й2) + 4а4 (3с2 — 2cd — d2)R2 + 8а4 (с — d)dRR р =--, (18)
(с — d)2(c2 + 4а4(Д2 — RR))
П + Р =-2^2-, (19)
—с(2а2 + (с — ¿)(с + 2d)) +4а4(с — d)(R2 — Ш) , Л Р + Р =-2а4сК2-. (20)
Для нас представляют интерес модели с вращением и ускорением, поэтому рассмотрим нашу жидкость в качестве вакуумоподобной среды вдоль одной оси. В случае такого уравнения состояния р = — р получается следующее уравнение:
к2 — RR = Ь, (21)
где Ь = с(2а2 + (с — д)(с+2й))/4(с — d)a4. Оно имеет следующие возможные решения:
R = R° вЬ(Я<), R° = у/Ъ/Н, если Ь > 0, R = R° сЦШ), R° = 4—1/Я, если Ь < 0, R = R°eнt, если Ь = 0.
Постоянная интегрирования Н характеризует темп раздувания. При Ь > 0 получается следующий вид эволюции параметров материи:
_ —с2(4а2 + с2 + 2cd — 3d2) + 4а4(3с2 — 2сй — d2)H2R20 сЬ2(Я£)
р = +
8 а4(с -й)йН2К20 аЬ2(Щ) + 4а4с2К2 8Ъ2(т) ' ( )
с2(4а2 + с2 + 2ей - 3 й2) - 4а4(3с2 - 2сй - й2)Н2Щ сЬ2(Ш)
4а4с2К2 вЬ2 (Ш)
8 а4(с -й)йН2К20 аЬ2(Ш)
4а4с2Я2 8Ь2(Ш)
(23)
к2 = й( с2 + 4а4 Н2 Я2) 0 2тса4К2 БЬ2(т)' ( )
с2(4а2 + 3с2 - 2ей - й2) - 4а4(с2 + 2сй - 3й2)Н2К20 сЬ2(Ш)
К ——--+
4а4с2К20 БЬ2(т)
8а4(й - с)сН2К2 ёЬ2(т) + 4а4 с2 К2 8Ь2(Ш) ' ( )
Чтобы плотность энергии была положительной, требуется выполнение условия с2 > й2. Легко убедиться, что при £ ^ то: р ^ 3(с2 - й2)Н2/с2, ко ^ 0, р ^ 3(с2 - й2)Н2/с2, к ^ 3(й2 - с2)Н2/с2, т.е. на больших временах анизотропная жидкость энергетически доминирует, а её давление асимптотически изотропизиру-ется. В случае Ь ^ 0 имеет место такое же асимптотическое поведение материи.
Также рамках использования уравнения состояния р = - р при Ь > 0 имеет место особое решение К = \TLit, тогда эволюция материальных параметров даётся следующими соотношениями:
- с2 (4а2 + с2 + 2 ей - 3й2) + 4 а4(3 с2 - 2 с й - й2)Ь р =-404СШ2-' (26)
с2(4а2 + с2 + 2ей - 3 й2) - 4а4(3с2 - 2ей - й2)Ь 4 а4 с2Ы 2 '
й( с2 + 4а4 Ь)
(27)
ко = 2юса4Ы2 ' (28) с2(4а2 + 3с2 - 2сй -й2) - 4а4(с2 + 2сй - 3й2)Ь г ч ' =-404^Ы2-• (29)
В случае уравнения состояния к = -р из (18)-(20) получается следующее уравнение:
КК -К2 = с2/4а4. (30)
Его общее решение К = Менг + с2е-нг/(16МН2а4) выбором константы интегрирования М = с/4На2 = К/2 приводится к виду К = Ко сЬ(НЬ), т.е. является несингулярным независимо от коэффициентов метрики. Его асимптотическое поведение аналогично случаю, охватываемому уравнениями (26)-(29), т. е. и в этом случае положительность плотности энергии обеспечивается условием 2 > й2, а давления р и к стремятся к общему пределу.
Определим, является ли модель с метрикой, определяемой условиями (1)-(2), причинной, методом, предложенным в работе [9]. Для этого предположим существование замкнутых времениподобных кривых, тогда на каждой из которых найдётся
точка, удовлетворяющая условию ёИ/ёБ = 0, тогда как У^Уц > 0 в силу време-ниподобности. Чтобы удовлетворить этим двум условиям, квадратичная форма из компонент касательного вектора, с матрицей коэффициентов из пространственных компонент метрического тензора, должна быть положительно определена. Матрица формы имеет вид:
— (1/2)(а2 — с2 + д2 + (а2 + с2 — д2)сЪ(2у))В2 0 (й2 — с2)К2 8%)\ 0 —а2Я2 0 | .
(д2 — с2)В? 8%) 0 (д2 — с2)В? )
Вид этой матрицы, в силу условия с2 — с12 > 0 при выполнении неравенства а2 > с2 — д? таков, что с помощью критерия Сильвестра легко убедиться в неположительной определённости соответствующей квадратичной формы. Таким образом, мы пришли к противоречию с гипотезой о существовании замкнутых времениподоб-ных линий, следовательно, рассмотренные в работе динамические модели являются причинными.
3. Космологическая модель с изотропной и анизотропной
жидкостями
В данном случае источниками гравитации являются анизотропная жидкость, которая описывает вращающуюся тёмную энергию, и идеальная жидкость с уравнением состояния пыли, описывающая барионную материю. Коэффициенты Ка метрики (1) взяты в виде К а = {а, Ь, Ь}. Тензор энергии-импульса анизотропной жидкости в тетрадном представлении имеет вид
Тк = (Р + Р) + (^ — Р)Ык — Р'Пгк, (31)
где р, ж — давления анизотропной жидкости в трёх направлениях, определяемых тетрадой, р — плотность энергии идеальной жидкости, £ = {0,0,0,1} — вектор анизотропии, игё° — 4-скорость сопутствующей анизотропной жидкости. Тензор энергии-импульса идеальной пылевидной жидкости имеет вид:
Тгк2) = 1лугук, (32)
где, соответственно, V = {зд, 0, 0, Уз} и р — 4-скорость и плотность идеальной изотропной жидкости.
В итоге тензор энергии-импульса имеет вид
Тгк = Тк + Т^к = (р + р) щик + (ъ — р)£г£к — РЛгк + /тУк. (33)
Из (3) для метрики (1) получим систему уравнений Эйнштейна:
с2(3й2 — с2 — 4а2) + 4а4(3с2 — д2 )К2 — 8а4<РКК 2
--= + Р, (34)
4а4 с2 Я2 (д2 — с2)(с2 +4а4(Д2 + 2ДД)) 4а4 с2 К2
Р, (35)
с2 (4а2 + 3с2 — й2) + 4а4Ш2 — с2)П2 — 8а4с2КН 2
-= ж + ру2, (36)
4а4 с2 Я2 А(с2 + 4а4 (К2 — Ш)) 2а4сК2
= Р'У°Уз. (37)
3.1. Нестатические решения
В данном случае число неизвестных превышает число уравнений. Избавляемся от этой проблемы наложением следующих условий:
г>0 = 5Уз, в> 1, р = к/а2К2, к> 0. (38)
Из системы уравнений (34)-(37) при условиях (38) следует следующее уравнение для определения масштабного фактора:
2 й(сБ - й)КК + (3с2 -й2 - 2сйБ)К2 = с2(4а2(1 + к) + 2сйБ + с2 - 3й2)/4а4. (39)
Если ев = й, то найдутся такие с и й, что решение уравнения (39) даётся соотношением
К = К ' (40)
где
4
4a2(l + k) + 2cdS + с2 - 3d2 R -(3с2 -d2 - 2сdS)4a4-. (41)
ми:
Эволюция параметров материи даётся условием (39) и следующими уравнения-
_ (d2 - с2)(с2 + 4a4R2) Р _ 4a4c2R2t2 , (42)
v3 _ const, (43)
„ _ d(c2 + 4a4R20) (44)
P 2Sv2a4cR2t2 , (44)
_ 4a4(3d2S - c2S - 2cd)R20 + c2(2cd + d2S - 4a2S - 3c2S)4a * _ 4a4c2R2t2 . (45)
Рассмотрим ситуацию, когда вместо условия (38) выполняется ц _ a/R2, а > 0. В этом случае вместо (34)—(37) следует, что
R2 - RR _ L, (46)
acS v2 с2
L _ OST - 40*. (47)
Решение уравнения (47) даётся интегралом f d R/\/L + DR2 _ J di, где D — постоянная. Рассмотрим, как меняется решение уравнения (47) в зависимости от знаков D и L. Отметим, что L и D не могут быть одновременно отрицательными. Если L> 0, D > 0, то R _ R0 sh(Ht), где H _ /D, Ro _ л/L/D.
_ с2 (3d2 - 4 a2 - с2 - 2 с dS) + 4 a4 (3 с2 - d2 - 2с DS)H 2R20 ch2(Ht) P _ 4a4c2R2 sh2(Ht) +
8 a4 (сS - d)dH2R20 sh2(Ht) + , ( )
_(d2 - c2)(c2 + 4a4R0H2(ch2(Ht) + 2sh2(Ht)) P_ ^ , (49)
c2(-2cd + 4а2Б + 3с2Б - ^Б) + 4а4^2Б - с2Б - 2сй)Н2К20 еЬ2(Я£)
'К ——--+
4а4с2БК2 бЪ2(Ш)
8а4((I - сБ)(1Н2К2 8Ь2(Я£) + 4а4с2Щ вЬ2(Я^) ( ^
при г р ^ 3(с2 - д2)Н2/с2, к0 ^ 0, р ^ 3(й2 - с2)Н2/с2, ж ^ 3(й2 - с2)Н2/с2,
р ^ 0, т. е. анизотропная жидкость в рассматриваемом случае вакуумоподобна и асимптотически изотропизируется.
Если же Ь < 0, Б> 0, то Я = Я0 еЬ(Я^), где Н = До = у/-Ь/Б.
_ с2(3(12 - 4а2 - с2 - 2с(1Б) + 4а4 (3с2 - А2 - 2сРБ)Н2К20 8Ь2(Я£) Р = 4а4с2К2 еЪ2(Ш) +
8а4(сБ - (1)(1Н2К2 еЬ2(Я£) + 4а4с2К2 еЬ2 (Ш) ' ( ^
(.d2 - с2)(с2 + 4a4R20H2(sh2(Ht) + 2ch2(Ht)) 4a4c2R20 ch2 (Ht) :
4a4(3d2S - c2S - 2cd)H2R2 sh2(Ht) + 8a4c(d - cS)H2R20 ch2(Ht)
(52)
к =---'--0--—'----'--0--—-+
4a4 c2 R2 sh2(Ht)
c2(-2cd + 4a2S + 3c2S - d2S)
+ ' ( )
Асимптотическое поведение плотностей и давлений останется таким же, как и в предыдущем случае, стоит лишь отметить, что именно эта модель позволяет корректно моделировать предельный переход в силу соотношения (47).
Если L = 0, D > 0, то R = RoeHt, где Н = л/D. В данном случае для параметров материи также выполняются соотношения, аналогичные (51)—(53) при замене гиперболических функций экспонентой.
В случае L> 0, D < 0 R = Л0 sin(#i), где Н = V-D, Л0 = yJ-L/D. При этом с2 (3d2 - 4а2 - с2 - 2cdS) + 4а4 (3с2 - d2 - 2cDS)H2R20 cos2(Ht)
P
4a4c2R20 sin2^i)
8a4(cS - d)dH2R20 sin2(Ht)_
4a4c2R20 sin2(Ht)
(d2 - c2)(c2 + 4a4R2H2 (1 - 3 sin2(Ht)) 4a4c2R20 sin2 (Hi)
(55)
P
P
c2(-2cd + 4a2S + 3c2S - d2S) + 4a4(3d2S - c2S - 2cd)H2R20 cos2(Ht) ж =-
4a4c2R20 sin2 (Hi)
8a4c(d - cS)H2Rl sin2(Ht)
" = Щ Дш), (57)
т. е. эта космологическая модель является осциллирующей.
Качественное рассмотрение первой стадии инфляции при расширении Вселенной от планковского масштаба до современного размера наблюдаемой Вселенной 1028см, как и в работе [10], даёт в настоящее время угловую скорость вращения, равную по порядку 10-11 рад/год, что совпадает с оценками [11,12]. Параметры тёмной энергии — расширение д, ускорение А и параметр вращения ш — даются следующими формулами:
д = 311 /К, (58)
А = Я/сК, (59)
ш = й/2а2К. (60)
Помимо ситуаций, рассмотренных выше, возможен ещё и случай особого решения при условии Ь > 0, с точностью до значения К описывающийся формулой (40). Эволюция плотностей и давлений такой модели имеет вид, аналогичный (42)—(45).
3.2. Статическое решение
Наконец, отметим особое решение уравнения (46), соответствующее ситуации L = 0, а именно R = const. Для данного статического решения имеют место следующие значения плотностей и давлений, обладающие физическим смыслом при всех
d / [(с5 - ^c2(S2 + 3)+4а2)/3; (cS + ^c2(S2 + 3) + 4а2)/3]:
3d2 - 4а2 - с2 - 2сdS Р=-40-R2-' (61)
p=(d2 - с") (62)
Р= 4a4R2 ' (62) -2 с d + 4 а2 S + 3 с2 S -d2S
* =-404SR2-' (63)
Ц = R2. (64)
Во всех случаях данная статическая модель является причинной, если а2 > c2-d2 при условии |с| > |d|.
4. Заключение
В рассмотренных космологических моделях с двумя типами источников найдены стационарные и нестационарные решения. Обнаружены условия, при которых модели причинны, а также становятся асимптотически изотропными. Модели предсказывают согласующийся с экспериментами порядок угловой скорости вращения Вселенной в современную эпоху.
Литература
1. Land K., Magueijo J. Examination of Evidence for a Preferred Axis in the Cosmic Radiation Anisotropy // Physical Review Letters. — 2005. — Vol. 95. — Pp. 071301071304.
2. Payez A, Cudell J. R., Hutsemekers D. New Polarimetric Constraints on Axion-Like Particles // Journal of Cosmology and Astroparticle Physics. — 2012. — Vol. 2012, No 07. — P. 041.
3. Liddle A. R., Cortes M. Cosmic Microwave Background Anomalies in an Open Universe // Physical Review Letters. — 2013. — Vol. 111. — P. 111302.
4. Панов В. Ф. Вращающиеся космологические модели типа VIII по Бьянки // Известия Вузов. Физика. — 1989. — № 5. — С. 98-103.
5. Bradley G. M., Sviestins E. Some Rotating, Time-Dependent Bianchi Type VIII Cosmologies with Heat Flow // GRG. — 1984. — Vol. 16, No 12. — Pp. 1119-1133.
6. Kuvshinova E. V., Pavelkin V. N., Panov V. F. Bianchi Type VIII Cosmologi-cal Models with Rotating Dark Energy // Gravitation and Cosmology. — 2014. — Vol. 20, No 1. — Pp. 141-143.
7. Бобровских Е. И., Панов В. Ф. Нестационарные космологические модели с вращением типа II по Бьянки // Известия Вузов. Физика. — 2012. — Т. 55, № 4. — С. 113-114.
8. Панов В. Ф., Сандакова О. В. Космологические модели типа IX по Бьянки // Известия Вузов. Физика. — 2011. — Т. 54, № 3. — С. 82-85.
9. Maitra S. C. Stationary Dust — Filled Cosmological Solution with Л = 0 and without Closed Timelike Lines // Journal of Mathematical Physics. — 1966. — Vol. 7, No 6. — Pp. 1025-1030.
10. Янишевский Д. М. Космологические модели с вращением типа VIII по Бьянки с анизотропной жидкостью, скалярным полем и излучением // Вестник Российского университета дружбы народов. Серия: Математика, информатика, физика. — 2017. — Т. 25, № 2. — С. 192-198.
11. Кречет В. Г. Современные космологические данные и вращение вселенной // Известия Вузов. Физика. — 2005. — Т. 48, № 3. — С. 3-6.
12. Kuvshinova E. V., Panov V. F., Sandakova O. V. Rotating Nonstationary Cosmo-logical Models and Astrophysical Observations // Gravitation and Cosmology. — 2014. — Vol. 20, No 2. — Pp. 138-140.
UDC 530.12:531.551
DOI: 10.22363/2312-9735-2017-25-4-380-389
Rotating Cosmological Bianchi Type VIII Models with Fluid Sources
D. M. Yanishevskiy
Department of Higher Mathematics Perm State University 15, Bukireva St., Perm,, 614990, Russian Federation
Within the general theory of relativity the Bianchi type VIII cosmological models with rotation and expansion have been built. The first case includes a field of radiation, the second one — a perfect fluid with dust-like equation of state. Perfect anisotropic fluid imitates the rotating dark energy. Static and dynamic cosmological modes have been observed, at the same time the equations of state are partly postulated in the first case for the anisotropic fluid and in the second case — for the perfect isotropic fluid, that imitates baryon matter. The analysis of absence of closed time-like curves has been done, so the models have been proved to be casual when the metric parameters satisfy the found conditions. Also the conditions, when the anisotropic fluid's equation of state becomes vacuum-like, the energy of the fluid dominates and it becomes asymptotically isotropic, have been cleared out. Specialities of the oscillating mode have been observed. The order of present angular velocity value, calculated within the cosmological models, has been found to be quite satisfactory when expanding from the Plank
scale to the present size of observed part of the Universe. The found solutions may be used for effects taking place nowadays and also during the inflationary stage.
Key words and phrases: cosmological expansion, dust-like equation of state, anisotropy of the Universe, accelerated expansion, type VIII Bianchi metric
References
1. K. Land, J. Magueijo, Examination of Evidence for a Preferred Axis in the Cosmic Radiation Anisotropy, Physical Review Letters 95 (2005) 071301-071304.
2. A. Payez, J. R. Cudell, D. Hutsemekers, New Polarimetric Constraints on Axion-Like Particles, Journal of Cosmology and Astroparticle Physics 2012 (07) (2012) 041.
3. A. R. Liddle, M. Cortes, Cosmic Microwave Background Anomalies in an Open Universe, Physical Review Letters 111 (2013) 111302.
4. G. M. Bradley, E. Sviestins, Some Rotating, Time-Dependent Bianchi Type VIII Cosmologies with Heat Flow, GRG 16 (12) (1984) 1119-1133.
5. E. V. Kuvshinova, V. N. Pavelkin, V. F. Panov, Bianchi Type VIII Cosmological Models with Rotating Dark Energy, Gravitation and Cosmology 20 (1) (2014) 141143.
6. E. I. Bobrovskikh, V. F. Panov, Unstationary Bianchi Type II Cosmological Models with Rotation, Russian Physics Journal 55 (4) (2012) 113-114.
7. V. F. Panov, O. V. Sandakova, Bianchi Type IX Cosmological Models, Russian Physics Journal 54 (3) (2011) 82-85.
8. S. C. Maitra, Stationary Dust-Filled Cosmological Solution with Л = 0 and without Closed Timelike Lines, Journal of Mathematical Physics 7 (6) (1966) 1025-1030.
9. D. M. Yanishevskiy, Rotating Bianchi Type VIII Cosmological Models with Anisotropic Fluid, Scalar Field and Radiation, RUDN Journal of Mathematics, Information Science and Physics 25 (2) (2017) 192-198.
10. V. G. Krechet, Modern Cosmological Data and Rotation of the Universe, Russian Physics Journal 48 (3) (2005) 219-223.
11. E. Kuvshinova, V. F. Panov, O. V. Sandakova, Rotating Nonstationary Cosmological Models and Astrophysical Observations, Rotating Nonstationary Cosmological Models and Astrophysical observations 20 (2) (2014) 138-140.
© Янишевский Д.М., 2017
Для цитирования:
Янишевский Д. М. Космологические модели с вращением типа VIII по Бьянки с источниками-жидкостями // Вестник Российского университета дружбы народов. Серия: Математика. Информатика. Физика. — 2017. — Т. 25, № 4. — С. 380-389. — DOI: 10.22363/2312-9735-2017-25-4-380-389.
For citation:
Yanishevskiy D.M. Rotating Cosmological Bianchi Type VIII Models with Fluid Sources, RUDN Journal of Mathematics, Information Sciences and Physics 25 (4) (2017) 380-389. DOI: 10.22363/2312-9735-2017-25-4-380-389. In Russian.
Сведения об авторах:
Янишевский Даниил Михайлович — соискатель кафедры высшей математики ПГНИУ (e-mail: [email protected], тел.: +7 (922) 6465325)
Information about the authors:
Yanishevskiy D. M. — applicant of the Department of Higher Mathematics of Perm State University (e-mail: [email protected], phone: +7 (922) 6465325)
