CC BY
93
Изотопические эффекты в динамике спинов Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2010, № 5 (2), с. 330-334
УДК 537.9
СПИНОВАЯ ДИФФУЗИЯ И РЕЛАКСАЦИЯ ЭЛЕКТРОНОВ ПРОВОДИМОСТИ В КРЕМНИИ
© 2010 г. Д.В. Гусейнов, А.А. Ежевский, А.В. Сухорукое, С.А. Попков
Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского
guseinov@phys .unn.ru
Поступила в редакцию 26.05.2010
Рассматриваются процессы спиновой диффузии и релаксации электронов проводимости в кремнии. Приведены экспериментальные данные, полученные методом электронного парамагнитного резонанса для образцов кремния, легированных литием и фосфором. Проведено сопоставление данных эксперимента и теории Эллиотта-Яфета. Обсуждаются трудности теории спиновой релаксации и различные возможности улучшения согласия с экспериментом. Рассмотрено влияние размеров образца на длину спиновой диффузии и изменение £-фактора электронов проводимости.
Ключевые слова: электроны проводимости, кремний, литий, фосфор, спиновая диффузия, электронный парамагнитный резонанс, спиновая релаксация, спин-орбитальное взаимодействие, электронный £-фактор.
Введение
В последнее десятилетие наблюдается большой интерес к исследованию транспорта и релаксации спинов электронов проводимости в полупроводниках, что связано с развитием спинтроники и разработкой приборов на спиновых эффектах. Важнейшим параметром, во многом определяющим архитектуру и размеры спиновых приборов, является длина спиновой
диффузии, которая определяется как I = л]~ОТ\ ,
где Б - коэффициент диффузии, а Т - время спиновой релаксации. Используя соотношение Эйнштейна Б = , можно записать
I =
укТ
т - скорость релаксации импульса, а дg - отклонение ^-фактора от значения для свободного электрона 2.0023 за счет спин-орбитального взаимодействия. В ходе последовательного рассмотрения описанного механизма Яфет уточнил теорию Эллиотта и получил следующее выражение для скорости релаксации в кремнии:
5
1
Ті
2В
2
3/2*. 2
п при
п
2
(і)
Т . Поскольку подвижность ц может
быть легко рассчитана с хорошей точностью, очевидно, что расчет длины спиновой диффузии сводится к определению времени спиновой релаксации.
Впервые длины диффузии для кремния были рассчитаны в работе [1]. Время спиновой релаксации Т1 рассматривалось в рамках теории, разработанной Эллиоттом и Яфетом. Согласно [2, 3] наличие спин-орбитального взаимодействия ионов кристаллической решетки со спином электрона проводимости обеспечивает эффективный механизм спиновой релаксации при рассеянии импульса электрона на примеси и фононах. Для скорости спиновой релаксации Эллиотт получил выражение Т1-1~т-1§^2, где
где В ~ Сaдg (С - деформационный потенциал, а -параметр решетки), т - эффективная масса электрона, р - плотность кристалла, и - скорость звука.
При выводе выражения (1) Яфет рассматри--1
вал скорость т релаксации импульса электрона при рассеянии только на акустических фононах, что оправдано только при малых концентрациях примеси, и при температурах ниже комнатной:
3
і
2С
2
ґ 2т* кТ^2
3/2 2
п при
п2
(2)
V “ У механизмов
рассеяния
Для учета других сначала запишем выражение (1) через время релаксации импульса:
і і 2 с
— = — а с Т т
2 2т кТ
2
т = -
Далее,
*
]хт
1 , ,Г (3)
с помощью известного соотношения
(ц - подвижность, е - заряд электрона),
выражение (і) можно записать через подвижность:
е
е
т
е
Рис. 1. Зависимость скорости спиновой релаксации от температуры для образца кремния, легированного литием на уровне 1016 см-3. Показаны также расчетные зависимости по теории Эллиотта-Яфета, с учетом и без учета примеси
Рис. 2. Зависимость скорости спиновой релаксации от температуры для образца кремния, легированного литием на уровне 1018 см-3. Показаны также расчетные зависимости по теории Эллиотта-Яфета, с учетом и без учета влияния примеси
і 2с 2 2кТ — = еа 8g —2 . (4)
Ті цл
Для подвижности известны полуэмпириче-ские формулы, в которых учтены механизмы рассеяния на фононах и примеси и которые адекватно описывают кремниевые структуры [і]. Таким образом, в выражении (4) через подвижность учитывается влияние рассеяния на примеси на скорость спиновой релаксации.
Отклонение g-фактора от значения для свободного электрона 8g обусловлено величиной спин-орбитального взаимодействия и в теории Яфета выражается в виде:
Sg'
тЕп
А
V А + Ео у
(5)
где Р - межзонный матричный элемент импульса, Ев - ширина запрещенной зоны, А - величина спин-орбитального расщепления. Однако выражение (5) не объясняет температурную
зависимость 8g. Поэтому для корректного сопоставления рассчитанных и экспериментальных скоростей релаксации желательно использовать зависимости 8g от температуры, полученные из эксперимента.
Результаты и их обсуждение
В настоящей работе исследовались процессы релаксации спинов электронов проводимости в монокристаллах кремния, легированных литием
/1 а16 л л18 -3\
(10 , 10 см ), а также в порошке кремния, легированного фосфором (8-1016 см-3), методом ЭПР. Измерения спектров спинового резонанса электронов проводимости проводились на ЭПР-спектрометре Вгикег ЕМХ.
На рис. 1 представлены экспериментальные и теоретические зависимости скорости спиновой релаксации от температуры для образца кремния, легированного литием на уровне 1016 см-3. Видно что, теория Эллиотта-Яфета
12Е -
Ж ■ 9В
\ «С-
22-
а) &Ї
* УК?прр * 1WP
| I вор л ИЗШІВВ
г ...............................♦
Ї"
1- 4 -
- % -
1 -1 -
10" 1ZE 110 USD 10U 102 150 220 250 300
Т, К Т, К
Рис. 3. Зависимость длины спиновой диффузии электронов проводимости от температуры для образцов кремния, легированного литием: а) 1016 см-3, б) 1018 см-3
дает заниженные значения скорости релаксации, несмотря на проведенные нами уточнения, за счет учета рассеяния на примеси и экспериментальной зависимости 8g. Одной из возможных причин указанного расхождения может быть значение коэффициента пропорциональности В ~ Сa8g. Величина В в формуле (і) представляет собой коэффициент матричного элемента спин-фононного взаимодействия
Мк,і;к’,ї=В\к’-к\2, который определяет вероятность переворота спина при спин-решеточном взаимодействии. Величина В ~ Сa8g представляет собой грубую оценку величины матричного элемента. К тому же, как уже отмечалось выше, поскольку Яфет рассматривал только взаимодействие с акустическими фононами, в матричном элементе Мк^;к’^ не учтены взаимодействия электронного спина с примесью. Очевидно, что проведенный нами учет рассеяния на примеси можно рассматривать лишь в качестве грубого приближения, которое, однако, наглядно демонстрирует необходимость учета примеси. Это подтверждается зависимостями на рис. 2, полученными для образца с большей концентрацией примеси лития і0і8 см-3, где влияние примеси на рассеяние электронов становится более сильным и учет его приводит к существенному изменению расчетных зависимостей.
Путем несложных преобразований в рамках теории Эллиотта-Яфета можно получить выражение для расчета длины спиновой диффузии: цП
l=
л/2eaSg
На рисунке 3 представлены зависимости длины спиновой диффузии от температуры, определенные с помощью выражения (6) и экс-
периментальных значений скорости спиновой релаксации. Выражение (6) отличается от формулы, приведенной в работе [1]. Как показал анализ, авторы данной работы при выводе выражения для длины спиновой диффузии в кремнии использовали выражение для скорости спиновой релаксации, которое не применимо к кремнию (в работе [3] обсуждаются особенности скорости спиновой релаксации в кремнии), и получили существенно завышенные значения.
(6)
S
t;
с
S
<
Рис. 4. Зависимости g-фактора электронов проводимости для порошка и объемного кристалла кремния, легированного мышьяком
В тонких пленках и порошках могут проявляться размерные эффекты. Нами были исследованы процессы спиновой релаксации электронов проводимости в порошке кремния, легированного фосфором (рис. 4). Наблюдаемое на рис. 4 смещение g-фактора при переходе от монокристалла к порошку связано с ограничением длины спиновой диффузии за счет рассеяния на границах зерен порошка. Изменение g-факгора, обусловленное взаимодействием электрона с примесью, можно представить в виде произведения:
Экспер.
•Теор. (фон.+прим.+гр.)
Теор.(фон.)
•Теор. (фон.+прим.)
Т, К
Рис. 5. Зависимость скорости спиновой релаксации от температуры для порошка кремния, легированного фосфором на уровне 8-1016 см-3. Показаны также расчетные зависимости по теории Эллиотта-Яфета, с учетом и без учета влияния примеси и рассеяния на границе. Размер зерна порошка при учете рассеяния на границе - 5 мкм
= 5
Д
SO
ДЕ.
d
l1/2 ■ Nd 1/6,
(7)
где первый множитель это элементарное приращение ^-фактора при взаимодействии электрона с одним атомом примеси, I - длина спиновой диффузии, N - концентрация примеси. Из выражения (7) видно, что чем меньше длина спиновой диффузии, тем с меньшим числом атомов примеси взаимодействует электрон и тем меньше смещение ^-фактора. Очевидно, такие эффекты проявляются только в том случае, когда длина спиновой диффузии превышает толщину пленки или размер зерна порошка, и тогда при расчете скорости спиновой релаксации необходимо учитывать рассеяние импульса электрона на границах. С помощью (6) можно рассчитать длину диффузии, зная подвижность и отклонение 5^. В первом приближении можно ограничить длину спиновой диффузии размерами пленки или размером зерна и рассчитать усредненную длину до границы для электронов, равномерно распределенных в пленке или в зерне порошка. При этом длина для каждого электрона ограничена сверху величиной длины спиновой диффузии при рассеянии только на примеси и фононах. Далее для новой длины спиновой диффузии с помощью обратного преобразования можно определить скорость спиновой релаксации. Таким образом, можно получить оценку верхнего предела для величины скорости спиновой релаксации при учете рассеяния на границе (рис. 5). Из рис. 5 видно, что учет рассеяния на примеси и на границах существенно влияет на расчетные кривые, и хотя это позволяет получить количественное соответствие по порядку величины расчетных и экспериментальных значений скорости спиновой релаксации, показатель степени в рассчитанных зависимостях 7-1(7) не согласуется с экспери-
ментальными данными. По-видимому, это связано с неучтенным междолинным рассеянием электронов за счет процессов переброса [4], а также со сложной природой рассеяния на границах зерен порошка.
Заключение
В работе исследовались процессы спиновой релаксации электронов проводимости в кремнии, которые непосредственно связаны с важнейшим параметром полупроводника для спин-троники - длиной спиновой диффузии. В рамках известных теорий рассматривались различные факторы, влияющие на релаксацию спинов. Проведено сопоставление результатов теории с экспериментальными данными. Показано, что для корректного расчета скоростей релаксации и длин спиновой диффузии необходимо учитывать рассеяние электронов на примесях, особенно при высоких концентрациях последних. Для структур, обладающих размерами, сравнимыми с длинами спиновой диффузии, необходимо также учитывать граничные эффекты.
Работа выполнена при поддержке РФФИ: грант 08-02-00964, РНП: проект № 2.1.1/1634, ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России», а также проекта CRDF (BRHE Y5-P-01-02).
Список литературы
1. Xu Y.B., Thompson S.M. // Spintronic materials and technology. New York: Taylor and Francis group, 2007.
2. Elliott R.J. // Phys. Rev. 1954. Vol. 96. No. 2. P. 266.
3. Yafet Y. // Solid State Physics. Vol. 14 / Edited by F. Seitz and D. Turnbull. New York: Academic Press, 1963. P. 2.
4. Lancaster G., Wyk J.A.Van, Schneiders E.E. // Proc. Phys. Soc. 1964. Vol. 84.
SPIN DIFFUSION AND RELAXATION OF CONDUCTION ELECTRONS IN SILICON D. V. Guseinov, A.A. Ezhevskii, A. V. Sukhorukov, S.A. Popkov
The processes of spin diffusion and relaxation of conduction electrons in silicon are considered. The experimental data obtained by the electron paramagnetic resonance technique for silicon samples doped by lithium and phosphorus are presented. The experimental results are compared with the Elliott-Yafet theory. The problems of spin relaxation theory and different opportunities for improving the agreement with the experiment are discussed. The influence of sample size on the spin diffusion length and the shift of the conduction electron g-factor are considered.
Keywords: conduction electrons, silicon, lithium, phosphor, spin diffusion, electron paramagnetic resonance, spin relaxation, spin-orbit interaction, electron g-factor.
