Специальный вариант метода моментов для интегральных уравнений Фредгольма второго рода Текст научной статьи по специальности «Математика»

Наука к Образование

МГТУ им. Н.Э. Баумана

Сетевое научное издание

Наука и Образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2015. № 08. С. 128-136.

DOI: 10.7463/0815.0800424

Представлена в редакцию: Исправлена:

© МГТУ им. Н.Э. Баумана

30.04.2015 22.05.2015

УДК 517.968.21

Специальный вариант метода моментов для интегральных уравнений Фредгольма второго рода

Соловьева С. А.1' * 1 еуа_Ба@таДлги

1Набережночелнинский институт Казанского федерального университета, Набережные Челны, Россия

В предлагаемой заметке исследовано линейное интегральное уравнение Фредгольма второго рода. Для приближенного решения в пространстве гладких функций предложен и теоретически обоснован новый вариант метода моментов. Полученная в статье оценка хорошо согласуется с оценкой для обычного метода моментов для уравнений второго рода в пространстве непрерывных функций. Разработанный метод устойчив относительно малых возмущений исходных данных. Если уравнение второго рода хорошо обусловлено, то приближенное уравнение также хорошо обусловлено. Показано, что построенный метод является оптимальным по порядку точности среди всех полиномиальных проекционных методов решения интегральных уравнений Фредгольма второго рода в пространстве гладких функций.

Ключевые слова: интегральное уравнение Фредгольма второго рода, приближенное решение, метод моментов, теоретическое обоснование

Введение

Рассмотрим линейное интегральное уравнение второго рода (УВР)

(Ax)(t) = x(t) + (Kx)(t) = y(t) (t e I = [0,1]), (1)

i

где (Kx)(t) = JK(t,s)x(s)ds, K(t,s) e C(m)(12), y(t) e C(m)(I) - известные функции, а x(t) e

0

C(m)( I) - искомая функция.

Уравнения Фредгольма второго рода возникают во многих областях современной математики и ее приложений. В качестве иллюстрации можно привести работы [1]-[5] и многие другие.

Теория точных и приближенных методов решения УВР достаточно хорошо разработана. Полученные результаты можно найти, например, в справочных пособиях Иванова В.В., Верланя А.Ф. и Сизикова В.С.

Однако установлено [6], что по норме пространства непрерывно дифференцируемых функций классические проекционные методы дают более низкую точность приближения, чем по норме пространства непрерывных функций. В работе [7] дано обоснование специального варианта метода коллокации решения уравнений вида (1) в указанном пространстве, и установлена его неулучшаемость по порядку. В статье [8] предложенные идеи применены для разработки варианта метода коллокации, основанного на интерполяционных многочленах Эрмита-Фейера.

В данной заметке разработан и теоретически обоснован в смысле [9, гл. 1] специальный вариант метода моментов решения уравнения (1) в пространстве гладких функций, при этом были использованы результаты и методы работ [7]-[8], [10]—[13]. Более того, установлено, что построенный метод является оптимальным по порядку среди всевозможных полиномиальных прямых проекционных методов решения уравнения вида (1).

Структура работы следующая. В первой части введено используемое в дальнейших исследованиях функциональное пространство, построены элементы теории приближения в нем; во второй — разработан метод приближенного решения; наконец, третья часть посвящена вопросам оптимизации.

1. Основное пространство

Пусть С = С(1) — класс функций, непрерывных на отрезке I, с чебышевской нормой.

Через У = С(т) (т е ^^{0}) будем обозначать пространство функций, имеющих

непрерывную производную порядка т. Очевидно, что С(0) = С. Следуя [10], введем в этом пространстве норму

т-1

Ыт =1МС У(г)(0)| (У е У), (2)

1=0

где Эф = у{т)(г) (ф е У). При т = 0 считаем, что Оу = у и ||у||7 =||у||с . Известно (например, [10]), что функции из У имеют вид

т-1

у(г) = Ф(г) + Х с/ , (3)

г=0

1 г

где Ф(г) = (От ет (у еУ), Уф)(г) = --- Г (г - 5)т-1ф(^5 (ре С), п, = у«(0)/I!

(т -1)!;

(/ = 0, т -1). При т = 0 возьмем ^ = ф. Кроме того, У по норме (2) вложено в С и полно (например, [9]).

Если 0(г, 5) е У по переменной 5 равномерно относительно г, то будем писать, что в (г, 5) е У . Обозначим также через Н1 класс полиномов степени не выше I.

При обосновании специального варианта метода моментов важную роль будет играть

Лемма 1. Пусть в (г, 5) е У, п е Ж. Тогда найдется такая функция у (г, 5) = = у (г, 5; п) е у, что будет справедлива оценка

|(в - у)(г, 5)1 < еив) (г, 5 е I),

——1

где ^П-1 (в) = ЕП-1 (к) + Х Еп-1 (& ), к (г,5) = (Дв)(г,5), &(г) = в^О) (/ = 0,— —1), Е^)

г=0

- наилучшее равномерное приближение непрерывной функции р(г) многочленами степени не выше п — 1 (п > 1) .

Доказательство. В силу (3) имеем

-—1

в (г, 5) = 5) + Х (г) 5г //I. (4)

/=0

Далее, пусть к\_х (г, 5) и (г) - алгебраические многочлены степени п — 1 наилучшего

равномерного приближения для функций к (г, 5) (по аргументу г) и ^ (п) (/ = 0, — — 1) соответственно. Рассмотрим функцию

——1

у (г, 5) = (ЛС1)(п, 5) + X —1 (г) 5п / /1 е И1——1. (5)

/=0

Тогда из (4) и (5) следует требуемая оценка:

|(в — у)(г, 5)1 =

1 П ——1 -—-1 (п — 5)——1(к(г, 5) — к^г, 5))^5 + Х (Е (п )—Е—х( п Ж / /1

(— —1)1 0 7=0

<

< Еп—1 (к) + Х Еп—1 (Е,).

/=0

Пусть линейный оператор = : У ^ #„+„,_! определен по правилу

——1

(ЕМ п ) = (яду)(г) + X У(п) (0)Пп / п I, (6)

/=0

где Е : ^ ^ - отображение Фурье по системе смещенных многочленов Чебышева первого рода

Т (г) = - соб (у агссоБ (2г — 1)) (у = 1,п — 1), Т0(г) = , (7)

система Т. (г) (у = 0, п — 1) ортонормированна на отрезке I по весу

Р (г) = 1(г — г2)—12 . (8)

Справедлива следующая Лемма 2. Если у е У, то

а) (К°) = ;

б) ^ 1п п (п — 1е Ж);

——1

в) ||у - Рп°у\1 = 0(Еп_1(Цу)1п п ) (у е 7);

г) Еп+т (у) = Еп (Ву),

где символ ^ означает слабую эквивалентность.

Доказательство аналогично доказательству соответствующих результатов в [10]— [12], при этом существенно используются соотношения (2), (3) и (6).

2. Обобщенный метод моментов

Пусть исходные данные в УВР (1) удовлетворяют условиям

ВК)(г,s) е С(/2), у е 7, (9)

а х е 7 - искомая функция вида (3).

Решение х* = А-у уравнения (1) приближаем многочленом

т-1 п-1

хп(г) = (-1гп)(г) + , zn(г) = £е/ (п е М). (10)

1=0 1=0

Очевидно, что хп (г) е Нп+т_ 1. В соответствии с предлагаемым методом неизвестные

параметры е. (1 = 0, п + т -1) находим из системы линейных алгебраических уравнений

г 1 _

\р(г)(ВАхп - Ву)(г(г)йг = 0 (к = );

о (11)

(АХп - у)°)(0) = 0 (1 = 0,т -1). Проведем обоснование вычислительной схемы (1), (9)—(11)

Теорема 1. Пусть ядро интегрального оператора А уравнения (1) тривиально, а функции И(г, s) = ()(г, = (В^К)(г, s), gI (г) = (ВгК)^°(г,0) и (Ву)(г) принадлежат классу Дини-Липшица. Тогда найдется такой номер М, что при п > N приближенные решения х;( г), построенные на основе условий (10), (11), существуют, единственны и

сходятся к точному решению х* (г) уравнения (1) по норме пространства 7, причем

т-1 Л ]

ЕЯ_1(Н) + ^ Еп_^) + Еп_х{ Ву) 1п п I. (12)

1=0 у ]

Доказательство. Линейное интегральное уравнение (1) будем рассматривать как операторное уравнение вида

Ах = х + Кх = у (х, у е7). (13)

Обозначим через 7п с 7 класс Нп+т_г полиномов уп степени не выше п + т -1. Тогда система уравнений (10)—(11) эквивалентна операторному уравнению

Апхп = Е^Ахп = хп + Е^Кхп = ЕВ у (хп, Е^у е 7п). (14)

В самом деле, пусть х* — решение уравнения (14), т.е.

ЕВ (Ах;- у) = 0.

1х - х;ц 7 = 0

Отсюда в силу (6) получаем:

(Л^МАх* " У))( *) + X (Ах* - у)/ i! - 0

¿=0

или

Ах* - у))(*) - 0; (Ах* - у)« (0) = 0 (г = 0, т -1)

Для доказательства того, что система (15) преобразуется в операторное уравнение (14), необходимо провести те же самые выкладки, только в обратном порядке.

Покажем теперь, что операторы А и Ап близки на Уи. Учитывая (13), (14) и лемму 2,

для любого элемента хп е Уп получим

|А

Хп АпХ\1 =

Кхп - Еп°Кхп

ппп

= 0(Еп_хфКхп )1п п)

(16)

С целью оценки величины Еп_) (СКхп) построим функцию

Г Г т-1 I

(Чх„ )(*) = | у(Х, 8) хп (5) ¿8 =| у(Х, 8)(Л2п + £ €ш | у(Х, 8) 8 ¿8 , (17)

0 0 ¿=0 0 где у(г,8) взята на основании леммы 1. По виду у(Х,8) видно, что (¥хп)(г) е Ип+т-1. Теперь, используя (3), (17) и лемму 1, последовательно выводим

Еп_х(ВКхп) <|рКхпхп\\с = тах

-1 1

| (в - у) (г, 8) (ЛZn )(8) + X С |(в - у)(*, 8)8^8

¿=0 0

<

-1 Л

щ\с

V ¿=0 J

<<-1(в) |ИЛс+Х К1 = <-1(в)||

V

Следовательно, из (16) и (18) получим

х

п\\у '

,(п)_

-IА - Ап

= 0^

т-1 \

Е-Х(Л) + Х Еп-1( & ))| 1п

п)

(18)

(19)

¿=0

Поскольку функции И (г, 8) (по г) и (г) (¿' = 0, т -1) удовлетворяют условию Дини-Липшица, то на основании теоремы Джексона (например, [14, с. 86]) получим, что е(п) = о (1) (п ^ да). Поэтому из теоремы 7 [9, с.19] при всех п таких, что ди —1|А-1|| е(п) < 1, следует непрерывная обратимость операторов Ап: Уп ^ Уп и ограниченность по норме

обратных операторов:

кЦ < 1И(1 -дп)-1 (А-1:7„ ^у).

Правые части уравнений (13) и (14) в силу леммы 2 удовлетворяют условию

V«-

у - Еп°у = 0(Еп_,(Бу)\п п).

(20)

Теперь благодаря неравенствам (19), (20) и теореме Джексона (например, [14, с. 86]) из теоремы 7 [9, с.19] следуют утверждения теоремы 1 с оценкой (12).

т-1

У

1

0

т

V

Следствие 1. Пусть функции h (t, 5) (по t), g (t)(i = 0, m -1), (Dy)(t) r раз непрерывно дифференцируемы на I и производные h(r)(t, 5) (11 t), g(r)(t), (Dy)(r)(t) g Lipa (0 < a < 1) . Тогда в условиях теоремы 1 справедлива оценка

= O(nr-a lnn) ( r = 0,1,2,...).

* * x - x*

Для приложений может быть удобной

Теорема 2. Если УВР (1) обладает решением вида (3) при данной правой части у е У и приближающий оператор Лп = Е^Л имеет непрерывный обратный, то

погрешность приближенного решения х* е Уп для правой части уп = Е^у е Уп можно представить в виде

" ......" = О(Еи_1(/)1п п).

* * x* - x

Доказательство. Поскольку Лп = FBЛ, то в силу теоремы 5 [9, гл. 1] имеем

* *

x - x =

п Y

(Е-Л-п1ЕпиЛ)(х--Хп)г , (21)

где Е - единичный оператор в пространстве У, а хи - пока неизвестный элемент, который выберем так, чтобы правая часть равенства (21) была минимальной, а именно, возьмем хп е У такой, что

х* -х1 = тГ х* - /I = Е„,т ,(х*).

П\\у х тт ^ П П+ Ш-1\ /

" 1У )п еНп+ш-1" 1У

Тогда из (21) и леммы 2 следует доказываемое утверждение.

Следствие 2. Пусть в условиях теоремы 2 компонента z*n(t) решения х*(/) УВР (1) принадлежит классу Дини-Липшица. Тогда последовательность {х*^)} сходится к точному решению х* (^ по метрике пространства У.

Замечание. Так как Ж(0) = N, то при т = 0 уравнение (1) преобразуется в аналогичное уравнение в пространстве С, а предложенный в статье метод превращается в известный метод моментов, причем к^, s') = Кs), (Ву)^) = у^) и оценка (12) хорошо согласуется с известной оценкой [13] метода моментов решения уравнений второго рода в классе С.

В заключение данного пункта отметим следующие важные для приложений факты.

Теорема 3. В условиях теоремы 1 справедливы утверждения: обобщенный метод моментов для уравнения (1) устойчив относительно малых возмущений элементов системы (11); если уравнение (1) хорошо обусловлено, то аппроксимирующее уравнение (14) тоже хорошо обусловлено.

Доказательство следует из теорем 11, 13 [9, с. 23-25] с учетом того, что при выполнении условий теоремы 1 операторы, обратные к операторам Л , ограничены по норме в совокупности (хотя бы при достаточно больших п).

3. Оптимизация проекционных методов решения УВР

Пусть Y - банахово пространство, а Yn - его произвольное подпространство, dim Y = = N = N(n), причем N ^ да (n ^ да). Пусть Зи = {Ги} - совокупность линейных операторов Г : Y ^ Yn. Рассмотрим классы линейных операторных уравнений, каждое из которых имеет одно и только одно решение:

Ax = у (x, у е Y) , (22)

ГnAXn =ГпУ (Хп е X, Гп еЗп, n е N) . (23)

Пусть, далее, x* е Y и x* е Yn - соответственно решения уравнений (22) и (23), а

Ф = {f} - множество коэффициентов уравнения (22), которое порождает класс Y * = {x*}

искомых функций.

Следуя [9, с. 40], величину

VN(Ф) = inf inf К(Ф; Г;Уя), (24)

Xn ,Yn Г n n

где

V(Ф;Гп;Уя) - supV(f;Гп;Yn) = supllx* -x¡

* * I

n I

f еФ /еХ *" llX'

будем называть оптимальной оценкой погрешности всевозможных прямых проекционных методов (Ги g Зи) решения уравнения (22) на классе Ф.

Пусть существует пространство Y ° с Y размерности N(n) < да и операторы Гп0 : Y ^ Yn (Гп0 g 3n) , при которых

Vn(Ф) ^ V(Ф; r:;Yn0) (N ^да). (25)

Тогда метод (22)-(23) при Yn = Yn0, Гп = Гп0 называется оптимальным по порядку на классе Ф среди всевозможных прямых проекционных методов Гп (Ги g Зи ) решения уравнений (22) [9, с. 40]).

Рассмотрим оптимизацию на классе однозначно разрешимых (равномерно относительно K GФ) УВР (1) при K (t, s) (по t),

y(t) g Hm+r = { f g С(m+r)(I )| c( f(m+r); A ) < «(A)}, где a = «(A) - некоторый заданный

модуль непрерывности, r = 0,1,2,... Тогда имеем

X* = {x* g Y | Ax* = y; K (Й t), y g H^+r} = H^r (c > a) .

Пусть, далее, Y° = Hn+m_x, а Зи = 3(2) - семейство всех полиномиальных проекционных (Гп2 = Гп) операторов Гп : Y ^ Yп0, удовлетворяющих условию ||Г|\п-a(n х) = о(1) (п ^ да).

Теорема 4. Если Ф = Hm+r, Зп = 3(п2), то

^ (Ф) ^ N-a( N_1)ln N (N = п + m) (26)

и обобщенный метод моментов оптимален на классе Ф среди всевозможных полиномиальных прямых проекционных методов решения УВР (1).

Доказательство. В соответствии с результатами пунктов 1 и 2 обобщенный метод моментов порождает проекционный оператор Ги0= F^ : Y ^ Y°, причем в силу леммы 2

е . Далее, учитывая теорему 2 и теорему Джексона (например, [14, с. 86]), последовательно получим:

VN(Ф) < К(Ф; FnD; Y„0 ) = sup II/ -x± = O(En_,( z* ) Inn ) =

X*eH"*+'

о)

= O(n r c(n^) \n n ) = O(N-r c( NIn N) (F„DAx°0 = FnDy) . (27)

Для получения нижней оценки воспользуемся тем, что УВР (1) при K(t,s) = 0 принадлежит рассматриваемому классу однозначно разрешимых в пространстве Y уравнений. Имеем:

VN(Ф) > inf sup x -x* = inf sup y- F y =

Ю

= inf sup IDy - DF^J = f sup|| Dy - FnDy \\C, (28)

rneA yeH"+' C PnePn DyeH1^

где P(n2) = {Pn} - множество алгебраических полиномиальных операторов Pn: C ^ Hn-1,

удовлетворяющих условию Ри2 = р и обладающих свойством ||Ри||п г ю(п ^ 0 (п ^ да) . Из леммы 2 ясно, что Гп е З^-1 <=> Рп е Рп(2). Так как ([9, с. 171])

inf sup z - Pz\ > d,n r ю(1/ n)ln n, (29)

Pn GFn Z^Hr

то из (28) и (29) получаем нижнюю оценку

Vr (Ф) > d2 ю (1/N) ln N. (30)

Из соотношений (25), (27) и (30) следует утверждение теоремы с оценкой (26).

Следствие 3. Пусть Ф = H™+r (M) (0 < а < 1, r = 0,1,...). Тогда верна оценка

VN (Ф) ^ MN--а ln N (N = n + m), и этот оптимальный порядок реализует предложенный выше вариант метода моментов.

Заключение

В статье разработан специальный вариант метода моментов, приспособленный к решению интегральных уравнений Фредгольма второго рода в пространстве гладких функций. Кроме того, установлено, что рассмотренный метод является устойчивым относительно малых возмущений исходных данных и оптимальным по порядку точности среди всех полиномиальных прямых проекционных методов. Для теоретического обоснования был использован предложенный Габдулхаевым Б.Г. вариант общей теории приближенных методов анализа.

Полученные в работе оценки хорошо согласуются с известными результатами по решению уравнений второго рода в классе непрерывных функций.

Использованные идеи и методы могут быть применены при разработке ряда новых полиномиальных и сплайновых методов решения уравнения (1) в пространстве гладких функций.

Список литературы

1. Zhong X.-C., Huang Q.-A. Approximate Solution of Three-Point Boundary Value Problems for Second-Order Ordinary Differential Equations with Variable Coefficients // Applied Mathematics and Computation. 2014. Vol. 247, no. 11. Рр. 18-29. DOI: 10.1016/j.amc.2014.08.076

2. Широкова Е.А. О приближенном конформном отображении единичного круга на односвязную область // Известия высших учебных заведений. Математика. 2014. № 3. С. 57-67.

3. Александров В.М., Пожарский Д.А. Задачи о разрезах в составном упругом клине // Прикладная математика и механика. 2009. Т. 73, № 1. С. 143-149.

4. Крутицкий П.А., Прозоров К.В. Задача для уравнения диффузии вне разрезов на плоскости с заданием условия Дирихле и условия с косой производной на противоположных сторонах разрезов // Дифференциальные уравнения. 2012. Т. 48, № 9. С. 1219-1223.

5. Yilbas B.S., Al-Dweik A.Y., Mansoor S.B. Non-equilibrium Energy Transport in a Thin Metallic Film: Analytical Solution for Radiative Transport Equation // Physica B: Condensed Matter. 2014. Vol. 454, no. 12. P. 15-22. DOI: 10.1016/j.physb.2014.07.021

6. Габдулхаев Б.Г. Заметка об общей теории приближенных методов анализа // Учёные записки Казан. гос. ун-та. Т. 125, кн. 2. Функциональный анализ и теория функций, сб.

3. Казань: КГУ, 1965. С. 18-31.

7. Габбасов Н.С., Касакина И.П. К численному решению интегральных уравнений второго рода в классе гладких функций // Всероссийская научная конференция «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 26-28 мая 2004 г.): тр.

4. 3. Дифференциальные уравнения и краевые задачи. Самара: Изд-во СамГТУ, 2004. С. 48-51.

8. Соловьева С.А. К вопросу о решении интегральных уравнений Фредгольма второго рода // Научно-технический вестник Поволжья. 2014. № 1. С. 37-40.

9. Габдулхаев Б.Г. Оптимальные аппроксимации решений линейных задач. Казань: Изд-во КГУ, 1980. 232 с.

10. Габбасов Н.С. Коллокационный метод решения интегральных уравнений первого рода в классе обобщенных функций // Известия высших учебных заведений. Математика. 1993. № 2. С. 12-20.

11. Габбасов Н.С. К теории интегральных уравнений третьего рода // Дифференциальные уравнения. 1996. Т. 32, № 9. С. 1192-1201.

12. Габбасов Н.С., Соловьева С.А. Обобщенный метод моментов для одного класса интегральных уравнений третьего рода // Дифференциальные уравнения. 2006. Т. 42, № 10. С.1416-1423.

13. Габдулхаев Б.Г. Некоторые вопросы приближенных методов // Уч ёные записки Казан. гос. ун-та. Т. 128, кн. 5. Функциональный анализ и теория функций, сб. 5. Казань: КГУ, 1968. С. 20-29.

14. Даугавет И.К. Введение в теорию приближения функций. Л.: Изд-во ЛГУ, 1977. 184 с.

Science^Education

of the Bauman MSTU

Science and Education of the Bauman MSTU, 2015, no. 08, pp. 239-251.

DOI: 10.7463/0815.0800424

Received: 30.04.2015

Revised: 22.05.2015

ISS N 1994-0408 © Bauman Moscow State Technical Unversity

A Special Variant of the Moment Method for Fredholm Integral Equations of the Second Kind

S.A. Solov'eva1'* 'iolcAjeYa_5a:gmail-ru

1Kazan Federal University Naberezhnye Chelny Institute,

Naberezhnye Chelny, Russia

Keywords: Fredholm integral equation of the second kind, the approximate solution, moment method

, the the-oretical substantiation

We consider the linear Fredholm integral equation of the second kind, where the kernel and the free term are smooth functions. We find the unknown function in this class as well.

Exact and approximate methods for the solution of linear Fredholm integral equations of the second kind are well developed. However, classical methods do not take into account the structural properties of the kernel and the free term of equation.

In this paper we develop and justify a special variant of the moment method to solve this equation, which takes into account the differential properties of initial data. The proposed paper furthers studies of N.S Gabbasov, I.P. Kasakina, and S.A Solov'eva. We use approximation theory, version of the general theory of approximate methods of analysis that Gabdulkhayev B.G suggested, and methods of functional analysis to prove theorems. In addition, we use N.S. Gabbasov's ideas and methods in papers that are devoted to the Fredholm equations of the first kind, as well as N.S. Gabbasov and S.A Solov'eva's investigations on the Fredholm equations of the third kind in the space of distributions.

The first part of the paper provides a description of the basic function space and elements of the theory of approximation in it.

In the second part we propose and theoretically justify a generalized moment method. We have demonstrated that the improvement of differential properties of the initial data improves the approximation accuracy. Since, in practice, the approximate equations are solved, as a rule, only approximately, we prove the stability and causality of the proposed method. The resulting estimate of the paper is in good agreement with the estimate for the ordinary moment method for equations of the second kind in the space of continuous functions.

In the final section we have shown that a developed method is optimal in order of accuracy among all polynomial projection methods to solve Fredholm integral equations of the second kind in the space of smooth functions.

We recommend using a developed method in case when the initial data are continuously differentiable functions, and moreover, the accuracy of the approximate solution is necessary to estimate by the norm of the space of smooth functions.

Similarly, we can develop other polynomial and spline methods for the approximate solution.

References

1. Zhong X.-C., Huang Q.-A. Approximate Solution of Three-Point Boundary Value Problems for Second-Order Ordinary Differential Equations with Variable Coefficients. Applied Mathematics and Computation, 2014, vol. 247, no. 11, pp. 18-29. DOI: 10.1016/j.amc.2014.08.076

2. Shirokova E.A. On the Approximate Conformal Mapping of the Unit Disk on a Simply Connected Domain. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedenii. Matematika, 2014, no. 3, pp. 57-67. (English translation of journal: Russian Mathematics, 2014, vol. 58, no. 3, pp. 47-57. DOI: 10.3103/S1066369X14030050 ).

3. Aleksandrov V.M., Pozharskii D.A. Problems of Cuts in a Composite Elastic Wedge. Prikladnaya matematika i mekhanika, 2009, Vol. 73, no. 1, pp. 143-149. (English translation of journal: Journal of Applied mathematics and mechanics, 2009, Vol. 73, no. 1, pp. 103-108. DOI: 10.1016/j.jappmathmech.2009.03.003 ).

4. Krutitskii P.A., Prozorov K.V. Problem for the Diffusion Equation Outside Cuts on the Plane with the Dirichlet Condition and an Oblique Derivative Condition on Opposite Sides of the Cuts. Differentcial'nye uravneniya, 2012, vol. 48, no. 2, pp. 1219-1223. (English translation of journal: Differential Equations, 2012, vol. 48, no. 9, pp. 1197-1211. DOI: 10.1134/S0012266112090017 ).

5. Yilbas B.S., Al-Dweik A.Y., Mansoor S.B. Non-equilibrium Energy Transport in a Thin Metallic Film: Analytical Solution for Radiative Transport Equation. Physica B: Condensed Matter, 2014, vol. 454, no. 12, pp. 15-22. DOI: 10.1016/j.physb.2014.07.021

6. Gabdulkhayev B.G. A Note on the General Theory of Approximate Methods mr Analysis. Kazanskii Gosudarstvennyi Universitet. Uchenye Zapiski. Vol. 125, book 2. Functional analysis and theory offunctions, no. 3. Kazan, KSU Publ., 1965, pp. 18-31. (in Russian).

7. Gabbasov N.S., Kasakina I.P. K On the Numerical Solution of Integral Equations of the Second Kind in the Class of Smooth Functions. Vserossiiskaya nauchnaya konferentsiya "Matematicheskoye modelirovaniye i krayevye zadachi": tr. Ch. 3. Differentcial'nye uravneniya i kraevye zadachi [Proceedings of the All-Russian Science Conference on Mathematical Modeling and Boundary Problems. Pt. 3. Differential Equations and Boundary Value Problems]. Samara, SSTU Publ., 2004, pp. 48-51 (in Russian).

8. Solov'eva S.A. On the Solution of Fredholm Integral Equations of the Second Kind. Nauchno-tekhnicheskii vestnikPovolzh'ya = Scientific and Technical Volga region Bulletin, 2014, no. 1, pp. 37-40 (in Russian).

9. Gabdulkhayev B.G. Optimal'nye approksimatcii reshenii lineynykh zadach [Optimal approximations of solutions of linear problems]. Kazan, KSU Publ., 1980, 232 p. (in Russian).

10. Gabbasov N.S. The collocation method for solving integral equations of the first kind in the class of generalized functions. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedenii. Matematika, 1993, no. 2, pp. 12-20. (English translation of journal: Russian Mathematics, 1993, vol. 37, no. 3, pp. 10-18.).

11. Gabbasov N.S. A Note on the Theory of Linear Integral Equations of the Third Kind. Differentsial'nye uravneniya, 1996, vol. 32, no. 9, pp. 1192-1201. (English translation of journal: Differential Equations, 1996, vol. 32, no. 9, pp. 1194-1203.).

12. Gabbasov N.S., Solov'eva S.A. Generalized Moment Method for a Class of Integral Equations of the Third Kind. Differentsial'nye uravneniya, 2006, vol. 42, no. 10, pp. 1416-1223. (English translation of journal: Differential Equations, 2006, vol. 42, no. 10, pp. 1490-1498. DOI: 10.1134/S0012266106100132 ).

13. Gabdulkhayev B.G. Certain questions of approximate methods. Kazanskii Gosudarstvennyi Universitet. Uchenye Zapiski. Vol. 128, book 5. Functional analysis and theory of functions, no. 5. Kazan, KSU Publ., 1968, pp. 20-29. (in Russian).

14. Daugavet I.K. Vvedeniye v teoriyu priblizheniya funktcii [An Introduction to the theory of approximation of functions]. Leningrad, LSU Publ., 1977. 184 p. (in Russian).