Специальные методы решения задач с параметрами в подготовке школьников к итоговой аттестации по математике Текст научной статьи по специальности «Математика»

о

SCIENCE TIME

СПЕЦИАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ С ПАРАМЕТРАМИ В ПОДГОТОВКЕ ШКОЛЬНИКОВ К ИТОГОВОЙ АТТЕСТАЦИИ ПО МАТЕМАТИКЕ

Костюченко Роман Юрьевич, Омский государственный педагогический университет, г. Омск

E-mail: kryu@bk.ru

Гурова Алёна Андреевна, Омский государственный педагогический университет, г. Омск

о

E-mail: aleshka120791@mail.ru

Аннотация. Задачи с параметрами занимают важное место в математическом образовании школьников. Это связано с тем, что работа по поиску их решения, его исследованию и реализации качественно влияет на развитие мышления. В рамках подготовки учащихся к итоговой аттестации, вместе с общими методами решения задач с параметрами, следует выделить и рассмотреть применение основных специальных методов их решения. Эта идея реализуется в предлагаемой статье.

Ключевые слова: Обучение математике, задачи с параметрами, уравнения с параметрами, методы решения задач, итоговая аттестация школьников.

Задачи с параметрами играют важную роль в математической подготовке школьника. На сегодняшний день задачи с параметрами - неотъемлемая часть итоговой аттестации по математике. Появление таких задач на экзамене не случайно, так как с их помощью проверяется техника владения формулами элементарной математики, методами решения уравнений и неравенств, умение выстраивать логическую цепочку рассуждений, что в целом определяет уровень математической культуры выпускников. Примечательно является то, что для решения большинства задач с параметрами не требуется обладать знаниями, выходящими за рамки школьной программы. Но непривычность формулировки обычно ставит в тупик учащихся, не имеющих опыта решения подобных задач.

Задачи с параметрами предполагают не только умение производить

261

о

SCIENCE TIME

математические выкладки, но и понимание цели выполняемых действий. Для успешного решения таких задач необходимо понимать, какие именно случаи надо рассматривать, что приучает к внимательности и аккуратности. Задачи с параметрами требуют довольно тонких логических рассуждений, дают прекрасный материал для учебно-исследовательской работы.

По статистике многие из выпускников не приступают к решению задач с параметрами на ЕГЭ. По данным ФИПИ только 10% выпускников приступают к решению таких задач, и процент их верного решения невысок, всего 2-3% [1]. Поэтому приобретение навыков решения трудных, нестандартных заданий, в том числе задач с параметрами, учащимися школ по-прежнему остается актуальным. Их устное и письменное решение на уроке и дома, включение в промежуточный контроль становятся обязательными в успешной подготовке учащихся к прохождению итоговой аттестации по математике [2].

В разработке содержательного компонента методики обучения учащихся задач с параметрами, мы, как и в любой другой теме, стараемся классифицировать рассматриваемые задачи. Существуют различные классификации. Так, например, отдельно выделяют уравнения с параметрами, неравенства с параметрами, системы уравнений с параметрами, а также системы неравенств и смешанные системы с параметрами [3]. Также можно предложить разбить задачи с параметрами, а точнее уравнения, неравенства, их системы и совокупности на четыре типа: а) которые необходимо решить либо для любого значения параметра, либо для значений параметра, принадлежащих заранее оговоренному множеству; б) для которых требуется определить количество решений в зависимости от значения параметра; в) для которых требуется найти все те значения параметра, при которых указанные уравнения, неравенства, их системы и совокупности имеют заданное число решений; г) для которых при искомых значениях параметра множество решений удовлетворяет заданным условиям в области определения [4].

На наш взгляд, в обучении школьников решению задач с параметрами определяющей является классификация данных задач по методу решения. При этом выделяются два основных метода решения: аналитический и

графический [5]. Естественно, что такая классификация может быть соотнесена и с уровнем достижений, и с уровнем возможностей школьников в соответствии со ступенью образования. Между тем, специфика определенных задач с параметрами требует определенных рассуждений. Это предопределяет выделение группы специальных методов решения задач с параметрами. Выделим четыре наиболее часто встречающиеся, проиллюстрировав их соответствующими примерами.

1. В условии задачи есть требование найти значения параметра, при которых уравнение имеет единственный корень. При этом уравнение таково, что

262

-о

этот единственный корень однозначно определяется. Решение состоит в том, чтобы обоснованно найти значение этого корня; далее найти все значения параметра, для которых этот корень получается; затем проверить, будет ли уравнение при найденных значениях параметра иметь только один корень.

Пример 1. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых

уравнение х2 + 6? + 7]2 = lx - 7 - d + It + a + 7! имеет единственный корень.

Решение. Если х0 является корнем исходного уравнения, то можно заметить, что и -х0 является его корнем. Значит, исходное уравнение имеет единственный корень, только если х0 = -х0 , т.е. при х0 =0 . Подставим значение

х = 0 в исходное уравнение: (а + 7)2 =2|а + 7| • |а + 7|-(|а + 7|-2) = 0, откуда

\а + 7| = 0или|а + 7| = 2 . Решая эти уравнения, получим а--7 , а = -5 и а = -9.

: 7 а--5 и а = -9

Теперь проверим при каких значениях параметра а О исходное уравнение на самом деле имеет один корень.

о

При

-7 исходное уравнение примет вид

х = 2\х\

. Корнями этого

уравнения являются числа х = -2 , х = 0 и х = 2 , т.е. исходное уравнение имеет более одного корня.

При а = - 5 и а = -9 исходное уравнение принимает вид:

X2 +4 = |х-2| + |х-2| При х<-2 это уравнение сводится к уравнению

х2 + 2х + 4 = 0 , которое не имеет корней. При -2<х<2 получаем уравнение

х2 = 0 , которое имеет единственный корень. При х>2 получаем уравнение

х2 - 2х+4 = 0 , которое не имеет корней. То есть при а = -5 и при а = -9 исходное уравнение имеет единственный корень.

Ответ: а = -5 и а = —9.

2. В условии задачи есть указание на то, что параметр может принимать любые значения из данного множ ест ва. Понят но, чт о долж но быт ь решение и при некоторых «удобных» значениях параметра. Поэтому, «подобрав такое значение параметра, которое существенно упрощает задачу, мы тем самым ограничиваем число возможных решений. После этого остается показать, действительно ли эти решения будут решениями задачи при любых допустимых значениях параметра» [6, с. 83].

о

263

о

SCIENCE TIME

Пример 2. Найти все х, удовлетворяющие уравнению (4 + а4={4 +а2 )4х при любом значении параметра а

Решение. Стандартными способами решить это уравнение не представляется возможным. Применим нестандартный метод решения. Поскольку нужно найти все значения х, удовлетворяющие данному уравнению при любом значении параметра а, подберем такое значение параметра, которое значительно упростит наше уравнение. В данном случае такое упрощающее значение очевидно: это а = 0.

о

При <2 = 0 уравнение примет вид 4ХХ - 4'*х . Откуда х- х - 4х , значит х - 0

или х-4. Остается проверить, будут ли найденные значения х является корнем

данного уравнения не только при а — 0 , но и при любых других значениях параметра а.

Пусть х = 0 . Тогда уравнение примет вид (4 + а4) = (4 + а2) . Ясно, что это равенство верно при любых значениях а, поскольку левая и правая его части q

равны 1. Пусть х = 4 . Тогда уравнение примет вид \4 + а ) = \4 + а ) . Ясно,

что это равенство выполняется не при любом значении а, например, при а = 1

получим 52

что неверно.

Ответ: х = 0.

3. Использование монотонности функций при решении уравнений и неравенств с параметрами. Здесь часто применяются следующие три

утверждения: 1) если функция / монотонно возрастает, a g — монотонно убывает, то уравнение / = g имеет не более одного корня; 2) если / монотонная функция, то из равенства f(t) = f(z) следует, что t = z ; 3) если /

монотонно возрастает, то уравнения /(/(х)) = х и f(x) = x эквивалентны.

Пример 3. Найдите все значения параметра а , при каждом из которых

уравнение 8хб - (Зх + 5а)3 + 2х2 - Зх = 5а имеет более одного корня.

Решение. Выполним преобразование нашего уравнения:

(2х2 )3 + 2х2 = (Зх + 5а) + (Зх + 5а)3 . Рассмотрим функцию /(t) = t3 + t. Данная

функция монотонно возрастает, так как /'(/) = 2t2 +1>0. Тогда исходное

264

о

-о

уравнение можно записать в виде f(2x2) = f(3x + 5a) 5 откуда, в силу возрастания

/(О 5 получим 2х2 =3х + 5а или 2х2 - Зх - 5а = 0 . Квадратное уравнение имеет более одного корня, когда его дискриминант больше нуля: D = 9 + 40а > 0 =>

а > —0,225 .

Ответ: а >-0,225 .

4. Задачи, связанные с исследованием квадратного трехчлена, в которых предполагается задание графика (параболы) через систему неравенств.

Пример 4. Найдите все значения а, для которых при каждом х из

промежутка [- 5;-3) значение выражения т2 - з|х| не равно значению выражения

а\х\ + 6 .

Решение. Значение указанных в задаче выражений не равны друг

другу

тогда

и

только

тогда,

когда

выполнено

условие

О х“ - 3|х| ^ а|х| + 6 |х|" - (а + 3) • |х| - 6 Ф 0 <=> f(t) Ф 0 5 где и f(f) = t2 — (а + 3)1 - 6 и

Н*1 . Следовательно, в задаче требуется, чтобы уравнение /(0 = 0 не имело коней на промежутке (|-3|;|-5|]=(3;5].

График функции y = f(t) относительно переменной г ей есть парабола, изображенная на рисунке (рис. 1): ее ветви направлены вверх, а точка

пересечения с осью ординат лежит ниже оси абсцисс, так как /(0) = -6 . Поэтому

квадратный трехчлен /(0 имеет два корня ^<0 и />0

Уравнение /(0 = 0 имеет корень на промежутке (3;5] тогда и только тогда,

когда

о

Решим полученную систему:

Уравнение /(0 = 0 не имеет корней на промежутке (3;5] для всех остальных значений а, то есть тогда и только тогда, когда а<-2 или а > 0,8. Ответ: а<-2 или а>0,8 .

265

о

SCIENCE TIME

Таким образом, нами рассмотрены четыре специальных метода решения задач с параметрами. Их применение в обучении школьников математике обусловлено как широтой использования на выпускных экзаменах, так и возможностями в углублении знаний и развитии математического мышления учащихся.

Литература:

1. Ященко И.В., Семенов А.В., Высоцкий И.Р. Методические рекомендации по некоторым аспектам совершенствования преподавания математики // fipi.ru. -2014 / [Электронный ресурс] - Режим доступа. - URL: http://new.fipi.ru/sites/ default/files/document/1425993087/metod_rek_matematika.pdf

2. Костюченко Р.Ю., Нагорная А.А. Государственная итоговая аттестация: типичные ошибки учащихся при выполнении заданий ОГЭ и ЕГЭ по математике и пути их предупреждения // Nauka-rastudent.ru. - 2015. - No. 06 (18) / [Электронный ресурс] - Режим доступа. - URL: http://nauka-rastudent.ru/18/2714/

3. Тиняков Г. А., Тиняков И.Г Задачи с параметрами. - Издательство: М.: Изд-во МГУ, 1996. - 98 с.

266

а

о

I

SCIENCE TIME

I

4. Голубев В.И., Гольдман А.М. О задачах с параметрами // Математика. - 2002. -№ 23. / [Электронный ресурс] - Режим доступа. - URL: http://mat.1september.ru/ view_article.php?ID=200202302

5. Гурова А.А. Методы решения задач с параметрами как основа их классификации при обучении школьников математике // Новые информационные технологии в науке: Сборник статей Международной научно-практической конференции (1 ноября 2015 г., г. Уфа). / в 2 ч. Ч. 2. - Уфа: АЭТЕРНА, 2015. - С. 5-9. / [Электронный ресурс] - Режим доступа. - URL: http://elibrary.ru/item.asp? id=24337909

6. Шестаков С.А., Юрченко Е.В. Уравнения с параметром. - М.: Слог, 1993. - 107 с.

о

о

267

а