CC BY
88
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2016 Математика и механика № 2(40)
удк 517.589, 517.926.4 doi 10.17223/19988621/40/2
Т.П. Гой
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ, ПОСТРОЕННЫЕ С ПОМОЩЬЮ ВОЗРАСТАЮЩИХ И ЦЕНТРАЛЬНЫХ ФАКТОРИАЛЬНЫХ СТЕПЕНЕЙ
Изучаются неэлементарные функции типа интегралов Френеля, определенные в виде степенных рядов с использованием возрастающих и центральных факториальных степеней. Установлены некоторые свойства этих функций, приведены их графики. Выведены обыкновенные дифференциальные уравнения, решениями которых являются новые функции.
Ключевые слова: возрастающая факториальная степень, центральная факториальная степень, интегралы Френеля, обобщенная гипергеометрическая функция, задача Коши.
Математические модели многих процессов и явлений часто приводят к задачам, точные решения которых классическими методами получить невозможно. Увеличение количества неэлементарных функций приводит к расширению круга задач, которые могут быть решены в замкнутом виде. При этом особое внимание уделяется исследованию новых функций с целью их использования для решения сложных теоретических и практических задач.
Тригонометрические функции cos x, sin x задаются как степенные ряды
ВД / ВД /
cos x = У ^ x2", sin x = x2n+\
¿=0(2«)! "=0(2" +1)!
определенные с помощью факториалов (убывающих факториальных степеней). Заменив в этих рядах убывающие факториальные степени соответствующими возрастающими факториальными степенями, авторы [1] изучили новые неэлементарные функции действительной переменной Cos x, Sin x. Аналогично, в [2, 3] представлено исследование функций действительной переменной Cosc x, Sine x, построенных с помощью центральных факториальных степеней. Показано, в частности, что новые функции являются решениями обыкновенных линейных дифференциальных уравнений второго (функции Cos x, Sin x) и третьего (функции Cosc x, Sine x) порядка с полиномиальными коэффициентами.
В [4] рассмотрены неэлементарные функции типа интегралов Френеля, определенные в виде степенных рядов с использованием возрастающих факториаль-ных степеней. Автором [5-8] изучаются некоторые другие подобного рода функции действительного и комплексного переменного.
1. Факториальные степени
Для произвольных чисел x е R и m е N факториальной степенью m с шагом к е R называют выражение [9]
xm{k} = x( x + к)(x + 2k) •... • (x + (m - 1)k).
Факториальную степень называют возрастающей, если к > 0, и убывающей, если к < 0. В случае к = 0 имеем обыкновенную степень, т.е. хт{0} = х™. По умолчанию, х0{к} = 1. Возрастающую факториальную степень т с шагом 1 и убывающую факториальную степень т с шагом (- 1) будем обозначать через хт и хт соответственно, т. е.
хт = хт{1} = х(х +1) •... • (х + т -1), хт = хт{-1} = х( х -1) •... • (х - т +1). Очевидно, что п! = 1" = пп.
Основные свойства возрастающих и убывающих факториальных степеней выражаются с помощью формул
Д хт = тх™-1, Д хт = тхт-1,
где Д/(х) = /(х + 1) -/(х) - разность функции /(х), а Д /(х) = /(х) - /(х -1) -
опаздывающая разность этой функции.
Комбинаторный закон двойственности возрастающих и убывающих фактори-альных степеней выражается с помощью равенств
(-т)п{-к} = (-1)" тп{к}, (-т)п{к} = (-1)" тп{-к}. Для произвольных чисел х е Я и т е N центральной факториальной степенью т с шагом к > 0 называют выражение [10]
хт[к ] = х (х+т^ - к | х+- 2к )•... •( х - +к
причем х0[к] = 1. Центральную факториальную степень т с шагом 1 будем обозначать через х[т], например
х5[1] - х[5] =Гх-3¥х-11 хГх +1¥х + 3
2 А 2) \ 2 А 2,
х6[1] = х[6] = (х - 2)( х -1) х2 (х +1)( х + 2).
Для центральных факториальных степеней с шагом 1 имеет место формула
5 х[т] = тх[т -1],
аналогичная соответственным формулам для возрастающих и убывающих факто-риальных степеней. Здесь 5/(х) = /(х + 1/2) -/(х - 1/2) - центральная разность функции / (х).
Легко показать, что х[т] = х(х + т/2 - 1)т. Другие свойства и некоторые применение факториальных степеней можно найти, например, в [11] - [14].
Отметим, что возрастающим, убывающим и центральным факториальным степеням в комбинаторном анализе часто присуща двойственность: если комбинаторная задача приводит к тождеству с использованием, например, убывающих факториальных степеней, то обычно существует содержательная комбинаторная задача, приводящая к двойственному тождеству с участием возрастающих или центральных факториальных степеней.
2. Неэлементарные функции Cos x, Sin x, Cosc x, Sinc x, определенные с помощью возрастающих и центральных факториальных степеней
Обозначим через Cos x, Sin x, Cosc x, Sinc x функции действительного переменного, определенные с помощью степенных рядов [1, 2]:
Cos x = > Ü2n = 1 — — + x4
=o (2n)
2n
2 • 3 4 • 5 • 6 • 7 6 • 7 • 8 • 9-10
- +... ;
(1)
Sin x = > (-1)"_
,.2n+1 .
x x
o (2n +1)
1 3 • 4 • 5 5 • 6 • 7 • 8 • 9
(2)
Cosc x = >
(-1)"-x2" = 1 + . x4
n=0
(2n)'
,[2n]
2 • 2 3 • 4 • 4 • 5 4 • 5 • 6 • 6 • 7 •
- +...
(3)
Sinc x = >-( 1)[n i]
n=0(2n + 1)[2n+1]
x2n+1 = x — x +
Легко убедиться, что
. ^ (—1)n (2n — 1)! 2n Cos x =1 + >-——-— x2n
n=1
(4n — 1)!
1 5 3 7 7 9 5 11 13 2 2 2 2 2 2
Sinx = >> (—1)n-1(2n — 2)!
n=1
(4n — 3)!
, 1 ^ (—1)n (n — 1)! 2n
Cosc x =1 + -> -——-- x2n,
2 tí (3n — 1)!
В [1 - 3] доказано, что
Sinc x = >> (—1) n 4 n (2 n—1)!! x 2+1
Cos x = 1 + 2yfx
cos—S 4
x„ (4~x ^
V 2 У
n=1
x
— sin—C
(6n +1)!!
(vx ^
V 2
Sin x = 2Tx
cos—C 4
x„ (sTx ^
V 2 J
+ sin xS
V 2 „
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
где C(p) = J cos t2dt, S(p) = J sin 12dt - интегралы Френеля [15], а также установ-
0 0
лена связь между функциями Cos x, Sin x, Cosc x, Sinc x и обобщенной гипергеометрической функцией 1F2(a1; b1, b2; z) с помощью формул
Cosx = 1 —:
Cosc x = 1 —:
x2 • 1F2 ( 5 7 ; x2 1
6 • 1 V 4 4; — 64 J
*L 1F2 ( ;4 5 x2 1
4 1 V ;3 3 27 J
Sin x = x • 1F2
( 3 5 x2^
1;
4 4 64
Sinc x = x • 1F2
2 \
5 7; — x_ '6,6 ; 27
Напомним, что обобщенная гипергеометрическая функция
sFq(ú1,...,as; bb...,bq; z)
n
определятся как сумма обобщенного гипергеометрического ряда [16]
sFq (oi>->as;bi,...,bq;z) = X
bin •...• bn n!
в области его сходимости, где аЩ,...,аП,b1n,..., bq - возрастающие факториальные степени с шагом 1.
На рис. 1 - 4 приведены графики функций Cos x, Sin x, Cosc x, Sinc x. На рис. 1, 2 пунктиром проведены параболы (y + 1) 2 = ± nx и y2 = ± nx соответственно, а на
_ ( 1А2 7nx 2 7nx
рис. 3, 4 - соответственно параболы I y + I = и y = .
Рис. 1. График функции y = Cos x
Рис. 2. График функции y = Sin x
Рис. 3. График функции y = Cosc x
Рис. 4. График функции y = Sinc x
3. Неэлементарные функции типа интегралов Френеля, определенные с помощью возрастающих факториальных степеней
Обозначим через ^(х), С^х) функции
С1(х) = | СОБ г2&;
(9)
яд х) = | Бт г2 ж.
(10)
Из формул (9), (10), учитывая (5), получаем разложения функций ^(х), С\(х) в степенные ряды, абсолютно сходящиеся на всей числовой оси:
С1(х) = х + У (-1)п(2п-1)! х4п+1; 1 п=1(4п - 1)!(4п +1)
х) = £ (-1)п-1(2п-2)! х-1 п=1 (4п - 3)!(4п -1)
Графики функций С^х), ^¡(х) приведены на рис. 5, 6.
(11) (12)
Рис. 5. График функции у = С^х)
Рис. 6. График функции у = ^(х)
Теорема 1. [4] Для всех х е Я имеют место тождества
( -2
С| (х) = 4
х~ „( х) . х2 0ГхЛ^ соб—С \ — 1 + БШ—ЯI — 4 12) 4 12
- х,
х) = 4
Г х2 ( х
х2 „Г^^
бШ—С \ — I-СОБ—Я 4 12) 4 12
где С(р), Я(р) - интегралы Френеля.
На рис. 7 - 12 представлены графики функций комплексного переменного
С^), 5*1(2), где г = х + /у.
Рис. 11. График функции Яе (^(г))
Рис. 12. График функции 1т (^(г))
Покажем, что функции C1(x) и S^x) являются решениями линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка с переменными коэффициентами.
Теорема 2. Функции C1(x) и S^x) - решения соответственно таких задач Ко-
ши:
4xy"- 4У + x3y = - x4 - 4, y(0) = 0, У(0) = 1; (13)
4xy"-4y' + x3y = 4x2, y(0) = 0, y'(0) = 0. (14)
Доказательство. То, что функции C1(x) и S1(x) удовлетворяют начальные условия из (13), (14), следует соответственно из формул (11) и (12). Докажем, что эти функции являются решениями соответствующих дифференциальных уравнений.
Обозначим
а( x) = sin( x2/4) S (x/ 2) + cos( x2/4)C (x/ 2), P(x)=sin(x2f\)C(x/2) - cos(x2/4)S(x/2). Тогда из формулы (9), учитывая (7), находим производные функции Q(x):
Cj'(x) = 1 -2xP(x), Cj"(x) =- 2P(x) - x2a(x). (15)
Теперь дифференциальное уравнение из (13) легко получаем, исключая из (7), (15) выражения a(x) и P(x).
То, что функция S1(x) является частным решением дифференциального уравнения из (14), доказывается аналогично, путем исключения выражений a(x), P(x) из (8) и следующих формул для производных функции S1(x):
S1(x) = 2xa(x), S^(x) = x- x2 P(x) + 2a(x). ■
4. Неэлементарные функции типа интегралов Френеля, определенные с помощью центральных факториальных степеней
Обозначим через C2(x) и S2(x) функции
x
C2(x) = | Cosc t2dt; (16)
0
x
S2(x) = | Sine t2 dt. (17)
0
Из (16), (17), учитывая формулы (6), получаем следующие разложения функций C2(x), S2(x) в степенные ряды:
C2(x) = x +1Y (-1)"(n-1)! x4"+1 ; (18)
2W 2 n=1(3n - 1)!(4n +1) V '
S2(x) = Y (-1)n16n(2n)!(3n)!x4n+3, (19)
n=1 n !(6n + 1)!(4n + 3)
абсолютно сходящиеся при каждом действительном x.
Графики функций С2(х) и S2(x) приведены на рис. 13 и 14.
Рис. 13. График функции у = С2(х)
Рис. 14. График функции у = 52(х)
Следующая теорема устанавливает связь между интегральными функциями С2(х), S2(x) и обобщенной гипергеометрической функцией 2-Р3(аь а2; ЪьЬ2, Ь3; г).
Теорема 3. Для всех х е Я имеют место тождества
С2(х) - х 20 ' 2^3
^ 545 9-_ X
,4'3,3,4' 27
(20)
S2( х) - у ' 2 Е3
(3 5 7 7,_х^ 4, '6 6 4' 27
(21)
Доказательство. Для функции С2(х), учитывая (18), получаем соотношения
С2( х) - х _ ^ У
(_1)"п!
- х_-
20
2 ~(3и + 2)!(4п + 5)
5 9 4и +1
-х4и -
1+ У
4 4 4
(4 7 3и +1 V5 8 3и + 2 V 9 13 4и +1А
( _ Л 27
.3 3
ч3 3
.4 4
5 ад
- х _ —У
ТА ¿—I
1" (4
20 „-о ( 4
3 л 3 К 91 „!
( х! ^
V 27 у
— х ' 2^3
20 2 3
(15-4 5 9, _ х
, 4' 3,3,4' 27
Для функции Sl(x), учитывая (19), имеем
S2( х) - х3 УУ (_1)И 16" (2")!(3")! х4" -
и-0
п !(6и + 1)!(4и + 3)
X
5
3
3
4
3 3 да X X х—*
=-+- /
3 3
3 7 4" _ 1
4 4 ' 4
Г 5 11 6" _ 11Г 7 13 6" +11Г 7 11 4" + 31
27
V /
,6 6
ч6 6
.4 4
="г 2
4 Г1=
=0Г 51" Г 71" Г 71"й1
г Х^
V 27 у
х3 Г 3 2^3
.4
3 5 7 7;_Х 4' ' 6'6'4' 27
На рис. 15 - 20 представлены графики функций комплексного переменного
С2(г), S2(z)' где г = х + ¡у.
Рис. 15. График функции | С2(?) |
Рис. 16. График функции Яе (С2(г))
Рис. 17. График функции 1т (С2(г)) Рис. 18. График функции | S2(z) |
Рис. 19. График функции Яе (Б2(?)) Рис. 20. График функции 1т (Б2(?))
Покажем, что функции С2(х), ^2(х) являются решениями задач Коши для обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с непрерывными коэффициентами.
Теорема 4. Функции С2(х) и S2(x) - решения соответственно таких задач Коши:
27х3у1¥ -135х2у"' + (16х5 + 339)у" -384/ = -384,
у(0) = 0, у(0) = 1, у" (0) = 0, у(0) = 0;
27х3у1¥ - 81х2у "'+ (16х5 +177х) у " + (32х4 -192)у ' = 0, у(0) = 0, у(0) = 0, у"(0) = 0, у'"(0) = 2.
(22)
(23)
Доказательство. Из (18) и (19) следует, что функции С2(х) и S2(x) удовлетворяют начальные условия из (22), (23). Покажем, что эти функции являются решениями соответственных дифференциальных уравнений.
Обобщенная гипергеометрическая функция 2Е3(аь а2; Ьь Ь2, Ь3; г), через которую в соответствии с (20) выражается функция С2(х), удовлетворяет обыкновенное линейное дифференциальное уравнение четвертого порядка [16]
(ст(ст + Ь - 1)(ст + Ь2 - 1)(ст + Ь3 -1)-г(ст + а1 )(ст + а2))м>(2) = 0, где с - дифференциальный оператор ст = . Таким образом, функция
. 5 4 5 9 ^(х) = 2Е3 | 1, — ; —,—, — ;г
2 31 '4 3 У 4
из (20) является решением дифференциального уравнения
ст| ст + 3]|ст + |Уст + -4Vг(ст + 1)^ст+ 5 | |м>(х) = 0,
а учитывая, что
2 С 2 С 3 С ,^2 С 3 С
ст2 = г — + г2—- ст3 = г— + 3:2—- + г —-'
С: С:2 С: С:2
4 С —2 С ,3 С 4 С
ст4 = г— + 7 г2-+ 6 г3-+ г4-,
С: С:2
после несложных преобразований убеждаемся, что она удовлетворяет дифференциальное уравнение
_3 ..IV , 33 2, Г 137 2 1 ...» Г - 13 1 , 5
г3 wlV + — :У' + \— г _ г2) У + \ 5 _ — :) - м> = 0. (24)
Произведем в (24) замену независимого переменного по формуле г = _ х 4/27. Тогда
27 , . 729 , . „ , ч ,,, 19683
у =--г У' , у=-
(х _ 3< )' < = _ -—г(х2< _ 9хуХ + 2 1< ) ,
4х3 Х' : 16 х7...... " 64 х1
у,™ = (х3у™ _ 18х2< + 111хуХ _231уХ)
256х15
и, подставляя в (24), получаем, что функция ух) = 2 Е3
Г 5. 4 5 9. _ х41
, 4' 3'3'4' 27
- ча-
стное решение линейного однородного уравнения
27 х3 уIV + 405х 2 У" + (16х5 +1554)У + (1386 +160х4)у + 320х3 у = 0.
Наконец, подставляя в последнее уравнение ^(х) = 20х ~5(1 - С2(х)), после упрощений получаем, что функция у = С2(х) удовлетворяет дифференциальное уравнение из (22).
Покажем теперь, что функция S2(x) является решением дифференциального уравнения из (23). Аналогично предыдущему доказывается, что обобщенная гипергеометрическая функция
Г 3 5 7 7 1 и(:) = 2К \ — Д'-,-,-': I
23 V 4 6 6 4' ) является решением дифференциального уравнения
3 IV 27 2 ,„ Г 83 21 „ Г 245 11 1 , 3
: и +—: и + \ — : _:2 Iи + \---: Iи — и = 0,
4 V 9 ) V144 4 ) 4
а функция и(х) = 2
Г 3 1.5 7 7. _
ч 4' ' 6,6,4' 27у
- решением дифференциального урав-
нения
27х3иIV _81х2и"' + (16х5 + 177)и" + (32х4 _ 192)и' = 0.
После замены в последнем уравнении ^(х) = 3х~^2(х) (с учетом (21)), получаем, что функция S2(x) удовлетворяет уравнения из (23). ■
ЛИТЕРАТУРА
1. Гой Т.П. HoBi функцй, породжеш зростаючими факторшлами, та 1х властивостi // Буко-винский мат. журн. 2013. Т. 1. № 1-2. С. 28-33.
2. Гой Т.П. Неелементарш функцй, породжеш центральним фактoрiальними степенями // Вестник Харьковского нац. университета имени В.Н. Каразина. Серия «Математика, прикладная математика и механика». 2014. № 1133. С. 131-139.
3. Гой Т.П. О центральных факториальных степенях и некоторых их применениях // Меж-вуз. сб. науч. трудов «Математика и математическое образование. Теория и практика». Ярославль: Изд-во ЯГТУ. 2014. Вып. 9. С. 30-35.
4. Goy T.P., Zatorsky Я.А. New integral functions generated by rising factorial powers // Карпатские мат. публикации. 2013. Т. 5. № 2. C. 217-224.
5. Goy T.P., Zatorsky R.A. On a nonelementary function of the Dawson's integral type // Вестник Киевского нац. университета имени Т. Шевченко. Серия «Физико-математические науки». 2014. Вып. 1. С. 15-19.
6. Гой Т.П. 1нтеграли вщ функцш, породжених зростаючими фактoрiальними степенями // Таврический вестник информатики и математики. 2014. Т. 24. № 1. С. 14-22.
7. Гой Т.П. Hoвi функцй, означен при дoпoмoзi фактoрiальних степешв // Математическое и компьютерное моделирование. Серия «Физико-математические науки». 2014. Вып. 11. С. 18-29.
8. Гой Т.П. О дифференциальных уравнениях функций, определенных с помощью возрастающих и центральных факториалов // Материалы Междунар. конф. «Современные проблемы анализа динамических систем. Приложения в технике и технологиях». Ч. 1. Воронеж: ФГБОУ ВПО «ВГЛТА», 2014. С. 58-61.
9. Jordan C. Calculus of Finite Differences. N.Y.: Chelsea Publishing, 1939.
10. Steffensen J.F. On the definition of the central factorial // J. Inst. Actuaries. 1933. V. 64. No. 2. P. 165-168.
11. Грэхем Р., Кнут Д., Паташник О. Конкретная математика. Основания информатики. М.: Мир, 1998. 703 с.
12. Заторський Р.А., Малярчук О.Р. Фак1\^альш степеш та трикутш матриц // Карпатские мат. публикации. 2009. Т.1. № 2. С. 217-224.
13. Comtet L. Advanced Combinatorics: The Art of Finite and Infinite Expansions. D. Reider Publishing, 1974.
14. Roman S. The Umbral Calculus. Academic Press, 1984.
15. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицями / под ред. М. Абрамовиц и И. Стиган. М.: Наука, 1979. 832 с.
16. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Том 1. Гипергеометрическая функция. Функции Лежандра. М.: Наука. 1973. 294 с.
Статья поступила 12.09.2015 г.
Goy T.P. SPECIAL FUNCTIONS GENERATED BY RISING AND CENTRAL FACTORIAL POWERS
DOI 10.17223/19988621/40/2
to /_1)k to (_1)n +1
Replacing in the well-known series cosx = Y-—--, sinx = Y-—-- falling
to (2n)! n=0 (2n +1)!
factorial powers (m! = mm ) by rising and central factorial powers (mm and m[m] respectively),
to (_1)wx2n to (_1)nx2n+1 to (_1)nx2n
we obtain real functions Cos x = Y -— — , Sin x = Y -—-—=■, Cosc x = Y -— .-„-,,
n=0 (2n)2n n=0(2n + 1)2n+1 n=0(2«)[2K]
да ( — 1)n x2n+1
and Sine x = V ——-—-—77.
n=o(2n + 1)[2n+1]
In this paper, we consider the non-elementary Fresnel-type integral functions
Cj(x) = |Cos12dt, S1(x) = |Sin12dt, C2(x) = JCosc12dt, S2(x) = JSine12dt. We prove the 0 0 0 0 following formulas:
Q(x) = 4(cos^Cg) + srn^Sg))-x, ЗД = 4(srn^C(§)-cos^Sg)j,
C2(x)=x - ^ ii,5;4,5,9;-xl], ад=x3 ^ (3,1;5ДД-xL 2 20 2 3 ^ 4 3 3 4 27 / 2 3 2 3 ^4 664 27
where C(p) and S(p) are Fresnel integrals and 2F3(a1,a2;b1,b2,b3;z) is a generalized hypergeometric function.
We also show that functions C1(x), S1(x) are solutions of the ordinary linear second-order
differential equations 4xy" - 4_y'+x3y =- x4 - 4 and 4xy'- 4y'+x3y = 4x2, respectively, and the functions C2( x), S2( x) are solutions of the ordinary linear fourth-order differential equations 27x3yIv -135x2y"+(16x5 + 339)y" -384y'=-384 and 27x3yIV - 81x2y"'+ (16x5 +177x)y' + + (32x4 -192)y' = 0, respectively.
Keywords: rising factorial power, central factorial power, Fresnel integrals, generalized hyper-geometric function, Cauchy problem.
GOY Taras Petrovych (Candidate of Physics and Mathematics, Vasyl Stefanyk Precarpathian National University, Ivano-Frankivsk, Ukraine)
E-mail: [email protected]
REFERENCES
1. Goy T.P., Zatorsky R.A. (2013) New functions generated by rising factorial powers and their properties. BukovynaMath. Journal. 1(1-2). pp. 28-33. (In Ukrainian)
2. Goy T.P. (2014) Non-elementary functions generated by central factorial powers. Bulletin of V.N. Karazin Kharkiv National University. Series: Mathematics, Applied Mathematics and Mechanics. 1133. pp. 131-139. (In Ukrainian)
3. Goy T.P. (2014) O tsentral'nykh faktorial'nykh stepenyakh i nekotorykh ikh primeneniyakh [On central factorial powers and some of their applications]. In: Matematika i matemati-cheskoe obrazovanie. Teoriya i praktika [Mathematics and mathematical education. Theory and practice]. Yaroslavl: YSTU. 9. pp. 30-35.
4. Goy T.P., Zatorsky R.A. (2013) New integral functions generated by rising factorial powers. Carpathian Math. Publ. 5(2). pp. 217-224. DOI: 10.15330/cmp.5.2.217-224.
5. Goy T.P., Zatorsky R.A. (2014) On a nonelementary function of the Dawson's integral type. Bulletin of Taras Shevchenko Kyiv National University. Series: Physics and Mathematics. 1. pp. 15-19.
6. Goy T.P. (2014) Integrals of functions generated by rising factorial powers. Taurida Journal of Computer Science and Mathematics. 24(1). pp. 14-22. (in Ukrainian)
7. Goy T.P. (2014) New functions defined by factorial powers. Mathematical and Computer Modelling. Series: Physical and mathematical sciences. 11. pp. 18-29. (in Ukrainian)
8. Goy T.P. (2014) O differentsial'nykh uravneniyakh funktsiy, opredelennykh s pomoshch'yu vozrastayushchikh i tsentral'nykh faktorialov [On differential equations of functions defined by rising and central factorials]. In: Proc. of the International Conference "Sovremenne problemy analiza dinamicheskikh sistem. Prilozheniya v tekhnike i tekhnologiyakh" [Proc. Intern. Conf. "Modern Problems of the Analysis of Dynamic Systems. Appendices in Equipment Technologies"]. Pt 1. Voronezh: VSFA. pp. 58-61. DOI: 10.12737/4702.
32
T.n. roü
9. Jordan C. (1939) Calculus of Finite Differences. N.Y.: Chelsea Publishing.
10. Steffensen J.F. (1933) On the definition of the central factorial. J. Inst. Actuaries. 64(2). pp. 165-168.
11. Graham R.L., Knuth D.E., Patashnik O. (1994) Concrete Mathematics. A Foundation for Computer Science. Addison-Wesley.
12. Zatorsky R.A., Malarchuk A.R. (2009) Factorial powers and triangular matrices. Carpathian Math. Publ. 1(2). pp. 161-171. (In Ukrainian)
13. Comtet L. (1974) Advanced Combinatorics: The Art of Finite and Infinite Expansions. D. Reider Publishing.
14. Roman S. (1984) The Umbral Calculus. Academic Press.
15. Abramowitz M., Stegun I.A. (eds.) (1972) Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Dover Publication.
16. Bateman H., Erdelyi A. (1953) Higher Transcendental Functions. Vol. 1. McGraw-Hill.
