Спектральный анализ разностных операторов второго порядка с растущим потенциалом Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК: 517.9

MSC2010: 39A70, 47A10, 47B37, 47B39

СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ РАЗНОСТНЫХ ОПЕРАТОРОВ ВТОРОГО ПОРЯДКА С РАСТУЩИМ ПОТЕНЦИАЛОМ

© Г. В. Гаркавенко, Н. Б. Ускова

Воронежский государственный педагогический университет ул. Ленина, 86, г. Воронеж, 394043, Российская Федерация Воронежский государственный технический университет Московский проспект, 14, г. Воронеж, 394026, Российская Федерация Е-МА1Ь: [email protected], [email protected]

Spectral analysis of difference operators of second order with a growing potential.

Garkavenko G. V., Uskova N. B.

Abstract.

Let H = 12(Z) be a Hilbert space of twosided complex sequences with the inner product (x,y) = x(n)y(n),x : Z ^ C, y : Z ^ C and the norm generated by this

scalar product. In the space of H regarded linear operator A — B : D(A) c H ^ H, where (Ax)(n) = a(n)x(n),n e Z,D(A) = {x e fe(Z) : En=-ro |x(n)|2|a(n)|2 < to}, (Bx)(n) = —2x(n) + x(n + 1) + x(n — 1),x e H. The sequence a : Z ^ C has the property: lim |a(n)| ^ 0,0 < di = inf |a(i) — a(j)| ^ to, |i| ^ to. In the standard basis of the space H

the operator A — B is tridiagonal matrix with nonzero main, first and minus first diagonals.

The class of differential operators and their matrix corresponds to the Sturm-Liouville operator with growth potential in their deskritization. We study the spectral properties of the operator A — B. The method of investigation is proposed A.G. Baskakov simular operators method essentially used in the spectral analysis of the various classes of differential operators. For operators, the operator in question is close to A — B similar operators method previously used. One of the main results is the following statement

Theorem. There is a natural number k > 1, that the spectrum a(A — B) of operator A — B represented in the form a(A — B) = a(^) U (U|i|>fcai), where a(^) contains no more than 2k + 1 eigenvalues, ai = {|i}, |i| > k — singletons and have the following asymptotic formula

I = a(i) + 2 + O(d-1),

/.n , „ a(i + 1) — 2a(i) + a(i — 1) , ,_2, ... .

1 = a(i) + 2 — (a(a +1) — a(i))(a(i - 1) — a(i)) + O(d 2), N > k

The corresponding eigenvectors ёг, |i| > k, admits the asymptotic estimate \\ёг—уг\\ = O(d- 2), where

[l, i = j,

Uj) = \ (a(i ± l) — a(i))-1, j = i ± l, [0, in other cases.

For the spectral projectors Рг = P({^г}, A — B),Рг = P({a(i)}, A), |i| > k take place Formula

\\P — Pi\\ = O(d-1), |i| >k.

Keywords: spectral analysis, difference operator, the similar operator method, spectrum, spectral projections.

Введение

Рассмотрим гильбертово пространство двусторонних комплексных последовательностей /2(Z) со скалярным произведением (x,y) = 5^L_00x(n)y(n) и нормой \\x\\ = (J^L-oo |x(n)|2)2, где x,y G l2(Z), x : Z ^ C, y : Z ^ C, порождённой этим скалярным произведением. В пространстве /2(Z) зададим линейный замкнутый оператор A : D(A) С /2 (Z) ^ /2(Z) формулой

(Ax)(n) = a(n)x(n), n G Z,x G D(A) (1)

с областью определения D(A) С /2(Z) вида

D(A) = {x G /2(Z) : J] | a(n)|2|x(n)|2 <

где a : Z ^ C — последовательность, обладающая свойствами: lim |a(n)| ^ то; 0 < d = inf|a(i) — a(j)| ^ то, |i| ^ то.

Из этих свойств следует, что a(i) = a(j) при i = j, i, j G Z.

Символом p(A) обозначим резольвентное множество оператора A, а символом a (A) — его спектр. Из условий на последовательность a : Z ^ C следует, что a(A) = {a(n), n G Z}, то есть спектр оператора A состоит из простых изолированных собственных значений. Если число Ао не совпадает ни с одним a(n), то А0 G p(A) и оператор (A — А01)-1 : /2(Z) ^ /2(Z) действует по формуле ((A — А01 )-1 x)(n) = ((a(n) — A0)-1x)(n), n G Z, такой оператор является нормальным компактным оператором (и оператор A : D(A) С /2(Z) ^ /2(Z), ввиду нормальности резольвенты, также является нормальным оператором).

Рассмотрим самосопряженный ограниченный оператор B : /2(Z) ^ /2(Z) вида

(Bx)(n) = —2x(n) + x(n + 1) + x(n — 1), n G Z, x G /2(Z). (2)

Оператор вида A — B рассматривался в работах Отелбаева М. (см., например, [1], [2]). В стандартном базисе {ek}, k G Z пространства l2(Z), где ek = (8nk), n,k G Z, матрица оператора A — B имеет трёхдиагональный вид с ненулевыми минус первой, нулевой и первой диагоналями (при нумерации диагоналей целыми числами). Рассматриваемый класс разностных операторов и их матриц, соответствует уравнениям Штурма - Лиувилля при их дискретизации [2].

В работе изучаются спектральные свойства оператора A — B, а именно: получены оценки собственных значений, собственных векторов и спектральных проекторов.

Исследовать оператор A — B будем методом подобных операторов, который и из-ложем в адаптированном для рассматриваемого случая виде. Отметим, что к операторам, близким к оператору A — B, метод подобных операторов ранее не применялся.

1. Метод подобных операторов

Метод подобных операторов берёт начало с работ А. Пуанкаре, А. А. Ляпунова, Н. М. Крылова, Н. Н. Боголюбова, К. Фридрихса, Р. Тернера и окончательно оформляется в работах А. Г. Баскакова [3]-[5]. Мы будем придерживаться идеологии и методологии работы [5]. Обычно метод подобных операторов применяется для получения спектральных характеристик дифференциальных операторов (см., например,

[7]-[8]).

Основная идея метода подобных операторов состоит в преобразовании оператора A — B, где A : D(A) С H ^ H — хорошо изученный оператор с известными характеристиками, имеющий спектр a(A) и резольвентное множество p(A), а оператор возмущения B в некотором смысле мал по сравнению с A, и подобный ему более просто устроенный оператор. В нашем случае подобный оператор будет иметь блочно-диагональную матрицу. Спектральные свойства такого оператора легко изучать, так как они близки к спектральным свойствам оператора A.

Пусть H — сепарабельное гильбертово пространство. Символом A обозначим одно из операторных пространств: 1) EndH — банахова алгебра ограниченных линейных операторов, действующих в H с нормой ||X2) End* H С End H — банахова алгебра операторов с суммируемыми диагоналями [6] с нормой ||X||* = supi-j=p |, где X = (xj) матрица оператора X в стандартном базисе пространства H. Очевидно, что ||X^ ||X||*.

Определение 1. [5]. Пусть A ^ A, Г : A ^ A трансформаторы. Тройку (A, J, Г) назовём допустимой для невозмущенного оператора A, а A — допустимым пространством возмущений, если

1) J и Г — непрерывные трансформаторы, причём J — проектор;

2) (ГХ)(D(A)) С D(A), при этом

ArX — rXA = X — JX, X G A (3)

и Y = ГХ G A — единственное решение уравнения AY — YA = X — JX, удовлетворяющее условию JY = 0;

3) существует постоянная 7 > 0 такая, что

\\Г\\ < y, max{\XrY\\, \\rXY\\} < 7\\X\\\\Y\\;

4) для любого X G A и е > 0 существует Ае G p(A) такое, что \\X(A — Ае/< е.

Теорема 1. [5]. Пусть (A, J, Г) — допустимая тройка для оператора A : D(A) С H ^ H и B — некоторый оператор из A. Тогда, если

7\\B\\a < 4, (4)

то оператор A — B подобен оператору A — JX, где X G A, является решением нелинейного операторного уравнения

X = B rX — (rX )(JB) — (rX) J (BrX) + B = Ф^). (5)

Решение X может быть найдено методом простых итераций, положив X0 = 0, X1 = Ф(0) = B,X2 = Ф2(0),....

2. Теорема о подобии

Вернёмся к операторам A : D(A) С H = /2(Z) ^ H и B, определённым формулами (1) и (2) соответственно. Отметим, что в дальнейшем удобно будет пользоваться матричным представлением операторов A и B в стандартном базисе пространства H.

Собственными векторами оператора A являются базисные векторы en, n G Z, а соответствующие спектральные проекторы задаются формулой Pnx = (x, en)en, n G Z.

Представим оператор A — B в виде A — B = A — B, где (Ax)(n) = a(n)x(n) + 2x(n), (Bx)(n) = x(n — 1) + x(n + 1). Тогда a(A) = {a(n) + 2, n G Z} собственные векторы и спектральные проекторы те же, что и у оператора A. Очевидно, что возмущение B принадлежит как пространству End H, так и пространству End* H, причём IIB||= ||B\\* = 2, главная диагональ матрицы оператора B нулевая.

Перейдём к определению трансформаторов J : A ^ A и Г: A ^ A. Положим

JX = ^ PnXPn, X G A.

neZ

Очевидно, что трансформатор J диагонализует матрицу оператора X и JB = 0 в силу определения оператора B, более того || J|| = 1.

Перепишем равенство (3) для матричных элементов матрицы Y = (yif-), где Y = ГХ (здесь учтено, что A|Hi = (a(i) + 2)/j, Hi = RanP^ i G Z, символом D|Y обозначено сужение оператора D на подпространство Y):

a(l)yim - yima(m) = xim, l = m,

откуда

xlm /n\

yim = -туг-^T , (6)

a(l) — a(m)

и yii = 0, l G Z. Таким образом, матричные элементы оператора ГХ определены. При этом, если X G EndH, то и Y G EndH и

IIY|U = C(i=f |a(i) — a(j)|)-1||X|U

i=f

где 1 ^ C ^ 5 (см. [3]). Здесь используется оценка на норму обратного оператора к оператору коммутирования для вычисления нормы оператора ГХ. Эта оценка является следствием более общих оценок, приводимых в [3] (теорема 1.3). Пусть X G End* H, тогда

||Y н*=s sup |yij1=s sup ia(i)|xja (j ^ ^ (i=f |a(i)—a(j )|)-1 ssup |xij1= p i-f=p p i-f=p|a(i) a(j)| i=f p i-f=p

= (inf |a(i) — a(j)|)-1||X||*

i=f

Пусть Qk = |i|<fc Pi. Наряду с трансформаторами J и Г рассмотрим семейство трансформаторов Jk и Г&, задаваемых формулами

JkX = S PiXPi + QkXQfc, ГкX = ГX — Г(^XQk) = ГX — Qfc(ГX)Qfc.

|i|>k

Ясно, что JoX = JX, ГoX = TX. Операторы JkX и TkX отличаются от JX и TX на конечномерный оператор.

Более того, величина y (здесь она зависит от к)из теоремы 1 задается формулой y = Yfc = C(inf|i|^k,|f|>k |a(i) — a(j)|)-1 при X G EndH или Yk = (inf|i|^k,|f|>k |a(i) — a(j)|)-1 при X G End* H. Точное значение константы C неизвестно, известна лишь её оценка, например, C ^ 5 [3], но так как мы в дальнейшем будем получать асимптотические оценки, то точное значение C несущественно. Выполнение условия 4) из определения 1 следует из того, что оператор X ограничен, а норму оператора (A — Ае/)-1, Ае G p(A), можно сделать малой за счет подходящего выбора числа Ае.

Итак, доказана

Лемма 1. Тройка (Endl2(Z), Jk,rk) является допустимой для оператора A тройкой при любом к.

Тройка (End* l2(Z), Jk, rk) является допустимой для оператора A тройкой.

Из леммы 1 и теоремы 1 и того, что dk ^ то при |к| ^ то вытекает

Теорема 2. Существует такое к > 0, что оператор A — B подобен оператору блочно-диагонального вида A — JkX, то есть

(A — B)(i + rk x) = (I + rk x )(A — Jk x),

где оператор X есть решение уравнения (5) с rk и Jk, и возмущением B.

3. Основные результаты

В следующей теореме приводятся аимптотические формулы для собственных значений оператора A — B.

Теорема 3. Существует такое натуральное число к > 1, что спектр а(А — B) оператора A — B представим в виде а(А — B) = a(k) U (Цг>аг), где a(k) содержит не более чем 2к + 1 собственных значений, аг = {^г}, |г| > к —одноточечные множества и имеют место следующие асимптотические формулы

/!г = а(г) + 2 + O(d"1), (7)

а(г + 1) _ 2а(г) + а(г — 1) , 2ч . .

"г = а<г> + 2 — (а(Д 1).: a(0)la(i-1) — 4)) + O<d- >■ |г1 > к. <8>

Соответствующие собственные векторы ег, |г| > к допускают асимптотическую оценку ||ег — у/г|| = O(d"2), где

1, i = j,

Vi(j) = <! (а(г ± 1) — а(г))"1, j = г ± 1, 0, в остальных случаях.

Доказательство. Мы рассмотрим только случай A = EndH, так как случай A = End* Н рассматривается аналогично.

Из подобия операторов A — B и A — JkX следует, что их спектры совпадают и спектр оператора A — B допускает представление (4), где аг = а(Аг) и a* = ((а(г) + 2)1 — РгХ)|Hi, |г| > к, Нг = 1тРг. Таким образом, для асимптотической оценки собственных значений оператора A — B нам нужен оператор РгХ |н,

но нам известен не сам оператор X, а последовательные приближения к нему, причём первым приближением является оператор В. Второе приближение имеет вид Х2 = ВГкВ — ГкВВ — ГкВ(ВГкВ?) и так далее.

Представим оператор Ргх |н в виде (РгВ + Рг(х — В))|н при этом РгВ|н = 0, |г| > к. Отметим асимптотические равенства:

1|Рг(х — В)|н || = || Рг (ВВГк х )|Яг || = О^-1).

Таким образом, формула (7) имеет место. Равенство (8) устанавливается аналогично, но в качестве второго приближения X берем оператор Х2 и учитываем, что

Рг(ВГкВ)|н = (^—7Г-7ТГ + к -ттт)/, |г| > к. В итоге получаем предав — 1) — а(г) а(г + 1) — а(г)

ставление (8).

Перейдём к оценке отклонений собственных векторов. Опять же из подобия рассматриваемых операторов А — В и А — ^X следует равенство

?г = (I + ГX)ег = ег + ГВег + Г(X — ВВ)ег, |г| > к,

где ег — собственный вектор оператора А—В, отвечающий собственному значению определенному формулой (7), а ег — собственный вектор оператора А, отвечающий собственному значению а(г) + 2, |г| > к. Отметим, что ег является вектором стандартного базиса пространства /2(^). Так как (ГВ)ег есть г- столбец матрицы Г&В?, то (ГкВ)ег = {0,..., 0, д^"^"^), 0, а(г+1)"а(г), 0, ...}т. Рассмотрим последовательность Уг вида

(1, г = к,

(а(г ± 1) — а(г))-1, к = г ± 1, 0, в остальных случаях. Следовательно, ||ег — уг|| = О(^"2), г ^ к + 1. □

В последующей теореме получены оценки равносходимости спектральных разложений операторов А — В и А.

Теорема 4. Для спектральных проекторов Рг = Р({^г},А — В), |г| > к, и

О к = Е, г|<к Рг имеют место формулы

Р = ри-1 + гхри-1, |г| > к, О?к = ои"1 + гхои-1,

Р — Рг = (г*хр — дг*X)и-1, |г| > к, О?к — О = (^х^ — Ок^х)и-1, причём

||Р?г — Р||* = О(^-1), |г| >к, (9)

N N

\-1

II V P -V Pi\W < M (min |a(p) - a(1)|)-1, где m > k, (10)

|i|>m |i|>m

a M — некоторая постоянная.

Доказательство. Из подобия операторов A — B и A — JkXX следует, что спектральные проекторы Pi, |i| > k оператора A (или оператора A) и спектральные проекторы Pi = P(ai, A — B) связаны равенством

Pi = (/ + Г x)Pi(/ + г X)-1,

где X4 G A — решение нелинейного уравнения (5). Отсюда и следуют формулы для Pj, и Pi — Pi. Аналогично получаются формулы для Qk и Qk — Qk. Далее:

||Pi — Pill < Ci(||rkX4Pill + IIPTXX|| + d-1), II(ГкXX)Pi\ ^ Cid-1

для некоторой постоянной C1 > 0. Следовательно, имеет место оценка (9). Оценка (10) получается аналогично оценке (9). □

Пример. Пусть числа a(n),n G Z, таковы, что a(n) = c1 ■ sign(n)|n|a + c2, а > 1 и оператор B определен равенством (2). Тогда имеют место теоремы 3 и 4 для асимптотической оценки собственных векторов, собственных значений и спектральных проекторов оператора A — B. Заметим, что в этом случае di = c3|i|a-1, а > 1, di ^ то при |i| ^ то.

и

Описок литературы

1. Мусилимов Б., Отелбаев М. Оценка наименьшего собственного значения одного класса матриц, соответствующих разностному уравнению Штурма - Лиувилля // Журн. вычислительной математики и математической физики. — 1981. — Т. 21. — C. 1430-1434.

MUSILIMOV B. and OTELBAEV M. (1981) Estimation of the least eigenvalues for the matrix class corresponding to the Sturm-Liouville difference equation. USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics. 21. p. 68-73.

2. Отелбаев М. О коэрцитивных оценках решений разностных уравнений. Исследование по теории дифференцируемых функций многих переменных и её приложениям // Труды МИАН СССР / М.: Наука. — 1988. — Ч. 12. — Т. 181. — C. 241-249.

OTELBAEV M. (1988) Coercive estimates for the solutions of difference equations. Trudy Math. Inst. Steclov. 181. p. 241-249.

3. Баскаков А. Г. Методы абстрактного гармонического анализа в теории возмущений линейных операторов. // Сибирский математический журнал. — 1983. — Т. 24. — №1. — C. 21-39.

BASKAKOV A. G. (1983) Method of abstract harmonic analysis in the theory of perturbation of linear operators. Siberian Math. J. Volume 24 (Issue 1). p. 17-32.

4. Баскаков А. Г. Спектральный анализ возмущенных неквазианалитических и спектральных операторов // Известия РАН. Серия математическая. — 1994. — Т. 54. — №4. — C. 3-32. BASKAKOV A. G. (1994) Spectral analysis of perturbed nonquasianalytic and spectral operators. Izv. RAN. Ser. Mat. Volume 58 (Issue 4). p. 3-32.

5. Баскаков А. Г. Метод подобных операторов в спектральном анализе несамосопряженного оператора Дирака с негладким потенциалом / А. Г. Баскаков, А. В. Дербушев, А. О. Щербаков // Известия РАН. Серия математическая. — 2011. — Т. 75. — №3. — C. 3-28.

BASKAKOV A. G. (2011) The method of similar operators in the spectral analysis of non-self-adjoint Dirac operators with non-smooth potentials. Izv. RAN: Ser. Math. Volume 75 (Issue 3). p. 445-469.

6. Баскаков А. Г. Оценка элементов обратных матриц и спектральный анализ линейных операторов // Известия РАН. Серия математическая. — 1997. — Т. 61. — №6. — C. 3-26.

BASKAKOV A. G. (1997) Estimates for the entries of inverse matrices and the spectral analysis of linear operators. Izv. RAN: Ser. Math. Volume 61 (Issue 6). p. 1113-1135.

7. Гаркавенко Г. В. О диагонализации некоторых классов линейных операторов // Известия вузов. Математика. — 1994. — №11. — C. 14-19.

GARKAVENKO G. V. (1994) On diagonalization of certian classes of linear operator. Russian Mathematics (Izvestiya VUZ. Matematika). Volume 38 (Issue 11). p. 11-16.

8. Ускова Н. Б. Об оценке спектральных проекторов возмущенных самосапряженных операторо // Сиб. мат. журн.. — 2000. — №3. — C. 712-721.

USKOVA N.B. (2000) On estimates for spectral projections of perturbed selfadjoint operators. Siberian Mathematical Journal. Volume 41 (Issue 3). p. 592-600.

Статья поступила в редакцию 11.10.2015