CC BY
15
УДК 539.2
DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21-3-1286-1288
СПЕКТРАЛЬНЫЕ ОСОБЕННОСТИ ДВУХУРОВНЕВЫХ СОСТОЯНИЙ В КРИСТАЛЛЕ С ТОЧЕЧНЫМ ДЕФЕКТОМ
© С.Е. Савотченко
Белгородский институт развития образования, г. Белгород, Российская Федерация, e-mail: [email protected]
Показано, что точечный дефект, который может находиться в двух состояниях, способен захватывать налетающую частицу. Получена амплитуда рассеяния частицы таким дефектом. Определена энергия выделенного уровня внутри сплошного спектра, при которой происходит локализация частицы вблизи притягивающего дефекта в возбужденном состоянии. Показано, что наличие выделенного уровня в сплошном спектре связано с существованием квазилокальных состояний, для которых получено дисперсионное соотношение и добавка к плотности состояний.
Ключевые слова: уравнение точечный дефект; уравнение Шредингера; плотность состояний; локализованные состояния; квазилокальные состояния.
ВВЕДЕНИЕ
Особенности взаимодействия локализованных состояний дискретного спектра и свободно распространяющихся волн при наличии дефектов вызывают интерес с точки зрения изучения резонансных явлений и рассеяния волн в кристаллах [1]. В частности, в [2] экспериментально обнаружены резонансы проводимости, связанные с взаимодействием на дефекте частиц, отвечающих различным ветвям спектра. Физические причины проявления такого вида резонансных явлений в твердых телах тесно связаны со свойствами квазилокальных состояний энергетического спектра [3-10]. Энергии таких состояний лежат в области сплошного спектра. Характеристики волн (квазичастиц) в твердых телах задаются некоторым набором параметров, которые описывают среду, взаимодействие волны со средой, взаимодействие волны с дефектом, взаимодействие волн одинаковой частоты, которые принадлежат различным ветвям энергетического спектра [11-12]. В зависимости от этих параметров в системе могут и возникать резонансные состояния. Особое внимание здесь уделяется особенностям резонансного рассеяния волн при реализации многоканальных (многоуровневых) процессов [3; 5-6; 7; 11]. Целью данной работы является анализ взаимосвязи между обсуждаемыми особенностями амплитуд рассеяния и спектральной плотностью состояний.
ФОРМУЛИРОВКА МОДЕЛИ
Рассмотрим эту проблему на основе простой модели двухуровневой системы [7]. Будем считать, что точечный дефект, расположенный в начале координат, может находиться в основном состоянии с энергией Е или в возбужденном с энергией Ее. Гамильтониан
рассматриваемой двухуровневой системы включает в себя кинетическую энергию частицы и потенциал взаимодействия частицы с дефектом:
H = - — А + Ega+ag + Eea+ae + U(r),
(1)
где А - оператор Лапласа; г - радиус-вектор; а+ , а-операторы рождения и уничтожения точечного дефекта
и уничтожения в возбужденном состоянии соответственно.
Взаимодействие дефекта с налетающей частицей можно описывать короткодействующим дельта-функционным потенциалом со сферической симметрией, включающим энергию упругого рассеяния точечным дефектом с интенсивностью а и энергию перехода из основного состояния в возбужденное с интенсивностью Р:
U(Г) = -&(r){a(a++as + a++ae) + ß(a+ae + a+ag)}, (2)
где г - модуль радиус-вектора; 8(г) - дельта-функция Дирака.
Гамильтониану (1) соответствует стационарное уравнение Шредингера НТ = ЕТ , представляющее собой обобщение на трехмерный сферически симметричный случай [4; 10], аналогичное рассмотренному в [7]. Поскольку потенциал дефекта обладает сферической симметрией, то и искомое решение будет обладать сферической симметрией, поэтому в (1)
А = 1 д ^. Волновая функция двухуровневой систе-г дг2
мы, подчиняющаяся уравнению Шредингера, состоит из двух слагаемых, для которых дефект может находиться в основном или в возбужденном состояниях: Т = а+| 0)у + а+| 0у, где волновые функции у (г)
и у (г) основного и возбужденного состояний являются независимыми решениями уравнения Шредингера.
2
+
в основном состоянии и a , a - операторы рождения
2016. Т. 21, вып. 3. Физика
Интегрирование уравнения Шредингера вблизи начала координат в пределе г ^ 0 и с использованием условия ортогональности основного и возбужденного состояний приводит к системе граничных условий [3]:
где А и В - постоянные амплитуды; ф - фаза, определяющая непрерывный спектр квазилокальных состояний посредством дисперсионного соотношения, получаемого после подстановки (9) в условия (3):
Пип {(ту,)'- г(ау )} = 0, (3)
|1лп{(гуе)'- г(а2уе + Ру,)} = °
^ г^0 6
РЕЗУЛЬТАТЫ
Если рассматривать задачу о рассеянии частицы дефектом в рамках модели (1-3), то для частицы с энергией в интервале Eg < Е < Ее, т. е. когда энергии налетающей частицы недостаточно, чтобы перевести дефект в возбужденное состояние, что соответствует упругому рассеянию, волновые функции следует искать в виде:
у, (г) = е'к + Я-
Vе (Г) = Т~
(4а) (4Ь)
1вф( Е) = -
- Р2 + ад(Е) .
к (Е )( д(Е ) + а2)
(10)
Из дисперсионного соотношения (10) следует, что спектр квазилокальных состояний содержит выделенный энергетический уровень (7) при ф = п/2. Это означает, что захват притягивающим дефектом частицы и ее локализация около него связана с существованием квазилокальных состояний. При ф = 0 получается другой выделенный уровень:
Е,
-Е --
2т
(11)
Следуя [4-6], из дисперсионного соотношения (10) можно получить добавку к спектральной плотности квазилокальных состояний:
где к2 = 2т(Е-ЕК)/Й2, д2 = 2т(Ее -Е)/Й2. Из условий (3) получаются значения амплитуд рассеяния (4):
Я =
д + а2
(д + а2)('к + а ) -Р
Т = -
Р
Р - (д + а2 )('к + а )
(5)
(6)
Как отмечалось в [3], возможно состояние, когда Я = 0, в случае притяжения (а2 < 0) при ^ = -а2, откуда получается энергия:
Е, = Е -
Ье е
Й а2 2т
(7)
5,(Е) = 1 ^Ф(Е) = т Д(Е) , ) я с1Е яЙ2 Д(Е)
где
(12)
д (Е) = (аа -Р2 +а д)( к2 - д2 - а д) - а к 2(д+а)' (13)
д (Е) = кд[к 2(д+а2 )2 + (аа2 -Р2 +а д)2],
(14)
а ^ = д(Е) и Л = к(Е). Добавка к спектральной плотности квазилокальных состояний (12) имеет максимум при значении энергии, смещенной относительно уровня (7). Данные результаты согласуются с выводами работ [4; 5; 8; 10], где были рассчитаны величины полуширины уровня и значения сдвига максимума добавки к спектральной плотности квазилокальных состояний относительно резонансных уровней энергии.
соответствующая локальному состоянию частицы на дефекте в возбужденном состоянии с амплитудой Т(ЕЬе) = 1/р. В этом случае происходит захват налетающей частицы притягивающим дефектом.
Особенность локального уровня (7) состоит в том, что он может находиться в интервале сплошного спектра Eg < Е < Ее. Но при выполнении условия Ее - Eg < < Й2а2 / 2т , т. е. когда ширина зоны перехода в возбужденное состояние из основного меньше энергии притяжения частицы дефектом в возбужденном состоянии, локальный уровень (7) будет располагаться ниже энергии основного состояния вне сплошного спектра.
Наличие локального уровня (7) в интервале сплошного спектра Eg < Е < Ее связано с существованием квазилокальных состояний [5-10; 12]. Волновые функции таких состояний имеют вид:
ш = — со$,(кг -ф), 2 г
В -дг
у = —е д ео8ф , г
(9а) (9Ь)
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Показана возможность резонансного взаимодействия частицы с точечным дефектом в условиях двухуровневых состояний, которая связана с тем, что при определенной энергии налетающей частицы она взаимодействует с выделенным энергетическим уровнем в спектре квазилокальных состояний. Наличие выраженного максимума на кривой плотности состояний показывает, что соответствующие состояния резко выделены и действительно имеют характер резонансного взаимодействия в сплошном спектре. Полученные в данной работе результаты согласовываются с приведенными в работе [7], в которой рассматривалась двухуровневая одномерная система при наличии точечного дефекта.
Изложенные результаты с точки зрения теории квазилокальных состояний в кристаллах можно рассматривать как дополнение к исследованиям [3-12]. Следует отметить, что рассмотренные особенности спектра квазилокальных состояний, а точнее, принципиальная возможность возникновения описанных эффектов, обусловлены характеристиками спектра собственных состояний двухуровневой системы и слабо зависят от
2
Й [ а, а, -Р
2
а
г
дг
Г
вида взаимодействия короткодействующего потенциала с частицей.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Darynskii A.N., Maugin. G.A. // Wave Motion. 1996. V. 23 (4). P. 363385.
2. Liang C.-T., Castelton I.M., Frost J.E., Barnes C.H.W., Smith C.G., Ford C.J.B., Ritchie D.A. and Pepper M. // Phys. Rev. B. 1997. V. 55. P. 6723-6727.
3. Косевич А.М. // ЖЭТФ. 1999. Т. 115. № 1. С. 306-317.
4. Савотченко С.Е. // Физика и техника полупроводников. 2000. Т. 34. № 11. C. 1333-1338.
5. Косевич А.М., Мацокин Д.В., Савотченко С.Е. // Письма в ЖЭТФ. 2001. Т. 73. № 11-12. С. 680-683.
6. Косевич А.М., Савотченко С.Е. // Научные ведомости. Сер. «Физика». Белгород, 2000. № 1 (10). С. 3-9.
7. Савотченко С.Е. // Известия высших учебных заведений. Сер. Физика. 2001. Т. 44. № 4. C. 67-73.
8. Косевич А.М., Мацокин Д.В., Савотченко С.Е. // Научные ведомости. Сер. «Физика». Белгород, 2001. № 1 (14). C. 21-26.
9. Савотченко С.Е. // Вестник Харьковского национального университета им. В.Н. Каразина. Сер. «Физика». 2000. № 476. Вып. 4. С. 31-33.
10. Савотченко С.Е. // Известия высших учебных заведений. Сер. Физика. 2002. Т. 45. № 12. С. 1148-1158.
11. Косевич А.М., Мацокин Д.В. // ФНТ. 2000. Т. 26, № 6. С. 615-619.
12. Савотченко С.Е. // Конденсированные среды и межфазные границы. 2015. Т. 17. № 2. С. 219-226.
Поступила в редакцию 10 апреля 2016 г.
UDC 539.2
DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21-3-1286-1288
SPECTRAL CHARACTERISTICS OF TWO-LEVEL STATES IN A CRYSTAL WITH POINT DEFECT
© S.E. Savotchenko
Belgorod Institute of Education Development, Belgorod, Russian Federation, e-mail: [email protected]
The work shows that point effect, which may be in two states is able to capture incident article. Matrix amplitude of particle by such defect is procured. The energy of the marked level inside continuum was defined at which particle localization near magnetic defect in upper state. It is shown that the presence of the marked level in continuum is connected with existing of quasilocal state, for which dispersion relation and additive effect to density of states are procured.
Key words: equation point effect; Schrodinger equation; density of states; localized states; quasilocal state.
REFERENCES
1. Darynskii A.N., Maugin. G.A. Wave Motion, 1996, vol. 23 (4), pp. 363-385.
2. Liang C.-T., Castelton I.M., Frost J.E., Barnes C.H.W., Smith C.G., Ford C.J.B., Ritchie D.A. and Pepper M. Phys. Rev. B, 1997, vol. 55, pp. 6723-6727.
3. Kosevich A.M. Zhurnal eksperimental'noy i teoreticheskoy fiziki - Journal of Experimental and Theoretical Physics, 1999, vol. 115, no. 1, pp. 306-317.
4. Savotchenko S.E. Fizika i tekhnikapoluprovodnikov, 2000, vol. 34, no. 11, pp. 1333-1338.
5. Kosevich A.M., Matsokin D.V., Savotchenko S.E. Pis'ma v Zhurnal eksperimental'noy i teoreticheskoy fiziki - Journal of Experimental and Theoretical Physics, 2001, vol. 73, no. 11-12, pp. 680-683.
6. Kosevich A.M., Savotchenko S.E. Nauchnye vedomosti. Seriya "Fizika", Belgorod, Belgorod State University, 2000, no. 1 (10), pp. 3-9.
7. Savotchenko S.E. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Seriya Fizika, 2001, vol. 44, no. 4, pp. 67-73.
8. Kosevich A.M., Matsokin D.V., Savotchenko S.E. Nauchnye vedomosti. Seriya "Fizika", Belgorod, Belgorod State University, 2001, no. 1 (14), pp. 21-26.
9. Savotchenko S.E. Vestnik KhNU. Seriya "Fizika" — The Journal of V.N. Karazin Kharkiv National University, series "Fizika", 2000, no. 476, vol. 4, pp. 31-33.
10. Savotchenko S.E. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Seriya Fizika, 2002, vol. 45, no. 12, pp. 1148-1158.
11. Kosevich A.M., Matsokin D.V. Fizika nizkikh temperatur - Low Temperature Physics, 2000, vol. 26, no. 6, pp. 615-619.
12. Savotchenko S.E. Kondensirovannye sredy i mezhfaznye granitsy, 2015, vol. 17, no. 2, pp. 219-226.
Received 10 April 2016
Савотченко Сергей Евгеньевич, Белгородский институт развития образования, г. Белгород, Российская Федерация, доктор физико-математических наук, доцент, профессор кафедры естественно-математического образования и информационных технологий, e-mail: [email protected]
Savotchenko Sergey Evgenevich, Belgorod Institute of Education Development, Belgorod, Russian Federation, Doctor of Physics and Mathematics, Associate Professor оf Natural and Mathematics Education and Information Technology Department, e-mail: [email protected]
