CC BY
52
УДК 539.2
ОСОБЕННОСТИ РЕЗОНАНСНЫХ СОСТОЯНИЙ СДВИГОВЫХ УПРУГИХ ВОЛН В СЛОИСТОЙ СРЕДЕ
В.В.Красильников, С.Е.Савотченко*
PECULIARITIES OF THE RESONANCE STATES OF SHEAR ELASTIC WAVES IN LAYERED MEDIUM
V.V.Krasil'nikov, S.E.Savotchenko*
Белгородский государственный университет, kras@bsu.edu.ru, *Белгородский юридический институт МВД РФ, savotchenko@hotbox.ru
Проведен анализ особенностей стационарного резонансного рассеяния однокомпонентной сдвиговой волны при прохождении через слоистую структуру. На примере простой модели продемонстрирована характерная особенность рассеяния такой волны, которое заключается в том, что в колебательном спектре линия резонансных частот продолжается дисперсионными кривыми частот локализованных колебаний. Установлено, что полное прохождение через слои возможно благодаря резонансу волны, прошедшей через первую границу, с отраженной от второй границы волной. Показано, что возникает целый набор резонансных частот полного прохождения через слоистую структуру. Такие особенности рассеяния связаны с конечными размерами слоя, в котором происходит акустический резонанс. Ключевые слова: слоистые структуры; резонансное рассеяние; сдвиговые волны
This paper provides analytical description of the peculiarities of sustained resonance scattering of a single-component shear wave when passing through the layered structure. Characteristic feature of scattering of such a wave was demonstrated on a simple model: in vibrational spectrum, the line of resonance frequencies continues by dispersion frequency curves of localized vibrations. It was found that total transition through the layers is possible due to resonance of the wave passed through the first boundary and the wave reflected from the second boundary. It is shown that there is a whole set of resonance frequencies of the total transition through a layered structure. Such peculiarities of scattering are associated with finite dimensions of the layer in which the acoustic resonance takes place.
Keywords: layered structures, resonance scattering, shear waves
Как хорошо известно, помимо поверхностных волн в кристаллах вблизи плоского дефекта [1-3] могут существовать псевдолокализованные (квазилокальные, квазиобъемные или квазиповерхностные) колебания [412], представляющие собой суперпозицию объемной и локальной мод. Скорости таких волн лежат между скоростями поперечной и продольной звуковых объемных волн с <ю/k < с1. Условие того, что нормальная компонента плотности потока энергии упругой волны должна обращаться в нуль на бесконечности, приводит к появлению непрерывного спектра квазилокальных колебаний. Такой спектр зависит от параметра, имеющего смысл фазы волны вблизи дефекта. В [6] впервые было обращено внимание на то, что частотные зависимости поверхностных волн приходят в те же точки границы сплошного спектра колебаний, куда приходят частотные зависимости так называемых волн трансформации. Волны трансформации представляют собой волны, характеризуемые многокомпонентным смещением, компоненты которого отвечают различным ветвям сплошного спектра [13]. Такие волны бывают различных типов, простейшим примером одного из которых является случай, когда на поверхность кристалла падает поперечная волна, а после отражения она становится продольной. Можно привести множество примеров подобного рода процессов трансформации волн в случае, когда падающая на дефект волна содержит компоненты различной поляризации.
На существование особых частотных линий внутри сплошного спектра объемных колебаний обращалось внимание и ранее как в теоретических работах [14,15], так и экспериментальных [16,17]. Как правило, анализ резонансных квазиповерхностных фононов и учет влияния дискретности кристаллической решетки проводился в рамках скалярных моделей [18]. Например, в [19] экспериментально установлено, что резонансные моды могут возникать только вдоль направления [110] ГЦК металла у поверхности (110). С помощью теоретических расчетов в [19] показано, что квазиповерхностные резонансные моды имеют частоты в интервале немонотонного поведения плотности колебаний кристалла
Ютях < ю < 5ютях где максимальная частота
ютях является верхней границей сплошного спектра объемных колебаний. В этой работе в рамках скалярной модели кристаллической решетки было предложено объяснение того, что резонансный фо-нон (смещение п-го атомного слоя) состоит из локализованной у поверхности моды, а также падающей и отраженной объемных волн.
Исследования показали, что резонансные колебательные состояния тесно связаны с процессами рассеяния волн на дефектах [20-26]. Возникновение резонансного рассеяния на дефекте может быть объяснено в двух случаях:
— если дефект обладает некоторой структурой с характерным размером h, и длина рассеивающейся волны X оказывается согласованной с ним: X и 2^ (п — целые числа), то возникает геометрический резонанс;
— если дефект обладает внутренней динамической степенью свободы, характеризующейся собственной частотой ю^, и частота рассеивающейся волны совпадает с ней ю и ю^, то возможен обыкновенный частотный резонанс.
Существует большое количество работ, посвященных как теоретическому, так и экспериментальному изучению геометрических резонансов твердых тел в слоистых средах и кристаллах [27]. Коэффициенты отражения (прохождения) не будут иметь особенностей в случае, когда рассматриваемый дефект не имеет внутренних степеней свободы (внутренних мод), тогда невозможен частотный резонанс. Было описано резонансное отражение поперечных упругих волн от тонкого пассивного (не имеющего внутренних колебательных мод) плоского дефекта при условии, что фазовые скорости падающих волн лежат в интервале с < с < с [7,11,20]. Можно увидеть аналогию между рассматриваемыми здесь резонансным рассеянием упругих волн и туннелированием через примесные состояния в гетероструктурах [28]. Показано, что резонансное туннелирование возможно при нетривиальных значениях исходных параметров, причем резонансы имеют вид, характерный для резо-нансов Фано. Тогда возникает интерес проанализировать в рамках простых моделей форму резонансных линий, соответствующих зависимостям коэффициентов отражения и прохождения от частоты (энергии) при рассеянии возбуждений на дефектах в кристаллах. С позиции теории многоканального квантового рассеяния объяснение физических причин резонансного рассеяния в кристаллах и волноводных свойств плоских дефектов было приведено в [29].
С теоретической точки зрения задача рассеяния возмущения плоским дефектом фактически сводится к одномерной, что позволяет легко заметить особенности рассматриваемой ситуации, а в некоторых случаях получить аналитические результаты. В [20] было описано резонансное рассеяние упругой волны рэлеевской поляризации и = (их ,0,и2) тонким дефектным слоем при условии, что частота падающей волны ю близка к частоте продольной объемной волны юх. Показано, что линии резонансных частот полностью прошедшей через дефект волны продолжаются вне сплошного спектра объемных колебаний дисперсионными кривыми частот локализованных волн. Возможность такого рода резонансного рассеяния связана со взаимодействием на дефекте двух ветвей спектра: объемной поперечной и локализованной продольной.
В данной работе предлагается описание особенностей стационарного резонансного рассеяния одно-компонентной сдвиговой волны и = (0, иу ,0) при прохождении через слоистую структуру. Такая неоднородная структура состоит из прослойки, толщина которой 2а существенно превышает толщины узких слоев h, отделяющих ее от всей среды. Простейшую мо-
дель границ представляет собой локализованные в узких слоях изменения плотности среды [30]. Спектр объемных колебаний состоит из одной ветви, однако полное прохождение в этом случае возможно благодаря резонансу волны, прошедшей через первую границу, с отраженной от второй границы волной. В рассматриваемой системе возникает целый набор резонансных частот полного прохождения через слоистую структуру. Такие новые особенности рассеяния связаны с конечными размерами слоя, в котором происходит акустический резонанс. В этом смысле существование набора резонансных мод аналогично спектру сдвиговых локализованных в тонкой пластине волн (волны Лява) [1,13].
Выделенные линии в сплошном спектре так же, как и показано в [6-11, 22-26], оказываются связанными с частотными кривыми локализованных колебаний. В рассматриваемой системе могут существовать локализованные колебания симметричного и антисимметричного типов. Линия частот низшей резонансной моды приходит в ту же точку границы сплошного спектра, куда приходит дисперсионная кривая частот локализованных колебаний антисимметричного типа.
Рассмотрим изотропную упругую среду, состоящую из трех слоев. Пусть границы раздела, находящиеся на расстоянии 2а, представляют собой возмущения плотности среды в тонких слоях толщины h, сосредоточенные в плоскостях г = ±а, а ось 02 перпендикулярна границам раздела. Здесь используется простейшая модель плоского дефекта, представляющего собой изменение плотности изотропной среды вдоль заданной плоскости: масса атома М в плоскостях дефектов 2 = ±а отличается от массы атома т в остальном объеме среды. Тогда плотность среды можно представить в виде [29,30] р(2) = р0{1 + ^5(2 + а) + ^5(2 - а)}, где р0 — плотность среды, - = (М-т)/т — характеристика границы слоев - относительное изменение массы атомов в плоскостях дефекта, 52 — дельта-функция. Тогда уравнение движения можно записать в следующем виде:
£=р<2) -
2
х, * • <0
где ст, — тензор напряжений (г = х,у,2). Будем интересоваться распространением упругой волны и = (0, иу ,0) вдоль границ раздела (ось 0х), где
иу (х, 2) = и(2)ег(кх-ш). (2)
Подставив (2) в уравнение (1), можно получить уравнение, определяющее зависимость амплитуды и(2):
(ю2 - ю2)и(2)+С2 ди(2)_ = --Ню2и(2) {5(2+а) +5(2 - а)},(3) д2
где ю( = с(к и с2 = ц/ р0 — частота и скорость поперечной волны в изотропной среде, ц — упругий модуль. Из уравнения (3) естественным образом вытекают следующие граничные условия:
ди(±а + 0) ды(±а - 0)' д2 д2 |и(±а + 0) = и(±а - 0).
= --йю и(±а);
Если волна с частотой ю >ю, падает на границу раздела слоев со стороны г < 0, то решение уравнения (3) следует искать в виде:
и(Ы) =
¿^а) + Ке-гф+а), 2 <_а
Авщ + Вв-щг, Ы <а
Т(М*_а) ы > а
(5)
где с(ю) = Ы—г _1.
Ую?
Подставив решение (5) в граничные условия (4), нетрудно получить коэффициенты отражения и прохождения соответственно:
\Я\2 =
цИк 41 2с С0Б2ас _цИк 4-sm2ас
ю?
Ю?
4Д(ю, к)
„4
Т =
с
D(ю, к)'
(6) (7)
где
D(ю, к) = |с28Ш2 ас +
С С08 ас _ ц Ик —- sin ас
х<)с2С052 ас +
2
Ю
2
V
с ас + цИк —2 С08 ас
Ю2
/
Коэффициент отражения (6) и прохождения (7) имеют особенности, связанные с резонансом упругой волны во внутреннем слое между дефектами. В случае одной границы при ак = 0 эти резонансные особенности пропадают, и коэффициенты (6) и (7) приобретают простой вид:
2 = /4(цИ / с, )2
I I 4 2 2 2 '
ю (цИ/с,) +ю _ю,
22
Т 2 = Ю _
I I 4 2 2 2 *
ю (цИ /с,) +ю _ ю,
(8) (9)
Условие резонансного прохождения волны че-
рез слоистую структуру \Я\2 = 0 уравнению:
= 1) приводит к
(
, , Ю ■hk--tg
2
2ак„\ 4 _1
Ю,
V ■ , у
= 2/4 _1,
ю,
(10)
из которого определяются резонансные частоты. Анализ уравнения (10) показал, что возникает целый набор таких частот юп при фиксированных значениях ак. Так, при цИк = 0 спектр резонансных частот будет:
ЮП=Юч/ К(п = 1,2,3...).
Из (10) можно получить асимптотическое поведение резонансных частот при больших значениях параметра дефекта цИк >> 1:
ш и ,( %п
Юп =Ю^ 1 + [ Юк
где четные п = 2,4,6... для цйк^то, и нечетные п = 1,3,5... для цИк^-да. Низшая резонансная мода существует при
значения параметра дефекта цИк < 1/ак и стремится сверху к нижней границе сплошного спектра ю^ю,
при цИк^-1/ак.
Покажем, что линии резонансных частот полного прохождения продолжаются вне сплошного спектра дисперсионными кривыми частот локальных колебаний. В рассматриваемой слоистой среде возможны стационарные локальные колебания двух типов: и8 (_ы) = и8 (г) — симметричные и иА(_г) = _иА(г) — антисимметричные с частотами ниже сплошного спектра ю<ю,. Смещение в колебаниях симметричного и антисимметричного типов могут быть записаны в виде:
и8 (ы) =
иА(Ы) =
п5вк(г+а), Ы <_а В5chкz, Ы < а и5г-к(ы_а), ы > а иАек(г+а), г <_а В^^кг, < а _ иАе~к(г_а), г > а
(11)
(12)
Ю
где к = к 1—2 — параметр затухания волны при
V ю,2
удалении от дефекта, и3А,В5,А — амплитуды симметричных (индексы «$») и антисимметричных (индексы «А») колебаний. Подставив (11) и (12) в граничные условия (4), можно получить дисперсионные соотношения, определяющие частоты локализованных симметричных и антисимметричных колебаний соответственно:
■Ик = ^ 2Ю/2/2Ю2 |1 + акт] 1_ю2/ю(2)}, (13)
==Щ/[ |1+ак-Я
ю2//2 I V *
_ю2/ ю2 |к (14)
Локализованные колебания существуют только в случае «тяжелых примесей» М > да (цИк > 0). Частоты локализованных колебаний симметричного типа отщепляются от нижнего края сплошного спектра при бесконечно малом возмущении цИк << 1, а частоты локализованных колебаний антисимметричного типа отщепляются пороговым образом при цИк > 1/ак. Анализ дисперсионного соотношения (14) показал, что частотные кривые антисимметричных локализованных колебаний приходят в ту же точку границы сплошного спектра 1/ак, куда приходят кривые резонансных частот полного прохождения.
Резонансные особенности рассеяния упругой волны в слоистой среде связаны с интерференцией волн во внутреннем слое. Такое взаимодействие упругого возмущения с границами приводит к возникновению стационарных квазилокальных состояний с частотами в сплошном спектре ю>ю,. Аналогично локализованным, квазилокальные колебания могут быть симметричного и антисимметричного типов, упругие поля в которых могут быть записаны в виде
2
2
2
2
2
X
со
со
uSsin(qz + ф5), z <-a uS (z) = \BS cosqz, |z| < a (15)
-uS sin(qz-ф5), z > a uA sin(qz +ф5), z <-a uA(z) = \BA sinqz, |z| <a (16)
uA sin(qz-ф5), z > a где ф5, A — фазы симметричных и антисимметричных колебаний.
Для выяснения смысла фазы ф можно рассмотреть задачу о собственных упругих колебаниях в образце конечной толщины 2L, содержащих рассмотренную выше неоднородную структуру (L >> a). Тогда к граничным условиям (4) необходимо добавить u(+L) = 0. Произведя вычисления, можно прийти к
следующему результату: ф(ю) = lim kL —2 _1.
L^<» у Ю2
Подставив (15) и (16) в граничные условия (4), можно получить дисперсионные соотношения, определяющие частоты симметричных и антисимметричных квазилокальных колебаний соответственно:
■qhro2
ctg(aq-ф5)+tgaq = --
ctg(aq -ф a) - ctgaq = -
qct
qhro2
qcf
(17)
(18)
Предложенным в [8] способом можно вычислить плотности квазилокальных колебаний в данной модели: g(ю) = go(ю) + 5g(ю), где go(ю) — плотность
колебаний среды без дефектов и 5g(ю)=""дю" —
добавка за счет границ раздела. Тогда соответствующие относительные добавки к плотностям симметричных и антисимметричных колебаний будут иметь вид:
х
go L
qhka¡
+2 -
cos aq+qa,
sin2aq
2 2 q cos aq+
SgA(ra) _ qh = L
qh
cos aq+q sin aq
,(19)
go
qh&a,
ю
4
+ 2 -
sin2 aq - qak — I sin2aq
2 • 2 q sin aq +
q cos aq-qhkl — I sin aq
ю
.(20)
Из (19) и (20) следует, что за счет границ раздела среды возникают осцилляции плотности состояний, связанные с размером а. При а = 0 они пропадают, так как для состояний антисимметричного типа 5?а (ю) = 0, а для симметричного типа:
Sgs_ qh
О 2 2
2ю, -ю
go
L ro4(qh/ct)2 + ю2-ю
В заключение можно отметить, что на примере простой модели слоистой среды продемонстрирована характерная особенность процесса рассеяния упругого возмущения плоским дефектом (или системой плоских дефектов): продолжение линий резонансных частот дисперсионными кривыми частот локализованных колебаний. Показано также, что возникает целый набор резонансных мод с частотами внутри сплошного спектра. Сведение задачи рассеяния плоскими дефектами к одномерной позволило получить аналитические выражения добавок к плотности квазилокальных состояний, возникающих за счет границ раздела.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
Викторов И.А. Звуковые поверхностные волны в твердых телах. М.: Наука, 1981. 287 с.
Петрова Т.Г., Сыркин Е.С. Поверхностные спиновые волны в гейзенберговских ферромагнетиках (обзор) // ФНТ. 1991. Т.17. №4. С.411-432.
Косевич А.М., Сыркин Е.С., Тутов А.В. Акустические сдвиговые волны, локализованные вблизи плоского дефекта в ГЦК кристалле // ФНТ. 1996. Т.22. №7. С.804-813.
Косевич А.М., Тутов А.В. Квазилокализованные поверхностные волны у плоского дефекта в кристалле // ФНТ. 1993. Т.19. №11. С.1273-1276.
Kosevich A.M., Tutov A.V. Localized and pseudolocalized at a plane defect elastic waves // Phys. Lett. А. 1996. Vol.213. P.265-272.
Косевич А.М., Мацокин Д.В., Савотченко С.Е. Поверхностные и квазиповерхностные фононы и волны трансформации в гексагональном кристалле // Физика низких температур. 1998. Т.24. №10. С.992-1002. Kosevich A.M., Matsokin D.V., Savotchenko S.E. et al. Peculiarities of acoustic phonon scattering from a planar crystal defect and pseudosurface phonons // Phys. B. 1999. Vol.263264. P.105-107.
Савотченко С.Е. Квазилокальные состояния и особенности резонансного рассеяния частиц дефектами в полупроводниковых кристаллах, обладающих зонной структурой энергетического спектра // Физика и техника полупроводников. 2000. Т.34. №11. C.1333-1338. Савотченко С.Е. Особенности рассеяния частиц и возбуждение квазилокальных состояний стационарным потоком в двухуровневой системе // Известия вузов. Физика. 2001. Т.44. №4. C.67-73.
Косевич А.М., Мацокин Д.В., Савотченко С.Е. Особенности плотности квазилокальных состояний вдоль резонансных кривых в сплошном спектре // Письма в ЖЭТФ. 2001. Т.73. №11-12. С.680-683.
Косевич А.М., Мацокин Д.В., Савотченко С.Е. Резонансные особенности в спектре квазилокальных состояний в системах с несколькими ветвями закона дисперсии // Научные ведомости. Сер.: Физика. БелГУ, 2001. №1(14). C.21-26.
Савотченко С.Е. Особенности плотности квазилокальных состояний при наличии дефектов в средах с пространственной дисперсией // Известия вузов. Физика. 2002. Т.45. №12. С. 1148-1158.
Федоров Ф.И. Теория упругих волн в кристаллах. М.: Наука, 1965. 387 c.
Любимов В.Н., Санников Д.Г. Поверхностные квазиобъемные и рэлеевские волны в кристаллах // ФТТ. 1973. Т.15. №6. С.345-351.
Гельфгат И.М. Новый тип длинноволновых поверхностных колебаний кристалла // ФТТ. 1977. Т.19. №6. С.1711-1714.
Braco G., Tatarek R., Tommasini F. et al. Avoided crossing of vibrational modes in Ag(110): observed He time-of-flight measurement // Phys. Rev. B. 1987. Vol.36. №5. P.2928-2930.
2
2
3.
4
5.
6
7.
8
9.
4
2
2
X
2
2
CO
CO
2
ю
CO
CO
X
2
2
17. Zeppenfeld P., Kern K., David R. et al. Lattice dynamics of Cu (110): high-resolution He-scattering study // Phys. Rev. B. 1988. Vol.38. №17. P.12329-12337.
18. Franchini A., Santoro G., Bortolani V., Wallis R.F. Theory of surface resonant phonons on the (110) surface of silver // Phys. Rev. B. 1988. Vol.38. №17. P.12139-12143.
19. Strocio J., Persson M., Bare S., Ho W. Observation of structure-induced surface vibrational resonances // Phys. Rev. Lett. 1985. Vol.54. №13. P.1428-1431.
20. Darynskii A.N., Maugin G.A. The elastic wave resonance reflection from a thin solid layer in a crystal // Wave Motion. 1996. Vol.23. №4. P.363-385.
21. Kosevich Y.A., Syrkin E.S. Dissipative interaction and anomalous surface absorption of bulk phonons at two-dimension defect in solids // Phys. Lett. А. 1998. Vol.251. №2-4. P.378-386.
22. Kosevich A.M., Matsokin D.V., Savotchenko S.E. Localized waves and peculiarities of phonon scattering from a planar defect in FCC crystal // Phys. B. 1999. Vol.263-264. P.114-117.
23. Косевич А.М Особенности двуканального резонансного рассеяния волны или частицы на плоском дефекте // ЖЭТФ. 1999. Т.115. №1. С.306-317.
24. Косевич А.М., Мацокин Д.В., Савотченко С.Е. Особенности резонансного рассеяния фононов плоским дефектом в ГЦК кристалле // Физика низких температур. 1999. Т.25. №1. C.63-71.
25. Kosevich A.M., Savotchenko S.E. Forced vibrations and resonance wave scattering on impurity in 1D discrete lattice with nearest- and next-nearest neighbors interaction // Phys. B. 2000. Vol. 284-288. P.1551-1552.
26. Косевич А.М., Савотченко С.Е. Резонансное многоканальное рассеяние волн или частиц и отклик системы на когерентный ток // Научные ведомости. Сер.: Физика. БелГУ, 2000. №1(10). C.3-9.
27. Бирюков С.В., Гуляев Ю.В. Плесский В.П. Поверхностные акустические волны в неоднородных средах. М.: Наука, 1991. 414 c.
28. Liang C.T., Frost. J.E., Barnes C.H. et al. Resonant transmos-sion through an open quantum dot // Phys. Rev. B. 1997. Vol.55. №11. P.6723-6730.
29. Косевич А.М., Мацокин Д.В. Волноводные свойства двух параллельных дефектов в условиях двухканального рассеяния // ФНТ. 2000. Т.26. №6. С.615-619.
30. Савотченко С.Е. Влияние диссипации энергии сдвиговой волны на резонансные свойства плоских дефектов в диспергирующих средах // Вестник ХНУ. Сер.: Физика. 2000. №476. Вып.4. C.31-33.
1.
References
Viktorov I.A. Zvukovye poverkhnostnye volny v tverdykh te-lakh [Surface sound waves in solid bodies]. Moscow, "Nauka" Publ., 1981. 287 p.
2. Petrova T.G., Syrkin E.S. Poverkhnostnye spinovye volny v geizenbergovskikh ferromagnetikakh (obzor) [Surface spin waves in Heisenberg's ferromagnets (review article)]. Fizika nizkikh temperature - Low Temperatutre Physics, 1991, vol. 17, no. 4, pp. 411-432.
3. Kosevich A.M., Syrkin E.S., Tutov A.V. Akusticheskie sdvigovye volny, lokalizovannye vblizi ploskogo defekta v GTsK kristalle [Acoustic shear waves localized near a planar defect in fcc crystal]. Fizika nizkikh temperature - Low Temperatutre Physics, 1996, vol. 22, no. 7, pp. 804-813.
4. Kosevich A.M., Tutov A.V. Kvazilokalizovannye poverkhnostnye volny u ploskogo defekta v kristalle [Quasi-local surface waves near plane defect in a crystal and "leaky waves"]. Fizika nizkikh temperature - Low Temperatutre Physics, 1993, vol. 19, no. 11, pp. 1273-1276.
5. Kosevich A.M., Tutov A.V. Localized and pseudolocalized at a plane defect elastic waves. Physics Letters A, 1996, vol. 213, pp. 265-272.
6. Kosevich A.M., Matsokin D.V., Savotchenko S.E. Poverkhnostnye i kvazipoverkhnostnye fonony i volny trans-formatsii v geksagonal'nom kristalle [Surface and quasi-surface phonons and transformation waves in a hexagonal crystal]. Fizika nizkikh temperature - Low Temperatutre Physics, 1998, vol. 24, no. 10, pp. 992-1002.
7. Kosevich A.M., Matsokin D.V., Savotchenko S.E., Semagin D.A., Tutov A.V. Peculiarities of acoustic phonon scattering from a planar crystal defect and pseudosurface phonons. Physica B, 1999, vol. 263-264, pp. 105-107.
8. Savotchenko S.E. Kvazilokal'nye sostoianiia i osobennosti rezonansnogo rasseianiia chastits defektami v poluprovod-nikovykh kristallakh, obladaiushchikh zonnoi strukturoi en-ergeticheskogo spektra [Quasi-localized state and peculiarities of resonance scattering of particles on defects in semiconductor crystals with band spectrum structure]. Fizika i tekhnika poluprovodnikov - Semiconductors, 2000, vol. 34, no. 11, pp. 1333-1338.
9. Savotchenko S.E. Osobennosti rasseianiia chastits i voz-buzhdenie kvazilokal'nykh sostoianii statsionarnym potokom v dvukhurovnevoi sisteme [Peculiarities of particle scattering and activation of quasi-localized states by stationary stream in two-level system]. Izvestiia vysshikh uchebnykh zave-denii. Fizika - Russian Physics Journal, 2001, vol. 44, no. 4, pp. 67-73.
10. Kosevich A.M., Matsokin D.V., Savotchenko S.E. Osoben-nosti plotnosti kvazilokal'nykh sostoianii vdol' rezonans-nykh krivykh v sploshnom spektre [Density of quasilocal-ized states along the resonance curves in continuum]. Pis'ma v ZhETP - JETP Letters, 2001, vol. 73, no. 11, pp. 600-603.
11. Kosevich A.M., Matsokin D.V., Savotchenko S.E. Rezo-nansnye osobennosti v spektre kvazilokal'nykh sostoianii v sistemakh s neskol'kimi vetviami zakona dispersii [Resonance specifics in quasilocalized states in the systems with several variants of dispersion law]. Nauchnye vedomosti Belgorodskogo gosudarstvennogo universiteta. Seriia: Fizika - Belgorod State University Scientific Bulletin. Physics,
2001, no. 1(14), pp. 21-26.
12. Savotchenko S.E. Osobennosti plotnosti kvazilokal'nykh sostoianii pri nalichii defektov v sredakh s prostranstvennoi dispersiei [Density of quasilocalized states in the case of defects in space-dispersive mediums]. Izvestiia vysshikh uchebnykh zavedenii. Fizika - Russian Physics Journal,
2002, vol. 45, no. 12, pp. 1148-1158.
13. Fedorov F.I. Teoriia uprugikh voln v kristallakh [Theory of elastic waves in crystals]. Moscow, "Nauka" Publ., 1965. 387 p.
14. Liubimov V.N., Sannikov D.G. Poverkhnostnye kvaziob"emnye i releevskie volny v kristallakh [Surface quasi-bulk and Rayleigh elastic waves in crystals]. Fizika tverdogo tela - Physics of the Solid State, 1973, vol. 15, no. 6, pp. 345-351.
15. Gel'fgat I.M. Novyi tip dlinnovolnovykh poverkhnostnykh kolebanii kristalla [A new type of long wave surface oscillations of crystal]. Fizika tverdogo tela - Physics of the Solid State, 1977, vol. 19, no. 6, pp. 1711-1714.
16. Braco G., Tatarek R., Tommasini F., Linke V., Persson M. Avoided crossing of vibrational modes in Ag(110): observed He time-of-flight measurement. Physical Review B, 1987, vol. 36, no. 5, pp. 2928-2930.
17. Zeppenfeld P., Kern K., David R., Kuhnke K., Comsa G. Lattice dynamics of Cu (110): high-resolution He-scattering study. Physical Review B, 1988, vol. 38, no. 17, pp. 1232912337.
18. Franchini A., Santoro G., Bortolani V., Wallis R.F. Theory of surface resonant phonons on the (110) surface of silver. Physical Review B, 1988, vol. 38, no. 17, pp. 12139-12143.
19. Strocio J., Persson M., Bare S., Ho W. Observation of structure-induced surface vibrational resonances. Physical Review Letters, 1985, vol. 54, no. 13, pp. 1428-1431.
20. Darynskii A.N., Maugin G.A. The elastic wave resonance reflection from a thin solid layer in a crystal. Wave Motion, 1996, vol. 23, no. 4. pp. 363-385.
21. Kosevich Y.A., Syrkin E.S. Dissipative interaction and anomalous surface absorption of bulk phonons at two-dimension defect in solids. Physics Letters A, 1998, vol. 251, no. 2-4, pp. 378-386.
22. Kosevich A.M., Matsokin D.V., Savotchenko S.E. Localized waves and peculiarities of phonon scattering from a planar defect in FCC crystal. Physica B, 1999, vol. 263-264, pp. 114-117.
23. Kosevich A.M Osobennosti dvukanal'nogo rezonansnogo rasseianiia volny ili chastitsy na ploskom defekte [Specific features of dual-channel resonance scattering of waves and
particles from a planar defect]. ZhETF - JETP, 1999, vol. 27.
115, no. 1, pp. 306-317.
24. Kosevich A.M., Matsokin D.V., Savotchenko S.E. Osoben-nosti rezonansnogo rasseianiia fononov ploskim defektom v
GTsK kristalle [Peculiarities of the resonant phonon scatter- 28.
ing from a plane defect in an fcc crystal]. Fizika nizkikh temperature - Low Temperatutre Physics, 1999, vol. 25, no. 1, pp. 48-54. 29
25. Kosevich A.M., Savotchenko S.E. Forced vibrations and resonance wave scattering on impurity in 1D discrete lattice with nearest- and next-nearest neighbors interaction. Physica
B, 2000, vol. 284-288, pp. 1551-1552. 30
26. Kosevich A.M., Savotchenko S.E. Rezonansnoe mnogo-kanal'noe rasseianie voln ili chastits i otklik sistemy na ko-gerentnyi tok [Resonance multichannel scattering of waves and particles and the system response to coherent current]. Nauchnye vedomosti Belgorodskogo gosudarstvennogo uni-versiteta. Seriia: Fizika - Belgorod State University Scientific Bulletin. Physics, 2000, no. 1(10), pp. 3-9.
Biriukov S.V., Guliaev Iu.V. Plesskii V.P. Poverkhnostnye akusticheskie volny v neodnorodnykh sredakh [Acoustic-surface waves in heterogeneous mediums], Moscow, "Nauka" Publ., 1991. 414 p.
Liang C.T., Frost. J.E., Barnes C.H., Smith C.G., Ford C.I., Lubin M.I. Resonant transmossion through an open quantum dot. Physical Review B, 1997, vol. 55, no. 11, pp. 6723-6730. Kosevich A.M., Matsokin D.V. Volnovodnye svoistva dvukh parallel'nykh defektov v usloviiakh dvukhkanal'nogo rasseianiia [Waveguide character of two parallel defects under dual-channel scattering]. Fizika nizkikh temperature -Low Temperatutre Physics, 2000, vol. 26, no. 6, pp. 615-619. Savotchenko S.E. Vliianie dissipatsii energii sdvigovoi volny na rezonansnye svoistva ploskikh defektov v dispergiruiush-chikh sredakh [Influence of a shear wave energy dissipation on resonating characteristics of planar defects in dispersive mediums]. Vestnik Khar'kovskogo natsional'nogo univer-siteta imeni V.N. Karazina. Seriia "Fizika" - Journal of V.N. Karazin Kharkiv National University, series "Phisics", 2000, no. 476, iss. 4, pp. 31-33.
