CC BY
17
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
«наука. инновации. технологии», № 3, 2018
ФИЗИКА КОНДЕНСИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ
УДК 539.2
Савотченко С.Е. Белгородский государственный технологический университет имени В.Г. Шухова, г. Белгород, Россия savotchenkose@mail.ru
СВЯЗАННЫЕ СОЛИТОННЫЕ СОСТОЯНИЯ, ЛОКАЛИЗОВАННЫЕ ВБЛИЗИ ДЕФЕКТА В НЕЛИНЕЙНОЙ СРЕДЕ
актуальность исследования обусловлена тем, что эффекты локализации возбуждений вблизи границ раздела нелинейных сред играют важную роль в различных технических приложениях твердотельной и опто-электроники. Целью работы является нахождение решений нелинейного уравнения Шредингера и энергетических уровней стационарных локализованных вблизи дефекта состояний в рамках модели, которая представляет собой обобщение моделей двухуровневых систем.
для исследования энергии локализации возбуждений в нелинейных средах с дефектами применяются методы теоретической физики твердых тел и нелинейной динамики, которые базируются на традиционных методах математической физики.
предложена модель, представляющая собой обобщение модели взаимодействующих на дефекте возбуждений с двумя ветвями закона дисперсии на случай нелинейной среды. В основе модели лежат нелинейные уравнения Шредингера. Нелинейные уравнения Шредингера описывают динамику возбуждений в нелинейных средах керровского типа. Рассмотрены вопросы существования различных видов локализованных состояний в двухуровневой системе с отличающимися параметрами закона дисперсии. Получены и проанализированы решения нелинейных уравнений Шредингера как положительным, так и с отрицательным ангар-монизмом, в разделенных плоским дефектом фокусирующих и дефокусирующих средах с керровской нелинейностью.
Выводы: показано, что в рассматриваемой системе существуют нелинейные локализо-
ванные состояния нескольких типов, представляющие собой связанные соли-тонные решения несимметричных профилей. Определены энергии связанных на дефекте солитонных состояний для случаев положительной и отрицательной нелинейности среды. Указаны условия существования таких связанных солитон-ных состояний. В предельных случаях, характеризующихся степенью близости к краю нижней границы ветви сплошного спектра, уровни энергии получены в явном аналитическом виде. Рассмотренные в данной работе состояния описывают затухание поля, как симметричное, так и несимметричное относительно границы раздела сред при удалении от нее. Существование связанных солитонных состояний важно при разработке квантовых систем, основанных на свойствах нелинейных поверхностных волн в слоистых структурах. Системы такого типа обладают широким набором важных физических приложений, которые находят применение, как в нелинейной динамике твердого тела, так и в нелинейной оптике при разработке устройств с использованием нелинейных фотонных кристаллов и периодических волноводных структур.
Введение:
Материалы и методы:
Результаты и обсуждение:
Ключевые слова:
нелинейное уравнение Шредингера, плоский дефект, солитон, локализованные состояния, нелинейные волны.
Savotchenko S.E.
Belgorod state technological University named after V. G. Shukhov, gorod, Russia
Bel-
BOUND SOLITON STATES LOCALIZED NEAR DEFECT IN A NONLINEAR MEDIUM
Introduction:
Materials and methods:
Results and discussion:
Conclusions:
Key words:
the relevance of the study is due to the fact that the effects of localization of excitations near the interfaces of nonlinear media play an important role in various technical applications of solid-state and opto-electronics. The aim of the paper is to find the solutions of the nonlinear Schrödinger equation and the energy levels of stationary localized near the defect states in the framework of the model, which is a generalization of models of two-level systems.
methods of theoretical physics of solids and nonlinear dynamics based on traditional methods of mathematical physics are used to investigate the localization energy of excitations in nonlinear media with defects.
The model generalized of the model excitation interacting on a defect with two branches of the dispersion law to the case of a nonlinear medium is presented in the article. The model is based on the nonlinear Schrödinger equations. Nonlinear Schrödinger equations describe the dynamics of excitations in nonlinear media of the Kerr type. The problems of the existence of different types of soliton states in a two-level system with different parameters of the dispersion law are considered. Solutions of the nonlinear Schrödinger equations with positive and negative anharmonicity in the focusing and defocusing media separated by a planar defect with Kerr nonlin-earity are obtained and analyzed.
It is shown that in the system under consideration there exist nonlinear localized states of several types, which are related soliton solutions of asymmetric profiles. The energies of bound on defect soliton states are determined for cases of positive and negative nonlinearity of the medium. Conditions for the existence of such coupled soliton states are derived. In limiting cases, characterized by the degree of proximity to the edge of the lower boundary of the branch of the continuous spectrum, the energy levels are obtained in an explicit analytical form. The states considered in this paper describe the damping of the field, both symmetric and asymmetric with respect to the interface of the media when moving away from it. The existence of bound soliton states is important to develop of quantum systems based on the properties of nonlinear surface waves in layered structures. Systems of such a type possess a wide range of important physical applications in nonlinear dynamics of a solid body and in nonlinear optics in the development of devices using nonlinear photonic crystals and periodic waveguide structures.
Nonlinear Schrödinger equation, plane defect, soliton, localized states, nonlinear waves.
Введение
В различных приложениях твердотельной электроники играют важную роль эффекты локализации возбуждений вблизи границ раздела нелинейных сред. К примеру, локализация электромагнитных волн вблизи границ раздела линейной и нелинейной сред рассматривалась в [1], где указано существование нелинейных локализованных возбуждений с несимметричным профилем и называемых нелинейными поверхностными волнами. Во многих ситуациях возникает необходимость изучения как раз именно
№ 3 , 2018
физико-математические науки
67
таких особенностей локализации возбуждений, которые обусловлены характером их взаимодействия с дефектами [2, 3].
Нелинейное уравнение Шредингера (НУШ) широко применятся для построения математических моделей сред с дефектами [4]. Как было показано в [5], НУШ может описывать состояния полей различной физической природы: упругого, электрического и магнитного. Поэтому для описания новых эффектов, связанных с локализацией возбуждений различной физической природы вблизи дефектов, имеет смысл далее рассматривать математическую модель, использующую НУШ, которому подчиняется функция у, выступающая в роли огибающей комплексного поля компонент вектора намагниченности в легкоос-ном ферромагнетике, либо комплексной амплитуды упругого поля смещения сдвиговой волны в кубическом кристалле с плоским дефектом, либо комплексной функции из амплитуд компонент электрического поля в оптической нелинейной среде [6]. Тогда параметры НУШ будут иметь соответствующий физический смысл в рамках одной из трех указанных моделей.
Материалы и методы исследования.
Основные уравнения модели
В данной работе для исследования энергии локализации возбуждений в нелинейных средах с дефектами применяются методы теоретической физики твердых тел и нелинейной динамики, которые базируются на традиционных методах математической физики.
Рассмотрим контакт двух нелинейных сред с различными физическими характеристиками, в том числе и по критерию нелинейности. Среды разделяет плоская граница, проходящая через начало координат, перпендикулярно оси Ох. Предполагается, что возмущение параметров сред, создаваемой границей раздела как плоским дефектом, сосредоточено на расстояниях, которые существенно меньше размеров возбуждений, и поэтому оно может считаться локальным.
Рассмотрим возбуждения, взаимодействующие вблизи такого плоского дефекта, на основе одномерной модели двухуровневой системы, в которой возбуждение на границе раздела сред может находиться в двух состояниях с различными энергиями П1 и Взаимодействие с границей раздела сред можно описывать короткодействующим потенциалом с дельта-функцией Дирака.
Будем использовать для описания взаимодействия нелинейных возбуждений, локализующихся вблизи дефекта, НУШ:
Здесь и далее индекс принимает два значения: ] = 1, 2. Параметры нелинейности сред для возбуждений первого и второго состояния считаются различными по разные стороны от плоской границы раздела сред:
.сУ/
I--
дг
(1)
\ур,х<0 [у<+),*>0
В (1) т] - эффективная масса возбуждений, и - потенциалы, описывающие взаимодействие волн на дефекте:
Щ{х) = (ад + Ру2Ж*), и2(х) = (а2у2 +Ру!)8(*) (2)
Следует отметить, что уравнения (1) являются эйлеровыми уравнениями для лагранжиана с плотностью
г
где
- — V 7 -
ы 1 ы
2 I 2
1 дуу
2т у дх
I I2 V,- I |4
Для нелинейной среды лагранжиан подобной формы использовался в [10] при описании колебательных состояний в кристалле с точечным дефектом при наличии одной ветви в спектре. Для линейной среды в [7] при изучении распространения упругих волн с двумя ветвями закона дисперсии использовался гамильтониан, связанный с приведенным здесь лагранжианом при I) = 0. Гамильтониан, связанный с приведенным в данной работе лагранжианом, для описания двухуровневой квантовой линейной системы использовался в [8]. В [11] приведен гамильтониан сходного вида для случая взаимодействия экситонов и биэкситонов в симметричной трехслойной структуре кристаллов типа CdS и CdSe, где в качестве искомых полей выступали положительно- и отрицательно-частотные компоненты электромагнитной нелинейной волны.
Стационарные состояния с энергией Е, определяемые из уравнений (1), можно представить в виде:
(х, t) = \^^j (х) ехр(г£;).
Тогда решение НУШ (1) с потенциалами (2) сводится к решению стационарных уравнений:
^-у^Ж^ + = 0 (3)
с граничными условиями:
¥,.(+0) = у,.(-0) = 1|/,.(0); (4)
Гх|/К+0)-^(-0) = 2/и1{а1х|/1(0) + р^2(0)},
(+0) - (-0) = 2 т2 {а2у 2 (0) + (3x^(0)}.
(5)
В линейной среде без дефекта существуют стационарные состояния с квадратичным законом дисперсии. При наличии дефекта в линейной среде возможно существование локализованных состояний с несимметричным профилем, локализованным только по одну сторону от дефекта [7].
Результаты и их обсуждение
1. Нелинейные среды с положительным ангармонизмом
В отсутствие дефекта в нелинейной среде при положительном ангармонизме и одинаковых параметрах сред (когда у, (х) у > 0, т, = т, О,- = О, и = 0, j = 1, 2) существует солитонное решение НУШ вида:
(6)
сЪк(х-х0)
локализованное с максимумом в точке х = х0, причем волновое число к является свободным параметром, амплитуда локализации: А = Ат/д/ут, энергия: Е = к2/2т + П.
Далее будем рассматривать различные типы решений стационарных НУШ (3), удовлетворяющее граничным условиям (4) и (5).
В нелинейной среде с положительным ангармонизмом (когда у- (х) > 0 для всех х) при наличии дефекта решение стационарных НУШ (3), удовлетворяющее граничным условиям (4) и (5), представляется в виде:
-1-,х>0
СМ; (X - )
В1
1 ,х<0
(7)
с Ьк]{х-х2)
где х, - параметры возбуждений по разные стороны от дефекта.
Подстановка (7) в (3) позволяет получить амплитуды:
4 =ЧтлТгт ^ = *уМ-)г1/2, (8)
Волновые числа связаны с энергией соотношением: к]=2т^Е-П;). (9)
Отсюда следует связь волновых чисел:
к\ = т2к1 / т1 + 2т2 - П2). (10)
Подстановка волновой функции (7) в граничное условие (4) приводит к связям амплитуд:
В у - АусЪкуХ2 / с\\кухъ
которые при учете выражений (8) позволяют получить соотношения:
сЪкуХ2/сЫт^ос! = д/у^/у^. (11)
Подстановка волновой функции (7) в граничное условие (5) приводит к соотношению, связывающему параметры среды, дефекта и возбуждений:
4т1т2 р2=А!А2, (12)
где Ау- = 2/и7ау - к у (\hkjXi - ШакуХ2).
Выражение (12) далее будем называть дисперсионным соотношением, так как оно связывает энергию локализованного состояния с параметрами среды, при учете в нем (9)-(11).
а. Симметрично локализованные связанные состояния в
среде с положительным ангармонизмом
Сначала рассмотрим возможность существования локализованного связанного состояния, в котором положения максимумов возбуждений расположены симметрично относительно дефекта, то есть когда х2 = - XI = - х0. Тогда получается, что в = А, а из (11) следует, что состояния такого типа реализуются в случае одинакового положительного ангармонизма по обе стороны от дефекта, то есть когда Из (12) для данного вида со-
стояния получается, дисперсионное соотношение
т^т^ = (т^оц - ^Й^Хо)(т2а2 - к2Иак2хй). (13)
Данное дисперсионное соотношение с учетом (9) определяет в неявном виде зависимость энергии связанного состояния симметричного типа с параметрами среды.
Из (13) при отсутствии взаимодействия ветвей закона дисперсии на дефекте, когда в = 0, следует, что возбуждения становятся независимыми, причем законы дисперсии независимых ветвей определяются выражениями:
= куНакуХ0.
Такие выражения совпадают с точностью до обозначений с соотношением между параметрами среды и локализованного состояния, полученным в [10].
Далее проанализируем частные случаи дисперсионного соотношения взаимодействующих с дефектом (когда в ф 0) и друг с другом (когда а, Ф 0) возбуждений. В самом простом варианте при одинаковых параметрах сред, когда а,=а > 0, О, т, = т, О, = О, из (10) следует, что
к1=к2=к = ^2т(Е-0).
Тогда из (13) получается, дисперсионное соотношение: = т(а + Р),
из которого представляется возможным получить значение энергии связанных состояний в явном виде для случая малых энергий локализации возбуждений (в смысле близости энергии к краю энергетической зоны, то есть при Е близком к О), когда кх0 << 1 , и для случая больших энергий, когда кх0 >> 1:
Е = \ К " ° 0 (14)
[П + т(а + Р) /2, кх0 »1.
Для существования связанных низкоэнергетических состояний такого вида, когда кх0 << 1, при х0 > 0 должно выполняться а > ± в, а при х0 < 0 должно быть а < ± в, иначе волновые числа становятся комплексными.
Если теперь полагать, что все параметры сред различны, то есть а! Ф а2 , т1 Ф т2 и О1 Ф О2 , в пределе малых значений «1 из (13) можно получить энергии связанных состояний рассматриваемого вида:
Е = п | а1{а2-2л:о(а1-02)}-р2 (15)
1 2х0(а1 +а2)
Следует отметить, что при низких значениях энергии, когда Е << + И для существования связанных состояний такого вида при
х0 > 0 должны выполняться одни из требований:
1) в 2 > а1{а2 - 2х0(О1 - О2)} и а1 + а2 < 0 или
2) в 2 < а1{а2 - 2х0(О1 - О2)} и а1 + а2 > 0;
При х0 < 0 должны выполняться одни из требований:
1) в 2 < а1{а2 - 2х0(О1 - О2)} и а1 + а2 < 0 или
2) в 2 < а1{а2 - 2х0(О1 - О2)} и а1 + а2 < 0.
Ь. Несимметрично локализованные связанные состояния в среде с положительным ангармонизмом
Теперь рассмотрим возможность существования связанного состояния, несимметрично локализованного вблизи дефекта, положив х2 = 0. Тогда из (12) получается дисперсионное соотношение:
4гп\т2Р = (2т1а1 - )(2т2а2 - ку^ак^).
(16)
При одинаковых параметрах сред, и различных характеристиках нелинейности, но когда выполняется требование у^/у^ из (16) можно найти уровни энергии связанных состояний рассматриваемого вида:
у«(а±Р)
Е = П +
у«_у(-Г
(17)
Если теперь полагать, что все параметры сред различны, то из (11) тогда получается
Отсюда следует связь волновых чисел к2=Усъ где % = Т21ТЪ Г}=АгсЬ^/у ^ Ь^р. Подставив данную связь в (10), можно получить волновое число
2 2/Я1/И2(^1 — ^г)
£ тп1-т2
(18)
С другой стороны, из (16) в рассматриваемом случае получается соотношение:
Ат\т$ = (2т1а1 -^1т]1)(2т2а2 -^Лг^),
(19)
где пу=(1-у()/у«)1/2 Это означает, что для существования
состояний такого вида с энергией
(20)
£ т1-т2
должна существовать фиксированная связь меду параметрами среды
Р = ща2 + 8, где
8 =
2(^2т1-т2)
\1/2 I
^2
П2
Ш2Щ-т2)
N1/2
(щт2)
1/2
.
Ясно, что выполнение такого требования можно добиться за счет большого количества варьируемых параметров сред.
Существование связанного состояния с различными х1 Ф х2 удается проанализировать при одинаковых параметрах сред, но при выполнении у{ ^ и у(+) = у^. В этом случае дисперсионное соотношение (12) принимает вид:
¿(М*! - Мх2 ) = 2т(а ± Р). (21)
В явном виде представляется возможным из (21) получить значению энергии связанных состояний для предельных случаев, когда кх, <<
1 и кх, >> 1:
ГО + (а ± Р)/(*! -х2), кХ] «1 Е = \ . (22)
[□ + 2/и(а±Р)2, кх] »1.
Для существования связанных состояний такого вида вблизи края зоны при х1 > х2 должно выполняться а > ±Р, а при х1 < х2 должно быть а < ±р.
2. Нелинейные среды с отрицательным ангармонизмом
Рассмотрим теперь случай отрицательных значений параметров нелинейности сред, когда у, (х) < 0 для всех х. В отсутствие дефекта в нелинейной среде с отрицательным ангармонизмом и одинаковых параметрах сред (когда у, (х) = - у < 0, т, = т, О, = О, и, = 0) существует солитонное решение НУШ (1) вида
$\к{х-хй)
где энергия Е = к1 / 2т + П и амплитуда А = к1 д/ут.
При наличии дефекта решение НУШ (3) при отрицательной нелинейности сред
Уу'(х)=Ь(+)
где у^ > 0, будем искать в виде:
У/0) =
А1
--, л; > 0
^ и (23) 1-,х<0
ъЪк Лх-х2)
Подстановка (23) в НУШ (3) и граничные условия (4) и (5) приводит к тому, что для параметров волновой функции (23) остаются справедливыми соотношения (8)-(10), а также для них будет выполняться соотношение:
вЫЪуХг7 яЬ*/*! = д/у^/у^ (24)
и дисперсионное соотношение вида (12), в котором теперь
Aj - - kj (сОД^ - c:\HakjX2) (25)
Для ограниченности решения (23) следует потребовать, чтобы х1 < 0 и х2 > 0.
a. Симметрично локализованные связанные состояния в
среде с отрицательным ангармонизмом
Положим в (23)-(25) х2 = - х1 = - х0. Тогда В, = А, и состояния такого типа реализуются в случае одинакового ангармонизма по обе стороны от дефекта, то есть когда у^-р = В этом случае из (12), в которое подставляются величины (25), получается дисперсионное соотношение
тхт,2 Р = (т^сц-А^сЙ^Хо )(т2а2-£2сЙ1£2х0). (26)
Из (26) при отсутствии взаимодействия ветвей закона дисперсии, когда в = 0, следует, что возбуждения становятся независимыми, причем дисперсионные соотношения независимых ветвей принимают вид:
!и -а • =
Такие выражения совпадают с точностью до обозначений с соотношением между параметрами среды и локализованного состояния, полученным в [10].
В случае одинаковых параметров сред из (26) получается, дисперсионное соотношение
АсЛАхо = т(а + Р).
Отсюда в двух предельных случаях находятся уровни энергии связанных состояний рассматриваемого вида:
Е =
П + —-—]?и(а±Р)——к Ах0«1
2тх0 [ х0 ] (2у)
П + т(а±$)2/2, кхо »1.
физико-математические науки
Связанные солитонные состояния, локализованные вблизи дефекта.. Савотченко С.Е.
Ь. Несимметрично локализованные связанные состояния в среде с отрицательным ангармонизмом
Теперь рассмотрим возможность существования связанного состояния, несимметрично локализованного вблизи дефекта, с различными х1 ф х2. В случае одинаковых параметрах сред, но при выполнении у^ = у^ и У!(+) =Уг+1 Тогда дисперсионное соотношение (12), в которое подставляются величины (25) с учетом сделанных в данном пункте предположений, принимает вид:
ЦсИй*! - с&кх2) = 2т(а ± Р).
(28)
Из (28) в явном виде представляется возможным получить значению энергию связанных состояний для предельных случаев, когда кх, <<
1 и кх, >> 1:
+ з^! +-I-I кХ;«1
х1 - х2 2тх1х2 1
(29)
0 + 2/и(а±Р) , кху» 1.
Для существования связанных состояний такого вида вблизи края зоны должны выполняться такие же условия, как и для (22).
Выводы
В работе проведено обобщение модели взаимодействующих на дефекте локализованных возбуждений с двумя ветвями закона дисперсии (двумя уровнями состояний) в нелинейной среде с использованием нелинейного уравнения Шредингера. В рамках рассматриваемой модели показано, что возможно существование нелинейных локализованных состояний нескольких типов. Такие локализованные состояния представляются собой связанные солитонные решения НУШ несимметричных профилей. Рассмотрены случаи как положительного, так и отрицательного ангармонизма, в разделенных плоским дефектом фокусирующих и дефокусирующих средах с керровской нелинейностью.
В предельных случаях, характеризующихся степенью близости к краю нижней границы ветви сплошного спектра, уровни энергии получены в явном аналитическом виде. Следует отметить, что в отличие от полученных нелинейных локализованных состояний в [10], также описываемых НУШ, рассмотренные в данной работе состояния описывают затухание поля, как симметричное, так и несимметричное относительно границы раздела сред при удалении от нее.
Существование связанных солитонных состояний несимметричного относительно границы раздела сред профиля в нелинейных средах кер-ровского типа с фокусировкой и дефокусировкой, которое показано в данной
работе, является важным аспектом, требующим учета при разработке квантовых систем, основанных на свойствах нелинейных поверхностных волн в слоистых структурах. Системы такого типа обладают широким набором важных физических приложений, которые находят применение, как в нелинейной динамике твердого тела, так и в нелинейной оптике [12] при разработке устройств с использованием нелинейных фотонных кристаллов и периодических волноводных структур [13].
Библиографический список
1. Ахмедиев Н.Н., Корнеев В.И., Кузьменко Ю.В. Возбуждение нелинейных поверхностных волн гауссовыми световыми пучками // ЖЭТФ. 1985. Т. 88. №1. С. 107-115. URL: http://www. jetp.ac.ru/cgi-bin/e/index/e/61/1/p62?a=list. (дата обращения 16.07.2018).
2. Савотченко С.Е. Локализация волн вблизи интерфейса нелинейных сред с пространственной дисперсией // Известия высших учебных заведений. Физика. 2004. Т. 47. №5. С. 79-84. D0l:10.1023/B:RUPJ.0000046330.92744.73
3. Савотченко С.Е. Особенности локализации нелинейных возбуждений вблизи дефекта с внутренней структурой // Вестник Воронежского государственного университета. Серия: Физика. Математика. 2016. № 4. С. 51-59. URL: http://www.vestnik. vsu.ru/pdf/physmath/2016/04/2016-04-05.pdf. (дата обращения 16.07.2018).
4. Kivshar Yu.S., Kosevich A.M., Chubykalo O.A. Radiative effects in the theory of beam propagation at nonlinear interfaces // Phys. Rev. A. 1990. Vol. 41, issue 3. Pp. 1677-1688. DOI: 10.1103/ PhysRevA.41.1677.
5. Герасимчук И.В., Ковалев А.С. Локализация нелинейных волн в слоистых средах // ФНТ. 2000. Т.26. №8. С. 799-809. DOI: 10.1063/1.1289129.
6. Abdullaev F.Kh., Baizakov B.B., Umarov B.A. Resonance phenomena in interaction of a spatial soliton with the modulated interface of two nonlinear media // Optics Communications. 1998. Vol. 156. Pp. 341-346. DOI: 10.1016/S0030-4018(98)00451-9.
7. Косевич А.М. Особенности двуканального резонансного рассеяния волны или частицы на плоском дефекте. ЖЭТФ. 1999. Т. 115. № 1. С. 306-317. URL: http://www.jetp.ac.ru/cgi-bin/ dn/r_115_0306.pdf. (дата обращения 16.07.2018).
8. Савотченко С.Е. Особенности рассеяния частиц и возбуждение квазилокальных состояний стационарным потоком в двухуровневой системе // Известия высших учебных заведений. Физика. 2001. Т. 44. №4. C. 67-73. DOI: 10.1023/A:1011952514072.
9. Савотченко С.Е. Взаимодействие локализованных состояний вблизи границы раздела нелинейных сред // Конденсированные среды и межфазные границы. 2017. Т. 19. № 2. С.291-295.
физико-математические науки
Связанные солитонные состояния, локализованные вблизи дефекта.. Савотченко С.Е.
URL: http://www.kcmf.vsu.ru/article.php?l=ru&aid=823. (дата обращения 16.07.2018).
10. Богдан М.М., Герасимчук И.В., Ковалев А.С. Динамика и устойчивость локализованных мод в нелинейных средах с точечными // ФНТ. 1997. Т. 23. № 2. С. 197-207. DOI: 10.1063/1.593346.
11. Коровай О.В., Хаджи П.И. Нелинейные поверхностные волны в симметричной трехслойной структуре, обусловленные генерацией экситонов и биэкситонов в полупроводниках // ФТТ. 2003. Т. 45. № 2. С. 364-368. URL: https://journals.ioffe.ru/articles/ viewPDF/4534. (дата обращения 16.07.2018).
12. Кившарь Ю.С., Агравал Г.П. Оптические солитоны. От волоконных световодов до фотонных кристаллов / Москва: Физматлит, 2005. 648 с.
13. Нелинейности в периодических структурах и метаматериалах. / Сб. статей под ред. Ю.С. Кившаря, Н.Н. Розанова / Москва: Физматлит, 2014. 371 с.
References
1. Ahmediev N.N., Korneev V.I., Kuz'menko Yu.V. Excitation of nonlinear surface waves by Gaussian light beams. ZhETF. 1985; 88(1): 107-115. Available at: http://www.jetp.ac.ru/cgi-bin/e/index/e/61/1/ p62?a=list (accessed 16.07.2018).
2. Savotchenko S.E. Localization of waves near the interface of nonlinear media with spatial dispersion. Russian Physics Journal. 2004; 47(5): 556-562. DOI: 10.1023/B:RUPJ.0000046330.92744.73.
3. Savotchenko S.E. Features of localization of nonlinear excitations near a defect with internal structure. Vestnik Voronezhsk-ogo gosudarstvennogo universiteta. Seriya: Fizika. Matematika. 2016; 4: 51-59. Available at: http://www.vestnik.vsu.ru/pdf/phys-math/2016/04/2016-04-05.pdf (accessed 16.07.2018). (In Russ.)
4. Kivshar Yu.S., Kosevich A.M., Chubykalo O.A. Radiative effects in the theory of beam propagation at nonlinear interfaces. Phys. Rev. A. 1990; 41(3): 1677-1688. DOI: 10.1103/PhysRevA.41.1677.
5. Gerasimchuk I.V., Kovalev A.S. Localization of nonlinear waves in layered media. FNT. 2000; 26(8): 799-809. DOI: 10.1063/1.1289129.
6. Abdullaev F.Kh., Baizakov B.B., Umarov B.A. Resonance phenomena in interaction of a spatial soliton with the modulated interface of two nonlinear. Optics Communications. 1998; 156: 341-346. DOI: 10.1016/S0030-4018(98)00451-9
7. Kosevich A.M. Features of two-channel resonance scattering of a wave or particle on a plane defect. ZhETF. 1999; 115(1): 306-317. Available at: http://www.jetp.ac.ru/cgi-bin/dn/r_115_0306.pdf (accessed 16.07.2018).
8. Savotchenko S.E. Peculiarities of the particle scattering and excitation of quasilocal states by a stationary flow in a two-level system. Russian Physics Journal. 2001; 44(4): 412-419. DOI: 10.1023/A:1011952514072.
9. Savotchenko S.E. Interaction of localized states near the interface
of nonlinear media. Kondensirovannye sredy i mezhfaznye granicy. 2017; 19(2): 291-295. Available at: http://www.kcmf.vsu.ru/article. php?l=ru&aid=823 (accessed 16.07.2018).
10. Bogdan M.M., Gerasimchuk I.V., Kovalev A.S. Dynamics and stability of localized modes in nonlinear media with point defects. Low Temp. Phys. 1997; 23(2): 197-207, 1997. DOI: 10.1063/1.593346.
11. Korovaj O.V., Hadzhi P. I. Nonlinear surface waves in a symmetric three-layer structure caused by the generation of excitons and biexcitons in semiconductors FTT. 2003; 45(2): 364-368. Available at: https://journals.ioffe.ru/articles/viewPDF/4534 (accessed 16.07.2018).
12. Kivshar' Yu.S., Agraval G.P. Optical solitons. From fiber-optic fibers to photonic crystals) Academic Press, San Diego, 2003, 540 p.
13. Nonlinearities in periodic structures and metamaterials. Sb. statej pod red. Yu.S. Kivsharya, N.N. Rozanova, Moskva: Fizmatlit, 2014. 371 p. (In Russ.).
Поступила в редакцию: 18.05.2018, принята к публикации: 26.08.2018
Об авторе
Савотченко Сергей Евгеньевич, доктор физико-математических наук, доцент, профессор кафедры высшей математики Белгородского государственного технологического университета имени В.Г. Шухова, ScopusID 6603577988, ResearcherlD N-9227-2018, тел.: 8-920-561-04-46, E-mail: savotchenkose@mail.ru.
About the author
Savotchenko Sergey Evgenyevich, Doctor of Physics and Mathematics, Professor оf High Mathematics Department Belgorod State Technological University named after V.G. Shukhov, ScopusID: 6603577988, ResearcherlD: N-9227-2018. Phone: 8-920-561-04-46. E-mail: savotchenkose@mail.ru.
